2022-2023学年福建省南平市浦城县高一下学期期末冲刺数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省南平市浦城县2022-2023学年高一下学期期末冲刺数学试题时间：120min总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.若，则（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以.故选：A.2.已知，，，则的形状是（）．A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形〖答案〗A〖解析〗根据已知，有，，，因为，所以，即．故为直角三角形．故选：A3.如图所示，在等腰梯形中，，对角线交于点，过点作，交于点，交BC于点N，则在以，，为起点和终点的向量中，相等向量有（）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对〖答案〗B〖解析〗由题，故相等向量有两对故选：B4.已知是锐角，，，且，则为（）A.30° B.45° C.60° D.30°或60°〖答案〗B〖解析〗∵，，且，∴，求得，，由是锐角，所以.故选：B.5.在中，下列各式正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于选项A：由正弦定理有，故，故选项A错误；对于选项B：因为，故，故选项B错误；对于选项C：，由余弦定理得；故选项C错误；对于选项D：由正弦定理可得，再根据诱导公式可得：，即，故选项D正确；故选：D6.已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗D〖解析〗若,可以有或相交，故A错；若，可以有或异面，故B错；若，可以有、与斜交、，故C错；过作平面，则，又，得，，所以，故D正确.故选:D7.如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗连接，相交于点，连、，因为为的中点，为的中点，有，可得或其补角为异面直线与所成的角，不妨设正方形中，，则，由平面，可得，则，，因为，为的中点，所以，．故选：C.8.如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗三棱锥的体积为：故选：C二、多项选择题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是（）A.共线 B.相等C.模相等，方向相反 D.模相等〖答案〗ACD〖解析〗∵四边形ABCD是矩形，,所以共线，模相等,故A、D正确;∵矩形的对角线相等,∴|AC|=|BD|,模相等,但的方向不同，故B不正确;|AD|=|CB|且AD∥CB，所以的模相等，方向相反，故C正确.10.下列关于复数的说法，其中正确的是（）A.复数是实数的充要条件是B.复数是纯虚数的充要条件是C.若，互为共轭复数，则是实数D.若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于虚轴对称〖答案〗AC〖解析〗根据复数的分类，时，才是纯虚数．A正确，B错误，，则，所以是实数，C正确；当是实数时，其共轭复数是它本身，对应的点是同一点，不关于虚轴对称，D错．故选：AC．11.已知直三棱柱中，AB⊥BC，，O为的中点，点P是上的动点，则下列说法正确的是（）A.当点P运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为B.无论点P在上怎么运动，都有⊥C.当点P运动到中点时，才有与相交于一点，记为Q，且D.无论点P在上怎么运动，直线与AB所成角都不可能是30°〖答案〗ABD〖解析〗直三棱柱中，，选项A中，当点运动到中点时，有E为的中点，连接、，如下图示即有面∴直线与平面所成的角的正切值：∵，∴，故A正确选项B中，连接，与交于E，并连接，如下图示由题意知，为正方形，即有而且为直三棱柱，有面，面∴，又∴面，面，故同理可证：，又∴面，又面，即有，故B正确选项C中，点运动到中点时，即在△中、均为中位线∴Q为中位线的交点∴根据中位线的性质有：，故C错误选项D中，由于，直线与所成角即为与所成角：结合下图分析知：点在上运动时当在或上时，最大为45°当在中点上时，最小为∴不可能是30°，故D正确故选：ABD12.抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗CD〖解析〗由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，根据独立重复试验概率计算公式，可得：，由，故A是错误的；由，故B是错误的；由，故C是正确的；由，故D是正确的.故选：CD三、填空题.(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在△ABC中，其外接圆半径R＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为__________.〖答案〗〖解析〗根据正弦定理可知，所以，,，所以是等腰三角形，且，.故〖答案〗为：14.设为虚数单位，则的虚部为______．〖答案〗〖解析〗故〖答案〗为：15.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．〖答案〗〖解析〗由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，所以射击4次至少击中3次的概率为.故〖答案〗为：16.如图，已知直四棱柱的所有棱长均相等，，E是棱的中点，设平面经过直线，且平面平面，若平面，则异面直线与所成的角的余弦值为_______．