历全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

(x+y)ln(l+—)

i.计算JL---.-^-dxdy=，其中区域。由直线x+y=l与两

也.x—y

坐标轴所围成三角形区域。

91

解：令==v,则兀=",y=〃-v,dxdy=detdudv=dudv,

-1

JJ

(x+y)ln(l+1)

winw-wlnvii

---/——dudv

DD

u

,i/沈In〃cdv——；UI»uInvdv)dw

lo4二7J。

Hw2Inwu(uinu—u)]

=i---------/——d”

J。41—u

f,1U2./、

=j°v1--n-d.(*)

令，=Jl—u，则〃=1—产

du=—2zdt,it?=1—2t2,i/(l—u)=/(1—%)(1+%)，

(*)=—2,(1-2t2+方4)dt

--_

=2^(l-2r2+?)dZ=2t--t3+-t5=—

J。L35Jo15

cr2

2.设/(x)是连续函数，且满足/(x)=3尤2—1f(x)dx-2,贝U/(x)=o

J0

解：令A=j：f(x)dx,则/(x)=3——A—2,

2

J=[(3x2_A_2)dx=8—2(4+2)=4—24,

J0

解得A=g。因此/(x)=3x2—

V2

3.曲面z=3+/一2平行平面2x+2y—z=0的切平面方程是.

无2

解：因平面2x+2y—z=0的法向量为(2,2,—1),而曲面2=2在

(%,〉0)处的法向量为(zx(x0,y0),z/x0,y0),-1)故

(z.Xo,y0),zy(x0,y0),-l)与(2,2,-1)平行，因此，由=x,z》=2y知

2=zx(x0,y0)=x0,2=Zy(%o,Vo)=2yo，

即%=2,%=1,又zOo，%)=z(2,l)=5,于是曲面2x+2y-z=0在

(x0，%，z(x°，右))处的切平面方程是2(x—2)+2(y—1)—(z—5)=0,即曲面

XC

z=—+/_2平行平面

2

2x+2y—z=0的切平面方程是2x+2y—z—1=0o

4.设函数y=y(x)由方程xe"')=e'ln29确定，其中/具有二阶导数，且//1，则

d2y_

(k2-------------------------

解：方程=e'ln29的两边对x求导，得

ef(y)+xf\y)y'ef(y)=e'y'ln29

因e>In29=,故工+/'(>)>'=y，即V=---------------,因此

x式1-/(>))

S=丫〃=_]+/"(y)y'

dx2-X2(l-fr(y))x[l-f(y)]2

=于"(y)___________]=[1-(加

—x2[l-X2(l-x2[l-r(y)]3

px—.z?2x-I.-•••-.I-。nx一e

二、(5分)求极限---------二尸，其中〃是给定的正整数.

解：因

x.2x..八,

e+eH--------1-e

=lim(l+

A=lim

二elim

H--------1-ne1+2H-------1-nn+1

------------二-----e

n+l

eA=e2

三、(15分)设函数/(x)连续，g(x)=且lim3=A,A为常数，求g'(x)

J00x

并讨论g'(x)在x=0处的连续性.

解:由lim4D=A和函数/(x)连续知，/(0)=lim/(%)=limxlim=0

0JQxf0xf0xf0%

因g。)=[f(H)d/，故g(0)=/(O)dZ=/(0)=0,

J0J0

「

因此，当xwO时，g(x)=—1[Xf(u)du,故

YJ。

limg(x)=lim-----------=lim=/(0)=0

x->0%->0X101

当xwO时，

gU)=-：J"(")d"+等

g(x)-g(0)-J/W\of(t)dtf(x)A

2:LL

g(0)=hm——=hm------------=hm5——=hm^~=一

(%一0xxx2x2

吧g'(x)=吧[一：J"(〃)d"+一]=吧/^一吧0=A—mA

~2

这表明g'(x)在x=0处连续.

