高中数学选修一（人教A版2019）课后习题答案解析

第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1．1空间向量及其线性运算例1如图1.1-9，已知平行四边形，过平面外一点O作射线，，，，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使．求证：E，F，G，H四点共面．图11-9分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量运算由，，共面的表达式推得，，共面的表达式．证明：因为．所以，，，．因为四边形是平行四边形，所以．因此由向量共面的充要条件可知，，，共面，又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面．练习1.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．【答案】实例见解析；【解析】【分析】在空间几何体中，从一点出发的不同面的向量即可.【详解】在三棱锥中，，，不同在一个平面内；长方体中，从一个顶点A引出的三个向量，，不同在一个平面内.2.如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.3.在图中，用，，表示，及．【答案】；；.【解析】【分析】根据空间向量的加减运算法则可转化.【详解】，，.4.如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则计算即可.【详解】（1）；（2）；（3）.5.如图，已知正方体，E，F分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中x，y的值：（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）化简即得解；（2）化简即得解；（3）化简即得解.【详解】（1），所以；（2），所以；（3）,所以.1.1.2空间向量的数量积运算例2如图1.1-12，在平行六面体中，，，，，．求：图1.1-12（1）；（2）的长（精确到0.1）．解：（1），；（2），所以．例3如图1.1-13，m，n是平面内的两条相交直线．如果，，求证：．图11-13分析：要证明，就是要证明l垂直于内的任意一条直线g（直线与平面垂直的定义）．如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题．证明：在平面内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量，，，．因为直线m与n相交，所以向量，不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使．将上式两边分别与向量作数量积运算，得．因为，（为什么？），所以．所以．这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线，所以．练习6.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答.【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，，令，则，而，，于是得，因此，，所以与所成角的大小为.故选：B7.如图，正方体的棱长为1，设，，，求：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）0；（2）1；（3）1【解析】【分析】在正方体中，根据线线关系，结合空间向量运算法则对每个小题进行运算即可.【详解】（1）在正方体中，，故（2）由（1）知，（3）由（1）及知，8.如图，在平行六面体中，，，，，．求：（1）；（2）的长；（3）的长．【答案】（1）10；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据数量积的定义即可计算；（2）由平方即可求解；（3）由即可求解.【详解】（1）；（2），，，即的长为；（3），，，即的长为.9.如图，线段AB，BD在平面内，，，且，，．求C，D两点间的距离．【答案】【解析】【分析】连接，可得，根据可求.【详解】连接，，，，，，，，即C，D两点间的距离为.习题1.1复习巩固10.如图，在长方体中，E、F分别为棱、AB的中点．（1）写出与向量相等的向量；（2）写出与向量相反的向量；（3）写出与向量平行的向量．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由相等向量的定义可判断；（2）由相反向量的定义可判断；（3）由平行向量的定义可判断.【详解】（1）由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，所以与向量相等的向量为；（2）由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量，所以与向量相反的向量为；（3）由平行向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为平行向量，所以与向量平行的向量为.11.如图，已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），向量如图所示；（2），向量如图所示；（3），向量如图所示；（4），向量如图所示；【解析】【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可.【详解】（1），向量如图所示；（2）在平行六面体中，有，，故，向量如图所示；（3）由知，取的中点为E，，向量如图所示；（4）由（2）知，取的三等分点F点，，向量如图所示；12.证明：如果向量，共线，那么向量与共线．【答案】证明见解析【解析】【分析】由向量共线定理可证明.【详解】如果向量，共线，则存在唯一实数，使得，则，所以向量与共线.13.如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解析】【分析】根据空间向量数量积的定义计算即可.【详解】四面体ABCD的所有棱长都等于a，任意两条棱所在直线的夹角为，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，，（1）；（2）；（3）；（4），则直线BD与直线BC所成角就是直线EF与直线BC所成角，又，；（5），则直线AC与直线AB所成角就是直线FG与直线BA所成角，；（6）取BD中点M，连接AM，CM，则，，平面ACM，又平面ACM，，，，又，，，可知，.综合运用14.如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据代入计算化简即可.【详解】故选：B.15.已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算，结合空间向量共面定理即可得解..【详解】如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，，于是得：，即共面，它们有公共点E，所以E，F，G，H四点共面.16.如图，正方体（1）求和的夹角；（2）求证．【答案】（1）；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）联结，，则，和的夹角即和的夹角，由知，是等边三角形，故和的夹角为.（2）联结，则，又平面，，从而有平面，从而证得.【详解】（1）联结，，则，和的夹角即和的夹角，在正方体中，设棱长为a，则，则是等边三角形，即故和的夹角为（2）联结，则，又平面，平面，则，又故平面，又平面，所以17.用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线）【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据向量运算法则，数量积为0即可证得垂直.【详解】如图所示，在平面内，是在面内的投影向量，则，由题知，，则，故，所以，即证得结论.拓广探索18.如图，空间四边形中，.求证：.【答案】证明见解析【解析】【详解】试题分析：利用三个不共面的向量作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直.试题解析：∵，∴.∵，∴.∴（1）同理:由得（2）由（1）－（2）得∴，∴，∴，∴.19.如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．【答案】证明见解析；【解析】【分析】取的中点D，联结OD，CD，证得平面，，从而有；又E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．从而有，结合，证得四边形EFGH是矩形．【详解】取的中点D，联结OD，CD，由，知，，，又，故平面，又平面，因此又E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．