〖答案〗〖解析〗由直四棱柱的所有棱长均相等，，所以是菱形，连接，，且，，所以，，因为平面，平面，所以，且，所以平面，取的中点，连接，连接交与，所以，且是的中点，所以平面，所以平面平面，又平面，所以平面即平面，分别取的中点，连接交与点，即为的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又因为，平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，且平面平面，平面平面，所以，，所以异面直线与所成的角即与所成的角，设，则直四棱柱的所有棱长均为2，由，所以，，且，由余弦定理得故〖答案〗为：.四、解答题.（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）17.已知、、且（1）证明：是等腰直角三角形（2）求．（1）证明：由题意得，因为，所以所以是直角三角形又，，，是等腰直角三角形（2）解：设点，则，，且，解得，，，，，，，．18.甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率.解：（1）事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，事件A，B相互独立，由题意可知，所以；（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且,互斥所以.19.成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.解：（1）得分的频率为；得分的频率为；得分的频率为；所以得分的频率为设班级得分的中位数为分，于是，解得所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为分.（2）由（1）知题意“良”、“中”的频率分别为又班级总数为于是“良”、“中”的班级个数分别为.分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗.所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为则为两个评定为“中”的班级.把4个评定为“良”的班级标记为2个评定为“中”的班级标记为从这6个班级中随机抽取2个班级用点表示，其中.这些点恰好为方格格点上半部分（不含对角线上的点），于是有种.事件仅有一个基本事件.所以所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为.20.在中，内角的对边分别为，设平面向量，且（1）求；（2）若，求中边上的高.解：（1）因为，所以，即，即，根据正弦定理得，所以，所以；（2）由余弦定理，又，所以，根据△的面积，即，解得，所以中边上的高．21.将棱长为2的正方体沿平面截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.（1）证明：如图所示，连接，易知，因为平面，平面，所以，又，所以平面.在中，点，分别是，的中点，所以.所以平面（2）解：∵平面，∴是三棱锥在平面上的高，且.∵点，分别是，的中点，∴.∴.∴.22.如图，已知平面，平面，为等边三角形，，F为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值．（1）证明：取CE中点G，连接BG，FG，如图所示：因为F、G分别为CD、CE的中点，所以且，又因为平面，平面，所以，,所以，，所以四边形ABGF为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）解：因为平面，平面ACD，所以，所以，又为等边三角形，F为CD的中点，所以，又平面CDE，所以平面CDE，即平面CDE，又平面CDE，则，连接DG，BD，如图所示，则即为直线和平面所成角，设，在中，，在直角梯形ABED中，，在中，，所以，所以直线和平面所成角的正弦值为.福建省南平市浦城县2022-2023学年高一下学期期末冲刺数学试题时间：120min总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.若，则（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以.故选：A.2.已知，，，则的形状是（）．A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形〖答案〗A〖解析〗根据已知，有，，，因为，所以，即．故为直角三角形．故选：A3.如图所示，在等腰梯形中，，对角线交于点，过点作，交于点，交BC于点N，则在以，，为起点和终点的向量中，相等向量有（）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对〖答案〗B〖解析〗由题，故相等向量有两对故选：B4.已知是锐角，，，且，则为（）A.30° B.45° C.60° D.30°或60°〖答案〗B〖解析〗∵，，且，∴，求得，，由是锐角，所以.故选：B.5.在中，下列各式正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于选项A：由正弦定理有，故，故选项A错误；对于选项B：因为，故，故选项B错误；对于选项C：，由余弦定理得；故选项C错误；对于选项D：由正弦定理可得，再根据诱导公式可得：，即，故选项D正确；故选：D6.已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗D〖解析〗若,可以有或相交，故A错；若，可以有或异面，故B错；若，可以有、与斜交、，故C错；过作平面，则，又，得，，所以，故D正确.