2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高二下学期6月月考数学试题(解析版)_第1页
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高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题(考试时间:120分钟满分:150分)Ⅰ卷一、单选题:本题共有8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中是符合题目要求的.1.已知,则曲线在点处的切线方程为()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗,,即切线的斜率为,又,切线方程为,即.故选:A.2.对于定义在上的可导函数,为其导函数,下列说法正确的是(

)A.使的一定是函数的极值点B.在上单调递增是在上恒成立的充要条件C.若函数既有极小值又有极大值,则其极小值一定不会比它的极大值大D.若在上存在极值,则它在一定不单调〖答案〗D〖解析〗A选项,的不一定是函数的极值点,比如在处导函数的值为0,但不是的极值点,A说法错误;在上单调递增,可能会在某点导函数等于0,比如为单调递增函数,在处导函数值为0,故在上单调递增不是在上恒成立的充要条件,B说法错误;若函数既有极小值又有极大值,则其极小值可能会比它的极大值大,比如,在处取得极大值,在处取得极小值2,极小值大于极大值,故C说法错误;根据极值点和极值的定义可以判断,若在上存在极值,则它在一定不单调,D说法正确.故选:D.3.设是函数的导函数,的图象如图所示,则的图象最有可能的是()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由导函数的图象可得当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选:C.4.函数存在两个极值点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得,因为函数存在两个极值点,所以其导函数有两个变号零点,所以,解得或,所以实数的取值范围是.故选:A.5.设点P在曲线上,点Q在直线y=2x上,则PQ的最小值为()A.2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗先求曲线上切线斜率为的点的横坐标:令,解得,代入曲线方程求得,故切点为,斜率为的直线方程为,将两条平行直线的方程化为一般式得,故两平行直线的距离为.故选D.6.定义在上的可导函数的导函数为,满足,则不等式的解集为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗构造函数,则函数的导数为,,,即在上单调递增,,,则不等式,等价为,即,则,即不等式的解集为.故选:D.7.已知,则的大小为()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为,,设,则,所以当时,,单调递增;当时,,单调递减;所以,,又因为,所以.故选:D.8.已知函数,则对于方程.下列说法错误的是()A.若,则该方程无解B.若,则该方程有一个实数根C.若,则该方程有两个实数根D.若,则该方程有四个实数根〖答案〗C〖解析〗函数的定义域为,当时,,时,,单调递减,且此时当趋近于0时,趋近于,故,时,,单调递减,时,,单调递增,则时,,而时,,故可得的图象如图所示:令,则方程化为,对于A,时,,即方程无实根,故无实根,从而方程无实根,故A正确;对于B,时,方程即,即,所以,则,由的图象可知,此方程只有一个实根为,故B正确;对于C,由得,此为关于的对勾函数,在时单调递增,在时单调递减,图象如图所示:时或,由函数的图象可知,当时,方程有两个实根,不妨设,则有,,则此时没有实根,有两个或三个实根,故C错误;对于D,时,方程有两个实根,不妨设,则有,,则此时有一个实根,有三个实根,故D正确.故选:C.二、多选题:本题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.下列求导计算中,正确的有()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则〖答案〗AD〖解析〗A.,,故A正确;B.,,故B错误;C.,,故C错误;D.,,故D正确.故选:AD.10.已知函数.下列结论错误的是()A.函数不存在最大值,也不存在最小值B.函数存在极大值和极小值C.函数有且只有1个零点D.函数的极小值就是的最小值〖答案〗CD〖解析〗由,得,当时,,当时,,所以在上递减,在上递增,的图象如图所示,所以在时,取得极小值,无极大值,所以函数的极小值就是的最小值,所以AB错误,D正确,因为,当时,,,,所以函数有且只有1个零点,所以C正确,故选:CD.11.