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文档简介
上海市师大二附中2024年高一下数学期末调研模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知圆和圆只有一条公切线,若,且,则的最小值为()A.2 B.4 C.8 D.92.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形.此图由两个圆构成,O为大圆圆心,线段AB为小圆直径.△AOB的三边所围成的区域记为I,黑色月牙部分记为Ⅱ,两小月牙之和(斜线部分)部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A. B. C. D.3.已知向量,,若,则实数a的值为A. B.2或 C.或1 D.4.生活中有这样一个实际问题:如果一杯糖水不够甜,可以选择加糖的方式,使得糖水变得更甜.若,则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是()A. B.C. D.5.三角形的三条边长是连续的三个自然数,且最大角是最小角的2倍,则该三角形的最大边长为()A.4 B.5 C.6 D.76.黄金分割比是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值为,约为0.618,这一比值也可以表示为a=2cos72°,则=()A. B.1 C.2 D.7.已知某地、、三个村的人口户数及贫困情况分别如图(1)和图(2)所示,为了解该地三个村的贫困原因,当地政府决定采用分层抽样的方法抽取的户数进行调査,则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是()A., B.,C., D.,8.若,且,则下列不等式中正确的是()A. B. C. D.9.已知两条直线,,两个平面,,下面说法正确的是()A. B. C. D.10.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:①若m∥α,m∥β,则α∥β②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③m⊂α,n⊂β,m、n是异面直线,那么n与α相交;④若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥β.其中正确的命题是()A.①② B.②③ C.③④ D.④二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.函数,的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是_____.12.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.13.在中,,,.若,,且,则的值为______________.14.设等差数列的前项和为,则______.15.已知为等差数列,,前n项和取得最大值时n的值为___________.16.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏,它用九个圆环相连成串,以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载:“两环互相贯为一,得其关捩,解之为二,又合面为一”.在某种玩法中,用表示解下个圆环所需的移动最少次数,满足,且,则解下4个环所需的最少移动次数为_____.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图是某地某公司名员工的月收入后的直方图.根据直方图估计:(1)该公司月收入在元到元之间的人数;(2)该公司员工的月平均收入.18.已知公差不为的等差数列满足.若,,成等比数列.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.19.已知圆C:(x-1)2(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(2)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程20.做一个体积为,高为2m的长方体容器,问底面的长和宽分别为多少时,所用的材料表面积最少?并求出其最小值.21.如图,某快递小哥从地出发,沿小路以平均速度为20公里小时送快件到处,已知公里,,是等腰三角形,.(1)试问,快递小哥能否在50分钟内将快件送到处?(2)快递小哥出发15分钟后,快递公司发现快件有重大问题,由于通讯不畅,公司只能派车沿大路追赶,若汽车的平均速度为60公里小时,问,汽车能否先到达处?
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】
由题意可得两圆相内切,根据两圆的标准方程求出圆心和半径,可得,再利用“1”的代换,使用基本不等式求得的最小值.【详解】解:由题意可得两圆相内切,两圆的标准方程分别为,,圆心分别为,,半径分别为2和1,故有,,,当且仅当时,等号成立,的最小值为1.故选:.【点睛】本题考查两圆的位置关系,两圆相内切的性质,圆的标准方程的特征,基本不等式的应用,得到是解题的关键和难点.2、D【解析】
设OA=1,则AB,分别求出三个区域的面积,由测度比是面积比得答案.【详解】设OA=1,则AB,,以AB中点为圆心的半圆的面积为,以O为圆心的大圆面积的四分之一为,以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣1,黑色月牙部分的面积为π﹣(π﹣1)=1,图Ⅲ部分的面积为π﹣1.设整个图形的面积为S,则p1,p1,p3.∴p1=p1>p3,故选D.【点睛】本题考查几何概型概率的求法,考查数形结合的解题思想方法,正确求出各部分面积是关键,是中档题.3、C【解析】
根据题意,由向量平行的坐标表示公式可得,解可得a的值,即可得答案.【详解】根据题意,向量,,若,则有,解可得或1;故选C.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示方法,熟记平行的坐标表示公式得到关于a的方程是关键,是基础题4、B【解析】
由题意可得糖水甜可用浓度体现,设糖的量为,糖水的量设为,添加糖的量为,对照选项,即可得到结论.【详解】由题意,若,设糖的量为,糖水的量设为,添加糖的量为,选项A,C不能说明糖水变得更甜,糖水甜可用浓度体现,而,能体现糖水变甜;选项D等价于,不成立,故选:B.【点睛】本题主要考查了不等式在实际生活中的运用,考查不等式的等价变形,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.5、C【解析】