故选:D7.如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗连接，相交于点，连、，因为为的中点，为的中点，有，可得或其补角为异面直线与所成的角，不妨设正方形中，，则，由平面，可得，则，，因为，为的中点，所以，．故选：C.8.如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗三棱锥的体积为：故选：C二、多项选择题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是（）A.共线 B.相等C.模相等，方向相反 D.模相等〖答案〗ACD〖解析〗∵四边形ABCD是矩形，,所以共线，模相等,故A、D正确;∵矩形的对角线相等,∴|AC|=|BD|,模相等,但的方向不同，故B不正确;|AD|=|CB|且AD∥CB，所以的模相等，方向相反，故C正确.10.下列关于复数的说法，其中正确的是（）A.复数是实数的充要条件是B.复数是纯虚数的充要条件是C.若，互为共轭复数，则是实数D.若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于虚轴对称〖答案〗AC〖解析〗根据复数的分类，时，才是纯虚数．A正确，B错误，，则，所以是实数，C正确；当是实数时，其共轭复数是它本身，对应的点是同一点，不关于虚轴对称，D错．故选：AC．11.已知直三棱柱中，AB⊥BC，，O为的中点，点P是上的动点，则下列说法正确的是（）A.当点P运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为B.无论点P在上怎么运动，都有⊥C.当点P运动到中点时，才有与相交于一点，记为Q，且D.无论点P在上怎么运动，直线与AB所成角都不可能是30°〖答案〗ABD〖解析〗直三棱柱中，，选项A中，当点运动到中点时，有E为的中点，连接、，如下图示即有面∴直线与平面所成的角的正切值：∵，∴，故A正确选项B中，连接，与交于E，并连接，如下图示由题意知，为正方形，即有而且为直三棱柱，有面，面∴，又∴面，面，故同理可证：，又∴面，又面，即有，故B正确选项C中，点运动到中点时，即在△中、均为中位线∴Q为中位线的交点∴根据中位线的性质有：，故C错误选项D中，由于，直线与所成角即为与所成角：结合下图分析知：点在上运动时当在或上时，最大为45°当在中点上时，最小为∴不可能是30°，故D正确故选：ABD12.抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗CD〖解析〗由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，根据独立重复试验概率计算公式，可得：，由，故A是错误的；由，故B是错误的；由，故C是正确的；由，故D是正确的.故选：CD三、填空题.(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在△ABC中，其外接圆半径R＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为__________.〖答案〗〖解析〗根据正弦定理可知，所以，,，所以是等腰三角形，且，.故〖答案〗为：14.设为虚数单位，则的虚部为______．〖答案〗〖解析〗故〖答案〗为：15.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．〖答案〗〖解析〗由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，所以射击4次至少击中3次的概率为.故〖答案〗为：16.如图，已知直四棱柱的所有棱长均相等，，E是棱的中点，设平面经过直线，且平面平面，若平面，则异面直线与所成的角的余弦值为_______．〖答案〗〖解析〗由直四棱柱的所有棱长均相等，，所以是菱形，连接，，且，，所以，，因为平面，平面，所以，且，所以平面，取的中点，连接，连接交与，所以，且是的中点，所以平面，所以平面平面，又平面，所以平面即平面，分别取的中点，连接交与点，即为的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又因为，平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，且平面平面，平面平面，所以，，所以异面直线与所成的角即与所成的角，设，则直四棱柱的所有棱长均为2，由，所以，，且，由余弦定理得故〖答案〗为：.四、解答题.（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）17.已知、、且（1）证明：是等腰直角三角形（2）求．（1）证明：由题意得，因为，所以所以是直角三角形又，，，是等腰直角三角形（2）解：设点，则，，且，解得，，，，，，，．18.甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率.解：（1）事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，事件A，B相互独立，由题意可知，所以；（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且,互斥所以.19.成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.解：（1）得分的频率为；得分的频率为；得分的频率为；所以得分的频率为设班级得分的中位数为分，于是，解得所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为分