高中一轮复习数学讲义第五章平面向量

第五章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[小题体验]1．下列四个命题中，正确的命题是()A．若a∥b，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若|a|＝|b|，则a∥b D．若a＝b，则|a|＝|b|答案：D2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()A．共线 B．不共线C．共线且同向 D．不一定共线答案：D3．若D是△ABC的边AB上的中点，则向量eq\o(CD,\s\up7(→))等于()A．－eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→)) B．－eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))C．eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→)) D．eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))答案：A4．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.答案：－eq\f(1,3)1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[小题纠偏]1．若菱形ABCD的边长为2，则|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))|＝________.解析：|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝2.答案：22．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件．解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q.若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ>0，故q⇒/p.∴p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要eq\a\vs4\al(考点一平面向量的有关概念)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列说法中错误的是()A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B．若向量a和b不共线，则a和b都是非零向量C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D．方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C选项A中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B中零向量与任意向量共线，故a，b都是非零向量，故正确；选项C中是共线向量，故错误；选项D中既然方向相反就一定不相等，故正确．3．(易错题)给出下列命题：①若a＝b，b＝c，则a＝c；②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.②正确．∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，∴|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|且eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|，因此，eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→)).③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②.答案：①②[谨记通法]向量有关概念的5个关键点(1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反．(3)单位向量：长度是一个单位长度．(4)零向量：方向没有限制，长度是0.(5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第3题易混淆有关概念．eq\a\vs4\al(考点二向量的线性运算)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))等于()A．eq\o(OM,\s\up7(→)) B．2eq\o(OM,\s\up7(→))C．3eq\o(OM,\s\up7(→)) D．4eq\o(OM,\s\up7(→))解析：选D因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝2eq\o(OM,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝2eq\o(OM,\s\up7(→))，所以eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝4eq\o(OM,\s\up7(→)).2．(2018·温州模拟)在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝－2eq\o(CD,\s\up7(→))，M为BC的中点，则eq\o(AM,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→)) B．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up7(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(→))解析：选B因为eq\o(AB,\s\up7(→))＝－2eq\o(CD,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→)).又M是BC的中点，所以eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→)).3．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up7(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up7(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up7(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)[谨记通法]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．eq\a\vs4\al(考点三共线向量定理的应用)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－x)·eq\o(AC,\s\up7(→))，则x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))解析：选D设eq\o(CO,\s\up7(→))＝yeq\o(BC,\s\up7(→))，∵eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋yeq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋y(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up7(→))，∵eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，∵eq\o(AO,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up7(→))，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).2．设两个非零向量a与b不共线，(1)若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．解：(1)证明：∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3a－3b，∴eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up7(→)).∴eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb同向，∴存在实数λ(λ>0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,λ＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,λ＝－1，))又∵λ>0，∴k＝1.[由题悟法]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．[提醒]证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]1．已知向量e1与e2不共线，且向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝e1＋me2，eq\o(AC,\s\up7(→))＝ne1＋e2，若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件是()A．mn＝1 B．mn＝－1C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1解析：选A因为A，B，C三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝nλ，,m＝λ，))所以mn＝1.2．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)延长AD到G，使eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up7(→))，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以eq\o(AG,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AE,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)．(2)证明：由(1)可知eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up7(→))，又因为eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))有公共点B，所以B，E，F三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AO,\s\up7(→))，则λ＝()A．1 B．2C．4 D．6解析：选B根据向量加法的运算法则可知，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AO,\s\up7(→))，故λ＝2.2．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(BA,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝c，则下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－bC．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a解析：选D依题意得eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(BA,\s\up7(→))＝2(eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(BD,\s\up7(→)))，即eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a.3．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都不对解析：选C由已知，得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up7(→))，故eq\o(AD,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→)).又因为eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))不平行，所以四边形ABCD是梯形．4．(2018·扬州模拟)在△ABC中，N是AC边上一点且eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up7(→))，P是BN上一点，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))，则实数m的值是________．解析：如图，因为eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up7(→))，P是eq\o(BN,\s\up7(→))上一点．所以eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up7(→))，因为B，P，N三点共线，所以m＋eq\f(2,3)＝1，则m＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)5．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则eq\o(DC,\s\up7(→))＝________，eq\o(BC,\s\up7(→))＝________.(用a，b表示)解析：如图，eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝－eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝－a－b.