2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高二下学期6月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中是符合题目要求的．1.已知，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，即切线的斜率为，又，切线方程为，即.故选：A.2.对于定义在上的可导函数，为其导函数，下列说法正确的是（

）A.使的一定是函数的极值点B.在上单调递增是在上恒成立的充要条件C.若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大D.若在上存在极值，则它在一定不单调〖答案〗D〖解析〗A选项，的不一定是函数的极值点，比如在处导函数的值为0，但不是的极值点，A说法错误；在上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如为单调递增函数，在处导函数值为0，故在上单调递增不是在上恒成立的充要条件，B说法错误；若函数既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如，在处取得极大值，在处取得极小值2，极小值大于极大值，故C说法错误；根据极值点和极值的定义可以判断，若在上存在极值，则它在一定不单调，D说法正确.故选：D.3.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.4.函数存在两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，因为函数存在两个极值点，所以其导函数有两个变号零点，所以，解得或，所以实数的取值范围是.故选：A.5.设点P在曲线上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最小值为（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗先求曲线上切线斜率为的点的横坐标：令，解得，代入曲线方程求得，故切点为，斜率为的直线方程为，将两条平行直线的方程化为一般式得，故两平行直线的距离为.故选D.6.定义在上的可导函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗构造函数，则函数的导数为,，，即在上单调递增,，,则不等式，等价为,即，则，即不等式的解集为.故选：D．7.已知，则的大小为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，设，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，，又因为，所以.故选：D.8.已知函数，则对于方程．下列说法错误的是（）A.若，则该方程无解B.若，则该方程有一个实数根C.若，则该方程有两个实数根D.若，则该方程有四个实数根〖答案〗C〖解析〗函数的定义域为，当时，，时，，单调递减，且此时当趋近于0时，趋近于，故，时，，单调递减，时，，单调递增，则时，，而时，，故可得的图象如图所示：令，则方程化为，对于A，时，，即方程无实根，故无实根，从而方程无实根，故A正确；对于B，时，方程即，即，所以，则，由的图象可知，此方程只有一个实根为，故B正确；对于C，由得，此为关于的对勾函数，在时单调递增，在时单调递减，图象如图所示：时或，由函数的图象可知，当时，方程有两个实根，不妨设，则有，，则此时没有实根，有两个或三个实根，故C错误；对于D，时，方程有两个实根，不妨设，则有，，则此时有一个实根，有三个实根，故D正确.故选：C.二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列求导计算中，正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗AD〖解析〗A.，，故A正确；B.，，故B错误；C.，，故C错误；D.，，故D正确.故选：AD.10.已知函数．下列结论错误的是（）A.函数不存在最大值，也不存在最小值B.函数存在极大值和极小值C.函数有且只有1个零点D.函数的极小值就是的最小值〖答案〗CD〖解析〗由，得，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，的图象如图所示，所以在时，取得极小值，无极大值，所以函数的极小值就是的最小值，所以AB错误，D正确，因为，当时，，，，所以函数有且只有1个零点，所以C正确，故选：CD.11.若将一边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是()A.当时，方盒的容积最大 B.当时，方盒的容积最小C.方盒容积的最大值为 D.方盒容积的最小值为〖答案〗AC〖解析〗方盒的容积为，.令，得或，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，∴，故AC正确，BD错误.故选：AC.12.英国数学家布鲁克泰勒（BrookTaylor，1685.8～1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世．根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式．如由此可以判断下列各式正确的是（）．A.（i是虚数单位） B.（i是虚数单位）C. D.〖答案〗ACD〖解析〗AB选项，对两边求导，得到，故，A正确，B错误；C选项，因为，所以，当时等号成立，因为，所以，即成立，C正确；D选项，，因为，所以，……，故，D正确；故选：ACD.Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.函数的单调递增区间为__________．〖答案〗〖解析〗，由得：．所以单调递增区间为.故〖答案〗为：.14.已知在上单调递增，则实数的值为________．〖答案〗〖解析〗，由题意可知，在区间上恒成立，因恒成立，所以在区间上恒成立，不等式，解得：或所以，即，得.故〖答案〗为：.15.若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗，，取得到，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；，取，则或，函数在上有最小值，则，解得，即.故〖答案〗为：.16.