高中数学必修第一册《第二章 等式与不等式》单元测试卷(含解析)

高中数学必修第一册《第二章等式与不等式》单元测试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知/"(X)=如，g(x)=Isin^x-切，则八(x)=f(%)-h(x)的零点个数为()

A.8B.9C.10D.11

2.若关于x的方程产+%x+l=0有两个不相等的实数根，则实数机的取值范围是()

A.(-1,1)B.(-2,2)

C.(-oo,-2)U(2,+oo)D.(-oo,-l)u(1,+oo)

3.若关于x的方程瞿=人久2有4个不同的实根，则左的取值范围为()

11

A.[0,4]B.[4,+oo)C.(-/+°°)D.(―8,,

4.设%1、％2是方程/一5%+771=0的两个根，且+%2-=2,则根的值是()

A.-3B.3C.-7D.7

5.设娜•二辅y题•<1则下列不等式成立的是()

A.序襄醒B.141C.D.峙ye

6.已知减函数3=频禽-:1是定义在嬴上的奇函数，则不等式/@-璘/❿的解集为()

A.:我.书碑：B.:尊书碑：C.：卫一睢颐D.:鲫<书®磷：

7.关于x的不等式ax-b<0的解集是(2,+8),则关于x的不等式(2ax+b)(x-3)>0的解集是

()

A.(—8,1)u(3,+8)B.(1,3)

C.u(3,+8)D.(-1,3)

8.方程=5的解集是()

A.{2}B.{2,-2}C.{1,-1}D.{i,-i}

9.方程组If二?二?*的解集是()

1

A.{(3,5)}B.{(2,-j)}C.{(2,3)}D.{(3,15))

10.对任意实数羽不等式(a-2)/+2(a—2)力一4<0恒成立，则。的取值范围是()

A.(—2,2]B.[—2,2]

C.(-8,—2)U[2,+8)D.(—8,—2]U(2,+8)

11.已知正实数满足a+2b=1,贝咛+前勺最小值为()

A.8B.9C.10D.11

12.若函数/(x)=x+—-—(x>2)在x=a处取最小值，则a=()

x-2

A.1+点B.1+用C.3D.4

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知集合/=｛x|-1<%<1],B=(x\x>a｝,若/C\B=0,则实数a的取值范围是.

14.若关于x的方程好-(a-l)x+a2=0的两根互为倒数，则a=.

15.已知函数用磁=泼用(痛为常数),若/'(感在区间:：u畸上是单调增函数,则侬的取值范围是_。

16.若实数x,y满足X?+>2+0=1,则彳+y的最大值是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知函数/(%)=|3x—2|—kx.

(1)若々=1,求不等式/(%)<3|x-1|的解集;

(2)设函数/(%)的图象与无轴围成的封闭区域为。，证明：当2<k<3时，。的面积大于蓑.

18.已知数列｛a九｝满足%=2*1+2”-1(;?EN\n》2),且囱=81,

(1)求数列的前三项。1、药、。3的值；

(2)是否存在一个实数九使得数列｛誓｝为等差数列？若存在，求出2的值；若不存在，说明理由；

求数列｛5｝通项公式.

19.已知函数/(%)=怎.

⑴解不等式f⑺<1；

(2)求函数f(x)值域.

20.某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2012年1月的产值都为。万元，甲企业每个月的产值与

前一个月相比增加的产值相等，乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，到2013

年1月两个企业的产值再次相等.

(1)试比较2012年7月甲、乙两个企业产值的大小，并说明理由；

(2)甲企业为了提高产能，决定投入3.2万元买台仪器，并且从2013年2月1日起投入使用.从启用

的第一天起连续使用，第〃天的维修保养费为若元OeN*),求前几天这台仪器的日平均耗费

(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最小时使用的天数？

21.对长为800:%宽为600加的一块矩形土地进行绿化，要求四周种花(花带宽度相等)，中间种草

坪，要求草坪面积不少于总面积的一半，求花带宽度的取值范围.

