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文档简介
江西省余江一中2024届高考冲刺模拟数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若实数x,y满足条件,目标函数,则z的最大值为()A. B.1 C.2 D.02.下列不等式正确的是()A. B.C. D.3.己知全集为实数集R,集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|log2x<1},则等于()A.[4,2] B.[4,2) C.(4,2) D.(0,2)4.已知圆关于双曲线的一条渐近线对称,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.5.已知是虚数单位,若,,则实数()A.或 B.-1或1 C.1 D.6.在一个数列中,如果,都有(为常数),那么这个数列叫做等积数列,叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列,且,,公积为,则()A. B. C. D.7.已知函数的零点为m,若存在实数n使且,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.8.执行如图所示的程序框图后,输出的值为5,则的取值范围是().A. B. C. D.9.某几何体的三视图如图所示,若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是A. B. C. D.10.在中,,,,则在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-311.当输入的实数时,执行如图所示的程序框图,则输出的不小于103的概率是()A. B. C. D.12.在函数:①;②;③;④中,最小正周期为的所有函数为()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知二项式ax-1x6的展开式中的常数项为-16014.已知直线被圆截得的弦长为2,则的值为__15.若,则的展开式中含的项的系数为_______.16.若函数,则的值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,其中,.(1)当时,求的值;(2)当的最小正周期为时,求在上的值域.18.(12分)如图,在四棱锥中,底面为菱形,为正三角形,平面平面分别是的中点.(1)证明:平面(2)若,求二面角的余弦值.19.(12分)为了解本学期学生参加公益劳动的情况,某校从初高中学生中抽取100名学生,收集了他们参加公益劳动时间(单位:小时)的数据,绘制图表的一部分如表.(1)从男生中随机抽取一人,抽到的男生参加公益劳动时间在的概率:(2)从参加公益劳动时间的学生中抽取3人进行面谈,记为抽到高中的人数,求的分布列;(3)当时,高中生和初中生相比,那学段学生平均参加公益劳动时间较长.(直接写出结果)20.(12分)已知函数,其中为实常数.(1)若存在,使得在区间内单调递减,求的取值范围;(2)当时,设直线与函数的图象相交于不同的两点,,证明:.21.(12分)已知抛物线的焦点为,直线交于两点(异于坐标原点O).(1)若直线过点,,求的方程;(2)当时,判断直线是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由.22.(10分)已知抛物线和圆,倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点,且与圆相切.(1)求的值;(2)动点在抛物线的准线上,动点在上,若在点处的切线交轴于点,设.求证点在定直线上,并求该定直线的方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
画出可行域和目标函数,根据平移得到最大值.【详解】若实数x,y满足条件,目标函数如图:当时函数取最大值为故答案选C【点睛】求线性目标函数的最值:当时,直线过可行域且在轴上截距最大时,值最大,在轴截距最小时,z值最小;当时,直线过可行域且在轴上截距最大时,值最小,在轴上截距最小时,值最大.2、D【解析】
根据,利用排除法,即可求解.【详解】由,可排除A、B、C选项,又由,所以.故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质,以及对数的比较大小问题,其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.3、D【解析】
求解一元二次不等式化简A,求解对数不等式化简B,然后利用补集与交集的运算得答案.【详解】解:由x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,
∴A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},
由log2x<1,x>0,得0<x<2,
∴B={x|log2x<1}={x|0<x<2},
则,
∴.
故选:D.【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算,考查了对数不等式,二次不等式的求法,是基础题.4、C【解析】
将圆,化为标准方程为,求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,.再根据求解.【详解】已知圆,所以其标准方程为:,所以圆心为.因为双曲线,所以其渐近线方程为,又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,所以.所以.故选:C【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性,还有双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.5、B【解析】
由题意得,,然后求解即可【详解】∵,∴.又∵,∴,∴.【点睛】本题考查复数的运算,属于基础题6、B【解析】
计算出的值,推导出,再由,结合数列的周期性可求得数列的前项和.【详解】由题意可知,则对任意的,,则,,由,得,,,,因此,.故选:B.【点睛】本题考查数列求和,考查了数列的新定义,推导出数列的周期性是解答的关键,考查推理能力与计算能力,属于中等题.7、D【解析】
易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.【详解】易知函数单调递增且有惟一的零点为,所以,∴,问题转化为:使方程在区间上有解,即在区间上有解,而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为,∴.故选D.【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.8、C【解析】
