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文档简介
前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)
(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书
及相关题目,主要是一些各大高校的试题。)
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(每小题5分,共20分)
(x+y)ln(l+—)
i.计算JL---.-^-dxdy=,其中区域。由直线x+y=l与两
也.x—y
坐标轴所围成三角形区域。
91
解:令==v,则兀=",y=〃-v,dxdy=detdudv=dudv,
-1
JJ
(x+y)ln(l+1)
winw-wlnvii
---/——dudv
DD
u
,i/沈In〃cdv——;UI»uInvdv)dw
lo4二7J。
Hw2Inwu(uinu—u)]
=i---------/——d”
J。41—u
f,1U2./、
=j°v1--n-d.(*)
令,=Jl—u,则〃=1—产
du=—2zdt,it?=1—2t2,i/(l—u)=/(1—%)(1+%),
(*)=—2,(1-2t2+方4)dt
--_
=2^(l-2r2+?)dZ=2t--t3+-t5=—
J。L35Jo15
cr2
2.设/(x)是连续函数,且满足/(x)=3尤2—1f(x)dx-2,贝U/(x)=o
J0
解:令A=j:f(x)dx,则/(x)=3——A—2,
2
J=[(3x2_A_2)dx=8—2(4+2)=4—24,
J0
解得A=g。因此/(x)=3x2—
V2
3.曲面z=3+/一2平行平面2x+2y—z=0的切平面方程是.
无2
解:因平面2x+2y—z=0的法向量为(2,2,—1),而曲面2=2在
(%,〉0)处的法向量为(zx(x0,y0),z/x0,y0),-1)故
(z.Xo,y0),zy(x0,y0),-l)与(2,2,-1)平行,因此,由=x,z》=2y知
2=zx(x0,y0)=x0,2=Zy(%o,Vo)=2yo,
即%=2,%=1,又zOo,%)=z(2,l)=5,于是曲面2x+2y-z=0在
(x0,%,z(x°,右))处的切平面方程是2(x—2)+2(y—1)—(z—5)=0,即曲面
XC
z=—+/_2平行平面
2
2x+2y—z=0的切平面方程是2x+2y—z—1=0o
4.设函数y=y(x)由方程xe"')=e'ln29确定,其中/具有二阶导数,且//1,则
d2y_
(k2-------------------------
解:方程=e'ln29的两边对x求导,得
ef(y)+xf\y)y'ef(y)=e'y'ln29
因e>In29=,故工+/'(>)>'=y,即V=---------------,因此
x式1-/(>))
S=丫〃=_]+/"(y)y'
dx2-X2(l-fr(y))x[l-f(y)]2
=于"(y)___________]=[1-(加
—x2[l-X2(l-x2[l-r(y)]3
px—.z?2x-I.-•••-.I-。nx一e
二、(5分)求极限---------二尸,其中〃是给定的正整数.
解:因
x.2x..八,
e+eH--------1-e
=lim(l+
A=lim
二elim
H--------1-ne1+2H-------1-nn+1
------------二-----e
n+l
eA=e2
三、(15分)设函数/(x)连续,g(x)=且lim3=A,A为常数,求g'(x)
J00x
并讨论g'(x)在x=0处的连续性.
解:由lim4D=A和函数/(x)连续知,/(0)=lim/(%)=limxlim=0
0JQxf0xf0xf0%
因g。)=[f(H)d/,故g(0)=/(O)dZ=/(0)=0,
J0J0
「
因此,当xwO时,g(x)=—1[Xf(u)du,故
YJ。
limg(x)=lim-----------=lim=/(0)=0
x->0%->0X101
当xwO时,
gU)=-:J"(")d"+等
g(x)-g(0)-J/W\of(t)dtf(x)A
2:LL
g(0)=hm——=hm------------=hm5——=hm^~=一
(%一0xxx2x2
吧g'(x)=吧[一:J"(〃)d"+一]=吧/^一吧0=A—mA
~2
这表明g'(x)在x=0处连续.