则，，故，四边形EFGH是平行四边形同理，且，又所以，四边形EFGH是矩形第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理例1如图1.2-2，M是四面体的棱的中点，点N在线段上，点P在线段上，且，，用向量，，表示．图1.2-2分析：，，是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{，，}，可以用基底{，，}表示出来．解：．练习1.已知向量是空间的一个基底，从，，中选哪一个向量，一定可以与向量，构成空间的另一个基底？【答案】【解析】【分析】易得，再根据是否与共面判断.【详解】因为，，所以，所以与共面，与共面，所以与不可以构成空间的一个基底，与不可以构成空间的一个基底，而与不共面，所以与可以构成空间的一个基底.故答案为：.2.已知O，A，B，C为空间的四个点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面？【答案】O，A，B，C四点共面.【解析】【分析】根据基底的定义，即可判断.【详解】因为向量，，不构成空间的一个基底，所以向量，，共面，由向量，，有公共点O，所以O，A，B，C四点共面.3.如图，已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，．（1）是否构成空间的一个基底？（2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，．【答案】（1）能；（2）；；；【解析】【分析】（1）根据向量不在同一平面内可判断；（2）根据空间向量加减运算转化可求得.【详解】（1），，不在同一平面内，且不为零向量，能构成空间的一个基底；（2），，，.例2如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证．图1.2-3分析：要证，只需证明．由已知，{，，}可构成空间的一个基底．把和分别用基底表示，然后计算即可．证明：设，，，这三个向量不共面，{，，}构成空间一个基底，我们用它们表示，，则，，所以所以．例3如图1.2-4，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．图1.2-4（1）求证：．（2）求与所成角的余弦值．分析：（1）要证明，只需证明与共线．设，，，则｛，，｝构成空间的一个单位正交基底，把和分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可．（2）要求与所成角的余弦值，只需求，所成角的余弦值即可．（1）证明：设，，，则｛，，｝构成空间的一个单位正交基底．所以．所以．所以．（2）解：因，，所以．所以与所成角的余弦值为．练习4.已知四面体OABC，，．求证：．【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用向量的运算，计算出，从而证明【详解】因为,所以,因为，，所以，所以，即.5.如图，在平行六面体中，，，，．求与所成角的余弦值．【答案】0【解析】【分析】第一步选好基底，第二步将向量与分别用基底表示出来，再用夹角公式即可.【详解】取基底，,,所以.设与的夹角为，则，所以与所成角的余弦值为0.6.如图，已知正方体，和相交于点O，连接AO，求证．【答案】证明见解析.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量即可得证.【详解】在正方体，可建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体棱长为2，则,所以，，所以即.习题1.2复习巩固7.如果向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么，间应有什么关系？【答案】共线.【解析】【分析】直接利用基底的定义判断即可.【详解】因为向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，所以，一定共线.8.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】ABD【解析】【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.【详解】对于A，因为，故，，共面；对于B，因为，故，，共面；对于D，因为，故，，共面；对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，，故共面，这与构成空间的一个基底矛盾，故选：ABD9.在空间四边形中，已知点、分别是、的中点，且，，，试用向量、、表示向量．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理结合图象即可得出答案.【详解】解：如下图所示：，所以，MN=10.如图，在三棱柱中，已知，，，点M，N分别是，的中点，试用基底表示向量，.【答案】，.【解析】【分析】连接，根据空间向量线性运算法则计算可得；【详解】解：连接所以综合运用11.如图，在长方体中，M是AC与BD的交点．若，，，求的长．【答案】【解析】【分析】以D1为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】以D1为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，则所以，所以即的长为.12.如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用空间向量的数量积计算得出，可得出，同理可得出，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立.【详解】设，，，由于四边形为菱形，则，即，所以，，同理可得，由题意可得，，所以，，所以，，同理可证，因为，因此，平面.拓广探索13.如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且．（1）求证：；（2）求EF与CG所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明；（2）直接利用向量法求EF与CG所成角的余弦值【详解】（1）建立以D点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，则，，所以，即，所以.（2）由（1）知，，，则，因为EF与CG所成角的范围为，所以其夹角余弦值为.14.已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据题目写出已知和求证，设，，，由可得，从而，即.所以，即，同理可证，.【详解】已知：四面体中，、、、、、分别是对应各棱的中点，且.求证：，，.证明：设，，，则，，由可得，则，所以，由此可得，所以，即.所以，即，同理可证，.故若四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，则这个四面体相对的棱两两垂直.第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系例1如图1.3-6，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．图1.3-6（1）写出，C，，四点的坐标；（2）写出向量，，，坐标．解：（1）点在z轴上，且，所以．所以点的坐标是．同理，点C的坐标是．点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是．点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是．（2）；；；．练习1.在空间直角坐标系中标出下列各点：，，，．【答案】答案见解析【解析】【分析】建立空间直角坐标，然后标注点即可.【详解】建立如下图如示的空间直角坐标系，根据每一个点的特点标注如下图.2.在空间直角坐标系Oxyz中，（1）哪个坐标平面与x轴垂直？哪个坐标平面与y轴垂直？哪个坐标平面与z轴垂直？（2）写出点在三个坐标平面内的射影的坐标．（3）写出点关于原点成中心对称的点的坐标．【答案】（1）平面与x轴垂直,平面与y轴垂直,平面与z轴垂直；（2）点在平面的射影的坐标,点在平面的射影的坐标；点在平面的射影的坐标；（3）点关于原点对称点的坐标是．【解析】【分析】（1）利用空间直角坐标系求解；（2）利用点的射影的定义求解；（3）利用点关于原点对称的求法求解.【详解】（1）平面与x轴垂直,平面与y轴垂直,平面与z轴垂直；（2）点在平面的射影的坐标．点在平面的射影的坐标．点在平面的射影的坐标．（3）点关于原点成中心对称的点的坐标是．3.在长方体中．，，，与相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．（1）写出点C，，P的坐标；（2）写出向量，的坐标．【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）根据条件可直接写出答案；（2）根据坐标算出答案即可.【详解】（1）因为，，，所以（2）因为，，4.已知点B是点在坐标平面Oxy内的射影，求．【答案】5【解析】【分析】先求得点在坐标平面Oxy内的射影，再利用两点间的距离求解.