框图的功能是求等比数列的和,直到和不满足给定的值时,退出循环,输出n.【详解】第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:;第四次循环:;此时满足输出结果,故.故选:C.【点睛】本题考查程序框图的应用,建议数据比较小时,可以一步一步的书写,防止错误,是一道容易题.9、B【解析】该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体,其中三棱柱的高为2,底面是高和底边均为4的等腰三角形,圆锥的高为4,底面半径为2,则其体积为,.故选B点睛:由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.10、D【解析】分析:根据平面向量的数量积可得,再结合图形求出与方向上的投影即可.详解:如图所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故选D.点睛:本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题,也考查了数形结合思想的应用问题.11、A【解析】
根据循环结构的运行,直至不满足条件退出循环体,求出的范围,利用几何概型概率公式,即可求出结论.【详解】程序框图共运行3次,输出的的范围是,所以输出的不小于103的概率为.故选:A.【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率,模拟程序运行是解题的关键,属于基础题.12、A【解析】逐一考查所给的函数:,该函数为偶函数,周期;将函数图象x轴下方的图象向上翻折即可得到的图象,该函数的周期为;函数的最小正周期为;函数的最小正周期为;综上可得最小正周期为的所有函数为①②③.本题选择A选项.点睛:求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数的式子,否则很容易出现错误.一般地,经过恒等变形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】
在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出r的值,即可求得常数项,再根据常数项等于-160求得实数a的值.【详解】∵二项式(ax-1x)令6-2r=0,求得r=3,可得常数项为-C63故答案为:2.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.14、1【解析】
根据弦长为半径的两倍,得直线经过圆心,将圆心坐标代入直线方程可解得.【详解】解:圆的圆心为(1,1),半径,
因为直线被圆截得的弦长为2,
所以直线经过圆心(1,1),
,解得.故答案为:1.【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质,属基础题.15、【解析】
首先根据定积分的应用求出的值,进一步利用二项式的展开式的应用求出结果.【详解】,根据二项式展开式通项:,令,解得,所以含的项的系数.故答案为:【点睛】本题考查定积分,二项式的展开式的应用,主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.16、【解析】
根据题意,由函数的解析式求出的值,进而计算可得答案.【详解】根据题意,函数,则,则;故答案为:.【点睛】本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)根据,得到函数,然后,直接求解的值;(2)首先,化简函数,然后,结合周期公式,得到,再结合,及正弦函数的性质解答即可.【详解】(1)因为,所以(2)因为即因为,所以所以因为所以所以当时,.当时,(最大值)当时,在是增函数,在是减函数.的值域是.【点睛】本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法,两角和与差的正弦、余弦公式,三角函数的图象与性质等知识,考查了运算求解能力,属于中档题.18、(1)详见解析;(2).【解析】
(1)连接,由菱形的性质以及中位线,得,由平面平面,且交线,得平面,故而,最后由线面垂直的判定得结论.(2)以为原点建平面直角坐标系,求出平面平与平面的法向量,,最后求得二面角的余弦值为.【详解】解:(1)连结∵,且是的中点,∴∵平面平面,平面平面,∴平面.∵平面,∴又为菱形,且为棱的中点,∴∴.又∵,平面∴平面.(2)由题意有,∵四边形为菱形,且∴分别以,,所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,设,则设平面的法向量为由,得,令,得取平面的法向量为∴二面角为锐二面角,∴二面角的余弦值为【点睛】处理线面垂直问题时,需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉,运用几何语言表示出来方才过关,一定要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直,才可以证得线面垂直,其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角问题,培养了学生的计算能力和空间想象力.19、(1)(2)详见解析(3)初中生平均参加公益劳动时间较长【解析】
(1)由图表直接利用随机事件的概率公式求解;(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.由古典概型概率公式求概率,则分布列可求;(3)由图表直接判断结果.【详解】(1)100名学生中共有男生48名,其中共有20人参加公益劳动时间在,设男生中随机抽取一人,抽到的男生参加公益劳动时间在的事件为,那么;(2)的所有可能取值为0,1,2,3.∴;;;.∴随机变量的分布列为:(3)由图表可知,初中生平均参加公益劳动时间较长.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查超几何分布的分布列的计算,属于基础题.20、(1);(2)见解析.【解析】
(1)将所求问题转化为在上有解,进一步转化为函数最值问题;(2)将所证不等式转化为,进一步转化为,然后再通过构造加以证明即可.【详解】(1),根据题意,在内存在单调减区间,则不等式在上有解,由得,设,则,当且仅当时,等号成立,所以当时,,所以存在,使得成立,所以的取值范围为。(2)当时,,则,从而所证不等式转化为,不妨设,则不等式转化为,即,即,令,则不等式转化为,因为,则,从而不等式化为,设,则,所以在上单调递增,所以即不等式成立,故原不等式成立.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性、利用导数证明不等式,这里要强调一点,在证明不等式时,通常是构造函数,将问题转化为函数的极值或最值来处理,本题是一道有高度的压轴解答题.21、(1)(2)直线过定点【解析】
设.(1)由题意知,.设直线的方程为,由得,则,由根与系数的关系可得,所以.由,得,解得.所以抛物线的方程为.(2)设直线的方程为,由得,由根与系数的关系可得,所以,解得.所以直线的方程为,所以时,直线过定点.22、(1);(2)点在定直线上.【解析】
(1)设出直线的方程为
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