答案：b－a－a－b二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D解析：选Aeq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝3a＋6b＝3eq\o(AB,\s\up7(→)).因为eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(AD,\s\up7(→))有公共点A，所以A，B，D三点共线．2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋2λ－1b)).整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq\f(1,2).3.如图，已知|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝1，eq\o(OA,\s\up7(→))与eq\o(OB,\s\up7(→))的夹角为120°，eq\o(OC,\s\up7(→))与eq\o(OA,\s\up7(→))的夹角为30°，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)等于()A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(1,2) D．2解析：选D过C作OB的平行线交OA的延长线于点D.由题意可知，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2CD，又∵eq\o(OD,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))＝μeq\o(OB,\s\up7(→))，∴λ|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝2μ|eq\o(OB,\s\up7(→))|，即λ＝2μ，故eq\f(λ,μ)＝2.4．(2018·遂昌期初)已知a，b是两个不共线的非零向量，且起点在同一点上，若a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则实数t的值为()A．2 B．1C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)解析：选D由题可设eq\f(1,3)(a＋b)＝λa＋μtb，因为a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的终点在同一直线上，所以有λ＋μ＝1.所以eq\f(1,3)＝λ，μ＝eq\f(2,3)，所以eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)t，解得t＝eq\f(1,2).5．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋2eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B∵D为AB的中点，则eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))，又eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋2eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(OD,\s\up7(→))＝－eq\o(OC,\s\up7(→))，∴O为CD的中点，又∵D为AB中点，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，则eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4.6．在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AN,\s\up7(→))＝3eq\o(NC,\s\up7(→))，M为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up7(→))＝________(用a，b表示)．解析：由eq\o(AN,\s\up7(→))＝3eq\o(NC,\s\up7(→))，得eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)，eq\o(AM,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，eq\o(BC,\s\up7(→))2＝16，|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|，则|eq\o(AM,\s\up7(→))|＝________.解析：由|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|可知，eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(AC,\s\up7(→))，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|eq\o(AM,\s\up7(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝2.答案：28．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，给出下列命题：①eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝0.其中正确命题的个数为________．解析：eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a－b，故①错；eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故②正确；eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正确；eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0，故④正确．∴正确命题为②③④.答案：39．设e1，e2是两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若eq\o(BF,\s\up7(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．解：(1)证明：由已知得eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(BD,\s\up7(→)).又∵eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(BD,\s\up7(→))有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)由(1)可知eq\o(BD,\s\up7(→))＝e1－4e2，∵eq\o(BF,\s\up7(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，∴eq\o(BF,\s\up7(→))＝λeq\o(BD,\s\up7(→))(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,－k＝－4λ.))解得k＝12.10．已知P为△ABC内一点，且3eq\o(AP,\s\up7(→))＋4eq\o(BP,\s\up7(→))＋5eq\o(CP,\s\up7(→))＝0，延长AP交BC于点D，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(AP,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→)).解：∵eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\o(AP,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AP,\s\up7(→))－a，eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\o(AP,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AP,\s\up7(→))－b，又3eq\o(AP,\s\up7(→))＋4eq\o(BP,\s\up7(→))＋5eq\o(CP,\s\up7(→))＝0，∴3eq\o(AP,\s\up7(→))＋4(eq\o(AP,\s\up7(→))－a)＋5(eq\o(AP,\s\up7(→))－b)＝0，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b.设eq\o(AD,\s\up7(→))＝teq\o(AP,\s\up7(→))(t∈R)，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)ta＋eq\f(5,12)tb.①又设eq\o(BD,\s\up7(→))＝keq\o(BC,\s\up7(→))(k∈R)，由eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝b－a，得eq\o(BD,\s\up7(→))＝k(b－a)．而eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝a＋eq\o(BD,\s\up7(→)).∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t＝1－k，,\f(5,12)t＝k，))解得t＝eq\f(4,3).代入①得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,9)a＋eq\f(5,9)b.∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,9)a＋eq\f(5,9)b.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(AF,\s\up7(→))＝xa＋yb，则(x，y)为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,2)))解析：选C令eq\o(BF,\s\up7(→))＝λeq\o(BE,\s\up7(→))，则eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋λeq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)λeq\o(AC,\s\up7(→))；令eq\o(CF,\s\up7(→))＝μeq\o(CD,\s\up7(→))，则eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋μeq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))))＝eq\f(1,2)μeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－μ)eq\o(AC,\s\up7(→)).由对应系数相等可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(1,2)μ，,\f(1,2)λ＝1－μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))所以eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→)).故选C.2．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→)).∵点E在线段CD上，∴eq\o(DE,\s\up7(→))＝λeq\o(DC,\s\up7(→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))，又eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋2μeq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up7(→))，∴eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2).即μ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))3．已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋m(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))，∴eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝m(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))，即eq\o(BP,\s\up7(→))＝meq\o(BA,\s\up7(→))，∴eq\o(BP,\s\up7(→))与eq\o(BA,\s\up7(→))共线．又∵eq\o(BP,\s\up7(→))与eq\o(BA,\s\up7(→))有公共点B，∴A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使eq\o(BP,\s\up7(→))＝λeq\o(BA,\s\up7(→))，∴eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))．又eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→)).故有meq\o(OA,\s\up7(→))＋(n－1)eq\o(OB,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))－λeq\o(OB,\s\up7(→))，即(m－λ)eq\o(OA,\s\up7(→))＋(n＋λ－1)eq\o(OB,\s\up7(→))＝0.∵O，A，B不共线，∴eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴m＋n＝1.

