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文档简介
高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省南平市浦城县2022-2023学年高一下学期期末冲刺数学试题时间:120min总分:150分一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若,则()A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由,得,所以.故选:A.2.已知,,,则的形状是().A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形〖答案〗A〖解析〗根据已知,有,,,因为,所以,即.故为直角三角形.故选:A3.如图所示,在等腰梯形中,,对角线交于点,过点作,交于点,交BC于点N,则在以,,为起点和终点的向量中,相等向量有()A.1对 B.2对 C.3对 D.4对〖答案〗B〖解析〗由题,故相等向量有两对故选:B4.已知是锐角,,,且,则为()A.30° B.45° C.60° D.30°或60°〖答案〗B〖解析〗∵,,且,∴,求得,,由是锐角,所以.故选:B.5.在中,下列各式正确的是()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于选项A:由正弦定理有,故,故选项A错误;对于选项B:因为,故,故选项B错误;对于选项C:,由余弦定理得;故选项C错误;对于选项D:由正弦定理可得,再根据诱导公式可得:,即,故选项D正确;故选:D6.已知三条不同的直线和两个不同的平面,下列四个命题中正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则〖答案〗D〖解析〗若,可以有或相交,故A错;若,可以有或异面,故B错;若,可以有、与斜交、,故C错;过作平面,则,又,得,,所以,故D正确.故选:D7.如图,在四棱锥中,平面,四边形为正方形,为的中点,则异面直线与所成的角的正弦值为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗连接,相交于点,连、,因为为的中点,为的中点,有,可得或其补角为异面直线与所成的角,不妨设正方形中,,则,由平面,可得,则,,因为,为的中点,所以,.故选:C.8.如图,已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形,则三棱锥的体积为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗三棱锥的体积为:故选:C二、多项选择题.(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中正确的是()A.共线 B.相等C.模相等,方向相反 D.模相等〖答案〗ACD〖解析〗∵四边形ABCD是矩形,,所以共线,模相等,故A、D正确;∵矩形的对角线相等,∴|AC|=|BD|,模相等,但的方向不同,故B不正确;|AD|=|CB|且AD∥CB,所以的模相等,方向相反,故C正确.10.下列关于复数的说法,其中正确的是()A.复数是实数的充要条件是B.复数是纯虚数的充要条件是C.若,互为共轭复数,则是实数D.若,互为共轭复数,则在复平面内它们所对应的点关于虚轴对称〖答案〗AC〖解析〗根据复数的分类,时,才是纯虚数.A正确,B错误,,则,所以是实数,C正确;当是实数时,其共轭复数是它本身,对应的点是同一点,不关于虚轴对称,D错.故选:AC.11.已知直三棱柱中,AB⊥BC,,O为的中点,点P是上的动点,则下列说法正确的是()A.当点P运动到中点时,直线与平面所成的角的正切值为B.无论点P在上怎么运动,都有⊥C.当点P运动到中点时,才有与相交于一点,记为Q,且D.无论点P在上怎么运动,直线与AB所成角都不可能是30°〖答案〗ABD〖解析〗直三棱柱中,,选项A中,当点运动到中点时,有E为的中点,连接、,如下图示即有面∴直线与平面所成的角的正切值:∵,∴,故A正确选项B中,连接,与交于E,并连接,如下图示由题意知,为正方形,即有而且为直三棱柱,有面,面∴,又∴面,面,故同理可证:,又∴面,又面,即有,故B正确选项C中,点运动到中点时,即在△中、均为中位线∴Q为中位线的交点∴根据中位线的性质有:,故C错误选项D中,由于,直线与所成角即为与所成角:结合下图分析知:点在上运动时当在或上时,最大为45°当在中点上时,最小为∴不可能是30°,故D正确故选:ABD12.抛掷一枚硬币三次,若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为,则下列结论中正确的是()A. B.C. D.〖答案〗CD〖解析〗由题意,抛掷一枚硬币三次,若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为,根据独立重复试验概率计算公式,可得:,由,故A是错误的;由,故B是错误的;由,故C是正确的;由,故D是正确的.故选:CD三、填空题.(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在△ABC中,其外接圆半径R=2,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为__________.〖答案〗〖解析〗根据正弦定理可知,所以,,,所以是等腰三角形,且,.故〖答案〗为:14.设为虚数单位,则的虚部为______.〖答案〗〖解析〗故〖答案〗为:15.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________.〖答案〗〖解析〗由数据得射击4次至少击中3次的次数有15,所以射击4次至少击中3次的概率为.故〖答案〗为:16.如图,已知直四棱柱的所有棱长均相等,,E是棱的中点,设平面经过直线,且平面平面,若平面,则异面直线与所成的角的余弦值为_______.〖答案〗〖解析〗由直四棱柱的所有棱长均相等,,所以是菱形,连接,,且,,所以,,因为平面,平面,所以,且,所以平面,取的中点,连接,连接交与,所以,且是的中点,所以平面,所以平面平面,又平面,所以平面即平面,分别取的中点,连接交与点,即为的中点,所以,且,所以四边形是平行四边形,所以,平面,平面,所以平面,又因为,平面,平面,所以平面,又,所以平面平面,且平面平面,平面平面,所以,,所以异面直线与所成的角即与所成的角,设,则直四棱柱的所有棱长均为2,由,所以,,且,由余弦定理得故〖答案〗为:.