定义：若直线与函数的图象都相切，则称直线为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数的值为________．〖答案〗〖解析〗设直线与的切点为，因为，根据导数的几何意义可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，即.设直线与的切点为，因为，根据导数的几何意义可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，即.因为函数和有且只有一条公切线，所以，即有唯一实根.令，则.令，解得.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.所以处取得最大值.当时，，，函数图象如图所示，因为，有唯一实根，所以只有.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设函数．（1）求的单调区间；（2）当时，求的最值．解：（1）因为定义域为，所以，因为，所以，所以当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，所以，又，，又，所以，所以的最大值为，最小值为2.18.已知函数，．（1）若函数在x＝1处取得极值，求a的值．（2）讨论函数的单调区间．解：（1）定义域为，，因为在x＝1处取得极值，所以，解得：，经验证，此时x＝1为极大值点，满足要求，故；（2），当时，恒成立，令得：，令得：，故的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，，故令得：或，令得：，故的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，恒成立，故的单调递增区间为；当时，，令得：或，令得：，故的单调递增区间为，，单调递减区间为；综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；19.已知函数，其中是的导函数.（1）求；（2）求过原点与曲线相切的切线方程.解：（1）因为，所以，令，得，解得；（2）由（1）可知，所以，设切点，则，所以切线方程为，由题，整理得，解得或.当时，切线方程为；当时，切线方程为.综上，曲线过原点的切线方程为或.20.已知函数．（1）若在区间上单调递增，求a的取值范围；（2）若，证明：．（1）解：若在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，令，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，所以，即a的取值范围为.（2）证明：当时，，要证，即证，即证，即，令，即证，令，所以，令，解得，当时，所以，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以当时，取得极小值即最小值，所以，即，所以.21.已知，函数．（1）当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；（2）当时，若，求证：（1）解：，定义域均为，，当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；当时，令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；又，当时：，在单调递减，无极值，与题不符；当时：令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；依题意，，解得：，（2）证明：当时，，由题意可知，，两式相减得，整理为，要证明，即证明，不妨设，即证明，即，设，即证明，设，，所以函数在区间单调递减，且，即在区间恒成立，即,即，得证.22.已知函数．（1）若函数在上不单调，求的取值范围；（2）已知．（ⅰ）证明：；（ⅱ）若，证明：．（1）解：∵，则，若函数在上不单调，则在上有变号的根，即在上有变号的根，令，，当时，，单调递减，因为，，可得；（2）证明：（i）由（1）可知当，，当，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，当时，，单调递增，∵，则，即，整理得，构建，则，令，解得；令，解得；则在上递减，在递增，故，即，当且仅当时等号成立，令，可得，综上；（ii）∵，则，可知有两个不同实数根，由（i）知，可得，同理可得，构建，则，当时，；当时，；当时，；且，故对恒成立，故在上单调递减，∵，则，即，且，则，故，可得；又∵，由（i）可得，即，则，且，则，可得；综上所述：.可得，则，故.黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中是符合题目要求的．1.已知，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，即切线的斜率为，又，切线方程为，即.故选：A.2.对于定义在上的可导函数，为其导函数，下列说法正确的是（

）A.使的一定是函数的极值点B.在上单调递增是在上恒成立的充要条件C.若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大D.若在上存在极值，则它在一定不单调〖答案〗D〖解析〗A选项，的不一定是函数的极值点，比如在处导函数的值为0，但不是的极值点，A说法错误；在上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如为单调递增函数，在处导函数值为0，故在上单调递增不是在上恒成立的充要条件，B说法错误；若函数既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如，在处取得极大值，在处取得极小值2，极小值大于极大值，故C说法错误；根据极值点和极值的定义可以判断，若在上存在极值，则它在一定不单调，D说法正确.故选：D.3.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.4.函数存在两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，因为函数存在两个极值点，所以其导函数有两个变号零点，所以，解得或，所以实数的取值范围是.故选：A.5.设点P在曲线上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最小值为（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗先求曲线上切线斜率为的点的横坐标：令，解得，代入曲线方程求得，故切点为，斜率为的直线方程为，将两条平行直线的方程化为一般式得，故两平行直线的距离为.