湖南衡阳常宁市第五中学2025届数学高一下期末质量检测试题含解析

湖南衡阳常宁市第五中学2025届数学高一下期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的单调增区间是()A． B．C． D．2．记等差数列的前n项和为.若，则（）A．7 B．8 C．9 D．103．在△ABC中，已知tan＝sinC，则△ABC的形状为()A．正三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．执行如下图所示的程序框图，若输出的，则输入的的值为（）A． B． C． D．5．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度6．已知随机变量服从正态分布，且，，则（）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.87．已知两条直线m,n，两个平面α,β，给出下面四个命题：①m//n，m⊥α⇒n⊥α；②α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n；③m//n，m//α⇒n//α；④α//β，m//n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①④B．②④C．①③D．②③8．定义在上的函数若关于的方程(其中)有个不同的实根,,…,,则（）A． B． C． D．9．某正弦型函数的图像如图，则该函数的解析式可以为（）.A． B．C． D．10．已知数列中，，，且，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．不等式x（2x﹣1）＜0的解集是_____．12．函数的最小正周期为.13．若，则__________.（结果用反三角函数表示）14．执行如图所示的程序框图，则输出结果_____.15．设为虚数单位，复数的模为______．16．某工厂生产三种不同型号的产品,产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本,样本中种型号产品有16件,那么此样本的容量=三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，面是等腰梯形，，面是矩形，平面平面，，.（1）求证：平面平面；（2）若三棱锥的体积为，求的值.18．某厂生产产品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投人成本万元.当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，万元，每千件产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完.（1）写出年利润万元关于千件的函数关系式；（2）当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大？19．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，.（1）若，求△ABC的周长；（2）若CD为AB边上的中线，且，求△ABC的面积.20．已知数列的前项和，函数对任意的都有，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请求出的取值范围；若不存在请说明理由．21．设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“互换函数”．（1）函数与在上互为“互换函数”，求集合；（2）若函数（且）与在集合上互为“互换函数”，求证：；（3）函数与在集合且上互为“互换函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

化简函数可得y＝2sin（2x），把“2x”作为一个整体，再根据正弦函数的单调增区间，求出x的范围，即是所求函数的增区间．【详解】，由2kπ≤2x2kπ得，kπx≤kπ（k∈z），∴函数的单调增区间是[kπ，kπ]（k∈z），故选D．【点睛】本题考查了正弦函数的单调性应用，一般的做法是利用整体思想，根据正弦函数（余弦函数）的性质进行求解．2、D【解析】

由可得值，可得可得答案.【详解】解：由，可得，所以，从而，故选D.【点睛】本题主要考察等差数列的性质及等差数列前n项的和，由得出的值是解题的关键.3、C【解析】

解：因为选C4、D【解析】由题意，当输入，则；；；，终止循环，则输出，所以，故选D.5、D【解析】

通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.【详解】根据题意，故只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.6、B【解析】随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，且，由，可知，所以，故选B.7、A【解析】依据线面垂直的判定定理可知命题①是正确的；对于命题②，直线m,n还有可能是异面，因此不正确；对于命题③，还有可能直线n⊂α，因此③命题不正确；依据线面垂直的判定定理可知命题④是正确的，故应选答案A.8、C【解析】画出函数的图象，如图，由图可知函数的图象关于对称，解方程方程，得或,时有三个根，，时有两个根，所以关于的方程共有五个根，，,故选C.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．9、C【解析】试题分析：由图象可得最大值为2，则A=2，周期，∴∴，又，是五点法中的第一个点，∴，∴把A,B排除，对于C：，故选C考点：本题考查函数的图象和性质点评：解决本题的关键是确定的值10、A【解析】

由递推关系，结合，，可求得，，的值，可得数列是一个周期为6的周期数列，进而可求的值。【详解】因为，由，，得；由，，得；由，，得；由，，得；由，，得；由，，得由此推理可得数列是一个周期为6的周期数列，所以，故选A。【点睛】本题考查由递推关系求数列中的项，考查数列周期的判断，属基础题。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

