2022-2023学年江西省赣州市大余县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省赣州市大余县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列二次根式中属于最简二次根式的是（）

A.V-8B.V-5C.|D.Va2

2.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）

A.2,3,4B.1,1,V-2C.4,5,6D.1,2,2

3.《义务教育课程标准（2022年版”首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确

规定.某班有七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：2,1,4,3,2,3,2,则这组数据

的众数和中位数分别是（）

A.2,3B.2,2C.3,2D.3,3

4.如图，平行四边形2BCD中，对角线AC、BD交于点E,点F是AD

CD的中点.若4D=10cm,贝IJEF的长为（）\

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

5.如图，数轴上的点4表示的数是一1,点B表示的数是2,CB1AB于点B,且BC=2,以4点

为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D,则点D表示的数是（）

A.2.7C.<73-1D.V^3+1

6.如图，两个不同的一次函数y=ax+6与？=bx+a的图象在同一平面直角坐标系的位置

可能是（）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.函数y=咨中自变量x的取值范围是____.

Jx-2

8.若把一次函数y=2x+l,向下平移5个单位长度，得到图象解析式是.

9.已知一组数据4,%,5,y,7,9的平均数为6,众数为5,则这组数据的中位数是.

10.如图，小刚用七巧板拼了一个对角线长为4的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（

如图所示），则长方形的对角线长为—.

Q/②

11.如图，菱形28C。的对角线2C、BD相交于点0,过点。作

DH14B于点连接。“，OH=4,若菱形4BCD的面积为32，万,

则ac的长为.

12.如图，已知线段4B=4,。是4B的中点，直线Z经过点。，Z1=60°,P点是直线/上一点,

当AAPB为直角三角形时，贝I]BP=.

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.（本小题6.0分）

（1）计算：7-80-+v-5；

（2）如图，正方形4BCD中，延长BC至点E,使得点C为BE的中点，连接AC,BD,DE.求证:

AC!IDE.

14.(本小题6。分)

先化简，再求值；与手—容，其中a=，至+1.

az—1a-1

15.(本小题6.0分)

如图所示，线段EF的两端点E,尸分别是正方形48CD的边BC,4。的中点，请仪无刻度的直

尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法).

AFDAFD

BECBEC

图（1）图(2)

(1)在图(1)中，以EF为较长对角线画菱形E”FG：

(2)在图(2)中，以BD为较长对角线画菱形DNBM.

16.(本小题6.0分)

如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，AABC中，4点坐标为(2,3),B点坐标为(-2,0),

C点坐标为(0,—1).

(1)求4C的长；

(2)求证：AC1BC.

17.(本小题6.0分)

已知：如图一次函数y1=kx-2与x轴相交于点B(-2,0),y2—x+b与x轴相C(4,0),这两个

函数图象相交于点4

(1)求出k,b的值；

(2)求△ABC的面积.

18.(本小题8.0分)

学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的

情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表.学生借

阅图书的次数统计表

借阅图书4次及以

0次1次2次3次

的次数上

人数713a103

请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：

(l)a=,b=.

(2)该调查统计数据的中位数是,众数是.

(3)请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；

(4)若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”

的人数.

19.(本小题8.0分)

如图，菱形4BCD的对角线AC,BD相交于点0,E是4。的中点，点尸，G在48上，EF1AB,

OG//EF.

(1)求证：四边形0EFG是矩形；

(2)若2D=10,EF=4,求。E和BG的长.

20.(本小题8。分)

冰墩墩(B讥gDwenDwen)、雪容融(S/iueyRhcmR/icm)分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会

的吉祥物.冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶.决

定从该网店进货并销售.第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，己

知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每

个雪容融玩偶可获利20元.

(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？

(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5

倍.小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多

少元？

21.(本小题9.0分)

如图，正方形48C0中，点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接4P,过B、。两点作

BE1AP于点E,DF_LAP于点工

(1)求证：EF=DF-BE.

(2)若AADF的周长为6,AD=2,求EF的长,

22.(本小题9.0分)

阅读理解题

像(仁+2)(仁—2)=1,V-axV-a=a(a>0),(<T+1)(<T-1)=b-IQb>0),

两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式，

例如：和，"巩(A/-2+2—1),2(，"^+31^)和—31^)等都是互为有理

化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：

(1)化简：①京=------；®<7-AT5=------------

(2)计算：(方1+73+7^+7^+73+…<7021+^70^^Q2021+1)

(3)已知a=V2020-(2019,b=V2021-V2020,c=V2022-V2021

试比较a,b,c的大小，直接写出结论.