四、解答题.(本大题共6小题,17题10分,18-22题每题12分,共70分)17.已知、、且(1)证明:是等腰直角三角形(2)求.(1)证明:由题意得,因为,所以所以是直角三角形又,,,是等腰直角三角形(2)解:设点,则,,且,解得,,,,,,,.18.甲、乙二人独立破译同一密码,甲破译密码的概率为0.7,乙破译密码的概率为0.6.记事件A:甲破译密码,事件B:乙破译密码.(1)求甲、乙二人都破译密码的概率;(2)求恰有一人破译密码的概率.解:(1)事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB,事件A,B相互独立,由题意可知,所以;(2)事件“恰有一人破译密码”可表示为,且,互斥所以.19.成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分,最低分20分).根据检查结果:得分在评定为“优”,奖励3面小红旗;得分在评定为“良”,奖励2面小红旗;得分在评定为“中”,奖励1面小红旗;得分在评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图:(1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数;(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级,再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核,求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.解:(1)得分的频率为;得分的频率为;得分的频率为;所以得分的频率为设班级得分的中位数为分,于是,解得所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为分.(2)由(1)知题意“良”、“中”的频率分别为又班级总数为于是“良”、“中”的班级个数分别为.分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为因为评定为“良”,奖励2面小红旗,评定为“中”,奖励1面小红旗.所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为则为两个评定为“中”的班级.把4个评定为“良”的班级标记为2个评定为“中”的班级标记为从这6个班级中随机抽取2个班级用点表示,其中.这些点恰好为方格格点上半部分(不含对角线上的点),于是有种.事件仅有一个基本事件.所以所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为.20.在中,内角的对边分别为,设平面向量,且(1)求;(2)若,求中边上的高.解:(1)因为,所以,即,即,根据正弦定理得,所以,所以;(2)由余弦定理,又,所以,根据△的面积,即,解得,所以中边上的高.21.将棱长为2的正方体沿平面截去一半(如图1所示)得到如图2所示的几何体,点,分别是,的中点.(1)证明:平面;(2)求三棱锥的体积.(1)证明:如图所示,连接,易知,因为平面,平面,所以,又,所以平面.在中,点,分别是,的中点,所以.所以平面(2)解:∵平面,∴是三棱锥在平面上的高,且.∵点,分别是,的中点,∴.∴.∴.22.如图,已知平面,平面,为等边三角形,,F为的中点.(1)求证:平面;(2)求直线和平面所成角的正弦值.(1)证明:取CE中点G,连接BG,FG,如图所示:因为F、G分别为CD、CE的中点,所以且,又因为平面,平面,所以,,所以,,所以四边形ABGF为平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面;(2)解:因为平面,平面ACD,所以,所以,又为等边三角形,F为CD的中点,所以,又平面CDE,所以平面CDE,即平面CDE,又平面CDE,则,连接DG,BD,如图所示,则即为直线和平面所成角,设,在中,,在直角梯形ABED中,,在中,,所以,所以直线和平面所成角的正弦值为.福建省南平市浦城县2022-2023学年高一下学期期末冲刺数学试题时间:120min总分:150分一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若,则()A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由,得,所以.故选:A.2.已知,,,则的形状是().A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形〖答案〗A〖解析〗根据已知,有,,,因为,所以,即.故为直角三角形.故选:A3.如图所示,在等腰梯形中,,对角线交于点,过点作,交于点,交BC于点N,则在以,,为起点和终点的向量中,相等向量有()A.1对 B.2对 C.3对 D.4对〖答案〗B〖解析〗由题,故相等向量有两对故选:B4.已知是锐角,,,且,则为()A.30° B.45° C.60° D.30°或60°〖答案〗B〖解析〗∵,,且,∴,求得,,由是锐角,所以.故选:B.5.在中,下列各式正确的是()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于选项A:由正弦定理有,故,故选项A错误;对于选项B:因为,故,故选项B错误;对于选项C:,由余弦定理得;故选项C错误;对于选项D:由正弦定理可得,再根据诱导公式可得:,即,故选项D正确;故选:D6.已知三条不同的直线和两个不同的平面,下列四个命题中正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则〖答案〗D〖解析〗若,可以有或相交,故A错;若,可以有或异面,故B错;若,可以有、与斜交、,故C错;过作平面,则,又,得,,所以,故D正确.故选:D7.如图,在四棱锥中,平面,四边形为正方形,为的中点,则异面直线与所成的角的正弦值为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗连接,相交于点,连、,因为为的中点,为的中点,有,可得或其补角为异面直线与所成的角,不妨设正方形中,,则,由平面,可得,则,,因为,为的中点,所以,.