【详解】因为点在坐标平面Oxy内的射影是，所以.1.3.2空间向量运算的坐标表示例2如图1.3-8，在正方体中，E，F分别是，的中点．求证：．图1.3-8分析：要证明，只要证明，即证．我们只要用坐标表示，，并进行数量积运算即可．证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系，则，，所以．又，，所以．所以．所以，即．例3如图1.3-9，在棱长为1的正方体中，M为的中点，，分别在棱，上，，．图1.3-9（1）求长．（2）求与所成角的余弦值．分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点A，M的坐标，利用空间两点间的距离公式求出的长．（2）与所成的角就是，所成的角或它的补角．因此，可以通过，的坐标运算得到结果．解：（1）建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系，则点A的坐标为，点M的坐标为．于是．（2）由已知，得，，，，所以，，，．所以．所以所以，与所成角的余弦值是．练习5.已知，，求：（1）；（2）；（3）；（4），【答案】（1），（2），（3），（4）.【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算算出答案即可.【详解】因为，（1）所以，（2）（3）（4）6.已知，，且，求x的值．【答案】【解析】【分析】解方程即得解.【详解】因为，所以，所以，所以.7.在z轴上求一点M，使点M到点与点的距离相等．【答案】【解析】【分析】设出点M的坐标，然后利用两点间的距离公式求解即可【详解】解：设点，因为M到点与点的距离相等，所以，解得，所以点M的坐标为8.如图，正方体的棱长为a、点N，M分别在AC，上，，，求MN的长．【答案】【解析】【分析】先写出点的坐标，然后算出答案即可.【详解】因为正方体的棱长为a、点N，M分别在AC，上，，，所以，所以.9.如图，在正方体中，M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值．

【答案】【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可得到答案.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为，则，，，，，，设直线与直线所成角为，则，所以直线与直线所成角的余弦值为.习题1.3复习巩固10.在空间直角坐标系Oxyz中，三个非零向量，，分别平行于x轴、y轴、z轴，它们的坐标各有什么特点？【答案】答案见解析.【解析】【分析】直接利用向量与坐标轴的关系，写出结果即可．【详解】向量，，分别平行于轴，轴，轴，所以向量的横坐标不为0，纵坐标为0，竖坐标为0；向量的横坐标为0，纵坐标不为0，竖坐标为0；向量的横坐标为0，纵坐标为0，竖坐标不为0；11.是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标；（1）与点M关于轴对称的点；（2）与点M关于y轴对称的点；（3）与点M关于z轴对称的点；（4）与点M关于原点对称的点．【答案】（1），（2），（3），（4）.【解析】【分析】（1）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；（2）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；（3）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；（4）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；【详解】若是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则（1）与点M关于轴对称的点为（2）与点M关于y轴对称的点为（3）与点M关于z轴对称的点为（4）与点M关于原点对称的点为12.如图，正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．【答案】，，，，，.【解析】【分析】根据图形写出各点的坐标即可.【详解】因为正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点所以，，，，，13.先在空间直角坐标系中标出A，B两点，再求它们之间的距离：（1），；（2），．【答案】（1），作图见解析；（2），作图见解析.【解析】【分析】（1）先在空间直角坐标系内画出两点，再利用空间两点间距离公式直接求解即可；（2）先在空间直角坐标系内画出两点，再利用空间两点间距离公式直接求解即可.【小问1详解】两点在空间直角坐标系内位置如图所示：由空间两点间距离公式可得：；【小问2详解】两点在空间直角坐标系内位置如图所示：由空间两点间距离公式可得：.14.已知，，．求：（1）；（2）．【答案】（1）9，（2）【解析】【分析】（1）先求出，再利用数量积运算性质求解即可；（2）直接利用向量坐标的加减法运算性质求解【详解】解：（1）因为，，所以，因为，所以，（2）因为，，，所以综合运用15.求证：以A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．【答案】见证明【解析】【分析】利用空间间两点的距离公式分别求AB,AC，BC，进而可得三角形的形状.【详解】A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3），AB==7，AC==7，BC==7，∴AB2+AC2=BC2，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查了空间中两点距离的求解，利用三角形的长度关系判断三角形的形状，属于基础题.16.已知，，求，，线段AB的中点坐标及线段AB的长．【答案】，，线段AB的中点坐标为，线段AB的长为.【解析】【分析】根据点的坐标求出答案即可.【详解】因为，，所以，线段AB的中点坐标为，线段AB的长为17.如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值．【答案】【解析】【分析】以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则所以,设CM和所成角为，则,所以CM和所成角的余弦值为.18.是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量．【答案】【解析】【分析】设，然后整理解方程组即可.【详解】设，即有，因为是空间的一个单位正交基底，所以有，所以.第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系例1如图1.4-7在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．图1.4-7（1）求平面当的法向量；（2）求平面的法向量．分析：（1）平面与y轴垂直，其法向量可以直接写出；（2）平面可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量．解：（1）因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量．（2）因为，，，M是的中点，所以M，C，的坐标分别为，，．因此，．设是平面的法向量，则，．所以所以取，则，．于是是平面的一个法向量．练习1．空间中点、直线和平面的向量表示1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”（1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；（）（2）若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量；（）（3）在空间直角坐标系中，是坐标平面Oxy的一个法向量．（）【答案】①.√②.×③.√【解析】【分析】根据零向量的方向不确定可判断（1），由可判断（2），由平面Oxy可判断（3）.【详解】（1）零向量的方向不确定，所以不能作为直线的方向向量和平面的法向量，正确；（2）当时，，所以不一定是直线l的方向向量，不正确；（3）在空间直角坐标系中，，平面Oxy，所以是坐标平面Oxy的一个法向量，正确．2.在平行六面体中，，，，O是与的交点．以为空间的一个基底，求直线OA的一个方向向量．【答案】【解析】【分析】依题意就是用表示，根据空间向量的线性运算法则计算可得；【详解】解：因为，，，如图因为，，所以所以直线的一个方向向量为3.在长方体中，，，．以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面的一个法向量．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】求得坐标，设出法向量，根据即可求解.【详解】由题可得，则，设平面的一个法向量为，则，令，得，则平面的一个法向量为.2．空间中直线、平面的平行例2证明“平面与平面平行的判定定理”：同一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．