微专题12 轻松解决空间几何体的体积问题（四大题型）（原卷版）

微专题12轻松解决空间几何体的体积问题【题型归纳目录】题型一：直接法题型二：割补法题型三：换底法题型四：祖暅原理【典型例题】题型一：直接法【典例1-1】（2024·高一·重庆·阶段练习）已知如图所示，是正方形外一点，平面为中点，.(1)求证：平面；(2)三棱锥的体积.【典例1-2】（2024·高二·山东·学业考试）如图，在四棱柱中，底面为矩形，侧面为菱形，平面平面，．(1)求证：平面；(2)求四棱柱的体积．【变式1-1】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）如图，在棱长均为6的三棱柱中，D、分别是BC和的中点．

(1)求证：平面；(2)若平面平面，，求三棱锥的体积．题型二：割补法【典例2-1】（2024·四川南充·二模）已知多面体中，，且，，.

(1)证明：；(2)若，求多面体的体积.【典例2-2】（2024·全国·高三专题练习）在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，．(1)求多面体的体积；(2)求三棱锥的体积．【变式2-1】（2024·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求（1）截去的三棱锥的表面积；（2）剩余的几何体的体积.【变式2-2】（2024·辽宁沈阳·高二学业考试）过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（

）A．4 B．6 C． D．题型三：换底法【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，△是边长为的正三角形，，．(1)求证：平面平面BCD；(2)若点E在棱BC上，且，求三棱锥的体积．【典例3-2】（2024·高二·黑龙江大庆·开学考试）在边长为a的正方形中，E，F分别为，的中点，M、N分别为、的中点，现沿、、折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥，如图所示．

(1)在三棱锥中，求证：；(2)求四棱锥的体积．【变式3-1】（2024·高二·上海闵行·阶段练习）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．

(1)求证：平面；(2)求证：⊥平面；(3)求三棱锥的体积．【变式3-2】（2024·陕西宝鸡·一模）已知四棱锥中，，，，，为的中点.

(1)求证：平面；(2)若，，求四面体的体积.题型四：祖暅原理【典例4-1】（2024·高一·湖北·期末）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．根据祖暅原理，现在要用打印技术制造一个零件，其在高为的水平截面的面积为，则该零件的体积为．【典例4-2】（2024·高一·湖南岳阳·期末）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为2，下底面边长为4，高为6的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为．

【变式4-1】（2024·山东日照·三模）祖暅，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1运用祖暅原理解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为2的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为.

【过关测试】1．（2024·高二·贵州六盘水·期末）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.也就是说“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该几何体的体积为.2．（2024·高二·四川巴中·期中）如图，直角梯形中，，，为上的点，且，，将沿折叠到点，使.

(1)求证：平面平面；(2)求四棱锥的体积.3．（2024·高三·青海西宁·开学考试）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点，．

(1)求证：平面；(2)求多面体的体积．4．（2024·高一·浙江嘉兴·期中）如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点.(1)求证：B，C，H，G四点共面；(2)求证：平面；(3)若底面边长为2，，求三棱锥的体积.5．（2024·高一·全国·期末）如图，已知矩形ABCD中，，将矩形沿对角线BD把折起，使A移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上.

(1)求证：；(2)求证：平面平面；(3)求三棱锥的体积.6．（2024·高三·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的平行四边形，∠ADC=60°，，PA⊥面ABCD，E为PD的中点.

(1)求证：AB⊥PC；(2)若，求三棱锥P﹣AEC的体积.7．（2024·高一·全国·期末）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E､F､G分别为PC､PD､BC的中点.

(1)求证：PA平面EFG；(2)求三棱锥P﹣EFG的体积.8．（2024·高一·湖南株洲·期中）如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为的两个三等分点．

(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．9．（2024·高二·江西新余·开学考试）如图，正方形和菱形所在平面互相垂直，.四棱锥的体积是.

(1)求证：平面；(2)求四面体的体积.10．（2024·高一·贵州黔西·阶段练习）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，设是线段上一动点．

(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．11．（2024·高一·山东枣庄·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点

(1)求证(2)求三棱锥的体积12．（2024·高一·四川遂宁·阶段练习）如图，四棱锥中，是四棱锥的高，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点，，点是的中点．

(1)求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积．13．（2024·高一·湖北黄冈·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求四棱锥的体积.14．（2024·高一·河南新乡·阶段练习）如图，已知四棱柱的底面为菱形，，，E为AC上一点，过和点E的平面分别交BC，CD于点M，N．

(1)求证：平面平面；(2)