若将一边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖的方盒,则下列说法正确的是()A.当时,方盒的容积最大 B.当时,方盒的容积最小C.方盒容积的最大值为 D.方盒容积的最小值为〖答案〗AC〖解析〗方盒的容积为,.令,得或,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,∴,故AC正确,BD错误.故选:AC.12.英国数学家布鲁克泰勒(BrookTaylor,1685.8~1731.11)以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式,我们可知:如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数,那么对于,有,若取,则,此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.如由此可以判断下列各式正确的是().A.(i是虚数单位) B.(i是虚数单位)C. D.〖答案〗ACD〖解析〗AB选项,对两边求导,得到,故,A正确,B错误;C选项,因为,所以,当时等号成立,因为,所以,即成立,C正确;D选项,,因为,所以,……,故,D正确;故选:ACD.Ⅱ卷三、填空题:本题共有4个小题,每小题5分,共20分.13.函数的单调递增区间为__________.〖答案〗〖解析〗,由得:.所以单调递增区间为.故〖答案〗为:.14.已知在上单调递增,则实数的值为________.〖答案〗〖解析〗,由题意可知,在区间上恒成立,因恒成立,所以在区间上恒成立,不等式,解得:或所以,即,得.故〖答案〗为:.15.若函数在上有最小值,则实数的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗,,取得到,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;,取,则或,函数在上有最小值,则,解得,即.故〖答案〗为:.16.定义:若直线与函数的图象都相切,则称直线为函数和的公切线.若函数和有且仅有一条公切线,则实数的值为________.〖答案〗〖解析〗设直线与的切点为,因为,根据导数的几何意义可知,该直线的斜率为,即该直线的方程为,即.设直线与的切点为,因为,根据导数的几何意义可知,该直线的斜率为,即该直线的方程为,即.因为函数和有且只有一条公切线,所以,即有唯一实根.令,则.令,解得.当时,,所以在上单调递增;当时,,所以在上单调递减.所以处取得最大值.当时,,,函数图象如图所示,因为,有唯一实根,所以只有.故〖答案〗为:.四、解答题:本题共有6个小题,共70分.17.设函数.(1)求的单调区间;(2)当时,求的最值.解:(1)因为定义域为,所以,因为,所以,所以当时,当时,所以的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由(1)可得在上单调递减,在上单调递增,所以在处取得极小值即最小值,所以,又,,又,所以,所以的最大值为,最小值为2.18.已知函数,.(1)若函数在x=1处取得极值,求a的值.(2)讨论函数的单调区间.解:(1)定义域为,,因为在x=1处取得极值,所以,解得:,经验证,此时x=1为极大值点,满足要求,故;(2),当时,恒成立,令得:,令得:,故的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,,故令得:或,令得:,故的单调递增区间为,,单调递减区间为;当时,恒成立,故的单调递增区间为;当时,,令得:或,令得:,故的单调递增区间为,,单调递减区间为;综上:当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为;当时,的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为;19.已知函数,其中是的导函数.(1)求;(2)求过原点与曲线相切的切线方程.解:(1)因为,所以,令,得,解得;(2)由(1)可知,所以,设切点,则,所以切线方程为,由题,整理得,解得或.当时,切线方程为;当时,切线方程为.综上,曲线过原点的切线方程为或.20.已知函数.(1)若在区间上单调递增,求a的取值范围;(2)若,证明:.(1)解:若在区间上单调递增,则在上恒成立,即在上恒成立,令,所以在上恒成立,所以在上单调递减,所以,所以,即a的取值范围为.(2)证明:当时,,要证,即证,即证,即,令,即证,令,所以,令,解得,当时,所以,所以在上单调递减,当时,,所以在上单调递增,所以当时,取得极小值即最小值,所以,即,所以.21.已知,函数.(1)当与都存在极小值,且极小值之和为0时,求实数的值;(2)当时,若,求证:(1)解:,定义域均为,,当时,则,在单调递增,无极值,与题不符;当时,令,解得:,所以在单调递减,在单调递增,在取极小值,且;又,当时:,在单调递减,无极值,与题不符;当时:令,解得:,所以在单调递减,在单调递增,在取极小值,且;依题意,,解得:,(2)证明:当时,,由题意可知,,两式相减得,整理为,要证明,即证明,不妨设,即证明,即,设,即证明,设,,所以函数在区间单调递减,且,即在区间恒成立,即,即,得证.22.