故选:C.8.如图,已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形,则三棱锥的体积为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗三棱锥的体积为:故选:C二、多项选择题.(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中正确的是()A.共线 B.相等C.模相等,方向相反 D.模相等〖答案〗ACD〖解析〗∵四边形ABCD是矩形,,所以共线,模相等,故A、D正确;∵矩形的对角线相等,∴|AC|=|BD|,模相等,但的方向不同,故B不正确;|AD|=|CB|且AD∥CB,所以的模相等,方向相反,故C正确.10.下列关于复数的说法,其中正确的是()A.复数是实数的充要条件是B.复数是纯虚数的充要条件是C.若,互为共轭复数,则是实数D.若,互为共轭复数,则在复平面内它们所对应的点关于虚轴对称〖答案〗AC〖解析〗根据复数的分类,时,才是纯虚数.A正确,B错误,,则,所以是实数,C正确;当是实数时,其共轭复数是它本身,对应的点是同一点,不关于虚轴对称,D错.故选:AC.11.已知直三棱柱中,AB⊥BC,,O为的中点,点P是上的动点,则下列说法正确的是()A.当点P运动到中点时,直线与平面所成的角的正切值为B.无论点P在上怎么运动,都有⊥C.当点P运动到中点时,才有与相交于一点,记为Q,且D.无论点P在上怎么运动,直线与AB所成角都不可能是30°〖答案〗ABD〖解析〗直三棱柱中,,选项A中,当点运动到中点时,有E为的中点,连接、,如下图示即有面∴直线与平面所成的角的正切值:∵,∴,故A正确选项B中,连接,与交于E,并连接,如下图示由题意知,为正方形,即有而且为直三棱柱,有面,面∴,又∴面,面,故同理可证:,又∴面,又面,即有,故B正确选项C中,点运动到中点时,即在△中、均为中位线∴Q为中位线的交点∴根据中位线的性质有:,故C错误选项D中,由于,直线与所成角即为与所成角:结合下图分析知:点在上运动时当在或上时,最大为45°当在中点上时,最小为∴不可能是30°,故D正确故选:ABD12.抛掷一枚硬币三次,若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为,则下列结论中正确的是()A. B.C. D.〖答案〗CD〖解析〗由题意,抛掷一枚硬币三次,若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为,根据独立重复试验概率计算公式,可得:,由,故A是错误的;由,故B是错误的;由,故C是正确的;由,故D是正确的.故选:CD三、填空题.(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在△ABC中,其外接圆半径R=2,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为__________.〖答案〗〖解析〗根据正弦定理可知,所以,,,所以是等腰三角形,且,.故〖答案〗为:14.设为虚数单位,则的虚部为______.〖答案〗〖解析〗故〖答案〗为:15.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________.〖答案〗〖解析〗由数据得射击4次至少击中3次的次数有15,所以射击4次至少击中3次的概率为.故〖答案〗为:16.如图,已知直四棱柱的所有棱长均相等,,E是棱的中点,设平面经过直线,且平面平面,若平面,则异面直线与所成的角的余弦值为_______.〖答案〗〖解析〗由直四棱柱的所有棱长均相等,,所以是菱形,连接,,且,,所以,,因为平面,平面,所以,且,所以平面,取的中点,连接,连接交与,所以,且是的中点,所以平面,所以平面平面,又平面,所以平面即平面,分别取的中点,连接交与点,即为的中点,所以,且,所以四边形是平行四边形,所以,平面,平面,所以平面,又因为,平面,平面,所以平面,又,所以平面平面,且平面平面,平面平面,所以,,所以异面直线与所成的角即与所成的角,设,则直四棱柱的所有棱长均为2,由,所以,,且,由余弦定理得故〖答案〗为:.四、解答题.(本大题共6小题,17题10分,18-22题每题12分,共70分)17.已知、、且(1)证明:是等腰直角三角形(2)求.(1)证明:由题意得,因为,所以所以是直角三角形又,,,是等腰直角三角形(2)解:设点,则,,且,解得,,,,,,,.18.甲、乙二人独立破译同一密码,甲破译密码的概率为0.7,乙破译密码的概率为0.6.记事件A:甲破译密码,事件B:乙破译密码.(1)求甲、乙二人都破译密码的概率;(2)求恰有一人破译密码的概率.解:(1)事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB,事件A,B相互独立,由题意可知,所以;(2)事件“恰有一人破译密码”可表示为,且,互斥所以.19.成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分,最低分20分).根据检查结果:得分在评定为“优”,奖励3面小红旗;得分在评定为“良”,奖励2面小红旗;得分在评定为“中”,奖励1面小红旗;得分在评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图:(1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数;(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级,再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核,求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.解:(1)得分的频率为;得分的频率为;得分的频率为;所以得分的频率为设班级得分的中位数为分,于是,解得所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为分
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