2022-2023学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中考试数学试题(解析版)_第1页
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文档简介

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省常州市金坛区2022-2023学年高二下学期期中数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题〖答案〗后,用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时,将〖答案〗写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量,且,,则的值为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗随机变量,且,,,,.故选:A.2.已知两条异面直线a,b上分别有4个点和7个点,则这11个点可以确定不同的平面个数为()A.4 B.7 C.11 D.126〖答案〗C〖解析〗分两类情况讨论:第1类,直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的平面;第2类,直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定7+4=11个不同的平面.故选:C.3.若的展开式中不含项,则实数m的值为()A. B. C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗,二项式展开式的通项为:,令时,;令时,,所以的展开式中的系数为,因为的展开式中不含项,所以,解得:.故选:D.4.在4次独立试验中,事件A出现的概率相同,若事件A至少发生一次的概率是,则事件A在一次试验中出现的概率为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设事件A在一次试验中出现的概率是,由事件A至少发生次的概率为,可知事件A一次都不发生的概率为,由独立事件同时发生的概率知,则,故选:C.5.将边长为的正三角形沿边上的高线折成的二面角,则点A到边的距离是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗翻折前,因为是边长为的等边三角形,是边上的高线,则为的中点,且,,且,翻折后,则有,,在三棱锥中,由二面角的定义可得,如下图所示:取线段的中点,连接、,因为,,,、平面,所以,平面,因为平面,所以,,在中,,,则,因为为的中点,则,且,所以,,因为,为的中点,所以,,因此,点到的距离为.故选:A.6.某考生回答一道四选一的单项选择考题,假设他知道正确〖答案〗的概率为0.6,知道正确〖答案〗时,答对的概率为,而不知道正确〖答案〗时,猜对的概率为0.2,那么他答对题目的概率为()A.0.8 B.0.68 C.0.6 D.0.2〖答案〗B〖解析〗设“考生答对题目”为事件A,“考生知道正确〖答案〗”为事件B,则,,,.故选:B.7.学校环保节活动期间,某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加了志愿者工作.将这四名学生分配到A,B,C三个不同的环保岗位,每个岗位至少分配一名学生,若甲要求不分配到B岗位,则不同的分配方案的种数为()A.30 B.24 C.20 D.18〖答案〗B〖解析〗由题意可得有两种情况:①有一个人与甲在同一个岗位,则有种分配方案;②没有人与甲在同一个岗位,则种分配方案;所以由分类加法原理可知共有不同的分配方案,故选:B.8.如图,长方体中,,P为线段上的动点,则以下结论中不正确的是()A.当时,直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为B.当时,若平面的法向量记为,则C.当时,二面角的余弦值为D.若,则〖答案〗C〖解析〗如下图所示:以点为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系;由,可知,则,设,,选项A,当时,,所以,所以,平面ABCD的法向量为,所以直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为:,故A正确;选项B,当时,,所以,所以,平面的法向量记为,由.,由可知,,所以可取,所以,故B正确;选项C,当时,,所以,平面的法向量记为,设平面的法向量记为,由.,由可知,,所以可取,所以二面角的余弦值为,所以,故C错误;选项D,若,,,因为,所以,所以,,由,解得,所以,即,故D正确.