已知函数.(1)若函数在上不单调,求的取值范围;(2)已知.(ⅰ)证明:;(ⅱ)若,证明:.(1)解:∵,则,若函数在上不单调,则在上有变号的根,即在上有变号的根,令,,当时,,单调递减,因为,,可得;(2)证明:(i)由(1)可知当,,当,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,即,当时,,单调递增,∵,则,即,整理得,构建,则,令,解得;令,解得;则在上递减,在递增,故,即,当且仅当时等号成立,令,可得,综上;(ii)∵,则,可知有两个不同实数根,由(i)知,可得,同理可得,构建,则,当时,;当时,;当时,;且,故对恒成立,故在上单调递减,∵,则,即,且,则,故,可得;又∵,由(i)可得,即,则,且,则,可得;综上所述:.可得,则,故.黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题(考试时间:120分钟满分:150分)Ⅰ卷一、单选题:本题共有8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中是符合题目要求的.1.已知,则曲线在点处的切线方程为()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗,,即切线的斜率为,又,切线方程为,即.故选:A.2.对于定义在上的可导函数,为其导函数,下列说法正确的是(

)A.使的一定是函数的极值点B.在上单调递增是在上恒成立的充要条件C.若函数既有极小值又有极大值,则其极小值一定不会比它的极大值大D.若在上存在极值,则它在一定不单调〖答案〗D〖解析〗A选项,的不一定是函数的极值点,比如在处导函数的值为0,但不是的极值点,A说法错误;在上单调递增,可能会在某点导函数等于0,比如为单调递增函数,在处导函数值为0,故在上单调递增不是在上恒成立的充要条件,B说法错误;若函数既有极小值又有极大值,则其极小值可能会比它的极大值大,比如,在处取得极大值,在处取得极小值2,极小值大于极大值,故C说法错误;根据极值点和极值的定义可以判断,若在上存在极值,则它在一定不单调,D说法正确.故选:D.3.设是函数的导函数,的图象如图所示,则的图象最有可能的是()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由导函数的图象可得当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选:C.4.函数存在两个极值点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得,因为函数存在两个极值点,所以其导函数有两个变号零点,所以,解得或,所以实数的取值范围是.故选:A.5.设点P在曲线上,点Q在直线y=2x上,则PQ的最小值为()A.2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗先求曲线上切线斜率为的点的横坐标:令,解得,代入曲线方程求得,故切点为,斜率为的直线方程为,将两条平行直线的方程化为一般式得,故两平行直线的距离为.故选D.6.定义在上的可导函数的导函数为,满足,则不等式的解集为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗构造函数,则函数的导数为,,,即在上单调递增,,,则不等式,等价为,即,则,即不等式的解集为.故选:D.7.已知,则的大小为()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为,,设,则,所以当时,,单调递增;当时,,单调递减;所以,,又因为,所以.故选:D.8.已知函数,则对于方程.下列说法错误的是()A.若,则该方程无解B.若,则该方程有一个实数根C.若,则该方程有两个实数根D.若,则该方程有四个实数根〖答案〗C〖解析〗函数的定义域为,当时,,时,,单调递减,且此时当趋近于0时,趋近于,故,时,,单调递减,时,,单调递增,则时,,而时,,故可得的图象如图所示:令,则方程化为,对于A,时,,即方程无实根,故无实根,从而方程无实根,故A正确;对于B,时,方程即,即,所以,则,由的图象可知,此方程只有一个实根为,故B正确;对于C,由得,此为关于的对勾函数,在时单调递增,在时单调递减,图象如图所示:时或,由函数的图象可知,当时,方程有两个实根,不妨设,则有,,则此时没有实根,有两个或三个实根,故C错误;对于D,时,方程有两个实根,不妨设,则有,,则此时有一个实根,有三个实根,故D正确.故选:C.二、多选题:本题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.