2022-2023学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省常州市金坛区2022-2023学年高二下学期期中数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知随机变量，且，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗随机变量，且，，，，.故选：A.2.已知两条异面直线a，b上分别有4个点和7个点，则这11个点可以确定不同的平面个数为（）A.4 B.7 C.11 D.126〖答案〗C〖解析〗分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定7＋4＝11个不同的平面.故选：C．3.若的展开式中不含项，则实数m的值为（）A. B. C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗，二项式展开式的通项为：，令时，；令时，，所以的展开式中的系数为，因为的展开式中不含项，所以，解得：.故选：D.4.在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率是，则事件A在一次试验中出现的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设事件A在一次试验中出现的概率是，由事件A至少发生次的概率为，可知事件A一次都不发生的概率为，由独立事件同时发生的概率知，则，故选：C．5.将边长为的正三角形沿边上的高线折成的二面角，则点A到边的距离是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗翻折前，因为是边长为的等边三角形，是边上的高线，则为的中点，且，，且，翻折后，则有，，在三棱锥中，由二面角的定义可得，如下图所示：取线段的中点，连接、，因为，，，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，在中，，，则，因为为的中点，则，且，所以，，因为，为的中点，所以，，因此，点到的距离为.故选：A.6.某考生回答一道四选一的单项选择考题，假设他知道正确〖答案〗的概率为0.6，知道正确〖答案〗时，答对的概率为，而不知道正确〖答案〗时，猜对的概率为0.2，那么他答对题目的概率为（）A.0.8 B.0.68 C.0.6 D.0.2〖答案〗B〖解析〗设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确〖答案〗”为事件B，则，，，．故选：B．7.学校环保节活动期间，某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加了志愿者工作．将这四名学生分配到A，B，C三个不同的环保岗位，每个岗位至少分配一名学生，若甲要求不分配到B岗位，则不同的分配方案的种数为（）A.30 B.24 C.20 D.18〖答案〗B〖解析〗由题意可得有两种情况：①有一个人与甲在同一个岗位，则有种分配方案；②没有人与甲在同一个岗位，则种分配方案；所以由分类加法原理可知共有不同的分配方案，故选：B.8.如图，长方体中，，P为线段上的动点，则以下结论中不正确的是（）A.当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为B.当时，若平面的法向量记为，则C.当时，二面角的余弦值为D.若，则〖答案〗C〖解析〗如下图所示：以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系；由，可知，则，设，，选项A，当时，，所以，所以，平面ABCD的法向量为，所以直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为：，故A正确；选项B，当时，，所以，所以，平面的法向量记为，由.,由可知，，所以可取，所以，故B正确；选项C，当时，，所以，平面的法向量记为，设平面的法向量记为，由.,由可知，，所以可取，所以二面角的余弦值为，所以，故C错误；选项D，若，，，因为，所以，所以，，由，解得，所以，即，故D正确.故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在江苏新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、历史、政治、地理共六门，学生根据高校要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门学科中选择1门，再从化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门，选中的3门学科作为选择性考试科目参加考试．则下列说法正确的是（）A.若任意选科，则选法总数为B.若政治必选，则选法总数为C.若化学、地理至少选一门，则选法总数为D.若历史必选，生物、政治至多选一门，则选法总数为〖答案〗ACD〖解析〗在物理、历史2门学科中选择1门有种，在化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门有种，若任意选科，则选法总数为种，A正确；若政治必选，还需从化学、生物、地理3门学科中选择1门有，则选法总数为种，B错误；若化学、地理至少选一门，两门都选有1种，只选一门有，则选法总数为，C正确；若历史必选有种，生物、政治至多选一门有种，则选法总数为种，D正确.