2024年甘肃省兰州中考数学一模试卷（含解析）

2024年甘肃省兰州五十六中中考数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

L-2c的相反数是()

2.下面的几何体中，主视图不是矩形的是()

4.2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球

背面.已知月球与地球之间的平均距离约为384000km,把384000km用科学记数法可以表示为()

A.38.4X104/cmB.3.84x105fcmC.0.384x106kmD.3.84x106km

5.已知：在直角坐标系中，点4B的坐标分别是(1,0),(0,3),将线段48平移，平移后点力的对应点4的

坐标是(2,-1),那么点B的对应点B'的坐标是()

A.(2,1)B.(2,3)C.(2,2)D.(1,2)

6.如图，在△力BC中，DE//BC,若第=|,则非=()

.3

A-5

B!

C4

D1

7.父子二人并排竖直站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的全儿子露出水面的高度是

他自身身高的父子二人的身高之和为3.4米.若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组

（）

(x+y=3.4%+y=3.4

A.)11

B.口旧〃=

'x+y=3.4ex+y=3.4

1%=(l-i)yDl(l-1)x=(l-i)y

8.如图，四边形ABC。内接于圆。，ABOD=108°,贝！U8C0的度数是（）

A.127°

B.108°

C.126°

D.125°

9.关于％的分式方程5+2=总有增根，则血的值为（）

A.m=2B.m=—2C.m=5D.m=—5

10.如图，一次函数yi=%+b与丫2=忆％-1的图象的交点坐标为（一2,3）,贝IJ

关于％的不等式％+b>kx-1的解集为（）

A.%<—2

B.%>—2

C.x>3

D.x<3

11.如图，正方形2BCD的面积为12,△力BE是等边三角形，点E在正方形4BCD

内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.2AA3

B.2/6

BC

C.3

D.<6

12.二次函数y=a/+力冗+0(aH0)的图象如图所示，下列结论：@abc>0；@9a+c>0；③a/+

b%+c=0的两个根是=-2,x2=4；④b：c=1：4,其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

13.分解因式：a2b—4ab+4b=

14.如图，已知点4在反比例函数y=((久<0)的图象上，ACly轴于点C,点B在x

轴的负半轴上，若SMBC=2,贝味的值为.

15.如图，。。的直径4B=2,C是半圆上任意一点，乙BCD=60°,则劣弧4D

的长为.

16.已知已知a、b实数且满足(M+/)2)2—(a2+h2)—12=0,则M+b?的值为

三、解答题：本题共12小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题4分)

计算：4）一1-I—21+2s讥30。+.

18.（本小题4分）

化简：（二一喂）•士2.

vx—3%+3，x

19.（本小题4分）

如图，已知N4=ND=90。，点E、点F在线段BC上，DE与4F交于点。，且48=DC,BE=CF.求证:

OE=OF.

20.（本小题6分）

先阅读下列材料，再解答问题.

尺规作图：

已知：AABC,。是边48上一点，如图1.

求作：四边形DBCF,使得四边形OBCF是平行四边形.

小明的做法如下：

(1)设计方案

先画一个符合题意的草图，如图2,再分析实现目标的具体方法.

(2)设计作图步骤，完成作图.

作法：如图3,

①以点C为圆心、BD为半径画弧；

②再以点。为圆心、BC为半径画弧，两弧交于点F；

③连接DF与CF.

••・四边形DBCF即为所求.

请在图3中完成尺规作图，保留作图痕迹

(3)推理论证

证明：，

••・四边形DBCF是平行四边形.()(填推理依据)

21.(本小题6分)

如图，一次函数%=x+b的图象与与反比例函数372=((上大0,%<0)的图象交于点2(-2,1),B两点.

(1)求一次函数与反比例函数的表达式;

(2)求AAOB的面积.

22.(本小题6分)

随着冬奥会的闭幕，坐落于冬奥核心区的国家跳台滑雪中心一一“雪如意”，成为本次冬奥会比赛场馆中

最具标志性和辨识度的建筑物之一.该跳台滑雪中心设计灵感来源于中国的传统吉祥饰物“如意”，从跳

台环形顶端，再到剖面线形和底部看台，与“如意”的S型曲线完美契合，因此被称为“雪如意”，既体

现了体育建筑的动感，又凸显了中国文化元素.如图，是“雪如意”的侧面示意图，“雪如意”由顶峰俱

乐部2C、滑道(包括助滑区DE和着陆坡EF)及看台区GF三部分构成(AC、GF均与水平面平行)，其中BD1

AC于点B,BD=14m,DE=109m,EF=198m,从点E处测得点。处的仰角为26。，点F处的俯角为

31°,求“雪如意”的高的长(结果精确至！jLn,s出26。〜0.44,cos26°~0.90,tan26°»0.49,

sin31°«0.52,cos31°«0.86,tan31°«0.80).