四、(15分)已知平面区域。={(x,y)|04x<万,0<y<乃},L为。的正向边界,试证:
(1)Jxesinydj-”5'口=jxe-sinydy-jesinxdx;
LL
5,
(2)xesmydy-ye-smydx>。
证:因被积函数的偏导数连续在。上连续,故由格林公式知
(1)^xesinydy-ye-sinxdx=ff—(xesiny)-—(-ye-sinx)dxdy
*\_dxdy_
=jj(esiny+e-sinx)dxdy
D
^xe-sinydy-yesiDXdx
L
=ff-f(xe-siny)-^-(-yesmx)dxdy
%\_dxdy_
二0(二山》+esM,)dxdy
D
而。关于x和y是对称的,即知
sinxsinA
JJ-+e-yixdy=JJ("如,+e)dxdj
DD
因此
|xesinydj-ye5山可泥55-yesinxdx
LL
(2)因
产一
er+e",=2(1+—+—+■••)>2(1+产)
故
Sint-sinx、C-2c1-COS2%5—COS2x
e+e>2+sin-x=2+---------=----------
22
由
fxesiaydy-ye-sinydx=jj(esiny+e-sinx)dxdy=JJ(e-siay+esinx)dxdy
LDD
知
fxesinydy-ye-sinyd%=-JJ(esiny+e-sin*)dxdy+-JJ(e-sin>+)dxdy
L2o2D
=-JJ(esinv+e,yXkdy+-Jj(e-sinx+esinx)dxdy=([(二血*+esinx)chdy
2o2oD
sinx
=»](eT-+e)dx>乃J5-;s2x网=1^2
即Jxesm》dy-ye~&my6x>■|72
五、(10分)已知%=x"+e2x,%=x/+「,%=W+e?*-e"是某二阶常系数线
性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
解设必=xe*+e2x,乃="工+6一',%=沅£+62,-"工是二阶常系数线性非齐
次微分方程
y"+byr+cy^/(x)
的三个解,则为-M-e2x和乂-%="工都是二阶常系数线性齐次微分方程
y"+by'+cy—0
的解,因此y"+Z?y'+⑦=0的特征多项式是(2-2)(4+1)=0,而y'+by'+g7=0的特
征多项式是
下+bA+c=0
因此二阶常系数线性齐次微分方程为y〃—y'—2y=0,由工―2M=/(x)和
y[^ex+xex+2e2x,2ex+xex+4e2x
知,f(x)=y"-y[-2%=x/+2ex+4e2x-(xex+ex+2e2x)-2(xex+e2jc)
=(1—2x)ex
二阶常系数线性非齐次微分方程为
y"-y'-2y^ex-2xex
六、(10分)设抛物线丁=。炉+6%+2111。过原点.当OWxWl时,y>0,又已知该抛物
线与X轴及直线x=1所围图形的面积为试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的
3
旋转体的体积最小。
解因抛物线丁=ax?+6x+21nc过原点,故c=l,于是
1ri2a3b2ab
——I(ax+bx)dt——xH—x——I—
3J。13232
即
2
b=~(l-a)
而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积
V(a)=1+/?x)2dt=7r£1(or2+—2(l-di)x)2dt
4
=汨2£xdt+»g〃(1一+»[(1_2fx2dt
——+7T—〃(1_Q)+711I—Qi
即
、191T4Y
V(a)——TCCl+7T—a(l-Cl)+TC(1-Cl)
令
21Q
Vr(a)--7ia+7i—(y-2d)-TI—(1-a)=0,
得
54Q+45—90Q—40+40Q=0
即
4a+5=0
因此
53
a=——,b7=—C=1o
42
七、(15分)已知a〃(x)满足%(%)=%(%)+》1-(〃=1,2「-),且"<1)=工,求函数
n
00
项级数ZM“(X)之和。
n=l
解
nlx
u'n(%)=w„(x)+x~e,
即
y-y=x"
由一阶线性非齐次微分方程公式知
y=ex(C+J%n-1dx)
n
因此
n
x
%(%)=e%(C+—)
n
e1
由一二沆〃(1)=e(CH—)知,C=0,
nn
于是
xnex
“〃(%)=----
n
下面求级数的和:
令
co8nx
S(x)=Z/(x)=工----
„=i“=in
则
8〃%COX
s\x)=y(—/+二二)=s(x)+yx"=s(x)+j
»=in,1=i1-x
即
S'(x)-S(x)=-^-
1-x
由一阶线性非齐次微分方程公式知
S(x)=/(C+
00
令X=O,得0=S(0)=C,因此级数£M〃(X)的和
n=l
S(x)=—靖ln(l-x)
00
八、(10分)求Xfl-时,与等价的无穷大量.