求出不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集，得到答案．【详解】由不等式对应方程的实数根为0和，所以该不等式的解集是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12、【解析】试题分析：，所以函数的周期等于考点：1.二倍角降幂公式；2.三角函数的周期.13、；【解析】

由条件利用反三角函数的定义和性质即可求解.【详解】，则，故答案为：【点睛】本题考查了反三角函数的定义和性质，属于基础题.14、1【解析】

弄清程序框图的算法功能是解题关键．由模拟执行程序，可知，本程序的算法功能是计算的值，依据数列求和方法——并项求和，即可求出．【详解】根据程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出，输出的为1．【点睛】本题主要考查了含有循环结构的程序框图的算法功能的理解以及数列求和的基本方法——并项求和法的应用．正确得到程序框图的算法功能，选择合适的求和方法是解题的关键．15、5【解析】

利用复数代数形式的乘法运算化简，然后代入复数模的公式，即可求得答案．【详解】由题意，复数，则复数的模为．故答案为5【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数模的计算，其中熟记复数的运算法则，和复数模的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16、1．【解析】

解：A种型号产品所占的比例为2/(2+3+5)=2/10，16÷2/10=1，故样本容量n=1，三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）由面面垂直的性质定理得出平面，可得出，再推导出，利用线面垂直的判定定理得出平面，然后利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；（2）推导出平面，计算出的面积，然后利用锥体体积公式可求得三棱锥的体积，进而得解.【详解】（1）因为四边形是矩形，故，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又面，所以，在等腰梯形中，，，因，故，，即，又，故平面，平面，所以平面平面；（2）的面积为，，平面，所以，平面，，故.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用三棱锥体积求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18、（1）（2）100【解析】

（1）由于每生产千件需另投人成本受产量的影响有变化，根据题意，所以分当时和当时，两种情况进行讨论，然后根据利润的定义写出解析式.（2）根据（1）的利润函数为，当时，用二次函数法求最大值；当时，用基本不等式求最大值.最后两段中取最大的为利润函数的最大值，相应的x的取值即为此时最大利润时的产量.【详解】（1）根据题意当时，，当时，，综上：.（2）由（1）知，当时，，当时，的最大值为950万.当时，，当且仅当即时取等号，的最大值为1000万.综上：当产量为100千件时，该厂当年的利润最大.【点睛】本题主要考查了分段函数的实际应用，还考查了建模，运算求解的能力，属于骠题.19、（1）（2）【解析】

（1）由正弦定理可得，再结合余弦定理可得，再求边长即可得解；（2）由余弦定理可得，再利用三角形面积公式求解即可.【详解】解：（1）因为，所以，即，即，即，即,又，则，则，又，则，即，即△ABC的周长为；（2）因为，，在中，由余弦定理可得：，则，即，即,所以.【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，重点考查了三角形的面积公式，属中档题.20、(1)，;(2).【解析】分析：（1）利用的关系，求解；倒序相加求。（2）先用错位相减求，分离参数，使得对于一切的恒成立，转化为求的最值。详解：（1）时满足上式，故∵=1∴∵①∴②∴①+②，得.（2）∵，∴∴①，②①－②得即要使得不等式恒成立，恒成立对于一切的恒成立，即，令，则当且仅当时等号成立，故所以为所求.点睛：1、，一定要注意，当时要验证是否满足数列。2、等比乘等差结构的数列用错位相减。3、数列中的恒成立问题与函数中的恒成立问题解法一致。21、（1）（2）见解析（3），【解析】

（1）利用列方程，并用二倍角公式进行化简，求得或，进而求得集合.（2）由，得（且），化简后根据的取值范围，求得的取值范围.（3）首先根据为偶函数，求得当时，的解析式，从而求得当时，的解析式.依题意“当，恒成立”，化简得到，根据函数解析式的求法，求得时，以及，进而求得函数在集合上的解析式.【详解】（1）由得化简得，，所以或．由解得或，，即或，．又由解得，．所以集合，