刚体运动描述课件

刚体运动方程和平衡方程一、刚体运动形状和大小都不变的物体任意两质点之间的距离保持不变的质点系刚体：1刚体运动形式平动:刚体在运动过程中,其上任意两点的连线始终保持平行.可以用一个质点的运动来描述刚体的平动.ABA’B’B”A”刚体的平动转动:刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动.这条直线称为转轴.定轴转动：转轴固定不动的转动.转轴上的质点不动.只需一个量描述刚体绕该轴转动的角度,就确定了刚体的位置(一个变量).平面平行运动：

一点始终在固定平面内运动.

这时运动可分解为一平面内一点的平动及绕通过此点且垂直于固定平面的固定轴的转动(三个变量).定点转动：

一点固定不动,刚体围绕过这点的某一瞬时轴转动(三个变量).一般运动：

刚体不受任何约束，可以在空间任意运动.可分解为质心的平动与绕通过质心的某轴线的定点转动(六个独立变量)．2描述刚体转动的物理量角坐标角位移角速度：角速度大小：由右手螺旋法则确定.角速度的方向：P点线速度与角速度的关系：角加速度(定轴)P点线加速度与角量的关系：对于定轴转动刚体各质元的角量相同,线量一般不同.3欧勒角欧勒运动学方程

刚体定点转动时,选定点为坐标系原点,用三个独立角度来确定转动轴在空间的取向和刚体绕这轴所转过的角度.这三个能够独立变化的角度叫做欧勒角.

欧勒角的选取:

取两组右手正交坐标系,它们的原点都在定点O上.坐标系O-

固定不动,而另一组坐标系O-xyz则固定在刚体上随之一起转动.设z轴是转动轴.O平面和xOy

平面的交线ON称节线.ON和O间的夹角

是一个欧勒角(进动角).ON和Ox间的夹角

是另一个欧勒角(自转角).O

和Oz间的夹角

是第三个欧勒角(章动角).

从图知:z轴垂直ON,故z轴位置与N有关,因此

z轴位置要用

与

两个角来确定.

为系统绕z轴转动的角.假定O-

系和O-xyz系开始重合,

令O-xyz绕

轴逆时针转动

,于是x轴和

轴分开，y轴和

轴分开,而且Ox轴转到Ox’(即ON);然后令活动系绕ON转动

,于是z轴和

轴分开,活动系三个轴变到x’,y’’和z,z轴和

轴夹角是

,x’Oy’’平面和

O平面夹角也是

.最后，令活动系绕z轴转动

,这时ON和Ox夹角是

,Oy’’

和Oy夹角也是

,这时,活动系为Oxyz.

刚体绕着通过定点O某一轴线以角速度

转动,

在活动系Oxyz上的投影是

x,y和

z,则

也可以认为

是绕轴O

的角速度,绕ON轴的角速度及绕Oz轴的角速度三者的矢量和.——欧勒运动学方程4刚体运动方程与平衡方程

(i)力系的简化将所有空间力作用点都迁移到一点.

设F’为作用在刚体A点上的一个力,P为空间任意一点,但不在F’的作用线上.F’rAPF1F2

在P点添上两个与F’的作用线平行的力F1及F2,且

这样F’可以化为过P点的力F1和F’及F2所组成的一个力偶.同理可以把所有空间力化为过一点的力和力偶.P点叫简化中心,力的矢量和叫主矢,力偶矩的矢量和叫对简化中心的主矩.

(ii)刚体运动微分方程

如果ri代表刚体中任一质点Pi对静止系S原点O的位矢,rC

为质心C对O的位矢,而ri’为Pi对质心C的位矢,动坐标系S’随质心作平动,其原点与质心C重合.则刚体质心C的运动方程为另外,刚体在动坐标系S’中的相对运动对质心C的总角动量满足

对固定坐标系中的定点O,上式仍有效,只需将J’改J(对定点O的总角动量)，M’改M.

刚体有六个独立变量.故质心运动及绕质心转动两组方程式恰好确定刚体的运动情况.也可应用动能原理，作为一个辅助方程来代替方程中的任意一个.注意:这时刚体内力所作元功之和为零,故刚体动能的微分等于刚体在运动过程中外力所作的元功之和.

(iii)刚体平衡方程

如为共面力系,且设诸力均位于xy平面内,则平衡方程简化为

刚体以

作定点转动,其中质点Pi对定点的位矢是ri,则质点对定点的角动量为5刚体转动惯量整个刚体对定点的角动量为角动量一般不与刚体角速度共线.(动量与速度总共线)(i)刚体的角动量在直角坐标系下所以引入符号则刚体角动量表达式简化为刚体对各轴的转动惯量惯量积刚体以

作定点转动,对定点的转动动能为(ii)刚体的转动动能刚体对定点的转动动能也可以写为

上式中

i为Pi的位矢ri

与角速度矢量

之间的夹角,

i

为自Pi至转动瞬轴的垂直距离，而I

称为刚体绕转动瞬轴的转动惯量.(iii)刚体的转动惯量z回转半径

物体的转动惯量决定于物体的质量分布的情况,又决定于转动轴的位置.转动轴不同,即使是同一物体转动惯量也不同.平行轴定理

若刚体对过质心的轴的转动惯量为

Ic

，则刚体对与该轴相距为

d的平行轴z

的转动惯量

Iz

是

质量为m,长为

l

的细棒绕通过其端点合质心的垂直轴的转动惯量oxzdxdmx

质量为

m,半径为R

的均匀圆盘,通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量ordrR例1、一根均匀的棍子、重为P长为2l.今将其一端置于粗糙地面上，又以其上的C点，靠在墙上，墙离地面的高度为h.当棍子与地面的角度

为最小值

0时,棍子在上述位置仍处于平衡状态，求棍与地面的摩擦系数

AxyBChOllPN2N1

0f解：

受力分析知本题是一共面力系的平衡问题,取棍子所在的平面为xy平面,则对A点例2、质量m=16kg

、半径为R=0.15m

的实心滑轮,一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为m

的物体.求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离.（2）绳子的张力.解：mMmmgT例3、一质量为m

、长为l

的均质细杆，转轴在O

点，距A