已知：如图1.4-11，，，，，．求证：．分析：设平面的法向量为，直线a，b的方向向量分别为，，则由已知条件可得，由此可以证明与平面内的任意一个向量垂直，即也是的法向量．证明：如图1.4-11，取平面的法向量，直线a，b的方向向量，．因为，，所以，．因为，，，所以对任意点，存在x，，使得．从而．所以，向量也是平面的法向量．故．倒3如图1.4-12，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？图1.4-12分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，，以及平面的法向量等都可以用坐标表示，如果点P存在，那么就有，由此通过向量的坐标运算可得结果．解：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系．因为A，C，的坐标分别为，，，所以，．设是平面的法向量，则，，即所以取，则，．所以，是平面的一个法向量．由，C，的坐标分别为，，，得，．设点P满足，则，所以．令，得，解得，这样的点P存在．所以，当，即P为的中点时，平面．练习4.用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．【答案】证明见解析【解析】【分析】先写出已知求证，再利用向量的数量积运算以及线面平行的定义即可证出．【详解】已知：直线，平面，，．求证：．证明：设直线的方向向量分别为，平面的一个法向量为，因为，所以，由于，所以，即有，亦即．因为，所以．5.如图，在四面体ABCD中，E是的中点．直线AD上是否存在点F，使得？【答案】不存在，证明见解析.【解析】【分析】把向量和都用同一组基底来表示，然后根据向量平行的条件来证明不存在.【详解】假设直线AD上存在点F使，设，，因为E是的中点，所以，，若，则，即，所以，即，所以，此时显然不成立，所以不存在点F，使得.6.如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面．【答案】证明见解析【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量关系即可证明.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，则可得，，，平面，平面.3．空间中直线、平面的垂直例4如图1.4-14，在平行六面体中，，，求证：直线平面．图1.4-14分析：根据条件，可以{，，}为基底，并用基向量表示和平面，再通过向量运算证明是平面的法向量即可．证明：设，，，则{，，}为空间的一个基底，且，，．因为，，所以，．在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点P，存在唯一的有序实数对，使得．所以，．所以是平面的法向量．所以平面．例5证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．图1.4-15已知：如图1.4-15，，，求证：．证明：取直线l的方向向量，平面的法向量．因为，所以是平面的法向量．因为，而是平面的法向量，所以．所以．练习7.已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．（1）若，求a，b的关系式；（2）若，求a，b的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由得，所以，进而可得结果；（2）由得，所以，进而解得.【详解】（1）由得，所以，即，整理得；（2）由得，所以，解得，.8.已知正方体的棱长为1，以D为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系．求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】用基底表示出向量，证明.【详解】由题意，,,所以所以.9.如图，在长方体中，，，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面平面．【答案】证明见解析【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标与平面的法向量，利用空间向量法证明即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设面的法向量为，则，即，令，则，所以；设面的法向量为，则，即，令，则，所以；因为，所以所以平面平面．1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题例6如图1.4-18在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．图1.4-18（1）求点B到直线的距离；（2）求直线到平面的距离．分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．解：以为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-18所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，，．（1），，则，．所以，点B到直线的距离为．（2）因为，所以，所以平面．所以点F到平面的距离即为直线到平面的距离．设平面的法向量为，则所以所以取，则，，所以，是平面的一个法向量．又因为，所以点F到平面的距离为．即直线到平面的距离为．练习10.在棱长为1的正方体中，点A到平面的距离等于__________；直线DC到平面的距离等于_________；平面到平面的距离等于__________．【答案】①.②.③.【解析】【分析】根据点面距、线面距、面面距的定义及正方体的性质计算可得；【详解】解：在棱长为的正方体中，面，所以即为点A到平面的距离，故点A到平面的距离为，因为，面，面，所以面，所以即为直线DC到平面的距离，故直线DC到平面的距离为，又平面平面，所以平面到平面的距离为故答案为：，，11.如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．（1）求点到直线的距离；（2）求直线到直线的距离；（3）求点到平面的距离；（4）求直线到平面的距离．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】（1）建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离；（2）先证明再转化为点到直线的距离求解；（3）求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解；（4）把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则（1）因为，所以.所以点到直线的距离为.（2）因为所以，即所以点到直线的距离即为直线到直线的距离.所以直线到直线的距离为（3）设平面的一个法向量为，.由令，则，即.设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为.（4）因为所以平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离.，由（3）得平面的一个法向量为，所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为.12.如图，在棱长为1的正方体中，求平面与平面的距离．【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，再由可得解.【详解】如图所示建立空间直角坐标系，，设平面的法向量为，则，不妨令，则，所以，所以平面与平面间的距离例7如图1.4-19，在校长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别为，的中点，求直线和夹角的余弦值．图1.4-19分析：求直线和夹角的余弦值，可以转化同量与的余弦值．为此需要把向量，用适当的基底表示出来，进而求得向量，夹角的余弦值．解：化为向量问题如图1.4-19，以{，，}作为基底．则，．设向量与夹角为，则直线和夹角的余弦值等于．进行向量运算．又和均为等边三角形，所以．．回到圆形问题所以直线和夹角余弦值为．例8图1.4-22，在直三棱柱中，，，，P为的中点，点Q，R分别在棱，上，，．求平面与平面夹角的余弦值．图1.4-22分析：因为平面与平面的夹角可以转化为平面与平面的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可．解：化为向量问题以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系．设平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角．进行向量运算因为平面，所以平面的一个法向量为．根据所建立的空间直角坐标系，可知，，．所以，．设，则所以取，则．回到图形问题设平面与平面的夹角为，则．即平面与平面的夹角的余弦值为．练习13.