故选：ACD.10.设，则结论正确的是（）A. B.C. D.，，，，，，中最小的是〖答案〗ABD〖解析〗对于A，令，则①，故A正确；对于B，令，则②，则②减①可得：，则，故B正确；对于C，的通项为，令，则，令，则，所以，故C错误；对于D，的通项为，所以当时，即，而，又，故，，，，，，中最小的是，故D正确.故选：ABD.11.“信息熵”是信息论中的一个重要概念，设随机变量X的所有可能取值为，且，，定义X的信息熵，则下列说法中正确的是（）A.当时，B.当且时，C.若，则随着n的减小而减小D.当时，随着的增大而减小〖答案〗ABC〖解析〗对于A，当时，,，A正确；对于B，当时，，，B正确；对于C，，，则随着n的减小而减小，C正确；对于D，当时，，当时，，当时，，两者相等，D错误.故选：ABC.12.在棱长为的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，若折成的四面体的四个顶点均在球O的球面上，则下列结论正确的是（）A.折成的四面体体积的最大值为B.当折成的四面体表面积最大时，C.当时，球O的体积为D.当时，球O的表面积为〖答案〗BD〖解析〗由题意，可作图如下：选项A，，，则为等边三角形，取的中点，则，同理可知，为等边三角形，，且，，二面角的平面角为，设点到平面的距离为，则，，当且仅当时，等号成立，即四面体的体积的最大值是，故A不正确；选项B，，，，，，当且仅当时取等号，此时四面体的表面积最大，最大值为，此时，在中，由余弦定理可得，，解得，故B正确；选项C，设分别为的外心，则，在平面内过点作的垂线与过点作的垂线交于点，如下图：，，，平面，平面，平面，，，，平面，平面，同理可得平面，则为四面体的外接球球心，连接，，，，，，，平面，平面，，，即球心的半径为，球的体积为，故C不正确；选项D，由C可得当时，，，平面，平面，，，即球的半径为，球的表面积为，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若能被13整除，则m的最小正整数取值为______．〖答案〗12〖解析〗，因为能被13整除，所以是13的倍数时，能被13整除，所以m的最小正整数取值为12，故〖答案〗为：12.14.随机变量的分布列如表所示，设，则______，______．01〖答案〗〖解析〗依题意，得，因为，所以，.故〖答案〗为：；.15.我们把各位数字之和为6的四位数称为“四位合六数”（如1203、1005均是四位合六数），则在“四位合六数”中首位为1的不同的“四位合六数”共有______个．〖答案〗21〖解析〗由题知后三位数字之和为5，当一个位置为5时有005，050，500，共3个;当两个位置和为5时有014，041，410，401，140，104，023，032，302，320，203，230，共12个;当三个位置和为5时有113，131，311，122，212，221，共6个;所以一共有21个.故〖答案〗为:21.16.如图，三棱柱的各条棱长均为是2，侧棱与底面ABC所成的角为60°，侧面底面ABC，点P在线段上，且平面平面，则______．〖答案〗〖解析〗侧面底面，则点在平面上的射影在直线上，为直线与底面所成的角，，三棱柱的各条棱长均为2，是等边三角形，取中点，连接，，则，∵侧面底面，侧面底面，面，所以面，如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，则，故，设，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，则，，平面的一个法向量为，平面平面，∴，，，．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.有甲、乙两只不透明的袋子，其中甲袋放有3个红球，2个白球，乙袋放有2个红球，3个白球，且所有球的大小和质地均相同．（1）先随机取一只袋子，再从该袋中随机取1个球，求取出的该球是白球的概率；（2）先从甲袋中任取2个球放入乙袋中，再从乙袋中任取2个球，求从乙袋中取出的2个球均为红球的概率．解：（1）先随机取一只袋子，记“取到的是甲袋”为事件，“取到的是乙袋”为事件，再从袋中随机取1个球，“取出的该球是白球”为事件B，则事件B有两类：取到的是甲袋且从中取出的是白球，取到的是乙袋且从中取出的是白球，即，因为与互斥，所以，由概率的乘法公式得，又因为，，，，所有，先随机取一只袋子，再从该袋中随机取1个球，取出的该球是白球的概率为（2）记“从甲袋中取出2个红球”为事件，“从甲袋中取出2个白球”为事件，“从甲袋中取出1个红球和1个白球”为事件，“从乙袋中取出的2个球均为红球”为事件D，显然，事件，，两两互斥，且正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间，由全概率公式得，先从甲袋中任取2个球放入乙袋中，再从之乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的2个球均为红球的概率为.18.有5名男运动员和3名女运动员，从中选出5名运动员，参加“篮球、排球、足球、羽毛球、乒乓球”这5种不同的球类竞赛，每名运动员只能参加一个球类项目竞赛，且每个球类项目竞赛都要有人参加，求符合下列条件的选法种数．（用数字作答）（1）有女运动员参赛，且参赛的女运动员人数必须少于参赛的男运动员人数；（2）女运动员指定参加排球竞赛，男运动员必须参赛但不能参加足球竞赛．