n-0
解令/⑺=/,则因当Ovx<l,,£(0,+oo)时,/'«)=2比於InxvO,故
2-r2ln—
/«)=/=e'在(0,+oo)上严格单调减。因此
ff/⑺由=£001J.1/⑺由<£00/(»)</(0)+8£[J⑺由=1+Jo।"/⑺由
n=0n=0n=l
即
r/⑺由<£0/0(〃)<i+r,⑺山,
n=0
又
0000
£/(九)=”"2,
n=0n=0
1
In-
lim—^=lim3=l
I—xxf—1
1•4-00
L/(Odz=
Ju
oo1I-
所以,当xfl-时,与£x"2等价的无穷大量是一、上
占2V1-X
2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及
相关题目,主要是一些各大高校的试题。)
一、(25分,每小题5分)
(1)设无”=(l+a)(l+a2)(1+a'j,其中求limx”.
n—>oo
(2)求limefjl+L].
8lXJ
/•00
(3)设s>0,求/=[e~sxxndx(n=1,2,).
Jo
后了求学+*。
(4)设函数/«)有二阶连续导数,
(5)求直线4:,“一,二°与直线/:土工=2二1=二的距离。
1z=024-2-1
22
解:(1)xn=(l+a)(l+a)(1+/")=1=(j)(1+q)(i+4)(1+a")/(1-a)
=(l-a2)(l+a2)(l+a2,,)/(l-a)==(1—―)/"①
/.limx=lim(l-/"*)/Q一〃)=1/Q一〃)
n—>oonn—>oo
(1Ylne-x(l+-)x2x2ln(l+-)-x
(2)lime*1+—=lime%=lime%
X-»ooIX)X->00X->00
令x=l/t,则
(ln(l+,)T)1/仪)-1i
原式二lime产=lime2t=lime2(1+0=e
?->o-o?->o
1•0011*001poo
sxnsxnsxsxn
In=£e^dx=(--)£xde-=(--)[xe-|;-£edx]=
⑶
n(n-l)-史/_n\
sxxn-idx=-I_
snxs〃+i
二、(15分)设函数/(X)在(-8,+8)上具有二阶导数,并且
f
/"(%)>0,limf(x)=a>0,lim/'(%)=£v0,且存在一点x0,使得/(x0)<0o
x—>4-00X—>—co
证明:方程/(X)=0在(-8,+<功恰有两个实根。
解:二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为f(x)有小于0的值,所以只需
在两边找两大于0的值。
将f(x)二阶泰勒展开:
/(x)=/(0)+/1(0)x+^Px2
因为二阶倒数大于0,所以
limf(x)=+oo,limf(x)=-oo
X—>4-00X—>-00
证明完成.
Y—2t_1_产
三、(15分)设函数y=/(x)由参数方程<«>-l)所确定,其中什⑺具有二阶
23
导数,曲线y=〃⑺与y=e-udu-\---在,=1出相切,求函数〃⑺。
2e
解:(这儿少了一个条件崇=)由y=〃(。与y={‘6一,向+:_在/=1出相切得
小、3,八、2
〃⑴=丁,〃⑴=一
2ee
dy_dy/dt_〃⑺
dxdx1dt2+2%
d2y_d(dy/dx)_d(dy/dx)/dt_y/⑺(2+2力一2〃⑺
dx2dxdx/dt(2+2/f
上式可以得到一个微分方程,求解即可。
四、(15分)设4>0,8〃=才以,证明:
k=l
(1)当1>1时,级数£去收敛;
(2)当&W1且”一双…⑹时,级数之发散。
«=is"
解:
(1)an}0,s“单调递增
当收敛时,&<3,而2收敛,所以至收敛;
《a《agtz《a
n=l%%%
8
a
当Xn发散时,limSn=oo
n—>oo
n=l
a”=s〃—s,i=「“dx_<虫
C~S”aFt%。
所以<2<_5_+寸「”虫=_5_+「”立
'£s「s「"=2''""。邑"%X。
而「"包=马+出11叱二之二=五+—=鼠收敛于k。
J'xas「〃f8\-as「a-1
所以,£之收敛•
,,=1Sn
(2)lims〃=oo
M—>00
00
所以Z4发散,所以存在匕,使得X%,2%
n=l八=2
c&门/1
于是,>—
2Sn2%3占2
依此类推,可得存在1<匕<%2<・・・
勺+i1kN°i
使得Z^n成立,所以
k)Sn21Sn2
当时,Nfoo,所以之之发散
,TSn
五、(15分)设/是过原点、方向为(名民/),(其中片+/+/=1)的直线,均匀椭球
j+2+彳VI,其中(0<c<b<a,密度为1)绕/旋转.