故选:C.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在江苏新高考方案中,选择性考试科目有:物理、化学、生物、历史、政治、地理共六门,学生根据高校要求,结合自身特长兴趣,首先在物理、历史2门学科中选择1门,再从化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门,选中的3门学科作为选择性考试科目参加考试.则下列说法正确的是()A.若任意选科,则选法总数为B.若政治必选,则选法总数为C.若化学、地理至少选一门,则选法总数为D.若历史必选,生物、政治至多选一门,则选法总数为〖答案〗ACD〖解析〗在物理、历史2门学科中选择1门有种,在化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门有种,若任意选科,则选法总数为种,A正确;若政治必选,还需从化学、生物、地理3门学科中选择1门有,则选法总数为种,B错误;若化学、地理至少选一门,两门都选有1种,只选一门有,则选法总数为,C正确;若历史必选有种,生物、政治至多选一门有种,则选法总数为种,D正确.故选:ACD.10.设,则结论正确的是()A. B.C. D.,,,,,,中最小的是〖答案〗ABD〖解析〗对于A,令,则①,故A正确;对于B,令,则②,则②减①可得:,则,故B正确;对于C,的通项为,令,则,令,则,所以,故C错误;对于D,的通项为,所以当时,即,而,又,故,,,,,,中最小的是,故D正确.故选:ABD.11.“信息熵”是信息论中的一个重要概念,设随机变量X的所有可能取值为,且,,定义X的信息熵,则下列说法中正确的是()A.当时,B.当且时,C.若,则随着n的减小而减小D.当时,随着的增大而减小〖答案〗ABC〖解析〗对于A,当时,,,A正确;对于B,当时,,,B正确;对于C,,,则随着n的减小而减小,C正确;对于D,当时,,当时,,当时,,两者相等,D错误.故选:ABC.12.在棱长为的菱形ABCD中,,将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角,若折成的四面体的四个顶点均在球O的球面上,则下列结论正确的是()A.折成的四面体体积的最大值为B.当折成的四面体表面积最大时,C.当时,球O的体积为D.当时,球O的表面积为〖答案〗BD〖解析〗由题意,可作图如下:选项A,,,则为等边三角形,取的中点,则,同理可知,为等边三角形,,且,,二面角的平面角为,设点到平面的距离为,则,,当且仅当时,等号成立,即四面体的体积的最大值是,故A不正确;选项B,,,,,,当且仅当时取等号,此时四面体的表面积最大,最大值为,此时,在中,由余弦定理可得,,解得,故B正确;选项C,设分别为的外心,则,在平面内过点作的垂线与过点作的垂线交于点,如下图:,,,平面,平面,平面,,,,平面,平面,同理可得平面,则为四面体的外接球球心,连接,,,,,,,平面,平面,,,即球心的半径为,球的体积为,故C不正确;选项D,由C可得当时,,,平面,平面,,,即球的半径为,球的表面积为,故D正确.故选:BD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若能被13整除,则m的最小正整数取值为______.〖答案〗12〖解析〗,因为能被13整除,所以是13的倍数时,能被13整除,所以m的最小正整数取值为12,故〖答案〗为:12.14.随机变量的分布列如表所示,设,则______,______.01〖答案〗〖解析〗依题意,得,因为,所以,.故〖答案〗为:;.15.我们把各位数字之和为6的四位数称为“四位合六数”(如1203、1005均是四位合六数),则在“四位合六数”中首位为1的不同的“四位合六数”共有______个.〖答案〗21〖解析〗由题知后三位数字之和为5,当一个位置为5时有005,050,500,共3个;当两个位置和为5时有014,041,410,401,140,104,023,032,302,320,203,230,共12个;当三个位置和为5时有113,131,311,122,212,221,共6个;所以一共有21个.故〖答案〗为:21.16.如图,三棱柱的各条棱长均为是2,侧棱与底面ABC所成的角为60°,侧面底面ABC,点P在线段上,且平面平面,则______.