根据三角形满足的两个条件,设出三边长分别为,三个角分别为,利用正弦定理列出关系式,根据二倍角的正弦函数公式化简后,表示出,然后利用余弦定理得到,将表示出的代入,整理后得到关于的方程,求出方程的解得到的值,【详解】解:设三角形三边是连续的三个自然,三个角分别为,
由正弦定理可得:,
,
再由余弦定理可得:,
化简可得:,解得:或(舍去),
∴,故三角形的三边长分别为:,故选:C.【点睛】此题考查了正弦、余弦定理,以及二倍角的正弦函数公式,正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系,熟练掌握定理是解本题的关键,属于中档题.6、A【解析】
根据已知利用同角三角函数基本关系式,二倍角公式、诱导公式化简即可求值得解.【详解】∵a=2cos72°,∴a2=4cos272°,可得:4﹣a2=4﹣4cos272°=4sin272°,∴2sin72°,a2cos72°•2sin72°=2sin144°=2sin36°,∴.故选:A.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角公式、诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.7、B【解析】
将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加,再将所得结果乘以得出样本容量,在村人口户数乘以,再乘以可得出村贫困户的抽取的户数.【详解】由图得样本容量为,抽取贫困户的户数为户,则抽取村贫困户的户数为户.故选B.【点睛】本题考查样本容量的求法,考查分层抽样、扇形统计图和条形统计图计算数据,考查运算求解能力,属于基础题.8、D【解析】
利用不等式的性质依次对选项进行判断。【详解】对于A,当,且异号时,,故A不正确;对于B,当,且都为负数时,,故B不正确;对于C,取,则,故不正确;对于D,由于,,则,所以,即,故D正确;故答案选D【点睛】本题主要考查不等式的基本性质,在解决此类选择题时,可以用特殊值法,依次对选项进行排除。9、D【解析】
满足每个选项的条件时能否找到反例推翻结论即可。【详解】A:当m,n中至少有一条垂直交线才满足。B:很明显m,n还可以异面直线不平行。C:只有当m垂直交线时,否则不成立。故选:D【点睛】此题考查直线和平面位置关系,一般通过反例排除法即可解决,属于较易题目。10、D【解析】
利用平面与平面垂直和平行的判定和性质,直线与平面平行的判断,对选项逐一判断即可.【详解】①若m∥α,m∥β,则α∥β或α与β相交,错误命题;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β或α与β相交.错误的命题;③m⊂α,n⊂β,m、n是异面直线,那么n与α相交,也可能n∥α,是错误命题;④若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥β.是正确的命题.故选D.【点睛】本题考查平面与平面的位置关系,直线与平面的位置关系,考查空间想象力,属于中档题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】
作出其图像,可只有两个交点时k的范围为.故答案为12、.【解析】
由题意首先求得平均数,然后求解方差即可.【详解】由题意,该组数据的平均数为,所以该组数据的方差是.【点睛】本题主要考查方差的计算公式,属于基础题.13、【解析】,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理,利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量,利用向量的定比分点公式表示向量,计算数量积,选取基地很重要,本题的已知模和夹角,选作基地易于计算数量积.14、【解析】
设等差数列的公差为,由,可求出的值,结合,可以求出的值,利用等差数列的通项公式,可得,再利用,可以求出的值.【详解】设等差数列的公差为,因为,所以,又因为,所以,而.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及等差数列的前项和公式,考查了数学运算能力.15、20【解析】
先由条件求出,算出,然后利用二次函数的知识求出即可【详解】设的公差为,由题意得即,①即,②由①②联立得所以故当时,取得最大值400故答案为:20【点睛】等差数列的是关于的二次函数,但要注意只能取正整数.16、7【解析】
利用的通项公式,依次求出,从而得到,即可得到答案。【详解】由于表示解下个圆环所需的移动最少次数,满足,且所以,,故,所以解下4个环所需的最少移动次数为7故答案为7.【点睛】本题考查数列的递推公式,属于基础题。三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)根据频率分布直方图得出该公司月收入在元到元的员工所占的频率,再乘以可得出所求结果;(2)将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积,再将所得的积全部相加可得出该公司员工月收入的平均数.【详解】(1)根据频率分布直方图知,该公司月收入在元到元的员工所占的频率为:,因此,该公司月收入在元到元之间的人数为;(2)据题意该公司员工的平均收入为:(元).【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,考查频数的计算以及平均数的计算,解题时要注意频数、平均数的计算原则,考查计算能力,属于基础题.18、(1);(2).【解析】
(1)根据对比中项的性质即可得出一个式子,再带入等差数列的通项公式即可求出公差.(2)根据(1)的结果,利用分组求和即可解决.【详解】(1)因为成等比数列,所以,所以,即,因为,所以,所以;(2)因为,所以,,.【点睛】本题主要考查了等差数列通项式,以及等差中项的性质.数列的前的求法,求数列前项和常用的方法有错位相减、分组求和、裂项相消.19、(1);(2)【解析】(1)已知圆C:(x-1)2(2)当弦AB被点P平分时,l⊥PC,直线l的方程为y-2=-120、长和宽均为4m时,最小值为64【解析】
利用体积求得ab=16,只需表示出表面积,结合高为2m,利用基本不等式求出最值即可.【详解】设底面的长和宽分别为,因为体积为32,高为c=2m,所以底面积为16,即ab=16所用材料的面积S=2ab+2bc+2ca=32+4(a+b),当且仅当a=b=4时取等号,答:当底面的长和宽均为4m时,所用的材料表面积最少,其最小值为64【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21、(1)快递小哥不能在50分钟内将快件送到处.(2)汽车能先到达处.【解析】试题分析:(1)由题意结合图形,根据正弦定理可得,,求得的长,又,可求出快递小哥从地到地的路程,再计算小哥到达地的时间,从而问题可得解;(2)由题意,可根据余弦定理分别算出与的长,计算汽车行驰
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