23.(本小题12.0分)

已知点P，Q分别在菱形4BCD的边BC,CD上滑动(点P不与B、。重合)，S.^PAQ=/.B,

(1)如图1,若AP1BC,求证：AP=AQ.

(2)如图2.若4P与BC不垂直，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由;

(3)如图3,若4B=4,ZF=60°,请直接写出四边形4PCQ的面积.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A.门的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

A小写是最简二次根式，故本选项符合题意；

C.J?的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

一次的被开方数中含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

故选：B.

根据最简二次根式的定义逐个判断即可.

本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条

件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含

有能开得尽方的因数和因式.

2.【答案】B

【解析】解：4、•••22+32742,.•.不能够成直角三角形，不符合题意；

8、:12+12不（°）2,...能够成直角三角形，符合题意；

C、•••42+52462,.•.不能够成直角三角形，不符合题意；

。、•••M+22不22,.•.不能够成直角三角形，不符合题意.

故选：B.

根据勾股定理对各选项进行逐一分析即可.

本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a,b,c满足。2+82=。2,那么这个

三角形就是直角三角形是解题的关键.

3.【答案】B

【解析】解:将数据2,1,4,3,2,3,2按照从小到大排列是：1,2,2,2,3,3,4,

这组数据的众数是2,中位数是2,

故选：B.

先将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的众数和中位数.

本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的定义，会求一组数据的众数和中

位数.

4.【答案】C

【解析】解：•••四边形4BCD是平行四边形，

AE=EC,

•••点尸是CD的中点，

DF=FC,

EF是AADC的中位线，

2EF=AD=10cm,

EF=5cm,

故选：C.

根据平行四边形的性质得出4E=EC,进而利用三角形中位线定理解答即可.

此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角线互相平分解答.

5.【答案】C

【解析】解：由图可得，

AB=2-(-1)=2+1=3,BC=2,

CB1AB,

・•・/-ABC=90°,

AC=VAB2+BC2=732+22=

•••AC=AD,

■■AD=V13>

.・.点。表示的数是Q2-1,

故选：c.

根据图形和勾股定理可以得到ac的长，从而可以得到2。的长，然后再根据数轴，即可写出点。表

示的数.

本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了一次函数图象：一次函数丫=々％+b经过两点(0,力)、(一:,0).注意：使用两点法画一次

函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整

数，以便于描点准确.

对于各选项，先确定一条直线的位置得到a和b的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是

否符号要求.

【解答】

解：4、若经过第一、二、三象限的直线为丫=ax+b,则a>0,b>0,所以直线、=6%+。经

过第一、二、三象限，所以4选项错误；

B、若经过第一、二、四象限的直线为丫=ax+b,贝b<0,b>0,所以直线y=6x+a经过第

一、三、四象限，所以B选项错误；

C、若经过第一、三、四象限的直线为、=。刀+6,则a>0,b<0,所以直线丫=/^+。经过第

一、二、四象限，所以C选项正确；

D、若经过第一、二、三象限的直线为丫=ax+b,则a>0,b>0,所以直线、=bx+a经过第

一、二、三象限，所以D选项错误；

故选：C.

7.【答案】x>0且光丰2

【解析】解：由题意得，久N0且久一240,

解得久>0且久丰2.

故答案为：x20且久42.

根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.

本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

8.【答案】y=2x—4

【解析】解：一次函数y=2x+l,向下平移5个单位长度得到的函数解析式为y=2x+l-5=

2x-4.

故答案为：y=2x-4.

根据一次函数图象与几何变换得到直线y=2x+1向下平移5个单位得到的函数解析式为y=

2,x+1—5.

本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=k%+b(k、b为常数，/c。0)的图象为直线，

当直线平移时々不变，当向上平移血个单位，则平移后直线的解析式为y=/c%+b+/n.

9.【答案】5.5

【解析】解：，.・一■组数据4,x,5,y,7,9的众数为5,

・••%,y中至少有一个是5,

•・•一组数据4,%,5,y,7,9的平均数为6,

・•・：(4+%+5+y+7+9)=6,

•,・％+y=11,

・•・％,y中T个是5,另一个是6,

・•・这组数为4,5,5,6,7,9,

这组数据的中位数是2(5+6)=5.5,

故答案为：5.5.