四、(15分)已知平面区域。={(x,y)|04x<万,0<y<乃},L为。的正向边界，试证:

(1)Jxesinydj-”5'口=jxe-sinydy-jesinxdx；

LL

5,

(2)xesmydy-ye-smydx>。

证：因被积函数的偏导数连续在。上连续，故由格林公式知

(1)^xesinydy-ye-sinxdx=ff—(xesiny)-—(-ye-sinx)dxdy

*\_dxdy_

=jj(esiny+e-sinx)dxdy

D

^xe-sinydy-yesiDXdx

L

=ff-f(xe-siny)-^-(-yesmx)dxdy

%\_dxdy_

二0(二山》+esM，)dxdy

D

而。关于x和y是对称的，即知

sinxsinA

JJ-+e-yixdy=JJ("如，+e)dxdj

DD

因此

|xesinydj-ye5山可泥55-yesinxdx

LL

(2)因

产一

er+e",=2(1+—+—+■••)>2(1+产)

故

Sint-sinx、C-2c1-COS2%5—COS2x

e+e>2+sin-x=2+---------=----------

22

由

fxesiaydy-ye-sinydx=jj(esiny+e-sinx)dxdy=JJ(e-siay+esinx)dxdy

LDD

知

fxesinydy-ye-sinyd%=-JJ(esiny+e-sin*)dxdy+-JJ(e-sin>+)dxdy

L2o2D

=-JJ(esinv+e,yXkdy+-Jj(e-sinx+esinx)dxdy=([(二血*+esinx)chdy

2o2oD

sinx

=»](eT-+e)dx>乃J5-；s2x网=1^2

即Jxesm》dy-ye~&my6x>■|72

五、(10分)已知%=x"+e2x,%=x/+「,%=W+e?*-e"是某二阶常系数线

性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

解设必=xe*+e2x,乃="工+6一'，%=沅£+62,-"工是二阶常系数线性非齐

次微分方程

y"+byr+cy^/(x)

的三个解，则为-M-e2x和乂-%="工都是二阶常系数线性齐次微分方程

y"+by'+cy—0

的解，因此y"+Z?y'+⑦=0的特征多项式是(2-2)(4+1)=0,而y'+by'+g7=0的特

征多项式是

下+bA+c=0

因此二阶常系数线性齐次微分方程为y〃—y'—2y=0,由工―2M=/(x)和

y[^ex+xex+2e2x,2ex+xex+4e2x

知,f(x)=y"-y[-2%=x/+2ex+4e2x-(xex+ex+2e2x)-2(xex+e2jc)

=(1—2x)ex

二阶常系数线性非齐次微分方程为

y"-y'-2y^ex-2xex

六、（10分）设抛物线丁=。炉+6%+2111。过原点.当OWxWl时，y>0,又已知该抛物

线与X轴及直线x=1所围图形的面积为试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的

3

旋转体的体积最小。

解因抛物线丁=ax?+6x+21nc过原点，故c=l,于是

1ri2a3b2ab

——I(ax+bx)dt——xH—x——I—

3J。13232

即

2

b=~(l-a)

而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积

V(a)=1+/?x)2dt=7r£1(or2+—2(l-di)x)2dt

4

=汨2£xdt+»g〃(1一+»[(1_2fx2dt

——+7T—〃(1_Q)+711I—Qi

即

、191T4Y

V(a)——TCCl+7T—a(l-Cl)+TC(1-Cl)

令

21Q

Vr(a)--7ia+7i—(y-2d)-TI—(1-a)=0,

得

54Q+45—90Q—40+40Q=0

即

4a+5=0

因此

53

a=——,b7=—C=1o

42

七、(15分)已知a〃(x)满足%(%)=%(%)+》1-(〃=1,2「-)，且"<1)=工，求函数

n

00

项级数ZM“(X)之和。

n=l

解

nlx

u'n(%)=w„(x)+x~e,

即

y-y=x"

由一阶线性非齐次微分方程公式知

y=ex(C+J%n-1dx)

n

因此

n

x

%(%)=e%(C+—)

n

e1

由一二沆〃(1)=e(CH—)知，C=0,

nn

于是

xnex

“〃(%)=----

n

下面求级数的和：

令

co8nx

S(x)=Z/(x)=工----

„=i“=in

则

8〃％COX

s\x)=y(—/+二二)=s(x)+yx"=s(x)+j

»=in,1=i1-x

即

S'(x)-S(x)=-^-

1-x

由一阶线性非齐次微分方程公式知

S(x)=/(C+

00

令X=O,得0=S(0)=C,因此级数£M〃(X)的和

n=l

S(x)=—靖ln(l-x)