〖答案〗〖解析〗侧面底面,则点在平面上的射影在直线上,为直线与底面所成的角,,三棱柱的各条棱长均为2,是等边三角形,取中点,连接,,则,∵侧面底面,侧面底面,面,所以面,如图所示,以为坐标原点,建立的空间直角坐标系,则,故,设,则,设平面的一个法向量为,则,令,则,,平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为,则,令,则,,平面的一个法向量为,平面平面,∴,,,.故〖答案〗为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.有甲、乙两只不透明的袋子,其中甲袋放有3个红球,2个白球,乙袋放有2个红球,3个白球,且所有球的大小和质地均相同.(1)先随机取一只袋子,再从该袋中随机取1个球,求取出的该球是白球的概率;(2)先从甲袋中任取2个球放入乙袋中,再从乙袋中任取2个球,求从乙袋中取出的2个球均为红球的概率.解:(1)先随机取一只袋子,记“取到的是甲袋”为事件,“取到的是乙袋”为事件,再从袋中随机取1个球,“取出的该球是白球”为事件B,则事件B有两类:取到的是甲袋且从中取出的是白球,取到的是乙袋且从中取出的是白球,即,因为与互斥,所以,由概率的乘法公式得,又因为,,,,所有,先随机取一只袋子,再从该袋中随机取1个球,取出的该球是白球的概率为(2)记“从甲袋中取出2个红球”为事件,“从甲袋中取出2个白球”为事件,“从甲袋中取出1个红球和1个白球”为事件,“从乙袋中取出的2个球均为红球”为事件D,显然,事件,,两两互斥,且正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间,由全概率公式得,先从甲袋中任取2个球放入乙袋中,再从之乙袋中任取2个球,则从乙袋中取出的2个球均为红球的概率为.18.有5名男运动员和3名女运动员,从中选出5名运动员,参加“篮球、排球、足球、羽毛球、乒乓球”这5种不同的球类竞赛,每名运动员只能参加一个球类项目竞赛,且每个球类项目竞赛都要有人参加,求符合下列条件的选法种数.(用数字作答)(1)有女运动员参赛,且参赛的女运动员人数必须少于参赛的男运动员人数;(2)女运动员指定参加排球竞赛,男运动员必须参赛但不能参加足球竞赛.解:(1)因为有女运动员参赛,且参赛的女运动员人数必须少于参赛的男运动员人数,所以选出的5名运动员可以是2名女运动员和3名男运动员,也可以是1名女运动员和4名男运动员,则有种情况,再将选出来的运动加分配到各个项目中,则有种方法,所以符合要求的选法种数为.(2)因为女运动员指定参加排球竞赛,男运动员必须参赛但不能参加足球竞赛,所以先从除去该女运动员和该男运动员的6人中任选3人,有种情况,再安排男运动员参赛的项目,有种情况,最后选出的3人对余下的3个项目进行全排列,有种情况,则符合要求的选法种数为.19.已知在二项式的展开式中,前三项的系数成等差数列.(1)求展开式中的有理项;(2)求展开式中系数最大的项.解:(1)在的展开式中,前三项的系数分别依次为,,,前三项的系数成等差数列,所以,整理得,解得或(不合题意舍去),则展开式中的通项为:,要求有理项,则需为整数,即,4,8,则有理项分别为:,,.(2)由(1)知,此二项式为,设展开式中第项的系数最大,则,即,解得,当时,,当时,,所以第项和第项的系数同时达到最大,故展开式中系数最大的项为,.20.如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且,,,,.(1)求证:;(2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值;(3)线段PA上是否存在点E,使得平面EBD?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.(1)证明:取AB的中点为O,连接DO,PO,由,得,又四边形ABCD为直角梯形,且,,,,则四边形OBCD为正方形,,又,平面POD,因此平面POD,又平面POD,所以.(2)解:且平面PAB,又平面平面ABCD,且平面平面,则平面ABCD,平面,有,即有OA,OD,OP两两垂直,以点O为原点,OD、OA、OP分别为x、y、z轴的空间直角坐标系,由等腰直角,,,得,则,即,平面PAB的一个法向量为,设直线PC与平面PAB所成的角为,因此,即,所以所求直线PC与平面ABP所成角的余弦值为.(3)解:线段PA上存在点E,且当时,使得平面EBD.由,得,则,,设平面EBD的法向量为,则,令,得,又,则,而平面EBD,因此平面EBD,所以点E满足时,有平面EBD.21.某校为了普及科普知识,增强学生的科学素养,在全校组织了一次科普知识竞赛.经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛.规定每人回答一个问题,答对者为本队赢得10分,答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为,,,乙队中每人答对的概率均为,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用表示甲队的总得分.(1)求的分布列和数学期望;(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.解:(1)由题意知的所有可能取值为0,10,20,30,可得,,,,所以随机变量的分布列为0102030P所以数学期望.(2)记“甲队得30分,乙队得0分”为事件A,“甲队得20分,乙队得10分”为事件B,则A,B为互斥事件,可得,,则,所以甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为.22.如图,三角形ABC是圆柱底面圆的内接三角形,PA为圆柱的母线,M,N分别是AC和PA的中点,平面平面PAB,.(1)求证:;(2)求三棱锥和圆柱的体积之比;(3)求平面PBC与平面MBN所成的锐二面角的大小.(1)证明:因为PA为圆柱的母线,则平面ABC,平面ABC,可得,取PB边的中点为D,连接AD,因为,则,平面PAB,且平面平面PAB,平面平面,所以平面PBC,且平面PBC,则,且AD,平面PAB,所以平面PAB,且平面PAB,所以.(2)解:因为平面ABC,则,又因为,则为底面圆的直径,则,所以.(3)以B点作为坐标原点,直线BA、BC分别为x、y轴,过点B作平面ABC的垂线,并以此垂线作为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则,,,,,,可得,,,.设平面PBC和平面MBN的法向量分别为,,可得,取,则,,即可得,取,则,,即设平面PBC与平面MBN所成的锐二面角为,则,又因为,所以,即平面PBC与平面MBN所成的锐二面角为.江苏省常州市金坛区2022-2023学年高二下学期期中数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题〖答案〗后,用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时,将〖答案〗写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量,且,,则的值为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗随机变量,且,,,,.故选:A.2.已知两条异面直线a,b上分别有4个点和7个点,则这11个点可以确定不同的平面个数为()A.4 B.7 C.11 D.126〖答案〗C〖解析〗分两类情况讨论:第1类,直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的平面;第2类,直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定7+4=11个不同的平面.故选:C.3.若的展开式中不含项,则实数m的值为()A. B. C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗,二项式展开式的通项为:,令时,;令时,,所以的展开式中的系数为,因为的展开式中不含项,所以,解得:.故选:D.4.在4次独立试验中,事件A出现的概率相同,若事件A至少发生一次的概率是,则事件A在一次试验中出现的概率为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设事件A在一次试验中出现的概率是,由事件A至少发生次的概率为,可知事件A一次都不发生的概率为,由独立事件同时发生的概率知,则,故选:C.5.将边长为的正三角形沿边上的高线折成的二面角,则点A到边的距离是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗翻折前,因为是边长为的等边三角形,是边上的高线,则为的中点,且,,且,翻折后,则有,,在三棱锥中,由二面角的定义可得,如下图所示:取线段的中点,连接、,因为,,,、平面,所以,平面,因为平面,所以,,在中,,,则,因为为的中点,则,且,所以,,因为,为的中点,所以,,因此,点到的距离为.故选:A.6.某考生回答一道四选一的单项选择考题,假设他知道正确〖答案〗的概率为0.6,知道正确〖答案〗时,答对的概率为,而不知道正确〖答案〗时,猜对的概率为0.2,那么他答对题目的概率为()A.0.8 B.0.68 C.0.6 D.0.2〖答案〗B〖解析〗设“考生答对题目”为事件A,“考生知道正确〖答案〗”为事件B,则,,,.