23.(本小题6分)

为加强中学生体育锻炼，学校组织了九年级300名学生进行了体质监测，现随机抽取了部分同学的成绩(百

分制)制成如图不完整的统计图表:

表一

成绩久X<6060<%<7070<%<8080<%<9090<%<100

人数12a84

表二

统计量平均数中位数众数

成绩79.7b72

根据以上信息回答下列问题:

(1)若抽取的学生成绩处在80<%<90这一组的数据如下：8887818082888486

根据以上数据将表一和表二补充完整：a;b

(2)在扇形统计图中，表示问卷成绩在70<x<80这一组的扇形圆心角度数为

(3)若成绩在80分以上为体质达标，请你估计该校九年级一共有多少名学生的体质达标？

24.(本小题6分)

如图，BD是ATIBC的角平分线，过点作交4B于点E,DF〃AB交BC于点F.

(1)求证：四边形BEDF是菱形；

(2)若N4BC=60°,Z.ACB=45°,CD=6,求菱形BEDF的边长.

A

25.(本小题6分)

综合与实践

问题情境：如图1所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水

的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一.桥拱截面。B4可以看作抛物线的一部

分(如图2),在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点8到水面的距离为4米.

模型建立：

(1)如图2,以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解

析式.

问题解决：

(2)求在距离水面2米处桥拱宽度.

(3)现有两宽为4米，高3米(带货物)的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥,问两小舟能否同时从桥下穿

过，并说明理由.

NR

26.(本小题7分)

如图，已知。。为△ABC的外接圆，BC为。。的直径，作射线BF,使得B4平分NCBF,过点4作4。1BF

于点D.

(1)求证：为。。的切线;

(2)若BD=1,tan^ABD=2,求O。的半径.

27.(本小题8分)

如图(1),在矩形ABCD中，AD=nAB,点M,P分别在边4B,力。上(均不与端点重合)，B.AP-nAM,以

4尸和力M为邻边作矩形4MNP,连接AN,CN.

图⑴图⑵图⑶

【问题发现】

(1)如图(2),当n=l时，BM与PD的数量关系为,CN与PD的数量关系为.

【类比探究】

(2)如图(3),当n=2时，矩形AMNP绕点4顺时针旋转，连接PD,贝UCN与PD之间的数量关系是否发生变

化？若不变，请就图(3)给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图(3)说明理由.

【拓展延伸】

(3)在(2)的条件下，己知4。=4,AP=2,当矩形4MNP旋转至C,N,M三点共线时，请写出线段CN的

长并说明理由.

28.(本小题9分)

定义：在平面直角坐标系中，图形G上点PQ,y)的纵坐标y与其横坐标久的差y-久称为P点的“坐标差”，

而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”.

(1)①点4(1,3)的“坐标差”为；

②抛物线y=-/+3x+3的“特征值”为；

(2)某二次函数，=一/+法+。(£；70)的“特征值”为一1,点与点C分别是此二次函数的图象与x

轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等.

①直接写出爪=；(用含c的式子表示)

②求此二次函数的表达式.

(3)如图，在平面直角坐标系久Oy中，以M(2,3)为圆心，2为半径的圆与直线y=X相交于点D、E,请直接

写出OM的“特征值”为.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：一剧的相反数是：募.

故选：C.

直接利用相反数的定义得出答案.

此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键.

2.【答案】C

【解析】解：2为圆柱体，它的主视图应该为矩形；

B为长方体，它的主视图应该为矩形；

C为圆台，它的主视图应该为梯形；

。为三棱柱，它的主视图应该为矩形.

故选：C.

找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础

题.

3.【答案】D

【解析】解：2=2/1,不是最简二次根式；

/]=手,不是最简二次根式；

V0.5=苧，不是最简二次根式；

，石是最简二次根式；

故选：D.

根据最简二次根式的概念判断即可.

本题考查的是最简二次根式的概念，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因

式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

4.【答案】B

【解析】解：科学记数法表示：384000=3.84x105/cm

故选：B.

利用科学记数法的表示形式即可

本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成a与10的几次幕相乘的形式(lWa<10,几为整数)，这种

记数法叫做科学记数法.

5.【答案】D

【解析】【解答】

解：•••4(1,0)的对应点4的坐标为(2,-1),

・•・平移规律为横坐标加1,纵坐标减1,

••,点B(0,3)的对应点为B',

8’的坐标为(1,2).

故选：D.

【分析】

根据点力、4的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B'的坐标即可.

本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下

移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键.