在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA=90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值.【详解】如图建立空间直角坐标系，设BC=CA=CC1=1，则A(1，0，1)，B(0，1，1)，D1，F1，∴=，=，∴|cos<>|===.故选：A.14.PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过PC上一点D作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．能证明点O在∠APB的平分线上，通过解直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．【详解】解：在PC上任取一点D并作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．过点O作OE⊥PA，OF⊥PB，因为DO⊥平面APB，则DE⊥PA，DF⊥PB．△DEP≌△DFP，∴EP＝FP，∴△OEP≌△OFP，因为∠APC＝∠BPC＝60°，所以点O在∠APB的平分线上，即∠OPE＝30°．设PE＝1，∵∠OPE＝30°∴OP在直角△PED中，∠DPE＝60°，PE＝1，则PD＝2．在直角△DOP中，OP，PD＝2．则cos∠DPO．即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．故选：C15.如图，正三棱柱的所有棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求解平面与平面的法向量，利用法向量求解夹角的余弦值．【详解】因为正三棱柱的所有棱长均为2，取BC的中点O，则所以平面.取的中点H，所以AO,BO,OH两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则,所以,.设平面的一个法向量为，则令得.同理可得平面的一个法向量为.设平面与平面夹角为，易知为锐角，则，即平面与平面夹角的余弦值为.16.如图，和所在平面垂直，且，．求：（1）直线AD与直线BC所成角的大小；（2）直线AD与平面BCD所成角的大小；（3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值．【答案】（1）90°（2）（3）【解析】【分析】（1）作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角；（2）显然平面BCD的一个法向量为，利用空间向量法求出线面角；（3）求出平面CBD的一个法向量为以及平面ABD的一个法向量为，求出两法向量的余弦值的绝对值即为平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值．【详解】解：设，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标：，，，，（1），，所以AD与BC所成角等于90°．（2），显然为平面BCD的一个法向量∴，直线AD与平面BCD所成角的大小（3）设平面ABD的法向量为则所以，即，令，则，则设平面ABD和平面BDC的夹角为，则因此平面ABD和平面BDC的夹角的余弦为．例9图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°．已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取，精确到0.01N）．图1.4-23分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量．解：如图1.4-24，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为F．因为，所以F在上的投影向量为．所以8根绳子拉力的合力．又因为降落伞匀速下落，所以（N）．所以所以（N）．图1.4-24例10如图1.4-25，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F．图1.4-25（1）求证：面；（2）求证：平面；（3）求平面与平面的夹角的大小．分析：本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角．这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题．解：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-26所示的空间直角坐标系，设．图1.4-26（1）证明：连接，交于点G，连接．依题意得，，．因为底面是正方形，所以点G是它的中心，故点G的坐标为，且，，所以，．而平面，且平面，因此平面．（2）证明：依题意得，．又，故．所以．由已知，且．所以平面．（3）解：已知，由（2）可知，故是平面与平面的夹角．设点F的坐标为，则因为，所以，即，，．设，则．所以，点F的坐标为，又点E的坐标为，所以．所以所以，即平面与平面的夹角大小为60°．练习17.如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若，，，，求平面与平面的夹角．【答案】【解析】【分析】利用向量求解，，两边平方可求平面与平面的夹角．【详解】设平面与平面的夹角为，由可得所以，即平面与平面的夹角为.18.如图，在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点．求异面直线AN，CM所成角的余弦值．【答案】【解析】【分析】连结，取的中点，连结，推导出异面直线，所成角就是，利用余弦定理解三角形，能求出结果．【详解】连结，取的中点，连结，则，是异面直线，所成的角，，，，又，，，异面直线，所成的角的余弦值为．19.如图，在三棱锥中，OA，OB，OC两两垂直，，．求直线OB与平面ABC所成角的正弦值．【答案】【解析】【分析】构建以为原点，为x、y、z轴的正方向的空间直角坐标系，写出、、的坐标，进而求面ABC的法向量，根据直线方向向量与平面法向量夹角与线面角的关系，结合空间向量夹角的坐标表示即可求直线OB与平面ABC所成角的正弦值．【详解】构建以为原点，为x、y、z轴的正方向的空间直角坐标系，如下图示，∴，，，则，，，若是平面ABC的一个法向量，则，令，则，∴，故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为.习题1.4复习巩固20.如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，求直线AE，BF的方向向量．【答案】直线AE的方向向量，直线BF的方向向量.【解析】【分析】由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得、，即可求，再由知，即可求.【详解】在△中，，，则，在△中，，，则，∵在△中，E是CD的中点，∴，而，即，∴在△中，.∴直线AE，BF的方向向量分别为、.21.如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．（1）求平面的一个法向量；（2）求平面的一个法向量．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)求出平面内的两个向量，，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量；(2)求出平面内的两个向量，，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量.【详解】易知，，，.(1)，，设面的法向量为，则，即，取，则，所以平面的一个法向量为；(2)，，设面的法向量为，则，即，取，则，所以平面的一个法向量为22.如图，在平行六面体中，E是AB的中点，F是的中点．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】取的中点为,根据几何体的特征分别得到，，从而得证.【详解】取的中点为,则根据平行六面体的特征可得，，所以四边形为平行四边形，则,,又因为,,所以,,所以四边形为平行四边形，所以,又因为,所以四边形为平行四边形.所以，进而.23.如图，在四面体ABCD中，平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且．求证：平面BCD．【答案】证明见解析【解析】【分析】要证线面平行，需找线线平行，取BD中点O，且P是BM中点，取CD的四等分点H，使DH＝3CH，且AQ＝3QC，通过四边形OPQH为平行四边形及线面平行的判定定理即得结论．【详解】证明：如图所示，取BD中点O，且P是BM中点，∴PO//MD且POMD，取CD的四等分点H，使DH＝3CH，且AQ＝3QC，∴PO//QH且PO＝QH，∴四边形OPQH为平行四边形，∴PQ//OH，PQ在平面BCD外，且OH⊂平面BCD，∴PQ//平面BCD．24.如图，在正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且．