故选D.6.定义在上的可导函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗构造函数，则函数的导数为,，，即在上单调递增,，,则不等式，等价为,即，则，即不等式的解集为.故选：D．7.已知，则的大小为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，设，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，，又因为，所以.故选：D.8.已知函数，则对于方程．下列说法错误的是（）A.若，则该方程无解B.若，则该方程有一个实数根C.若，则该方程有两个实数根D.若，则该方程有四个实数根〖答案〗C〖解析〗函数的定义域为，当时，，时，，单调递减，且此时当趋近于0时，趋近于，故，时，，单调递减，时，，单调递增，则时，，而时，，故可得的图象如图所示：令，则方程化为，对于A，时，，即方程无实根，故无实根，从而方程无实根，故A正确；对于B，时，方程即，即，所以，则，由的图象可知，此方程只有一个实根为，故B正确；对于C，由得，此为关于的对勾函数，在时单调递增，在时单调递减，图象如图所示：时或，由函数的图象可知，当时，方程有两个实根，不妨设，则有，，则此时没有实根，有两个或三个实根，故C错误；对于D，时，方程有两个实根，不妨设，则有，，则此时有一个实根，有三个实根，故D正确.故选：C.二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列求导计算中，正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗AD〖解析〗A.，，故A正确；B.，，故B错误；C.，，故C错误；D.，，故D正确.故选：AD.10.已知函数．下列结论错误的是（）A.函数不存在最大值，也不存在最小值B.函数存在极大值和极小值C.函数有且只有1个零点D.函数的极小值就是的最小值〖答案〗CD〖解析〗由，得，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，的图象如图所示，所以在时，取得极小值，无极大值，所以函数的极小值就是的最小值，所以AB错误，D正确，因为，当时，，，，所以函数有且只有1个零点，所以C正确，故选：CD.11.若将一边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是()A.当时，方盒的容积最大 B.当时，方盒的容积最小C.方盒容积的最大值为 D.方盒容积的最小值为〖答案〗AC〖解析〗方盒的容积为，.令，得或，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，∴，故AC正确，BD错误.故选：AC.12.英国数学家布鲁克泰勒（BrookTaylor，1685.8～1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世．根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式．如由此可以判断下列各式正确的是（）．A.（i是虚数单位） B.（i是虚数单位）C. D.〖答案〗ACD〖解析〗AB选项，对两边求导，得到，故，A正确，B错误；C选项，因为，所以，当时等号成立，因为，所以，即成立，C正确；D选项，，因为，所以，……，故，D正确；故选：ACD.Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.函数的单调递增区间为__________．〖答案〗〖解析〗，由得：．所以单调递增区间为.故〖答案〗为：.14.已知在上单调递增，则实数的值为________．〖答案〗〖解析〗，由题意可知，在区间上恒成立，因恒成立，所以在区间上恒成立，不等式，解得：或所以，即，得.故〖答案〗为：.15.若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗，，取得到，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；，取，则或，函数在上有最小值，则，解得，即.故〖答案〗为：.16.定义：若直线与函数的图象都相切，则称直线为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数的值为________．〖答案〗〖解析〗设直线与的切点为，因为，根据导数的几何意义可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，即.设直线与的切点为，因为，根据导数的几何意义可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，即.因为函数和有且只有一条公切线，所以，即有唯一实根.令，则.令，解得.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.所以处取得最大值.当时，，，函数图象如图所示，因为，有唯一实根，所以只有.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设函数．（1）求的单调区间；（2）当时，求的最值．解：（1）因为定义域为，所以，因为，所以，所以当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，所以，又，，又，所以，所以的最大值为，最小值为2.18.已知函数，．（1）若函数在x＝1处取得极值，求a的值．（2）讨论函数的单调区间．解：（1）定义域为，，因为在x＝1处取得极值，所以，解得：，经验证，此时x＝1为极大值点，满足要求，故；（2），当时，恒成立，令得：，令得：，故的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，，故令得：或，令得：，故的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，恒成立，故的单调递增区间为；当时，，令得：或，令得：，故的单调递增区间为，，单调递减区间为；综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；19.已知函数，其中是的导函数.（1）求；（2）求过原点与曲线相切的切线方程.解：（1）因为，所以，令，得，解得；（2