苏锡常镇四市2024年高三一诊考试数学试卷含解析

苏锡常镇四市2024年高三一诊考试数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与

一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，

在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1,4,8,14,23,36,54,则该数列的第19项为

()(注：仔+22+32+++1)(2〃+1))

6

A.1624B.1024C.1198D.1560

2.阿波罗尼斯(约公元前262~190年)证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数左(左>0,左的点的轨

迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,3间的距离为2,动点P与A,3的距离之比为注，当P,A,

2

3不共线时，的面积的最大值是()

A.2A/2B.V2C.D.—

33

/(2)<12

3.已知函数，」，小一，其中0<b<4?<c<，记函数J，1满足条件：为事件A,则事件A

发生的概率为

x>0

4.若x,y满足约束条件x+y-320,则z=x+2y的取值范围是

x-2y<0

A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+oo)D.[4,+oo)

22

5.已知双曲线斗=1(“>01>0)的左右焦点分别为耳(-c,0),工(c,0),以线段耳工为直径的圆与双曲线在第

ab

二象限的交点为P,若直线尸工与圆E：[x-]]+/=.相切，则双曲线的渐近线方程是()

A.y=±%B.y=±2xC.y=±y/3xD.y=±y/2x

6.某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为

7T5几

7.已知函数/⑴(A>0,0>。'I.K-)，将函数小)的图象向左平移了个单位长度'得到

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

77冗

8.已知函数/O)=sin2x+acos2x的图象的一条对称轴为工=—,将函数/(》)的图象向右平行移动一个单位长度

124

后得到函数g(x)图象，则函数g(尤)的解析式为()

7T7T

A.g(x)=2sin(2x--)B.g(x)=2sin(2x+—)

7T71

C.g(x)=2sin(2x---)D.g(x)=2sin(2xH■一)

66

9.如图，在正四棱柱45CD—A耳G。中，AB=y/2AAi,E,尸分别为AB6C的中点，异面直线A片与G歹所

成角的余弦值为根，贝!1()

A.直线4E与直线异面，且加=正B.直线4E与直线G歹共面，且加=交

33

C.直线AE与直线C]P异面，且根=3D.直线4E与直线CE共面，且加=走

33

(a-2)x,x>2

，满足对任意的实数占w%,都有"6"

10.已知函数=]》<2<。成立，则实数。的取值

范围为()

_13^

A.(1,+8)B.C.

11.在平面直角坐标系x0y中，将点4(1,2)绕原点。逆时针旋转90。到点3,设直线08与x轴正半轴所成的最小

正角为贝！Jcosa等于()

2

>---D.

一丁55

12.定义在R上的函数/Xx)满足/(4)=1,/'(X)为/(x)的导函数，已知y=f(x)的图象如图所示，若两个正数匕

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.定义在R上的函数”光)满足：①对任意的都有/=②当％<0时，f(x)>0,

则函数/(九)的解析式可以是.

14.已知正项等比数列｛%｝中，出・。4=三,％%=于~，则％3=.

22

15.已知曲线。：工—二=1(元〉0),点A，8在曲线。上，且以A5为直径的圆的方程是(尤-2)2+0-1)2=1.则

2aa

a=.

16.已知函数“耳=加+bx2+cx,若关于x的不等式"％)VO的解集是(-8,-1)U(O,2),则小的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知xGR,设m=(2cosx,sinx+cosx),n=(y/3sinx,sinx-cosx)»记函数/(x)=g〃.

(1)求函数/(%)取最小值时x的取值范围；

(2)设AABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/(。)=2,0=6，求△ABC的面积S的最大值.

18.(12分)已知数列｛q｝,其前几项和为S”，满足％=2,Sa=/bz%+〃a.T，其中九.2,neN*-4，

⑴若2=0,〃=4,2a”"eN*)，求证：数列也』是等比数列；

⑵若数列｛4｝是等比数列，求X,〃的值；

3

⑶若4=3,且九+〃=5,求证：数列｛%｝是等差数列.

19.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PB=AB=2,BC=3,NABC=90，平面平面ABC,

D、E分别为A3、AC中点.

(1)求证：AB±PE；

(2)求二面角A—?B—石的大小.

20.(12分)如图，四棱锥尸-ABCD,侧面上4。是边长为2的正三角形,且与底面垂直，底面ABC。是NA5C=60的

PM

菱形，以为棱PC上的动点，且n=〃2e[0,l]).

⑴求证：A/BC为直角三角形；

(H)试确定4的值，使得二面角P-AD-M的平面角余弦值为差.

p

21.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图(如

图所示)，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败.