求证：（1）；（2）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，表示出点的坐标，利用空间向量法证明线线垂直；【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，因为，，所以，，所以，，所以，所以（2）由（1）可知，所以，所以25.如图，在棱长为1的正方体中，O为平面的中心，E为BC的中点，求点O到直线的距离．【答案】【解析】【分析】建立空间坐标系，求解直线的单位方向向量，结合勾股定理进行求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为，所以.所以点到直线的距离为.26.如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE．（1）计算DE的长；（2）求点O到平面ABC的距离．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用基底表示出向量，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；（2）由该几何体特征可知，点O在平面ABC的射影为的中心，即可求出．【详解】（1）因为四面体OABC的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，，而且，所以，即，所以DE的长为．（2）因为四面体OABC为正四面体，所以点O在平面ABC的射影为的中心，的外接圆半径为，所以点O到平面ABC的距离为．27.如图，四面体ABCD的每条棱长都等于a，M，N分别是AB，CD的中点．求证：，．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据题意证明即可.【详解】由题意可知，三个向量两两间的夹角为，因为M，N分别是AB，CD的中点，所以,则，所以，同理可证.28.如图，M，N分别是正方体的棱和的中点，求：（1）MN和所成角的大小；（2）MN和AD所成角的大小．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，若正方体的棱长为2，写出、、、、的坐标，进而可得、、，利用空间向量夹角的坐标表示求其夹角的余弦值，即可求MN和、MN和AD所成角.【详解】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，若正方体的棱长为2，则，，，，，（1），，又MN和所成角范围为，∴，故MN和所成角为.（1），又MN和AD所成角范围为，∴，故MN和AD所成角为.29.如图，在正方体中，E，F，G，H，K，L分别是AB，，，，，DA各棱的中点．（1）求证：平面EFGHKL；（2）求与平面EFGHKL所成角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，可由证得；（2）利用空间向量计算直线和法向量的夹角，进而得解.【详解】如图所示建立空间直角坐标系，（1），则，所以为平面EFGHKL的两条相交直线，所以平面EFGHKL；（2）由（1）知平面EFGHKL的法向量为，因为，求与平面EFGHKL所成角的余弦值为.综合运用30.如图，在长方体中，，，E是CD的中点．求证：平面．【答案】证明见解析【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，，即可得证；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，所以，，所以，，所以，，因为，平面．所以平面．31.如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，．求证：平面平面PQR．【答案】证明见解析【解析】【分析】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，令写出、、、，进而求面、面的法向量、，根据所得法向量的关系即可证结论.【详解】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示，设，又，，∴，，，，，，∴，，，，设是面的一个法向量，则，令，，设是面的一个法向量，则，令，，∴面、面的法向量共线，故平面平面PQR，得证.32.如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点到平面的距离．【答案】【解析】【分析】建立空间坐标系，求解平面的法向量，结合点到平面的距离公式求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则.设平面的一个法向量为，.由令，则，即.设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为.33.如图，已知正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，．求平面ABCD与平面BQP的夹角．【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，分别求解两个面的法向量，利用法向量的夹角求解即可.【详解】如图建立空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，不妨令，则，所以平面的法向量为，所以.所以面ABCD与平面BQP的夹角为34.如图，正方体的棱长为1，M是棱的中点，O是的中点．求证：OM分别与异面直线，垂直，并求OM的长．【答案】见解析.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0可证得垂直，利用模长公式可求线段长.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，所以，因为，所以.拓广探索35.如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点．在线段上是否存在点Q，使得平面？【答案】存在，在靠近的三等分点处【解析】【分析】建立空间坐标系，利用空间向量进行求解，平面则可利用与平面的法向量垂直求解.【详解】如图，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则,设面的法向量,则,即.令得因为平面，所以,即.所以得，,所以.因为，，所以存在在三等分点处靠近，使得平面.36.在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据空间向量平行的坐标表示即可证出；（2）根据空间向量垂直的坐标表示即可证出．【详解】（1）因为，，所以，即，因为，所以．（2）因为，，，所以．37.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．（1）求MN的长；（2）a为何值时，MN的长最小？（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．【答案】（1）；（2）时，最小，最小值为；（3）【解析】【分析】以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求得、、、、、的坐标．（1）直接由两点间的距离公式可得；（2）把（1）中求得利用配方法求最值；（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，求出、的坐标，取的中点，连接，，可得的坐标，连接，，得到是平面与平面的夹角或其补角，再由与的夹角求解．【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，．（1）；（2），当时，最小，最小值为；（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，则，0，，，，，取的中点，连接，，则，，，，，，，是平面与平面的夹角或其补角．，，．平面与平面夹角的余弦值是．复习参考题1复习巩固1.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由空间向量的线性运算求解．【详解】由题意，又，，，∴,故选：B．2.如图，在平行六面体中，，，，、、分别是、、的中点，点在上，且．用空间的一个基底表示下列向量：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）利用空间向量的加法法则可得出在基底下的表达式；（2）利用空间向量的加法法则可得出在基底下的表达式；（3）利用空间向量的加法法则可得出在基底下的表达式；（4）利用空间向量的加法法则可得出在基底下的表达式.【小问1详解】解：，则；【小问2详解】解：，，所以，；【小问3详解】解：.【小问4详解】解：.3.如图，在直三棱柱中，，，，，M是的中点.求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，证明即可.【详解】由题可以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，则，，.4.