下列求导计算中,正确的有()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则〖答案〗AD〖解析〗A.,,故A正确;B.,,故B错误;C.,,故C错误;D.,,故D正确.故选:AD.10.已知函数.下列结论错误的是()A.函数不存在最大值,也不存在最小值B.函数存在极大值和极小值C.函数有且只有1个零点D.函数的极小值就是的最小值〖答案〗CD〖解析〗由,得,当时,,当时,,所以在上递减,在上递增,的图象如图所示,所以在时,取得极小值,无极大值,所以函数的极小值就是的最小值,所以AB错误,D正确,因为,当时,,,,所以函数有且只有1个零点,所以C正确,故选:CD.11.若将一边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖的方盒,则下列说法正确的是()A.当时,方盒的容积最大 B.当时,方盒的容积最小C.方盒容积的最大值为 D.方盒容积的最小值为〖答案〗AC〖解析〗方盒的容积为,.令,得或,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,∴,故AC正确,BD错误.故选:AC.12.英国数学家布鲁克泰勒(BrookTaylor,1685.8~1731.11)以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式,我们可知:如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数,那么对于,有,若取,则,此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.如由此可以判断下列各式正确的是().A.(i是虚数单位) B.(i是虚数单位)C. D.〖答案〗ACD〖解析〗AB选项,对两边求导,得到,故,A正确,B错误;C选项,因为,所以,当时等号成立,因为,所以,即成立,C正确;D选项,,因为,所以,……,故,D正确;故选:ACD.Ⅱ卷三、填空题:本题共有4个小题,每小题5分,共20分.13.函数的单调递增区间为__________.〖答案〗〖解析〗,由得:.所以单调递增区间为.故〖答案〗为:.14.已知在上单调递增,则实数的值为________.〖答案〗〖解析〗,由题意可知,在区间上恒成立,因恒成立,所以在区间上恒成立,不等式,解得:或所以,即,得.故〖答案〗为:.15.若函数在上有最小值,则实数的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗,,取得到,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;,取,则或,函数在上有最小值,则,解得,即.故〖答案〗为:.16.定义:若直线与函数的图象都相切,则称直线为函数和的公切线.若函数和有且仅有一条公切线,则实数的值为________.〖答案〗〖解析〗设直线与的切点为,因为,根据导数的几何意义可知,该直线的斜率为,即该直线的方程为,即.设直线与的切点为,因为,根据导数的几何意义可知,该直线的斜率为,即该直线的方程为,即.因为函数和有且只有一条公切线,所以,即有唯一实根.令,则.令,解得.当时,,所以在上单调递增;当时,,所以在上单调递减.所以处取得最大值.当时,,,函数图象如图所示,因为,有唯一实根,所以只有.故〖答案〗为:.四、解答题:本题共有6个小题,共70分.17.设函数.(1)求的单调区间;(2)当时,求的最值.解:(1)因为定义域为,所以,因为,所以,所以当时,当时,所以的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由(1)可得在上单调递减,在上单调递增,所以在处取得极小值即最小值,所以,又,,又,所以,所以的最大值为,最小值为2.18.已知函数,.(1)若函数在x=1处取得极值,求a的值.(2)讨论函数的单调区间.解:(1)定义域为,,因为在x=1处取得极值,所以,解得:,经验证,此时x=1为极大值点,满足要求,故;(2),当时,恒成立,令得:,令得:,故的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,,故令得:或,令得:,故的单调递增区间为,,单调递减区间为;当时,恒成立,故的单调递增区间为;当时,,令得:或,令得:,故的单调递增区间为,,单调递减区间为;综上:当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为;当时,的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为;19.已知函数,其中是的导函数.(1)求;(2)求过原点与曲线相切的切线方程.解:(1)因为,所以,令,得,解得;(2

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