频率

晋级成功晋级失败合计

男16

女50

合计

(1)求图中。的值；

(2)根据已知条件完成下面2/2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？

(3)将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X,求X

的分布列与数学期望E(X).

n(ad-be)2

(参考公式：k2=——八，其中〃一Q+b+c+d)

-b)(c+d)(〃+c)S+a)

j)0.400.250.150.100.050.025

k。0.7801.3232.0722.7063.8415.024

22.（10分）在ABC中，角A,B,。所对的边分别为"，b,且Q=Z?cosC+csin5.

（1）求3的值

177

（2）设Na4c的平分线AQ与边交于点。，已知4。=亍，cosA=--,求b的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据高阶等差数列的定义，求得等差数列｛或｝的通项公式和前几项和，利用累加法求得数列｛qj的通项公式，进而求

得,

【详解】

依题意

a„：1,4,8,14,23,36,54,.......

两两作差得

bn：3,4,6,9,13,18,.......

两两作差得

c〃：1,2,3,4,5,.......

设该数列为｛%｝,令a=4+1—4,设也｝的前〃项和为纥，又令与=为+1-%,设｛%｝的前几项和为

易C"=n,C=£±2，进而得2=3+6=3+上2，所以4=3+皿二D=d—L"+3,则

星=—1）+3”,所以。用=1+纥，所以49=1024.

6

故选：B

【点睛】

本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中

档题.

2、A

【解析】

根据平面内两定点A,3间的距离为2,动点尸与A,6的距离之比为无，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结

2

合求解.

【详解】

如图所示:

受

化简得（x+3y+y2=8,

当点P到A6（x轴）距离最大时，AB46的面积最大,

AARAB面积的最大值是一x2x26'=20.

2

故选：A.

【点睛】

本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

3、D

【解析】

由产"得］4+2b+。（12

，力，，分别以瓦。为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，P（A）=—.

4—2"c<4''2

4、D

【解析】

'x>0

解：x、y满足约束条件x+y-3>0,表示的可行域如图:

目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，

由卜+二3：°解得C(2,1),

[x-2y=0

目标函数的最小值为：4

目标函数的范围是[4,+oo).

故选D.

5、B

【解析】

先设直线与圆E：(x—+丁2=生相切于点加，根据题意，得到EM//P耳，再由d1

=1,根据勾股定理

求出b=2a,从而可得渐近线方程.

【详解】

设直线尸鸟与圆—]]+丁2=.相切于点U,

因为AP右耳是以圆。的直径耳心为斜边的圆内接三角形，所以/耳「耳=90，

又因为圆E与直线Pg的切点为所以£加//尸片,

FyE111b

又肃="所以附HZ*

因此|。阊=2a+b,

因此有方+(2a+8)2=4c2,

所以b=2a,因此渐近线的方程为y=±2x.

故选B

【点睛】

本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.

6、C

【解析】

由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，三棱锥的高为G，所以该几何体的体积

V=-x—x2x2x—^-x\/3=1)故选C.

322

7、B

【解析】

先根据图象求出函数g(x)的解析式，再由平移知识得到fM的解析式,然后分别找出

/(x)=，g

的等价条件，即可根据充分条件，必要条件的定义求出.

一3

【详解】

设g(x)=Asin(的+〃),根据图象可知,

2x—A

:.g(x)=sin3J

3JT

将函数g(x)的图象向右平移了个单位长度,得到函数/⑺的图象

・•・/(x)=g[x一包]=sin2^X--=cosfz%--\

I4JLI4J3jI3j

加)=卜侬,-£|=另1+?卜小山=等,

令。=x-工，则sin。=二＞cos28=l-2sin2。=’,显然,(：052,=—^sin0=—

63333

二/（X）=:是g[日+c]=走的必要不充分条件.

31212J3

故选：B.

【点睛】

本题主要考查利用图象求正（余）弦型函数的解析式，三角函数的图形变换，二倍角公式的应用，充分条件,必要条件的定

义的应用，意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题.

8^C

【解析】

1T

根据辅助角公式化简三角函数式，结合X=一为函数/（尤）的一条对称轴可求得。，代入辅助角公式得/'（X）的解析式.

12

根据三角函数图像平移变换，即可求得函数gQ）的解析式.

【详解】

函数/（x）=sin2x+flcos2x,

由辅助角公式化简可得/（%）=Jl+〃2sin（2x+6）,tan。=Q,

77

因为犬=一为函数/（%）=sin2x+々cos2x图象的一条对称轴，

12

代入可得sin]2x—|+^cos[2x—|=±V1+a2,

即”行

所以/(%)=sin2x+A/3COS2X

=2sinf+

IT

将函数f(x)的图象向右平行移动一个单位长度可得g(x),

4

贝!lg(x)=2sin+y=2sin^2x-^,

故选：C.