如图，正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为.（1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，，的坐标；（2）求与侧面所成的角.【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】取BC的中点为O,的中点为,连结,连结OA，以O为原点，为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，取BC的中点为O,取的中点为,连结,则⊥面ABC.连结OA，则OA⊥BC.以O为原点，为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，由底面边长为a，侧棱长为，则所以点A，B，，的坐标为：；（2）由（1）知：.设为面的一个法向量，则，即，不妨设x=1,则.设与侧面所成的角为，则，所以，即与侧面所成的角为.5.已知空间三点，，．（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；（2）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求出，然后利用向量的夹角公式求出，从而可求出，再利用三角形的面积公式可求得答案，（2）设，然后利用向量分别与，垂直，且，列方程组可求得答案【小问1详解】因为，，，所以，所以，因为，所以，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为【小问2详解】设，因为向量分别与，垂直，所以，因为，所以，解得或，所以或6.设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值.【答案】或.【解析】【分析】根据已知可得，，由此可以求出，再根据，即可求得答案.【详解】因为两个单位向量，与向量的夹角都等于，，，，，，解得或，，，或7.正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点.在直线上求一点N，使.【答案】满足.【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系，设，通过求解.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，设，则，，，解得，故可得满足即可.8.如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是，BD，的中点.（1）求证：；（2）求EF与CG所成角的余弦值；（3）求CE的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，证明即可；（2）求出即可；（3）利用空间两点间距离公式即可求出.【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则.（1），，则,，；（2）设EF与CG所成角为，，，则，所以EF与CG所成角的余弦值为；（3）9.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求的长；（2）求cos<>的值；（3）求证：A1B⊥C1M．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）求得长即求向量的模长问题，利用模的计算公式计算出结果.（2）求向量的夹角问题，由，在坐标系中读出的坐标，根据坐标减法求出，，，并求出其模长，再次根据夹角公式可以求解.（3）要证明，只需要证明，根据各个点坐标进行向量计算可证.【详解】解：以为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．（1）（2）（3）综合运用10.如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱的长为b，且.求：（1）的长；（2）直线与AC所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用基底表示向量，再利用数量积求模；（2）转化为利用向量数量积求直线夹角的余弦值.【详解】，所以，所以，，，所以直线与AC所成角的余弦值为.11.在长方体中，点E，F分别在，上，且，．（1）求证：平面AEF；（2）当，，时，求平面AEF与平面所成二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用向量证明，即可；（2）首先建立空间直角坐标系，算出平面的法向量，利用第一问的结论进一步得到平面的法向量，最后利用法向量的夹角求出二面角的余弦值．【详解】（1）证明：因为所以因为所以因为，所以平面（2）分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，连接，由于：，，所以，设平面的法向量为，则，所以，所以可取又由于：平面所以：看作是平面的法向量设平面和平面所成的角为，则所以平面和平面所成的角的余弦值为．12.如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且，.（1）求四棱锥的体积；（2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先求底面面积，再结合锥体体积公式即可求解；（2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系,为平面的一个法向量,且,求平面的一个法向量,根据,即可求得答案.【详解】（1）平面,,，且，所以四棱锥的体积；（2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系,如图:由，可得:,,,,,由（1）知平面,为平面的一个法向量,且；设为平面的一个法向量,则,,,,,,,令,则,,,设平面与平面所成的二面角为,，平面与平面所成二面角的余弦值为．13.如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，求折纸后的大小.【答案】【解析】【分析】可连接，，根据正方形的对角线互相垂直有，，而折成的为直二面角，从而平面平面，从而可得到平面，可得出，，三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为，，轴，建立空间直角坐标系．然后求出空间一些点的坐标，从而可以得出向量的坐标，这样可根据向量夹角的余弦公式求出向量的夹角，从而得出的大小．【详解】折起后的图形如下所示，连接，，则，；又平面平面，平面平面；平面；，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立空间直角坐标系设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标：，0，，，，，，0，，，，0，，，1，，；；；；．14.在正四棱锥中，O为顶点在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且.求直线BC与平面PAC所成的角.【答案】【解析】【分析】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，求得平面PAC的一个法向量和直线BC的方向向量，结合线面夹角公式即可求解．【详解】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a(a＞0)，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，．则，，．设平面PAC的法向量为，则即，得，令，则，则．∴．∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°．15.如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.（1）求证：E，F，G，H四点共面；（2）求证：平面EFGH；（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意得出可证；（2）通过证明可得；（3）可得四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，即可证明.【详解】（1）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，，，，又E，F，G，H四点不共线，故E，F，G，H四点共面；（2）E，H分别是AB，AD的中点，，，，平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；（3）由（1）知四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，E，G分别是AB，CD的中点，.拓广探索16.如图，在棱长为a的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面BEF的夹角正切值.