00

八、(10分)求Xfl-时，与等价的无穷大量.

n-0

解令/⑺=/，则因当Ovx<l,，£(0,+oo)时，/'«)=2比於InxvO,故

2-r2ln—

/«)=/=e'在(0,+oo)上严格单调减。因此

ff/⑺由=£001J.1/⑺由<£00/(»)</(0)+8£[J⑺由=1+Jo।"/⑺由

n=0n=0n=l

即

r/⑺由<£0/0(〃)<i+r，⑺山，

n=0

又

0000

£/(九)=”"2,

n=0n=0

1

In-

lim—^=lim3=l

I—xxf—1

1•4-00

L/(Odz=

Ju

oo1I-

所以，当xfl-时，与£x"2等价的无穷大量是一、上

占2V1-X

2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

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相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

一、(25分，每小题5分)

(1)设无”=(l+a)(l+a2)(1+a'j,其中求limx”.

n—>oo

(2)求limefjl+L].

8lXJ

/•00

(3)设s>0,求/=[e~sxxndx(n=1,2,).

Jo

后了求学+*。

（4）设函数/«）有二阶连续导数,

（5）求直线4:，“一，二°与直线/：土工=2二1=二的距离。

1z=024-2-1

22

解:(1)xn=(l+a)(l+a)(1+/")=1=(j)(1+q)(i+4)(1+a")/(1-a)

=(l-a2)(l+a2)(l+a2，，)/(l-a)==(1—―)/"①

/.limx=lim(l-/"*)/Q一〃)=1/Q一〃)

n—>oonn—>oo

(1Ylne-x(l+-)x2x2ln(l+-)-x

(2)lime*1+—=lime%=lime%

X-»ooIX)X->00X->00

令x=l/t,则

(ln(l+，)T)1/仪)-1i

原式二lime产=lime2t=lime2(1+0=e

?->o-o?->o

1•0011*001poo

sxnsxnsxsxn

In=£e^dx=(--)£xde-=(--)[xe-|；-£edx]=

⑶

n(n-l)-史/_n\

sxxn-idx=-I_

snxs〃+i

二、(15分)设函数/(X)在(-8,+8)上具有二阶导数，并且

f

/"(%)>0,limf(x)=a>0,lim/'(%)=£v0,且存在一点x0,使得/(x0)<0o

x—>4-00X—>—co

证明:方程/(X)=0在(-8,+＜功恰有两个实根。

解：二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需

在两边找两大于0的值。

将f(x)二阶泰勒展开：

/(x)=/(0)+/1(0)x+^Px2

因为二阶倒数大于0,所以

limf(x)=+oo,limf(x)=-oo

X—>4-00X—>-00

证明完成.

Y—2t_1_产

三、(15分)设函数y=/(x)由参数方程＜«＞-l)所确定，其中什⑺具有二阶

23

导数，曲线y=〃⑺与y=e-udu-\---在，=1出相切，求函数〃⑺。

2e

解：(这儿少了一个条件崇=)由y=〃(。与y={‘6一,向+：_在/=1出相切得

小、3，八、2

〃⑴=丁，〃⑴=一

2ee

dy_dy/dt_〃⑺

dxdx1dt2+2%

d2y_d(dy/dx)_d(dy/dx)/dt_y/⑺(2+2力一2〃⑺

dx2dxdx/dt(2+2/f

上式可以得到一个微分方程，求解即可。

四、(15分)设4>0,8〃=才以，证明：

k=l

(1)当1>1时，级数£去收敛；

(2)当&W1且”一双…⑹时，级数之发散。

«=is"

解：

(1)an}0,s“单调递增

当收敛时，&<3,而2收敛，所以至收敛;