【点睛】

本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.

9、B

【解析】

连接所，4G，c{D,DF,由正四棱柱的特征可知防尸4G，再由平面的基本性质可知，直线AE与直线G歹共

面.，同理易得A与CQ,由异面直线所成的角的定义可知，异面直线ABX与qF所成角为NDQF,然后再利用

余弦定理求解.

【详解】

如图所示：

2____________C.

AE8

连接EE,AG，G。，DF,由正方体的特征得跖PAG，

所以直线AE与直线共面.

由正四棱柱的特征得AgC}D,

所以异面直线A片与CP所成角为

设朋=0,则48=应惧=2,则DE=6，C1F=6GQ=#，

由余弦定理，得m=cos4DC/=3+：-5g.

2x，3x，6J

故选：B

【点睛】

本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.

10、B

【解析】

由题意可知函数y=/(x)为R上为减函数，可知函数y=(a—2)X为减函数，且2(a-2)<g]-1,由此可解得实

数a的取值范围.

【详解】

a-2<0

13

由题意知函数y=/(x)是R上的减函数，于是有..门丫，解得aW上,

2IT8

因此，实数。的取值范围是

故选：B.

【点睛】

本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系,

考查运算求解能力，属于中等题.

11、A

【解析】

设直线直线与％轴正半轴所成的最小正角为£,由任意角的三角函数的定义可以求得sin"的值，依题有

Q41.O3,则e=J3+90,利用诱导公式即可得到答案.

【详解】

如图，设直线直线。4与x轴正半轴所成的最小正角为£

2275

因为点4(1,2)在角£的终边上，所以sin^=

#+22~1~

依题有。则e=)3+90,

所以cosa=cos（，+90）=.sin，=・

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.

12、C

【解析】

先从函数单调性判断2a+b的取值范围,再通过题中所给的a,b是正数这一条件和常用不等式方法来确定^b―+1-的取值

〃+1

范围.

【详解】

由y=f(x)的图象知函数/⑴在区间(0,+。)单调递增，而2a+b>0,故由/(2a+3<1=〃4)可知2a+b<4.

,b+14—2a+17.

故r-----<----------=-2+<5,

6Z+16Z+16Z+1

b+1b+l_71

又有171>广=—+T~b>3,综上得曰的取值范围是（：,5）.

3一5«+13

故选:C

【点睛】

本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、/(%)=-%(或/(x)=-2x,答案不唯一)

【解析】

由/■(》—y)=〃x)—可得/(九)是奇函数，再由％<0时，/(九)>。可得到满足条件的奇函数非常多，属于开

放性试题.

【详解】

在/'(%—y)=〃x)—中，令x=y=o,得/(0)=。；令x=0,

则〃-y)=〃o)-〃y)=-〃y)，故/(%)是奇函数，由x<o时，/(X)>o,

知y(x)=—x或/(x)=—2x等，答案不唯一.

故答案为：/(%)=-%(或/■(无)=-2x,答案不唯一).

【点睛】

本题考查抽象函数的性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大.

3

14、还

【解析】

3

利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得4=2,再利用等比数列的性质可得名=或，再利用等比数列的通

项公式即可求解.

【详解】

499

由a2-a4=—,a^a9=/，

所以幺马=q5.g5=pL],解得q

%•%<2）2

93

二三—必，所以。3=^29

io3r17°3

所以43=%4=齐%=迹.

3

故答案为：亍了

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题.

15、士走

2

【解析】

设所在直线方程为却!：〉-1=左（》-2）设4、3点坐标分别为4（%,%），3（%,%）,都在。上，代入曲线方程,

两式作差可得=--=-x-=l,从而可得直线的斜率，联立直线与。的方程，由|AB|=2,利用

弦长公式即可求解.

【详解】

因为A3是圆的直径，必过圆心（2,1）点，

设AB所在直线方程为lAB：y-l^k（x-2）

设A、8点坐标分别为4（%,%）,B（x2,y2）,都在。上,

[22

工上=1

Q22

故＜",两式相减,

五__"=]

2a2a2

可得(%一％)(七+%)_(%-%)(%+%)

2a2/

y-y_1x+x_14_

--t----2-----t----2——X——i

x1-x22%+为22

(因为(2,1)是43的中点)，即左=1

联立直线AB与。的方程：

y=x-l

<冗2)2=>冗2_4%+2+2〃2zz0

『一-r=1

[2〃a

又|AB|=2,即|A3|2=4,即

又因为y1-y2=x1-x2,

则有4=2(%1-%)2=2[(%+%)2-4七%]

=2#—4(2+2叫]

即8—8。2=2

故答案为：士B

2

【点睛】

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于中档题.