6.【答案】C

【解析】解:•••在△48C中，DE//BC,

tAD__AE_

,,AD_3

丽=『

AE3

J~EC=5"

.AE_AE_3

''~AC~AE+EC-8；

故选：c.

根据平行线分线段成比例定理进行解答即可.

此题考查了平行线成比例，熟练掌握平行线成比例定理、找准对应关系是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：由题意可得，

俨+y=3.4

[(l-1)x=(l-i)y'

故选：D.

根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决.

本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组.

8.【答案】C

【解析】解：ZBOD=108°,

1

・•.AA=^BOD=54°,

・•・乙BCD=180°一=126°

故选：C.

先根据圆周角定理得到N4==54°,然后根据圆内接四边形的性质求NBCD的度数.

本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半.

9.【答案】D

【解析】解：

x—2+2-2—x

5+2%—4=—m,

2x=—m+4—5,

2x=-m—1,

m+1

x=一''

•••方程有增根，

x-2,

m+1

•一亍=2，

•••m=-5,

故选：D.

先解分式方程为尤=-*，再由方程的增根为X=2,可得-嗖=2,求出租的值即可.

本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解，理解方程增根的意义是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：当久＞-2,函数y=x+b的图象在函数y=kx-1图象的上方，

所以关于%的不等式％+b＞kx-1的解集为黑＞-2.

故选：B.

观察函数图象得到，当》＞-2,函数y=%+b的图象都在函数丫=1图象的上方，于是可得到关于支

的不等式x+b>kx-1的解集.

本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+6的值大于（或小

于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=/CK+6在久轴上（或下）方部分所有的

点的横坐标所构成的集合.

11.【答案】A

【解析】解：连接BP.

AR-----------------------

•••四边形4BCD为正方形，面积为12,

二正方形的边长为，运=2/3,

•••△ABE为等边三角形，

BE=AB=2<3.

•••四边形4BCD为正方形，

•■.A力BP与△4。尸关于2C对称.

PB=PD.

PD+PE=PB+PD>BE.

PD+PE有最小值为BE=2/3.

故选：A.

先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知BE=AB=2/，连接BP,依据正方形的对称性可知

PB=PD,则PE+PD=PE+BP.由两点之间线段最短可知：当点B、P、E在一条直线上时，PE+PD有

最小值，最小值为BE的长.

本题考查轴对称-最短路线问题，正方形的性质和等边三角形的性质，熟知“两点之间，线段最短”是解

答此题的关键.

12.【答案】D

【解析】解：①抛物线对称轴在y轴的右侧，

ab<0,

•・・抛物线交y轴的负半轴，

c<0,

abc>0,结论①正确；

②•••抛物线与x轴交于(-2,0)和(4,0)两点，

••・抛物线的对称轴为直线x=1,

b(

・一五二L

•••b=-2a,

•・•当久=-2时，y=4a—2b+c=0,

•••8。+c=0,

va>0,

9a+c>0,结论②正确；

③•・・抛物线与1轴交于(一2,0)和(4,0)两点，

2

•••ax+bx+c=0的两个根是%i=-2,%2-4,结论③正确；

(5),.,/)=—2a,

17

•••a=--D,

•・•当％=—2时，y=4a-2b+c=0,

・••—2b—2b+c=0,

4b=c,

•••b：c=1：4,结论④正确.

故选：D.

由抛物线的对称轴以及与y轴的交点即可判断①；当％=-2时，y=4a—2b+c=0,由抛物线与久轴的交

点求得对称轴，得到b=—2a,代入得8a+c=0,由a〉0,可得9a+c〉0,即可判断②；由抛物线与工

轴交于(一2,0)和(4,0)两点，可得a/+b%+c=0的两个根是久1=一2,x2=4,即可判断③；把a=

代入y=4a-2b+c=。,整理得到4b=c,即可得出b：c=1：4,即可判断④.

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数丫=a/+b%+c(aW0),二次项系数a决定抛物线的开

口方向：当。>0时，抛物线开口向上；当QV0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决

定对称轴的位置：当。与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左；当。与b异号时(即abV0),对称轴在y轴

右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与％轴交点个数：A=b2-4ac>0

时，抛物线与％轴有2个交点；A=b2-4ac=0时，抛物线与无轴有1个交点；A=b2-4ac<0时，抛物

线与无轴没有交点.

13.【答案】6(a-2)2

【解析】解：a2b-4ab+4b=b(a2—4a+4)=b(a—2)2

考查了对一个多项式因式分解的能力.本题属于基础题，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提

取公因式，再对余下的多项式继续分解.此题应先提公因式，再用完全平方公式.

本题考查因式分解的概念，注意必须将式子分解到不能分解为止.

完全平方公式：a2±2ab+/?2=(a±b)2.

14.【答案】—4

【解析】解：连接。4.