22.国家规定个人稿费纳税方法为:不超过800兀的不纳税,超过800且不超过4000兀的按超过800

元的部分14%纳税，超过4000元的按全部稿费的11%纳税，

(1)试根据上述规定建立某人所得稿费x元与纳税额y元的函数关系；

(2)某人出了一本书，获得20000元的个人稿费，则这个人需要纳税是多少元？

(3)某人发表一篇文章共纳税70元，则这个人的稿费是多少元？

【答案与解析】

1.答案：C

解析：解:由h(x)=/(x)-h(x)=。得f(久)=

g(x)=|sin(^x-^)|=|cos^x|,

作出函数/'(x)与g(x)的图象如图：

v/(10)=IglO=1,g(10)=\cos5n\=1,

两个图象有10个交点，

即函数h(x)的零点个数为10个，

故选：C.

利用函数与方程的关系，由h(x)=。得/■(>)=/，作出函数/'(x)与9(尤)的图象，利用数形结合进

行求解即可.

本题主要考查函数与方程的应用，利用函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题是解决

本题的关键.

2.答案：C

解析：

:方程/+»u+l=0有两个不相等的实根，:/=?"2一4>0.."〃2>%即m>2或相<—2.

3.答案：C

解析：解：、・恩=k/

•••%=0是方程的一个实数解,

又••・关于X的方程号=人力2有4个不同的实根,

.••瞿=k/有三个不同的非零实数解.

(1)当x>0时,

由喜="2,

可得《=%(X+4)；

(2)当x<0时,

由一M2,

可得:=-x(x+4)；

/、（（）

•■•g（x）=i"[xrx（x++44,%）,x><00，如,图1，

要使塔=k/有三个不同的非零实数解，

x+4

则0<[<4,

k>-4.

故选：c.

首先判断出X=。是方程的一个实数解，所以瞿=有三个不同的非零实数解；然后判断出g(x)=

^=fx(x+4)%>0根据其函数图象，要使鉴="2有三个不同的非零实数解，求出k的取值范

围即可.

此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，注意数形结合方法的应用，解答此题的关键是判断出:

g(x)+尸：+:如考查数形结合的应用•

八，k(.-%(%+4),x<0

4.答案:B

解析:

本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于两根之积等于?是解题的关键.

aa

由根与系数的关系可得%1+%2=5、%1%2=M，结合%1+%2-X1X2=2可得出关于m的一元一次方

程，解之即可得出结论.

解：•.・%]、工2是方程一一5%+血=0的两个根，

•••%1+&=5,=m-

%1+%2—xrx2=5—m=2,

.・.m=3.

故选：B.

5.答案：D

解析：试题分析：由磔":姑所以露旷,A错；由颤*:磔/国，则工演3,B错；因为由考察麋:域:=：潦,

:臧凝

因为峋<<.-：：a,故函数..施礴在虚内单调递减，且输>®，所以瀚志<1,c错；因为邮<魏/颔":1,所

以御":赖一的*：1，故崛制-纬吗副，。正确.

考点：1、不等式的性质；2、函数的单调性.

6.答案：B

解析:试题分析：因为函数般1=¥1常一翻是定义在疆上的奇函数,所以有函数般1二频夕：-霞过点姆吸，

所以.巽卜嚣=®1，又因为般'=.1!>：一谶在费上为减函数，不等式网-建A砥7CI-需“:一%^慝触乳

故选B.

考点：本题考查利用抽象函数的性质解不等式.

7.答案：D

解析：解：关于x的不等式ax-b<0的解集是(2,+8),

.1•a<0,且2=2,

a

则b=2a；

・,・关于x的不等式(2a%+b)(x-3)>0,

可化为(2a%+2a)(%-3)>0,

即(％+1)(%-3)<0,

解得一1<%V3,

・•・所求不等式的解集是(-1,3).

故选：D.

由不等式a=-b<。的解集知a<0且=2,

a

代入关于尤的不等式(2ax+b)(x-3)>0中求解即可.

本题考查了不等式与对应方程的应用问题，是基础题.

8.答案：B

解析：解：根据题意得2/-3=5,解得x=±2,

故选：B.

由题列出方程2/—3=5,求解即可

本题考查矩阵方程的求解，属于基础题.