先判断出x,y中至少有一个是5,再用平均数求出x+y=11,即可得出结论.

本题考查了众数、平均数和中位数的知识，解答本题的关键是掌握各个知识点的概念.

10.［答案］2V""5

【解析】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为4,

长方形的宽是正方形对角线的一半为2,

则长方形的对角线长=V22+42=2/亏.

故答案为：2，石.

根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为4,长方形的宽是正方形对角线的一半为2,然后利

用勾股定理即可解决问题.

本题考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质.

11.［答案］

【解析】解：・・•四边形/BCD是菱形，

•••0A=0C,OB=0D,AC1BD,

•・,DHLAB,

・•・(BHD=90°,

・•.BD=2OH,

vOH=4,

BD=8,

•.・菱形ABCC的面积=|xc-BD=^-ACX8=32「，

AC=8A/-3>

故答案为：

由菱形的性质得。4=OC,OB=OD,AC1BD,再求出8。=8,然后由菱形面积求出AC=8，百，

即可解决问题.

本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质

是解题的关键.

12.【答案】2或2v或2<7

【解析】解：•.•4。=OB=2,

.•.当BP=2时，^APB=90°,

或当4P=2时，AAPB=90°,此时BP=2「;

当NP4B=90。时，

/.AOP=60°,

AP=y/~10A=2AT3,

•••BP=VAB2+AP2=2c;

当"B2=90°时，

•••4POB=60°,

•••BP=ypiOB=2<3;

故答案为：2或2c或2c.

分N4PB=90。、Z.PAB=90°>NPB2=90。三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即

可，注意乙APB=90。又分两种情况.

本题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a?+

b2=c2.

13.【答案】(1)原式=V16x5—V4x5+5

=4-/-5—2V-5+V-5

=3A/-5;

(2)证明：•.•四边形4BCD是正方形..-.AD=BC,AD//BC,即AD〃CE,

•••点C为BE的中点，

BC=CE,

AD=CE,

••・四边形4CED是平行四边形，

AC//DE.

【解析】(1)首先化简，再依据二次根式的运算法则计算；

(2)首先证明AD=CE,得到四边形4CED是平行四边形，进而得证.

本题考查了二次根式的加减法、正方形的性质、平行四边形的判定与性质等，在解以正方形为背

景的几何题时，一定要注意题目中的隐含条件，如相等的边，相等的角，90。的角等.

2

14.【答案】解:a+2a+la+2

(a+l)(a—1)a—1

a+1a+2

CL—1CL—1

a+1-a—2

a—1

当。=/至+1时，原式=

1-V2-1

【解析】先对分子分母分解因式，然后约分，再算减法，最后将a的值代入化简后的式子计算即可.

本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

15.【答案】解：(1)如图(1)中：菱形EHFG即为所求;

(2)如图(2)中：菱形DNBM即为所求.

【解析】(1)根据矩形的性质及菱形的判定定理作图;

(2)根据平行四边形的性质及菱形的判定定理作图.

本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的性质及菱形的判定定理是解题的关键.

16.【答案】解：(1)根据勾股定理，得

AC=722+42=2屋.

(2)同理Be2=I2+22=5,AB2=32+42=25,

AC2=20,

BC2+AC2=AB2,

ABC是直角三角形，乙4cB=90°.

AC1BC.

【解析】(1)利用勾股定理解决问题即可.

(2)利用勾股定理的逆定理证明即可.

本题考查勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

17.【答案】解：(1)把B(—2,0)代入月=依—2得，O=-2k-2,

解得k=-1；

把C(4,0)代入丫2=x+b得,0=4+6,

解得b=-4；

•••&点坐标为(1,-3),

・••8(—2,0),C(4,0),

BC=6,

,t'S&ABC=，X6X3=9.

【解析】(1)根据待定系数法即可求得晨b的值；

(2)解析式联立，解方程组即可求得4的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得.

本题考查了两条直线的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标

特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解此题的关键.

18.【答案】解：(1)17,20；

(2)2,2；

(3)扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360。X20%=72°；

(4)估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为2000x^=120(人)，

答：估计该校学生在一周内借阅图书”4次及以上”的人数为120人.

【解析［解：(1)、•被调查的总人数为13+26%=50(人)，

•••a=50-(7+13+10+3)=17,b%=^x100%=20%,即b=20,

故答案为：17,20；

(2)由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，

而第25、26个数据均为2,

所以中位数为2,

出现次数最多的是2,

所以众数为2,

故答案为：2、2；

(3)见答案

(4)见答案.