解：（1）因为有女运动员参赛，且参赛的女运动员人数必须少于参赛的男运动员人数，所以选出的5名运动员可以是2名女运动员和3名男运动员，也可以是1名女运动员和4名男运动员，则有种情况，再将选出来的运动加分配到各个项目中，则有种方法，所以符合要求的选法种数为.（2）因为女运动员指定参加排球竞赛，男运动员必须参赛但不能参加足球竞赛，所以先从除去该女运动员和该男运动员的6人中任选3人，有种情况，再安排男运动员参赛的项目，有种情况，最后选出的3人对余下的3个项目进行全排列，有种情况，则符合要求的选法种数为.19.已知在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列．（1）求展开式中的有理项；（2）求展开式中系数最大的项．解：（1）在的展开式中，前三项的系数分别依次为，，，前三项的系数成等差数列，所以，整理得，解得或（不合题意舍去），则展开式中的通项为：，要求有理项，则需为整数，即，4，8，则有理项分别为：，，.（2）由（1）知，此二项式为，设展开式中第项的系数最大，则，即，解得，当时，，当时，，所以第项和第项的系数同时达到最大，故展开式中系数最大的项为，.20.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，．（1）求证：；（2）求直线PC与平面ABP所成角的余弦值；（3）线段PA上是否存在点E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：取AB的中点为O，连接DO，PO，由，得，又四边形ABCD为直角梯形，且，，，，则四边形OBCD为正方形，，又，平面POD，因此平面POD，又平面POD，所以.（2）解：且平面PAB，又平面平面ABCD，且平面平面，则平面ABCD，平面，有，即有OA，OD，OP两两垂直，以点O为原点，OD、OA、OP分别为x、y、z轴的空间直角坐标系，由等腰直角，，，得，则，即，平面PAB的一个法向量为，设直线PC与平面PAB所成的角为，因此，即，所以所求直线PC与平面ABP所成角的余弦值为.（3）解：线段PA上存在点E，且当时，使得平面EBD.由，得，则，，设平面EBD的法向量为，则，令，得，又，则，而平面EBD，因此平面EBD，所以点E满足时，有平面EBD．21.某校为了普及科普知识，增强学生的科学素养，在全校组织了一次科普知识竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛．规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分．假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队的总得分．（1）求的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．解：（1）由题意知的所有可能取值为0，10，20，30，可得，，，，所以随机变量的分布列为0102030P所以数学期望.（2）记“甲队得30分，乙队得0分”为事件A，“甲队得20分，乙队得10分”为事件B，则A，B为互斥事件，可得，，则，所以甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为.22.如图，三角形ABC是圆柱底面圆的内接三角形，PA为圆柱的母线，M，N分别是AC和PA的中点，平面平面PAB，．（1）求证：；（2）求三棱锥和圆柱的体积之比；（3）求平面PBC与平面MBN所成的锐二面角的大小．（1）证明：因为PA为圆柱的母线，则平面ABC，平面ABC，可得，取PB边的中点为D，连接AD，因为，则，平面PAB，且平面平面PAB，平面平面，所以平面PBC，且平面PBC，则，且AD，平面PAB，所以平面PAB，且平面PAB，所以.（2）解：因为平面ABC，则，又因为，则为底面圆的直径，则，所以.（3）以B点作为坐标原点，直线BA、BC分别为x、y轴，过点B作平面ABC的垂线，并以此垂线作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，可得，，，．设平面PBC和平面MBN的法向量分别为，，可得，取，则，，即可得，取，则，，即设平面PBC与平面MBN所成的锐二面角为，则，又因为，所以，即平面PBC与平面MBN所成的锐二面角为.江苏省常州市金坛区2022-2023学年高二下学期期中数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知随机变量，且，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗随机变量，且，，，，.故选：A.2.已知两条异面直线a，b上分别有4个点和7个点，则这11个点可以确定不同的平面个数为（）A.4 B.7 C.11 D.126〖答案〗C〖解析〗分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定7＋4＝11个不同的平面.故选：C．3.若的展开式中不含项，则实数m的值为（）A. B. C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗，二项式展开式的通项为：，令时，；令时，，所以的展开式中的系数为，因为的展开式中不含项，所以，解得：.故选：D.4.