9.答案：B

解析：解：已知出:二道包

方程①可变形为(2x-3y)(2%+3y)=15,③

把②代入③中，得5(2x+3y)=15,即2x+3y=3,

于是，原方程组化为片+?=：,

(2%—3y=5

(x=2

解这个二元一次方程组，得1，

[y--3

方程组的解集为{(2,—}}.

故选：B.

通过方程组的求解，得到直线与双曲线的焦点坐标，即可得到选项.

本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，方程组的解法，是基础题.

10.答案：A

解析：解:不等式(a—2)^2+2(a—2)x—4<0

当a—2=0,即a=2时，-4<0恒成立，合题意.

当a—240时，要使不等式恒成立，需a—2<0,且△<0

解得一2<a<2.

所以。的取值范围为(—2,2].

故选：A.

结合二次函数的图象与性质解决，注意对二次项系数分类讨论.

本题考查求不等式恒成立的参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.

11.答案：B

解析：

本题考查利用基本不等式求最值，考查变形能力和运算能力，属于基础题.由题意可得5+：=(a+

26)弓+6，展开后，运用基本不等式可得所求最小值.

解：正实数满足a+2b=1,则：+£=(a+2b)*+6

=5+^+->5+2

ba

当且仅当a=b时，上式取得等号,

则上+［的最小值为9.

ab

故选：B.

12.答案C

解析：J(^)=X—2+-------+2,2>0,

x-2

二一2+-------之2,

x-2

当且仅当了一2=^—,即％=3时“=”成立，故。=3.

x-2

13.答案：［1,+8)

解析：解：由集合4=(x|-1<%<1］,B=(x\x>a］,

又丁AC\B=0,

・,・实数。的取值范围为：a>1.

故答案为：［L+8).

直接由已知集合A、集合5以及/八8=。求出实数。的取值范围.

本题考查了交集及其运算，是基础题.

14.答案：—1

解析：

此题考查了根与系数的关系，倒数的定义，以及一元二次方程解的判定，一元二次方程a/=

hc

0(a*0),当庐—4ac>0时，方程有解，设此时方程的解为％和小，则有久i+不=-1/叼=晟设

方程的两根分别为m与n,由m与n互为倒数得到nm=1,再由方程有解，得到根的判别式大于等

于0,列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到。的范围，然后利用根与系数的关系表示出两根

之积，可得出关于。的方程，求出方程的解得到。的值即可.

解：设已知方程的两根分别为机，n,

由题意得：，〃与〃互为倒数，即nm=1,

由方程有解，得到忸=b2-4ac=(a-I)2-4a2>0,

1

解得：-1WaW7

又血九=a2,­••a2=1,

解得：a=1(舍去)或a=-1,

故答案为-1.

则a=-1.

故答案为-1

15.答案：：窗,鸳11.。

解析：试题分析：因为-=套在k上是单调增函数，诡=归-蜀在卜理礴上单调减函数，在,!j■碱上

单调增函数，所以就磁=>问在g'M上单调减函数，在也!J•减上单调增函数，因此要使淮勒在

区间4融冲上是单调增函数，需满足勰噬H。

考点：本题考查复合函数的单调性。

点评：判断复合函数的单调性，只需要满足四个字：同增异减，但一定要注意先求函数的定义域。

16.答案：述

3

解析：x2+y2+xy=1,(x+y)2=xy+1.

又,:xy<(^^)2---(x+y)2<+1-即3(x+A2《1.

,,、2J2g,,2班

•••(x+y)<x+.y<—

・•・x+y的最大值为与g.

3

17.答案:解:⑴若k=1,不等式/'(x)<3|x-1|,即为|3x-

2|-3|x—1|<%,

-1或［与<X<1或

-2-3久+3W遭0-2+3x-3G

12—3x+3%—3<x

解得X>1或|<X<1或一1<X<|,

则原不等式的解集为［-1,+8);

(2)证明：f(x)=\3x-2\-kx,

77

当%>，时，f(x)=0,解得x=—；

7o

当x<,时，f(x)=0,解得x=—.

当2<k<3时，作出y=/(x)的图象与x轴围成的三角形区域0,

可得B(捻,0),*0),呜-沁

v,12,22、4k241

可得面积为5々人z(言一肃)=而而=二言，

由2<k<3,可得4<必<9,-1G(0,7),

k2'4y

41、4416

则£手>炉片怎

R

所以当2<k<3时，0的面积大于1|.