故选:B.7.学校环保节活动期间,某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加了志愿者工作.将这四名学生分配到A,B,C三个不同的环保岗位,每个岗位至少分配一名学生,若甲要求不分配到B岗位,则不同的分配方案的种数为()A.30 B.24 C.20 D.18〖答案〗B〖解析〗由题意可得有两种情况:①有一个人与甲在同一个岗位,则有种分配方案;②没有人与甲在同一个岗位,则种分配方案;所以由分类加法原理可知共有不同的分配方案,故选:B.8.如图,长方体中,,P为线段上的动点,则以下结论中不正确的是()A.当时,直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为B.当时,若平面的法向量记为,则C.当时,二面角的余弦值为D.若,则〖答案〗C〖解析〗如下图所示:以点为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系;由,可知,则,设,,选项A,当时,,所以,所以,平面ABCD的法向量为,所以直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为:,故A正确;选项B,当时,,所以,所以,平面的法向量记为,由.,由可知,,所以可取,所以,故B正确;选项C,当时,,所以,平面的法向量记为,设平面的法向量记为,由.,由可知,,所以可取,所以二面角的余弦值为,所以,故C错误;选项D,若,,,因为,所以,所以,,由,解得,所以,即,故D正确.故选:C.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在江苏新高考方案中,选择性考试科目有:物理、化学、生物、历史、政治、地理共六门,学生根据高校要求,结合自身特长兴趣,首先在物理、历史2门学科中选择1门,再从化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门,选中的3门学科作为选择性考试科目参加考试.则下列说法正确的是()A.若任意选科,则选法总数为B.若政治必选,则选法总数为C.若化学、地理至少选一门,则选法总数为D.若历史必选,生物、政治至多选一门,则选法总数为〖答案〗ACD〖解析〗在物理、历史2门学科中选择1门有种,在化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门有种,若任意选科,则选法总数为种,A正确;若政治必选,还需从化学、生物、地理3门学科中选择1门有,则选法总数为种,B错误;若化学、地理至少选一门,两门都选有1种,只选一门有,则选法总数为,C正确;若历史必选有种,生物、政治至多选一门有种,则选法总数为种,D正确.故选:ACD.10.设,则结论正确的是()A. B.C. D.,,,,,,中最小的是〖答案〗ABD〖解析〗对于A,令,则①,故A正确;对于B,令,则②,则②减①可得:,则,故B正确;对于C,的通项为,令,则,令,则,所以,故C错误;对于D,的通项为,所以当时,即,而,又,故,,,,,,中最小的是,故D正确.故选:ABD.11.“信息熵”是信息论中的一个重要概念,设随机变量X的所有可能取值为,且,,定义X的信息熵,则下列说法中正确的是()A.当时,B.当且时,C.若,则随着n的减小而减小D.当时,随着的增大而减小〖答案〗ABC〖解析〗对于A,当时,,,A正确;对于B,当时,,,B正确;对于C,,,则随着n的减小而减小,C正确;对于D,当时,,当时,,当时,,两者相等,D错误.故选:ABC.12.在棱长为的菱形ABCD中,,将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角,若折成的四面体的四个顶点均在球O的球面上,则下列结论正确的是()A.折成的四面体体积的最大值为B.当折成的四面体表面积最大时,C.当时,球O的体积为D.当时,球O的表面积为〖答案〗BD〖解析〗由题意,可作图如下:选项A,,,则为等边三角形,取的中点,则,同理可知,为等边三角形,,且,,二面角的平面角为,设点到平面的距离为,则,,当且仅当时,等号成立,即四面体的体积的最大值是,故A不正确;选项B,,,,,,当且仅当时取等号,此时四面体的表面积最大,最大值为,此时,在中,由余弦定理可得,,解得,故B正确;选项C,设分别为的外心,则,在平面内过点作的垂线与过点作的垂线交于点,如下图:,,,平面,平面,平面,,,,平面,平面,同理可得平面,则为四面体的外接球球心,连接,,,,,,,平面,平面,,,即球心的半径为,球的体积为,故C不正确;选项D,由C可得当时,,,平面,平面,,,即球的半径为,球的表面积为,故D正确.