在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率是，则事件A在一次试验中出现的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设事件A在一次试验中出现的概率是，由事件A至少发生次的概率为，可知事件A一次都不发生的概率为，由独立事件同时发生的概率知，则，故选：C．5.将边长为的正三角形沿边上的高线折成的二面角，则点A到边的距离是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗翻折前，因为是边长为的等边三角形，是边上的高线，则为的中点，且，，且，翻折后，则有，，在三棱锥中，由二面角的定义可得，如下图所示：取线段的中点，连接、，因为，，，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，在中，，，则，因为为的中点，则，且，所以，，因为，为的中点，所以，，因此，点到的距离为.故选：A.6.某考生回答一道四选一的单项选择考题，假设他知道正确〖答案〗的概率为0.6，知道正确〖答案〗时，答对的概率为，而不知道正确〖答案〗时，猜对的概率为0.2，那么他答对题目的概率为（）A.0.8 B.0.68 C.0.6 D.0.2〖答案〗B〖解析〗设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确〖答案〗”为事件B，则，，，．故选：B．7.学校环保节活动期间，某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加了志愿者工作．将这四名学生分配到A，B，C三个不同的环保岗位，每个岗位至少分配一名学生，若甲要求不分配到B岗位，则不同的分配方案的种数为（）A.30 B.24 C.20 D.18〖答案〗B〖解析〗由题意可得有两种情况：①有一个人与甲在同一个岗位，则有种分配方案；②没有人与甲在同一个岗位，则种分配方案；所以由分类加法原理可知共有不同的分配方案，故选：B.8.如图，长方体中，，P为线段上的动点，则以下结论中不正确的是（）A.当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为B.当时，若平面的法向量记为，则C.当时，二面角的余弦值为D.若，则〖答案〗C〖解析〗如下图所示：以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系；由，可知，则，设，，选项A，当时，，所以，所以，平面ABCD的法向量为，所以直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为：，故A正确；选项B，当时，，所以，所以，平面的法向量记为，由.,由可知，，所以可取，所以，故B正确；选项C，当时，，所以，平面的法向量记为，设平面的法向量记为，由.,由可知，，所以可取，所以二面角的余弦值为，所以，故C错误；选项D，若，，，因为，所以，所以，，由，解得，所以，即，故D正确.故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在江苏新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、历史、政治、地理共六门，学生根据高校要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门学科中选择1门，再从化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门，选中的3门学科作为选择性考试科目参加考试．则下列说法正确的是（）A.若任意选科，则选法总数为B.若政治必选，则选法总数为C.若化学、地理至少选一门，则选法总数为D.若历史必选，生物、政治至多选一门，则选法总数为〖答案〗ACD〖解析〗在物理、历史2门学科中选择1门有种，在化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门有种，若任意选科，则选法总数为种，A正确；若政治必选，还需从化学、生物、地理3门学科中选择1门有，则选法总数为种，B错误；若化学、地理至少选一门，两门都选有1种，只选一门有，则选法总数为，C正确；若历史必选有种，生物、政治至多选一门有种，则选法总数为种，D正确.故选：ACD.10.设，则结论正确的是（）A. B.C. D.，，，，，，中最小的是〖答案〗ABD〖解析〗对于A，令，则①，故A正确；对于B，令，则②，则②减①可得：，则，故B正确；对于C，的通项为，令，则，令，则，所以，故C错误；对于D，的通项为，所以当时，即，而，又，故，，，，，，中最小的是，故D正确.故选：ABD.11.“信息熵”是信息论中的一个重要概念，设随机变量X的所有可能取值为，且，，定义X的信息熵，则下列说法中正确的是（）A.当时，B.当且时，C.若，则随着n的减小而减小D.当时，随着的增大而减小〖答案〗ABC〖解析〗对于A，当时，,，A正确；对于B，当时，，，B正确；对于C，，，则随着n的减小而减小，C正确；对于D，当时，，当时，，当时，，两者相等，D错误.故选：ABC.12.在棱长为的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，若折成的四面体的四个顶点均在球O的球面上，则下列结论正确的是（）A.折成的四面体体积的最大值为B.当折成的四面体表面积最大时，C.