第8章 整式乘法与因式分解（学生版）

2023-2024学年沪科新版数学七年级下册章节知识讲练1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.知识点01：幂的运算【高频考点精讲】1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0,为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.6.负指数幂：(，为正整数).任何不等于0的数的－次幂，等于这个数的次幂的倒数.【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.知识点02：整式的乘法【高频考点精讲】1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.知识点03：乘法公式【高频考点精讲】1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：；两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.知识点04：因式分解【高频考点精讲】把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.【易错点剖析】落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.检测时间：120分钟试题满分：100分难度系数：0.51一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023秋•宜阳县期末）下列运算正确的是（）A．a3+a2＝a5 B．a3•a3＝2a3 C．a5÷a2＝a3 D．33•23＝62．（2分）（2023秋•崆峒区期末）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（）A．a（b﹣x）＝ab﹣ax B．b（a﹣x）＝ab﹣bx C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x23．（2分）（2023秋•如皋市期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（）A． B． C． D．4．（2分）（2023秋•乌达区期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1 B．a2+a C．a2﹣2a+1 D．（a+2）2﹣2（a+2）+15．（2分）（2023秋•永春县期末）已知a，b，c为正整数，且满足2a×3b×4c＝384，则a+b+c的取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．86．（2分）（2023秋•武汉期末）已知x，y，z都是正整数，其中x＞y，且x2﹣xz﹣xy+yz＝23，设a＝x﹣z，则[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝（）A．3 B．69 C．3或69 D．2或467．（2分）（2023秋•南昌期末）设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．则下列结论：①若a*b＝0，则a＝0或b＝0；②a*（b+c）＝a*b+a*c；③若ab≠0，a*b＝8，则；④不存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2，其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④8．（2分）（2023秋•平山县期末）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（）A．30 B．34 C．40 D．449．（2分）（2023春•拱墅区期末）设a，b为实数，多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q：若p+q＝6，且p，q均为正整数，则（）A．ab与的最大值相等，ab与的最小值也相等 B．ab与的最大值相等，ab与的最小值不相等 C．ab与的最大值不相等，ab与的最小值相等 D．ab与的最大值不相等，ab与的最小值也不相等10．（2分）（2023春•高青县期中）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（）A．10 B．20 C．30 D．40二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023秋•南昌期末）若（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024，则（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝．12．（2分）（2023秋•丰泽区期末）边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知a+b＝10，ab＝24．则图中阴影部分的面积为．13．（2分）（2023秋•武隆区期末）若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝．14．（2分）（2023秋•丰台区期末）关于x的二次三项式x2+6x+m是完全平方式，则m的值为．15．（2分）（2023秋•瑶海区期末）给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式（x+3）2＝ax2+bx+c，当x＝0时，可得32＝c，计算得c＝9；请你再给x赋不同的值，可计算得4a+2b＝．16．（2分）（2023秋•凉州区校级期末）若（x+y+z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），且B＝y，则A＝．17．（2分）（2023秋•东莞市校级期末）已知a﹣b＝4，ab＝3，则a2+b2的值为．18．（2分）（2023春•宝安区校级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝3，且BE＝DF＝x，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为20，则图中阴影部分的面积和为．19．（2分）（2023秋•兴文县期中）若规定符号的意义是：＝ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为．20．（2分）（2022•隆昌市校级模拟）已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023秋•宜阳县期末）计算：（1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3；（2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2）．22．（6分）（2023秋•金乡县期末）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y．利用上面结论解答下列问题：（1）若9x＝36，求x的值；（2）若3x+2﹣3x+1＝18，求x的值；（3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n．23．（8分）（2023秋•龙山区期末）两个边长分别为a和b的正方形（a＜b＜a），如图1所示放置，其未重合部分（阴影）的面积为S1，若在图1的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝64时，求出图3中阴影部分的面积S3．24．（8分）（2023秋•十堰期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac；例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，从中你发现的结论用等式表示为；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36．求ab+bc+ac的值．（3）如图4，拼成AMGN为大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积差为S．设CD＝x，若S的值与CD无关，求a与b之间的数量关系．25．（8分）（2023秋•锦江区校级期末）定义＝ad﹣bc，如＝1×4×﹣2×3＝﹣2．已知A＝（n为常数），B＝．（1）若B＝4，则x的值为；（2）若A的代数式中不含x的一次项，当x＝1时，求A+B的值；（3）若A中的n满足8×2n+1＝24时，且A＝B+2，求16x2﹣