16、-3

【解析】

b+c

根据题意可知af+ox+c：。的两根为一1,2,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解——即可.

a

【详解】

解：因为函数/(x)=ax3+bx1+cx=x^ax2+bx+c),

关于x的不等式f(x)<0的解集是(田,—1)D(0,2)

/.ax2+Zzr+c=0的两根为：T和2；

AC

所以有：(T)+2二一一且(-1)x2二一；

aa

b~-—a且c--12a；

b+c-a-2a„

----=-------=-3；

aa

故答案为：-3

【点睛】

本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1){x|x=左万一看，左ez］；(2)

【解析】

⑴先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到/(x)=2sin12x-£〉再根据正弦函

数的性质即可求出答案；(2)先求出C的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出"W3,根据三角形的面积

公式即可求出答案.

【详解】

(1)/(x)=m-n=2A/§■sinxcosx+sin2x-cos2x=A/3sin2x-cos2x=2sin一看］.

^2x——=2kn——9kRZ,即x=ATT—。左wZ)时，sinI2x——|-1,/(x)取最小值，

626I6J

TT

所以，所求X的取值集合是1%=左》—7,左£Z；

(2)由/(C)=2,得sinRc—工［=1,

I6J

।।,TC__TC1\.TCTCTCTC

因为tOvCv/r,所以一二<2。一:所以2C—7=工，C=—.

666623

在AABC中，由余弦定理，+从一247cosC,

n3=cr+b1-ab>ab，即abW3,当且仅当a=b时取等号，

所以AABC的面积S=,a6sinC〈4x3x3=逑，

2224

因此AABC的面积S的最大值为应.

4

【点睛】

本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式，两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，属

于中档题.

18、（1）见解析（2）4=1，〃=0（3）见解析

【解析】

试题分析：⑴S,=4%T（〃》2）,所以〃=2%,故数列也｝是等比数列；⑵利用特殊值法，得4=1,2=1,

故2=1,〃=0；（3）得彳=^，〃=1,所以S,=^4+4_],得（〃—1）4+]—（〃—2）%—2%_]=0,可证数列｛4｝

是等差数列.

试题解析：

（1）证明：若几=0,〃=4,则当S“=4。,_1（“之2）,

所以%=Sn+l-Sn=4（%—见_]）,

即见+i—2%=2（%—2%_]），

所以a=2。1，

又由q=2,%+%=4〃i,

得出=3q=6,4—2〃]=2w0,即2w0,

所以"匚=2,

故数列也｝是等比数列.

（2）若｛4｝是等比数列，设其公比为q（叱o）,

当〃=2时，S2=2Aa2+juay,即用+%=2丸%+//%,得

1+夕=2Aq+//,①

当九=3时,=32a3+fia2,即q+%+%=34%+〃。2，得

2

]+q+q-=3A^+,②

当"=4时，邑=42。4+，即6+“2+。3+。4=4彳。4+〃。3，得

]+q+q-+q~—4-Ac/+>(3)

②-①x4,得1=2/,

③-②x〃，得1=2/,

解得q=1,2=1.

代入①式，得"=0.

此时S“^nan(n>2),

所以a”=a[=2,{4}是公比为1的等比数列，

故4=1，〃=0.

(3)证明：若。2=3,由4+%=24。2+〃％，得5=62+2//,

31

又彳+〃=一，解得4二一，〃=1.

22

由%=2,a2=3,%=；，4=1，代入S〃=Anan+/dan_x得的-4,

所以〃1，4，4成等差数列，

,_n3仁n+1

由S〃=5+%―1,得S〃+i=2an+\+an9

n+1n

a+aa

两式相减得：an+1=an+l^~nn~n-\

即(八一1)%-一2)%-2an_x=0

所以啊,+2—("T)%+1—2%=。

相减得：叫,+2-2(八一1)4+1+("-2)一2%+2an_x=0

所以〃(4+2—2%+i+%)+2(«„+1-2ati+%_])=0

222

所以(4+2-2a“+1+an)=——(an+l-2an+an_^=——(a„-2an_x+an_2)

nn\n—ij

(-2)/、

==不一—2a?+%),

因为q-2a2+%=。，所以％7+2-2%;+1+%=0,

即数列｛/｝是等差数列.

19、(1)证明见解析；(2)60。.