故选:BD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若能被13整除,则m的最小正整数取值为______.〖答案〗12〖解析〗,因为能被13整除,所以是13的倍数时,能被13整除,所以m的最小正整数取值为12,故〖答案〗为:12.14.随机变量的分布列如表所示,设,则______,______.01〖答案〗〖解析〗依题意,得,因为,所以,.故〖答案〗为:;.15.我们把各位数字之和为6的四位数称为“四位合六数”(如1203、1005均是四位合六数),则在“四位合六数”中首位为1的不同的“四位合六数”共有______个.〖答案〗21〖解析〗由题知后三位数字之和为5,当一个位置为5时有005,050,500,共3个;当两个位置和为5时有014,041,410,401,140,104,023,032,302,320,203,230,共12个;当三个位置和为5时有113,131,311,122,212,221,共6个;所以一共有21个.故〖答案〗为:21.16.如图,三棱柱的各条棱长均为是2,侧棱与底面ABC所成的角为60°,侧面底面ABC,点P在线段上,且平面平面,则______.〖答案〗〖解析〗侧面底面,则点在平面上的射影在直线上,为直线与底面所成的角,,三棱柱的各条棱长均为2,是等边三角形,取中点,连接,,则,∵侧面底面,侧面底面,面,所以面,如图所示,以为坐标原点,建立的空间直角坐标系,则,故,设,则,设平面的一个法向量为,则,令,则,,平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为,则,令,则,,平面的一个法向量为,平面平面,∴,,,.故〖答案〗为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.有甲、乙两只不透明的袋子,其中甲袋放有3个红球,2个白球,乙袋放有2个红球,3个白球,且所有球的大小和质地均相同.(1)先随机取一只袋子,再从该袋中随机取1个球,求取出的该球是白球的概率;(2)先从甲袋中任取2个球放入乙袋中,再从乙袋中任取2个球,求从乙袋中取出的2个球均为红球的概率.解:(1)先随机取一只袋子,记“取到的是甲袋”为事件,“取到的是乙袋”为事件,再从袋中随机取1个球,“取出的该球是白球”为事件B,则事件B有两类:取到的是甲袋且从中取出的是白球,取到的是乙袋且从中取出的是白球,即,因为与互斥,所以,由概率的乘法公式得,又因为,,,,所有,先随机取一只袋子,再从该袋中随机取1个球,取出的该球是白球的概率为(2)记“从甲袋中取出2个红球”为事件,“从甲袋中取出2个白球”为事件,“从甲袋中取出1个红球和1个白球”为事件,“从乙袋中取出的2个球均为红球”为事件D,显然,事件,,两两互斥,且正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间,由全概率公式得,先从甲袋中任取2个球放入乙袋中,再从之乙袋中任取2个球,则从乙袋中取出的2个球均为红球的概率为.18.有5名男运动员和3名女运动员,从中选出5名运动员,参加“篮球、排球、足球、羽毛球、乒乓球”这5种不同的球类竞赛,每名运动员只能参加一个球类项目竞赛,且每个球类项目竞赛都要有人参加,求符合下列条件的选法种数.(用数字作答)(1)有女运动员参赛,且参赛的女运动员人数必须少于参赛的男运动员人数;(2)女运动员指定参加排球竞赛,男运动员必须参赛但不能参加足球竞赛.解:(1)因为有女运动员参赛,且参赛的女运动员人数必须少于参赛的男运动员人数,所以选出的5名运动员可以是2名女运动员和3名男运动员,也可以是1名女运动员和4名男运动员,则有种情况,再将选出来的运动加分配到各个项目中,则有种方法,所以符合要求的选法种数为.(2)因为女运动员指定参加排球竞赛,男运动员必须参赛但不能参加足球竞赛,所以先从除去该女运动员和该男运动员的6人中任选3人,有种情况,再安排男运动员参赛的项目,有种情况,最后选出的3人对余下的3个项目进行全排列,有种情况,则符合要求的选法种数为.19.已知在二项式的展开式中,前三项的系数成等差数列.(1)求展开式中的有理项;(2)求展开式中系数最大的项.解:(1)在的展开式中,前三项的系数分别依次为,,,前三项的系数成等差数列,所以,整理得,解得或(不合题意舍去),则展开式中的通项为:,要求有理项,则需为整数,即,4,8,则有理项分别为:,,.(2)由(1)知,此二项式为,设展开式中第项的系数最大,则,即,解得,当时,,当时,,所以第项和第项的系数同时达到最大,故展开式中系数最大

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