《a《agtz《a

n=l%%%

8

a

当Xn发散时，limSn=oo

n—>oo

n=l

a”=s〃—s,i=「“dx_<虫

C~S”aFt%。

所以<2<_5_+寸「”虫=_5_+「”立

'£s「s「"=2''""。邑"%X。

而「"包=马+出11叱二之二=五+—=鼠收敛于k。

J'xas「〃f8\-as「a-1

所以，£之收敛•

，，=1Sn

(2)lims〃=oo

M—>00

00

所以Z4发散，所以存在匕，使得X%,2%

n=l八=2

c&门/1

于是,>—

2Sn2%3占2

依此类推，可得存在1<匕<%2<・・・

勺+i1kN°i

使得Z^n成立，所以

k)Sn21Sn2

当时，Nfoo,所以之之发散

，TSn

五、（15分）设/是过原点、方向为（名民/）,（其中片+/+/=1）的直线，均匀椭球

j+2+彳VI,其中(0<c<b<a,密度为1)绕/旋转.

ab~c

(1)求其转动惯量；

(2)求其转动惯量关于方向(名民为的最大值和最小值。

解：

(1)椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离

d2-(l-a2)x2+(l-/^2)y2+(l-/2)z2-2a13xy-2/3yyz-2yazx

ifj孙〃=nyzdv=nzxdv=°

OQQ

=[z1dzffdxdy=f7vab(l-^--)z2dz=—nabc3

QJ-c2J，J2-JYc15

由轮换对称性，

jjjx2dV=—7ia"bc.jjjy2dV=—7rab3c

Q15c15

I=jjjd2dV=(1-cr2)—7ra3bc+(1-/?2)—7rab3c+(1-72)—nabc)

Q151515

=白血(〜2)储+(1”附+(1-/2向

(2)a>b>c

4

22

二当/=1时，/max=-7rabc(a+b)

4

22

当a=1时，/min=一7rabc(b+c)

min]5、/

六、(15分)设函数o(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线

积分度:篙）办的值为常数。

+<。)耙°,

（1）设L为正向闭曲线（X—2）2+/=1,证明

+y2,

（2）求函数0（x）；

（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求j2吗+与）力

1%+y

解:

(1)L不绕原点，在L上取两点A,B,将L分为两段L],L2,再从A,B作一曲线4，使

之包围原点.

则有

^2xydx+(p(x)dy_r2xydx+(p(x)dyr2xydx+(p(x)dy

x"+y2J,公+/

2xye(x)

(2)令尸=,Q=

x4+y2x4+y?

由(1)知G2—2=0,代入可得

dxdy

0(九)(九4+y2)-(p(x)4x3=2x5-2xy2

上式将两边看做y的多项式，整理得

y?(p(x)+(p(x)x4-^(x)4x3=y1(-2x)+2x5

由此可得

(P(x)=-2x

(x)x4-o(x)4%3=2x5

解得：(p(x)=-x2

(3)取工为犬+丁2=44,方向为顺时针

dQdP

dxdy

c2xydx+(p(x)dyIxydx+(p{x}dy

J，x4+y2+J47

c+LJL~x-by

2xydx-x2dy71

2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及

相关题目，主要是一些各大高校的试题。)

计算下列各题(本题共3小题，每小题各5分，共15分)

1

z・、-

Sinx卜COSX

(1).求lim

x—>0I%J

解：（用两个重要极限）:

1x.sinx—x

z.、-

sinxy-cosxSillX—X^sinx-x%(l-cosx)

lim=lim1+

x—>0I%J%.oI%7

1%2

..sinx-x..cosx-1lim-^—

sinx—xlim----------lim-------

%.0J_%3%.0工工2Xf021

1•xv(l—cosx)23

=lime)12=ee于

xf0

(111A

⑵.求lim-------1----------------------

n^\n+ln+2n+n)

111

解：(用欧拉公式)令％"=------+-------+...+-------

n+1n+2n+n

由欧拉公式得1+,++--Inn=C+o(1)，

2n

则1+』++-+-J—++--—ln2«=C+o(1)，

2nn+12n

其中，表示〃―8时的无穷小量，

二两式相减，得：

xn-ln2=o(1),/.lmimonxn=ln2.