【解析】

试题分析：

(1)连结尸。由题意可得LAB,EQ,Afi,则A3,平面POE,AB±PE;

(2)法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为g,故二面角的A-PB-石大小为60。；

法二：以。为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面ME的法向量4=(3,2,石).平面的法向量为

n2=(0,1,0).据此计算可得二面角的A—依—石大小为60°.

试题解析：

(1)连结尸。，.PA=PB,PDAB.DEIIBC,BCAB,DEAB.

又；PDcDE=D,AB平面PDE,■：PEu平面PDE,

：.ABPE.

(2)法一:

一平面MB平面ABC,平面平面A3C=AB,PDAB,PD平面ABC.

则OEPD,又EDAB,PD\平面AB=Z>,DE平面B15,

过。做。尸垂直PB与尸，连接EE则E尸PB,ND尸E为所求二面角的平面角，

3nDE/—

则：DE=~,DF=J则tan/DFE=—=，3,故二面角的A—?B—石大小为60°

22DF

法二：

一平面协8平面ABC,PAB''ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，

L3

B(l,0,0),P(0,0,、3)，E(0,0),

PB=(1>0，—y/3)>PE=(0，—>—y/3)•

设平面PBE的法向量&=(x,y,z),

x-百z=0,

3I-令z=6，得々=（3,2,6）.

5y一

■JDE1平面PAB,平面PAB的法向量为n,=（0,1,0）.

..................,n,町1

=

设二面角的A—下火一石大小为〃，由图知，cosO—cosf,H2y=]~\~\—n'~

2

所以，=60°,即二面角的A—P5—石大小为60°.

20、（1）见解析；（II）2=1.

【解析】

试题分析：（1）取AD中点。，连结。尸,OC,以。为原点，OC为X轴，OD为y轴，。尸为z轴，建立空间直角坐标

系，利用向量法能证明A/ZC为直角三角形；（2）设M（a,b,c）,由喋=2（2e[0,1]）,得M（、项,0,行一四），

求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量,，根据空间向量夹角余弦公式能求出结果.

试题解析：⑴取AO中点。，连结OP,OC,AC,依题意可知APAD,AACD均为正三角形，所以OC，A。,OP，,

又OCcOP=O,0。匚平面20。,0。＜=平面2。。，

所以平面POC,

又PCu平面POC,所以AO_LPC,

因为BC//AD，所以5C，PC,即ZPCB=90,

从而A/ZC为直角三角形.

(H)法一：由(I)可知POLAD,又平面上4。，平面ABC。,平面尸A。平面ABCDAD,

自9匚平面从£),所以尸0_L平面ABCD.

以。为原点，建立空间直角坐标系O-孙z如图所示，则

网0,0,百),4(0,-1,0),D(0,1,0),C(73,0,0),PC=(百,0—6)

由9=4。。=4(百,0,-@可得点〃的坐标(四,0,6-四)

所以而=(后,1,6—扇)，丽=(耳1,石―后)，

n-AM-0

设平面心LD的法向量为"=(x,y,z),贝卜

n-DM

y/3Ax+y+(A/3—z=0A—1

x=------z

即《LLLJ解得＜2

V32X-3/+(V3-V32]Z=0y=0

令z=4,得〃=(X—1,0,2),

显然平面PAD的一个法向量为。。=(石,0,0),

,,\n-OC173(2-1)12小

依题意cos(〃,OC)=^-7—==k，

11〃l|OC月J+(%―1)J2.b5

解得;1=!或几=—1(舍去)，

所以，当4=:时，二面角P—AD—M的余弦值为空.

35

法二：由(I)可知AO,平面POC,所以

所以NPOM为二面角P—AD—M的平面角,

即cosZPOM=述

5

在ATOM中，sinNPOM=6,PO=6,NOPM=%,

54

所以sinZPMO=sinZPOM+?

=sinZPOMcos——FcosZPOMsin—=------,

4410

PMPOPM=6

由正弦定理可得.二.,即非3M

smZPOMsmZPMO，——

510

解得尸M=逅，

3

又PC7Pbi=府所以%=,=g，

所以，当4时，二面角P—AD—M的余弦值为空.

21、(1)a=0.005；(2)列联表见解析，有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，E(X)=3

【解析】

(1)由频率和为1,列出方程求。的值；

(2)由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，

填写2x2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；

(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，

知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.

【详解】

解：(1)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,

可知(2a+0.020+0.030+0.040)x10=1,

解得a=0.005；

(2)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为Q20+0.05=0.25,

所以晋级成功的人数为100x0.25=25(人)，

填表如下：

晋级成功晋级失败合计

男