解析：(1)由题意可得|3比-2|-3|x-1|Wx,运用绝对值的概念，由零点分区间法，去绝对值符号，

解不等式，求并集，可得所求解集；

(2)可令/(x)=0,求得零点，画出当2<k<3时，y=/(x)的图象与无轴围成的三角形区域0,运

用三角形的面积公式和不等式的性质，即可得证.

本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查函数的图象与x轴围成的区域的面积

的范围，注意运用数形结合思想，考查运算能力，属于中档题.

18.答案：解：⑴由厮=2%_i+2"-1(/1€N.n>2)

4

可得=2a3+2—1=>a3=33,

同理可得=13,cii=5.

(2)假设存在一个实数；I符合题意，

则誓-深厚必为一个与n无关的常数，

an+A.(^n-i+4。九一2a九一1一A

"2n2n-1―2^

2n-l-A1+A

=^^=41-k

要使崂-深空与"无关，

则炭=0,可得2=—1,

故存在实数4=-1,使数列｛崂｝为等差数列，

数列｛唠｝的公差d=1,首项为m=2,

则竽=2+5—1)・l=n+l,

则口几=(n+1)2"+1.

解析：本题主要考查的等差数列的判定与证明，数列的递推关系，求数列的通项，属于中档题.

(1)根据已知的递推关系代入n=4,求出C13,依次求出a2,与即可；

(2)假设存在;I符合题意，则答-深乎与〃无关，可得唠-竽3=1-黑，从而得到4的值,

进而得到数列斯的通项公式.

19.答案：解：(1)将f(x)的解析式代入不等式得：

4X-11

整理得：3-4天—3<铲+1,即铲=22工<2=2］，

・•・2%<1,

解得：X<

则不等式的解集为｛小<|);

(2)法一:((%)晟=1+舟

4X>0,4X+1>1,

，T<1+品<1，

则f(x)的值域为(-L1);

法二:4J

y=/W4X+1，

...铲=丝>0,即空<0,

1-yy-1

可化为:口黑或国，

解得：一1<y<1,

则八支)的值域为(—1,1).

解析：(1)把/(%)的解析式代入不等式，整理后得到关于牛的不等式，把不等式左右两边化为底数为

2的幕形式，根据指数函数为增函数，得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到原不等式的

解集;

(2)法一：把函数解析式整理为f(x)=l+-f-,由4工大于0,得到4工+1的范围，可得到莪合的范围,

进而确定出1+的范围，即为函数f(x)的值域;

法二：设y=/Q),从函数解析式中分离出4%根据空大于。列出关于y的不等式，变形后得到y+1

与y-1异号，转化为两个一元一次不等式，求出不等式的解集，即为函数的值域.

此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：指数函数的单调性，指数函数的定义域与值域，以

及一元一次不等式的解法，利用转化的思想，是高考中常考的题型.

20.答案：解：（1）设从2012年1月到2013年1月甲企业每个月的产值分别为由，a2,a3,a13,

乙企业每个月的产值分别为瓦，b2,b13,

•••甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，

｛即｝成等差数列,

•••乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，

｛匕｝成等比数列,

根据等差数列的等差中项和等比数列的等比中项，

1a+«13）>b7=j瓦,如，

"的=b,a13=b13,

a=aa=

72+13）>V-13=Jb]，瓦3b7,即a7>匕7,

到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大；

（2）设一共使用了〃天，〃天的平均耗资为p（m，

1+492+493+49n+4949nn（n+1）I--------

-2onnn_i_rj_j_j_.A-2onnnj__i_32000

...p（n]=320°°+（,+,+,+…+力=32000+R^-=32000十二十”2X—+—=—,

n-n-n十20十20一个n20十20・20’

当且仅当誓=为，即n=800时，Pg取得最小值，

・••日平均耗资最小时使用了800天.

解析：（1）设从2012年1月到2013年1月甲企业每个月的产值分别为由,a2,a3,a13,乙企业

每个月的产值分别为瓦，b2,仇3,根据题意可以确定｛a"成等差数列，｛%｝成等比数列，利用等

差中项和等比中项求出和岳，