第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[小题体验]1．已知a＝(4,2)，b＝(－6，m)，若a∥b，则m的值为______．答案：－32．(教材习题改编)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则3a＋4b＝________.答案：(－6,19)3．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋n B．因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).))答案：eq\f(2,3)－eq\f(1,3)4．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.答案：－11．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.[小题纠偏]1．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案：02．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))∴m－n＝2－5＝－3.答案：－3eq\a\vs4\al(考点一平面向量基本定理及其应用)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.如图，在三角形ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，则eq\o(AO,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b解析：选D∵在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，∴eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→)).∵O是BE边的中点，∴eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b.2．在△ABC中，点M，N满足eq\o(AM,\s\up7(→))＝2eq\o(MC,\s\up7(→))，eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(NC,\s\up7(→)).若eq\o(MN,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，则x＝________；y＝________.解析：∵eq\o(AM,\s\up7(→))＝2eq\o(MC,\s\up7(→))，∴eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→)).∵eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(NC,\s\up7(→))，∴eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→)).又eq\o(MN,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).答案：eq\f(1,2)－eq\f(1,6)3．(易错题)如图，以向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b为邻边作▱OADB，eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up7(→))，用a，b表示eq\o(OM,\s\up7(→))，eq\o(ON,\s\up7(→))，eq\o(MN,\s\up7(→)).解：∵eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝a－b，eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵eq\o(OD,\s\up7(→))＝a＋b，∴eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.综上，eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第3题．eq\a\vs4\al(考点二平面向量的坐标运算)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为()A．(－3,4) B．(3,4)C．(3，－4) D．(－3，－4)解析：选A由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝eq\f(1,2)(－6,8)＝(－3,4)，故选A.2．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up7(→))＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0) B．(－3,6)C．(6,2) D．(－2,0)解析：选Aeq\o(MN,\s\up7(→))＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则eq\o(MN,\s\up7(→))＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0.))3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b，eq\o(CA,\s\up7(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up7(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up7(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量eq\o(MN,\s\up7(→))的坐标．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)设O为坐标原点，∵eq\o(CM,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up7(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up7(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝(9，－18)．[谨记通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．eq\a\vs4\al(考点三平面向量共线的坐标表示)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴eq\o(DC,\s\up7(→))＝2eq\o(AB,\s\up7(→)).设点D的坐标为(x，y)，则eq\o(DC,\s\up7(→))＝(4－x，2－y)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故点D的坐标为(2,4)．答案：(2,4)2．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若eq\o(AB,\s\up7(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．解：(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－eq\f(1,2).(2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))，∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝eq\f(3,2).[由题悟法]向量共线的充要条件(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)；(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．[即时应用]1．(2018·丽水质检)已知a＝(1，－2)，b＝(x,1)，若(a＋b)∥b，则实数x的值为()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．2 D．－2解析：选A因为a＝(1，－2)，b＝(x,1)，所以a＋b＝(x＋1，－1)．因为(a＋b)∥b，所以x＋1－(－x)＝2x＋1＝0，解得x＝－eq\f(1,2).2．(2018·贵阳监测)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)∥(m－n)，则λ＝________.解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)∥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0.答案：03．设向量a，b满足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．解析：∵a与b方向相反，∴可设a＝λb(λ<0)，∴a＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a|＝eq\r(5λ2)＝2eq\r(5)，解得λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)4．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值等于________．解析：eq\o(AB,\s\up7(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，则eq\o(BD,\s\up7(→))＝()A．(－2，－4) B．(－3，－5)C．(3,5) D．(2,4)解析：选B由题意得eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－2eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．2．已知A(－1，－1)，B(m，m＋2)，C(2,5)三点共线，则m的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选Aeq\o(AB,\s\up7(→))＝(m，m＋2)－(－1，－1)＝(m＋1，m＋3)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)，∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，∴3(m＋3)－6(m＋1)＝0，∴m＝1.故选A.3.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，且eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PA,\s\up7(→))，则()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)解析：选A由题意知eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))，又eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PA,\s\up7(→))，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).4．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.解析：∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))答案：eq\f(1,2)5．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．解析：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·温州十校联考)已知a＝(－3,1)，b＝(－1,2)，则3a－2b＝()A．(7,1) B．(－7，－1)C．(－7,1) D．(7，－1)解析：选B由题可得，3a－2b＝3(－3,1)－2(－1,2)＝(－9＋2，3－4)＝(－7，－1)．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(eq\r(3)b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，m∥n，则cosA的值等于()A.eq\f(\r(3),6) B．eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)解析：选C由m∥n，得(eq\r(3)b－c)cosA－acosC＝0，再由正弦定理得eq\r(3)sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA⇒eq\r(3)sinB·cosA＝sin(C＋A)＝sinB，即cosA＝eq\f(\r(3),3).3．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝eq\f(1,2)ax与线段AB交于点C，且eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，则实数a等于()A．2 B．1C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,3)解析：选A设C(x，y)，则eq\o(AC,\s\up7(→))＝(x－7，y－1)，eq\o(CB,\s\up7(→))＝(1－x,4－y)，∵eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7＝21－x，,y－1＝24－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3.))∴C(3,3)．又∵点C在直线y＝eq\f(1,2)ax上，∴3＝eq\f(1,2)a×3，∴a＝2.4．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋λeq\o(AC,\s\up7(→))(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为()A.eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)解析：选B设P(x，y)，则由eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋λeq\o(AC,\s\up7(→))，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq\f(2,3).故选B.5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若eq\o(AC,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，则eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bC.