ab~c
(1)求其转动惯量;
(2)求其转动惯量关于方向(名民为的最大值和最小值。
解:
(1)椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
d2-(l-a2)x2+(l-/^2)y2+(l-/2)z2-2a13xy-2/3yyz-2yazx
ifj孙〃=nyzdv=nzxdv=°
OQQ
=[z1dzffdxdy=f7vab(l-^--)z2dz=—nabc3
QJ-c2J,J2-JYc15
由轮换对称性,
jjjx2dV=—7ia"bc.jjjy2dV=—7rab3c
Q15c15
I=jjjd2dV=(1-cr2)—7ra3bc+(1-/?2)—7rab3c+(1-72)—nabc)
Q151515
=白血(〜2)储+(1”附+(1-/2向
(2)a>b>c
4
22
二当/=1时,/max=-7rabc(a+b)
4
22
当a=1时,/min=一7rabc(b+c)
min]5、/
六、(15分)设函数o(x)具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上,曲线
积分度:篙)办的值为常数。
+<。)耙°,
(1)设L为正向闭曲线(X—2)2+/=1,证明
+y2,
(2)求函数0(x);
(3)设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求j2吗+与)力
1%+y
解:
(1)L不绕原点,在L上取两点A,B,将L分为两段L],L2,再从A,B作一曲线4,使
之包围原点.
则有
^2xydx+(p(x)dy_r2xydx+(p(x)dyr2xydx+(p(x)dy
x"+y2J,公+/
2xye(x)
(2)令尸=,Q=
x4+y2x4+y?
由(1)知G2—2=0,代入可得
dxdy
0(九)(九4+y2)-(p(x)4x3=2x5-2xy2
上式将两边看做y的多项式,整理得
y?(p(x)+(p(x)x4-^(x)4x3=y1(-2x)+2x5
由此可得
(P(x)=-2x
(x)x4-o(x)4%3=2x5
解得:(p(x)=-x2
(3)取工为犬+丁2=44,方向为顺时针
dQdP
dxdy
c2xydx+(p(x)dyIxydx+(p{x}dy
J,x4+y2+J47
c+LJL~x-by
2xydx-x2dy71
2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及
相关题目,主要是一些各大高校的试题。)
计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)
1
z・、-
Sinx卜COSX
(1).求lim
x—>0I%J
解:(用两个重要极限):
1x.sinx—x
z.、-
sinxy-cosxSillX—X^sinx-x%(l-cosx)
lim=lim1+
x—>0I%J%.oI%7
1%2
..sinx-x..cosx-1lim-^—
sinx—xlim----------lim-------
%.0J_%3%.0工工2Xf021
1•xv(l—cosx)23
=lime)12=ee于
xf0
(111A
⑵.求lim-------1----------------------
n^\n+ln+2n+n)
111
解:(用欧拉公式)令%"=------+-------+...+-------
n+1n+2n+n
由欧拉公式得1+,++--Inn=C+o(1),
2n
则1+』++-+-J—++--—ln2«=C+o(1),
2nn+12n
其中,表示〃―8时的无穷小量,
二两式相减,得:
xn-ln2=o(1),/.lmimonxn=ln2.