x=ln(l+e2z)d2y

3)已知<,求----o

y-t-arctan£dx

1-

dx_2婷dyerdy_]+/1_/'e'+]

dt1+e2r?dtl+e2rdx2/2/

l+e2f

1_d_2]+/_(1+叫(——2)

dt

二.（本题io分）求方程（2%+j-4）dr+（x+=0的通解。

解:设夕=2%+y—4,Q=%+y—l,则Pdx+Qdy=0

dP_dQ

-1,/.Pdr+Qdy=0是一个全微分方程，设dz=Pdx+Qdy

dydx

z=j力=jPdx+Qdy-1:；（2x+y-4）（ix+（x+

dPdQ

——二——，，该曲线积分与路径无关

dydx

z=£（2%-4）否+口%+y-1^dy=x2-4x+xy+—y2-y

oo2f

三,（本题15分）设函数f（x）在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且

/1（0）,/'（0）,/"（0）均不为0,证明：存在唯一一组实数《，左2,左3，使得

+/（0）_

JLJLJLJLI~V/o

八°h~

证明：由极限的存在性:lim[vW+V（2^）+V（3^）-f（0）]=0

即优+左2+左3_1]/（0）=0,又/（0）W0,（+左2+g=1①

由洛比达法则得

lim左"伍）+左2〃2人）+&/（3同一/（。）

20h2

"/左"'优）+2右/'（2仁+343/'（3/0=0

202h

由极限的存在性得北虱人J’仅）+2k2f（2/z）+3k3f（3"）]=0

即（匕+2左2+3左3）/'（0）=0,又/'（O）wO,.•"1+2&+3左3=0②

再次使用洛比达法则得

lim"J(M+2%2/'(2/Q+3&-'(3/z)

修。2h

加%/。)+的/"(已+。

=129/-,(3=0

h-02

(匕+4k2+9k3)f"(o)=0f"(O)w0

ky+4k2+9k3=0③

/+左2+&=1

由①②③得是齐次线性方程组＜

kvk2,k3+2k2+3k3—0的解

k[+4k2+9k3—0

11)rn

,则

设A=123,x=k2,b-0Ax=Z7,

,149,

p11c1

4*

增广矩阵A10-0则

,14>900,

H(A,b)=H(A)=3

所以，方程Ax=b有唯一解，即存在唯一一组实数勺，左2,左3满足题意，

且匕=

3,k2=—3,k3=1.

222

、r%yz1-7八

四.（本题17分）设E]:——~\——H——=1,其中a〉Z7〉c〉0,

abc

222「为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点

X2:z=x+y,22r

距离的最大值和最小值.

%22z2

解：设「上任一点V（%,y,z）,令_F（%,y,z）=——+H—--1,

,2x12y，2z

则工=不，...椭球面在上点处的法向量为：

=—,Fy=皆,F,1FM

―一「—y£］在点M处的切平面为口：

abc）

9(X-%)+5(丫-用+彳亿-z)=0

abc

1

原点到平面n的距离为d-令

x2y2z2

~+V+7

2

y2Z

G(羽,")=(7+H------,则d=

b4C4

%2V-2

现在求G（彳了在条件

222

Z=%，+）/下的条件极值,

令

222122

(XZ

一2

------------------------r1+4(%2+y2Z

"（QZ）哈+齐+亍+4221

6Zbc)

则由拉格朗日乘数法得：

口，2%2x

%=F+4-T+24%=n0

aa

Hy=§+4*+2"二。

bb

,2z2z

<%==+4=―2冷=0，

cc

%2y2z21c

-7H---7H—y-]=0

a2b2c2

x2+y2-z2=0

—2--------

解得《22b2c2或<a2+c2>

y=z=--~八

〔b2+c2”。

/xb4+c4/xa4+c4

对应此时的G（x,y,z）=/讣或G（羽y,z）=2,2」、

bclb+c\ac[a+c]

又因为“>Z?>c>0,则d]<d2

所以，椭球面心在「上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为:

a2+c2b2+c2

,4-be

a4+,c4b4+c4

五.(本题16分)已知S是空间曲线42=1绕

y轴旋转形成的椭球面的上半部

Z=0

分(Z20)取上侧，口是s在尸(％,y,z)点处的切平面，夕是原点到切平

面n的距离，4,4,T表示s的正法向的方向余弦。计算：

(1)jj————-dS；(2)jjz(2x+3/jy+vz)dS

解：（1）由题意得:椭球面S的方程为12+3y2+z?=l（2»0）

2

令尸=f+3y2+z-1,则F'x=2x,F；=6y,F'z=2z,

切平面n的法向量为〃=（x,3y,z）,

II的方程为％（X—%