当时，球O的体积为D.当时，球O的表面积为〖答案〗BD〖解析〗由题意，可作图如下：选项A，，，则为等边三角形，取的中点，则，同理可知，为等边三角形，，且，，二面角的平面角为，设点到平面的距离为，则，，当且仅当时，等号成立，即四面体的体积的最大值是，故A不正确；选项B，，，，，，当且仅当时取等号，此时四面体的表面积最大，最大值为，此时，在中，由余弦定理可得，，解得，故B正确；选项C，设分别为的外心，则，在平面内过点作的垂线与过点作的垂线交于点，如下图：，，，平面，平面，平面，，，，平面，平面，同理可得平面，则为四面体的外接球球心，连接，，，，，，，平面，平面，，，即球心的半径为，球的体积为，故C不正确；选项D，由C可得当时，，，平面，平面，，，即球的半径为，球的表面积为，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若能被13整除，则m的最小正整数取值为______．〖答案〗12〖解析〗，因为能被13整除，所以是13的倍数时，能被13整除，所以m的最小正整数取值为12，故〖答案〗为：12.14.随机变量的分布列如表所示，设，则______，______．01〖答案〗〖解析〗依题意，得，因为，所以，.故〖答案〗为：；.15.我们把各位数字之和为6的四位数称为“四位合六数”（如1203、1005均是四位合六数），则在“四位合六数”中首位为1的不同的“四位合六数”共有______个．〖答案〗21〖解析〗由题知后三位数字之和为5，当一个位置为5时有005，050，500，共3个;当两个位置和为5时有014，041，410，401，140，104，023，032，302，320，203，230，共12个;当三个位置和为5时有113，131，311，122，212，221，共6个;所以一共有21个.故〖答案〗为:21.16.如图，三棱柱的各条棱长均为是2，侧棱与底面ABC所成的角为60°，侧面底面ABC，点P在线段上，且平面平面，则______．〖答案〗〖解析〗侧面底面，则点在平面上的射影在直线上，为直线与底面所成的角，，三棱柱的各条棱长均为2，是等边三角形，取中点，连接，，则，∵侧面底面，侧面底面，面，所以面，如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，则，故，设，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，则，，平面的一个法向量为，平面平面，∴，，，．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.有甲、乙两只不透明的袋子，其中甲袋放有3个红球，2个白球，乙袋放有2个红球，3个白球，且所有球的大小和质地均相同．（1）先随机取一只袋子，再从该袋中随机取1个球，求取出的该球是白球的概率；（2）先从甲袋中任取2个球放入乙袋中，再从乙袋中任取2个球，求从乙袋中取出的2个球均为红球的概率．解：（1）先随机取一只袋子，记“取到的是甲袋”为事件，“取到的是乙袋”为事件，再从袋中随机取1个球，“取出的该球是白球”为事件B，则事件B有两类：取到的是甲袋且从中取出的是白球，取到的是乙袋且从中取出的是白球，即，因为与互斥，所以，由概率的乘法公式得，又因为，，，，所有，先随机取一只袋子，再从该袋中随机取1个球，取出的该球是白球的概率为（2）记“从甲袋中取出2个红球”为事件，“从甲袋中取出2个白球”为事件，“从甲袋中取出1个红球和1个白球”为事件，“从乙袋中取出的2个球均为红球”为事件D，显然，事件，，两两互斥，且正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间，由全概率公式得，先从甲袋中任取2个球放入乙袋中，再从之乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的2个球均为红球的概率为.18.有5名男运动员和3名女运动员，从中选出5名运动员，参加“篮球、排球、足球、羽毛球、乒乓球”这5种不同的球类竞赛，每名运动员只能参加一个球类项目竞赛，且每个球类项目竞赛都要有人参加，求符合下列条件的选法种数．（用数字作答）（1）有女运动员参赛，且参赛的女运动员人数必须少于参赛的男运动员人数；（2）女运动员指定参加排球竞赛，男运动员必须参赛但不能参加足球竞赛．解：（1）因为有女运动员参赛，且参赛的女运动员人数必须少于参赛的男运动员人数，所以选出的5名运动员可以是2名女运动员和3名男运动员，也可以是1名女运动员和4名男运动员，则有种情况，再将选出来的运动加分配到各个项目中，则有种方法，所以符合要求的选法种数为.（2）因为女运动员指定参加排球竞赛，男运动员必须参赛但不能参加足球竞赛，所以先从除去该女运动员和该男运动员的6人中任选3人，有种情况，再安排男运动员参赛的项目，有种情况，最后选出的3人对余下的3个项目进行全排列，有种情况，则符合要求的选法种数为.19.已知在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列．（1）求展开式中的有理项；（2）求展开式中系数最大的项．解：（1）在的展开式中，前三项的系数分别依次为，，，前三项的系数成等差数列，所以，整理得，解得或（不合题意舍去），则展开式中的通项为：，要求有理项，则需为整数，即，4，8，则有理项分别为：，，.（2）由（1）知，此二项式为，设展开式中第项的系数最大，则，即，解得，当时，，当时，，所以第项和第项的系数同时达到最大，故展开式中系数最大