x=ln(l+e2z)d2y
3)已知<,求----o
y-t-arctan£dx
1-
dx_2婷dyerdy_]+/1_/'e'+]
dt1+e2r?dtl+e2rdx2/2/
l+e2f
1_d_2]+/_(1+叫(——2)
dt
二.(本题io分)求方程(2%+j-4)dr+(x+=0的通解。
解:设夕=2%+y—4,Q=%+y—l,则Pdx+Qdy=0
dP_dQ
-1,/.Pdr+Qdy=0是一个全微分方程,设dz=Pdx+Qdy
dydx
z=j力=jPdx+Qdy-1:;(2x+y-4)(ix+(x+
dPdQ
——二——,,该曲线积分与路径无关
dydx
z=£(2%-4)否+口%+y-1^dy=x2-4x+xy+—y2-y
oo2f
三,(本题15分)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且
/1(0),/'(0),/"(0)均不为0,证明:存在唯一一组实数《,左2,左3,使得
+/(0)_
JLJLJLJLI~V/o
八°h~
证明:由极限的存在性:lim[vW+V(2^)+V(3^)-f(0)]=0
即优+左2+左3_1]/(0)=0,又/(0)W0,(+左2+g=1①
由洛比达法则得
lim左"伍)+左2〃2人)+&/(3同一/(。)
20h2
"/左"'优)+2右/'(2仁+343/'(3/0=0
202h
由极限的存在性得北虱人J’仅)+2k2f(2/z)+3k3f(3")]=0
即(匕+2左2+3左3)/'(0)=0,又/'(O)wO,.•"1+2&+3左3=0②
再次使用洛比达法则得
lim"J(M+2%2/'(2/Q+3&-'(3/z)
修。2h
加%/。)+的/"(已+。
=129/-,(3=0
h-02
(匕+4k2+9k3)f"(o)=0f"(O)w0
ky+4k2+9k3=0③
/+左2+&=1
由①②③得是齐次线性方程组<
kvk2,k3+2k2+3k3—0的解
k[+4k2+9k3—0
11)rn
,则
设A=123,x=k2,b-0Ax=Z7,
,149,
p11c1
4*
增广矩阵A10-0则
,14>900,
H(A,b)=H(A)=3
所以,方程Ax=b有唯一解,即存在唯一一组实数勺,左2,左3满足题意,
且匕=
3,k2=—3,k3=1.
222
、r%yz1-7八
四.(本题17分)设E]:——~\——H——=1,其中a〉Z7〉c〉0,
abc
222「为与的交线,求椭球面在上各点的切平面到原点
X2:z=x+y,22r
距离的最大值和最小值.
%22z2
解:设「上任一点V(%,y,z),令_F(%,y,z)=——+H—--1,
,2x12y,2z
则工=不,...椭球面在上点处的法向量为:
=—,Fy=皆,F,1FM
―一「—y£]在点M处的切平面为口:
abc)
9(X-%)+5(丫-用+彳亿-z)=0
abc
1
原点到平面n的距离为d-令
x2y2z2
~+V+7
2
y2Z
G(羽,")=(7+H------,则d=
b4C4
%2V-2
现在求G(彳了在条件
222
Z=%,+)/下的条件极值,
令
222122
(XZ
一2
------------------------r1+4(%2+y2Z
"(QZ)哈+齐+亍+4221
6Zbc)
则由拉格朗日乘数法得:
口,2%2x
%=F+4-T+24%=n0
aa
Hy=§+4*+2"二。
bb
,2z2z
<%==+4=―2冷=0,
cc
%2y2z21c
-7H---7H—y-]=0
a2b2c2
x2+y2-z2=0
—2--------
解得《22b2c2或<a2+c2>
y=z=--~八
〔b2+c2”。
/xb4+c4/xa4+c4
对应此时的G(x,y,z)=/讣或G(羽y,z)=2,2」、
bclb+c\ac[a+c]
又因为“>Z?>c>0,则d]<d2
所以,椭球面心在「上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为:
a2+c2b2+c2
,4-be
a4+,c4b4+c4
五.(本题16分)已知S是空间曲线42=1绕
y轴旋转形成的椭球面的上半部
Z=0
分(Z20)取上侧,口是s在尸(%,y,z)点处的切平面,夕是原点到切平
面n的距离,4,4,T表示s的正法向的方向余弦。计算:
(1)jj————-dS;(2)jjz(2x+3/jy+vz)dS
解:(1)由题意得:椭球面S的方程为12+3y2+z?=l(2»0)
2
令尸=f+3y2+z-1,则F'x=2x,F;=6y,F'z=2z,
切平面n的法向量为〃=(x,3y,z),
II的方程为%(X—%
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