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积即可证明.（2）根据三棱锥的体积最大时，E，F分别是棱AB，BC上中点，过作，连接，得出为平面与平面BEF的夹角，在中即可求解.【详解】（1）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图：设，则，，，，，，由，.（2），若三棱锥的体积取得最大值，则取得最大值，，当且仅当时，即时取等号，即E，F分别是棱AB，BC上中点，过作，连接，由三垂线定理可得，得出为平面与平面BEF的夹角，，，所以.17.如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，求线段的长.【答案】.【解析】【分析】依题意，，两边平方，结合条件，即可求得公垂线段的长.【详解】依题意，，平方得，因为，，或，所以，故.第二章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率例1如图2.1-6，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．图2.1-6解：直线的斜率；直线的斜率；直线的斜率．由及可知，直线与的倾斜角均为锐角；由可知，直线的倾斜角为钝角．练习1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；（2）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；（3）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；（4）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率.【小问1详解】解：直线的斜率为.【小问2详解】解：直线的斜率为.【小问3详解】解：直线的斜率为.【小问4详解】解：直线的斜率为.2.已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角.（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】根据斜率与倾斜角的关系先计算出倾斜角的正切值，然后根据倾斜角的范围求解出倾斜角.【详解】设倾斜角为，，（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，所以；（4）因为，所以.3.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1），；（2），．【答案】（1），锐角；（2），钝角.【解析】【分析】先根据斜率的计算公式求解出直线的斜率，然后根据斜率的正负判断出倾斜角是锐角还是钝角.【详解】设倾斜角为，（1）因为，所以，所以为锐角；（2）因为，所以，所以为钝角.4.已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角.（1），（2），（3），．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先计算出斜率值，再根据倾斜角的正切值等于斜率求解出倾斜角；（2）根据横坐标相等判断出直线轴，由此分析得到直线的倾斜角；（3）先计算出斜率值，再根据倾斜角的正切值等于斜率求解出倾斜角.【详解】（1）因为，所以，所以，所以直线的倾斜角为；（2）因为的横坐标相等，所以直线轴，所以直线的倾斜角为；（3）因为，所以，所以，所以直线的倾斜角为.5.经过，两点的直线的方向向量为，求k的值．【答案】.【解析】【分析】根据直线的方向向量得到的含义，结合斜率的计算公式求解出的值.【详解】因为直线的方向向量为，则为直线的斜率，所以，所以的值为.2.1.2两条直线平行和垂直的判定例2已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论．解：如图2.1-8，由已知可得直线的斜率；直线的斜率；因为，所以直线．图21-8例3已知四边形四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明．解：如图2.1-9，由已知可得边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率．因为，，所以，．因此四边形是平行四边形．图2.1-9例4已知，，，，试判断直线与的位置关系．解：直线的斜率，直线的斜率为．因为，所以直线．例5已知，，三点，试判断的形状．分析：如图2.1-10，猜想，是直角三角形．解：边所在直线的斜率，边在直线的斜率．由，得，即．所以是直角三角形．图2.1-10练习6.判断下列各对直线平行还是垂直：（1）经过两点A（2，3），B（﹣1，0）的直线l1，与经过点P（1，0）且斜率为1的直线l2；（2）经过两点C（3，1），D（﹣2，0）的直线l3，与经过点M（1，﹣4）且斜率为﹣5的直线l4.【答案】（1）平行（2）垂直【解析】【分析】(1)由题意可得直线l1的斜率，根据直线l1，l2的斜率关系，判断它们的位置关系，(2).由题意可得直线l3的斜率，根据直线l3，l4的斜率关系，判断它们的位置关系，【小问1详解】由题意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k2＝1，k1＝k2，又直线l1，l2不重合，所以两直线平行；【小问2详解】由题意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k2＝﹣5，k1•k2＝﹣1，故两直线垂直.7.试确定m的值，使过，两点的直线与过，两点的直线.（1）平行；（2）垂直．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用直线平行斜率相等即可求解.（2）利用直线垂直斜率乘积等于即可求解.【详解】过，两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，此时直线与直线即不平行也不垂直；当时，过，两点的直线斜率，（1）当两直线平行时，则，解得.（2）当两直线垂直时，则，解得.习题2.1复习巩固8.已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角．【答案】或.【解析】【分析】分别考虑斜率的情况，然后根据斜率等于倾斜角的正切值求解出倾斜角.【详解】设倾斜角为，当时，，；当时，，；所以直线的倾斜角为或.9.已知四边形ABCD的四个顶点是，，，，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率．【答案】，，，.【解析】【分析】根据斜率的计算公式分别求解出四条边的斜率即可.【详解】解：，，，.10.m为何值时，（1）经过，两点的直线的斜率是12？（2），两点的直线的倾斜角是？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据斜率的计算公式列出关于的方程，由此求解出的值；（2）先根据倾斜角计算出斜率，然后根据斜率的计算公式列出关于的方程，由此求解出的值.【详解】（1）因为，所以，（2）因为倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，所以.11.已知，，三点，这三点是否在同一条直线上？为什么？【答案】在一条直线上，理由见解析.【解析】【分析】根据点的坐标计算，若相等则说明在同一条直线上，反之则不在同一条直线上.【详解】因为，所以，且直线有公共点，所以三点在一条直线上.12.判断下列不同的直线与是否平行.（1）的斜率为2，经过，两点；（2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点；（3）经过，两点，经过，两点．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【解析】【分析】（1）利用两直线的斜率是否相等进行判断即可.（2）根据直线的斜率即可判断.（3）求出两直线的斜率即可求解.【详解】（1）经过，两点，则，则，可得两直线平行.（2）经过，两点，可得平行于x轴，平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以；（3）经过，两点，，经过，两点，则，所以.13.判断下列直线与是否垂直.（1）的斜率为，经过点，；（2）的倾斜角为，经过，两点；（3）经过，两点，经过，两点．【答案】（1）垂直；（2）垂直；（3）垂直.【解析】【分析】（1）先计算的斜率，然后根据斜率乘积是否为进行判断即可；（2）先计算，的斜率，然后根据斜率乘积是否为进行判断即可；（3）先计算，的斜率，然后根据斜率乘积是否为进行判断即可.【详解】（1）因为，又，所以，所以；（2）因为的倾斜角为，所以，又因为，所以，所以；（3）因为，，所以，所以.综合运用14.过，两点的直线l的倾斜角为，求的值．【答案】.【解析】【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又，整理得，解得或，当时，，不符合，当时，，符合，综上：.15.经过点作直线l，若直线l与连接，