(1)先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的

人数除以总人数求得b的值；

(2)根据中位数和众数的定义求解；

⑶用360。乘“3次”对应的百分比即可得；

(4)用总人数乘样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得.

本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

19.【答案】解:⑴•••四边形4BCD是菱形，

•••BD1AC,^DAO=/.BAO,

•••E是4D的中点，

1

...AE=OE=^AD,

•••Z-EAO=Z-AOE,

••・Z-AOE=Z.BAO,

・•.OE//FG,

•・,OG//EF,

・•・四边形OEFG是平行四边形，

EFLAB,

・•・乙EFG=90°,

••・四边形OEFG是矩形；

(2)•・•四边形/BCD是菱形，

•••BD1AC,AB=AD=10,

・••^AOD=90°,

•••E是4D的中点，

1

・•.OE=AE=^AD=5,

由(1)知，四边形OEFG是矩形，

FG=OE=5,

AE-5,EF=4,

・•.AF=VAE2-EF2=3，

BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.

【解析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识

别图形是解题的关键.

(1)根据菱形的性质得到BD1AC,^DAO=ABAO,得到4E=OE=^AD,推出。E//FG,求得

四边形。EFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

(2)根据菱形的性质得到BD1AC,AB=AD=10,得到OE=AE=^AD=5；由(1)知，四边形

OEFG是矩形，求得FG=OE=5,根据勾股定理得到4F=7AE2—EF?=3,于是得到结论.

20.【答案】解：(1)设冰墩墩的进价为万元/个，雪容融的进价为y元/个，

百日百上市/日(15%+5y=1400

由题思可得：/+y=；36,

解得I二：

答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进价为64元/个；

(2)设冰墩墩购进a个，则雪容融购进(40-a)个，利润为w元，

由题意可得：w=28a+20(40—a)=8a+800,

w随a的增大而增大，

•••网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，

•1•a<1,5(40-a),

解得a<24,

.•.当a=24时，w取得最大值，此时w=992,40-a=16,

答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元.

【解析】(1)根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶和1个雪

容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；

(2)根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不

得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性

质，即可得到利润的最大值.

本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方

程组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值.

21.【答案】（1）证明：・••BELAP,DFLAP,

•••^DFA=乙AEB=90°,AABE+乙BAE=90°,

••・四边形ABCD为正方形,

•••AD=AB,^DAB=90°=ADAF+乙BAE,

Z.DAF=/.ABE,

在AADF和ABAE中，

/-DAF=/.ABE

Z.DFA=4AEB,

.AD=AB

...△ADF三△8AE(aas),

：.AF=BE,DF=AE,

EF=AE-AF=DF-BE；

(2)解：设DF=a,AF=b,EF=DF-AF=a-b>0,

•••△4DF的周长为6,AD=2,

DF+AF=4,

即a+b=4,由勾股定理得：DF2+AF2=AD2,

即a2+82=4,

(a-6)2=2(a2+b2)—(a+b)2=16—8=8,

■■a—b=2A/-2,

即EF=2<7.

【解析】(1)由正方形的性质得出4。=AB,证出ND4尸=乙48已由44s证明△ADFmABAE,得

出=DF=AE,即可得出结论；

(2)设DF=a,AF=b,EF=DF-AF=a-b>0,由已知条件得出4。+4F=4,即a+b=4,

由勾股定理得出a?+炉=%再由完全平方公式得出a-6即可.

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，

由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题(2)的关键.

22.【答案】殍注3

【解析】解：(1)①义=。甲==¥，

'3AT2XAT23

故答案为：?；

②c-n(J7-可<7+02

故答案为：乌二

席―—rQ+1,C—C,,,

际工、—L（n-l）（n+l）+（，3+广）（门一。）十（C一，3）（C+C）+…十

________V2021-V2020

]•(V2021+1)

(V2021+V2020)(72021-V2020)

=(/!+―「一二+…+V2021-V2020)•(V2021+1)

=(V2021+I)2

=2021+1+272021

=2022+272021；

11V2020+V2019

⑶/=V2020+V2019,

V2020-V2019(V2020+V2019)(V2020-V2019)

11______________

同理：LE-E-E1+EU,

1________1______

c―V2022-<^5n=V2022+v2021,

Vi<|<i,

ab