・・・zcly轴，A/L

・•・zc〃无轴，

•••S^AOC=ABC=2=1|fc|，g，

又fc<0,

**-k.=—4,

故答案为：-4.

根据反比例函数系数k的几何意义求出三角形oac的面积即可.

本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数的几何意义是解决问题的关键.

15.【答案】I

【解析】解：由圆周角定理得，乙BOD=2乙BCD=120°,

.­.^AOD=180°-乙BOD=60°,

•••劣弧力。的长=曙白，

故答案为：I

根据圆周角定理求出N8。。，得到NZ。。的度数，根据弧长公式计算，得到答案.

本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式/=黑是解题的关键.

loU

16.【答案】4

【解析】【分析】

考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是

变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，

变得容易处理.

设t=a?+b\t>0).由原方程得到t2—t—12=0求得t的值即可.

【解答】

解：设t=42+fo2(t>0).由原方程得到产一t-12=0.

整理,得(t-4)(t+3)=0.

所以t=4或t=一3(舍去).

即a?+炉的值为4.

故答案是：4.

17.【答案】解：(1)-1—|—2|+2sM30。+(V-3—V^)。

——3—2+2x—+1

=3—2+1+1

=3.

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答.

本题考查了实数的运算，零指数累，负整数指数累，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的

关键.

18.【答案】解：原式=(「芸："一，"ML).。-3)(久+3)

'(%—3)(%+3)(X—3)(x+3)yx

_x(x+9)(x—3)(%+3)

(x—3)(x+3)x

=%+9.

【解析】对于分式混合运算，其实也就是在同一个算式中，综合了分式的加减、乘除及乘方中的一种或几

种运算，关键是要注意各种运算的先后顺序.

对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后算加减，如果

遇括号要先算括号里面的.在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法.

19.【答案】证明：•.•BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

在RtAABF和RMDCE中，

(AB=DC

IBE=CF'

：.RtAABF^RtADCE(HL)

/-AFB=/-DEC,

：.OE=OF.

【解析】证明0R2DCE,根据全等三角形的性质得到乙4/8=NDEC,根据等腰三角形的判定

定理证明结论.

本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解

题的关键.

20.【答案】(2)如图3,

图3

(3)CF=BD；DF=BC；两组对边分别相等的四边形为平行四边形；

【解析】【分析】

利用几何语言画出对应的几何图形，然后根据平行四边形的判定方法可证明四边形DBCF是平行四边形.

本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质

把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行四边形的判定.

【解答】

(2)见答案;

(3)证明：如图3,

图3

•••CF=BD,DF=BC,

••・四边形D8CF是平行四边形.(两组对边分别相等的四边形为平行四边形).

故答案为：CF=BD,DF=BC；两组对边分别相等的四边形为平行四边形.

21.【答案】解：(1)把4(—2,1)代入g=久+b得一2+6=1,解得6=3；

把4(—2,1)代入％=;(k手0,x<0)得k=-2x1=-2,

.•.一次函数的表达式是为=X+3,反比例函数的表达式丫2=-|：

(2)由｛；二，解得｛；二］或1；二;2,

•••B点坐标为(一1,2),

设直线y=%+3与无轴的交点为C,

把y=。代入求得％=-3,

・•・C(_3,0),

■1-10

40B的面积=△B0C的面积一A4。C的面积=|x3x2-ix3xl=|.

【解析】⑴分别把4点坐标代入月=乂+6和%=：也丰0,乂<0)中计算出b和k的值即可；

(2)先确定B点坐标，然后设直线y=久+3与x轴的交点为C,求得C的坐标，再根据三角形面积公式求解.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析

式.

22.【答案】解：过点E分别作EM1于点M,EN1FH于点N,

则NEFN=31°,且四边形EMHN是矩形，

•••EN=MH,

在RtADEM中，/.DEM=26°,DE=109米，

DM=DE•sinzDFM=109xsin26°«109x0.44=47.96（米），

在RtAEFN中,EF=198米，

EN=EF-sin/EFN=198xsin31°«198x0.52=102.96（米），

•••EN=MH=102.96米,

BH=BD+DM+MH14+47.96+102.96=164.92~165（米）,

二“雪如意”的高度约为165m.

【解析】过点E分别作EM1于点M,EN1FH于点N,根据题意可得NEFN=31。，四边形EMHN是矩

形，从而可得EN=M”，然后在RtADEM中，利用锐角三角函数的定义求出DM的长，再在Rt△EFN

中，利用锐角三角函数的定义求出FN的长，从而求出的长，进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解

题的关键.

23.【答案】581.590°

【解析】解:(1)根据抽取的60<%<70为2人，在扇形中所占比例为10%,求得总抽取人数为2+10%=

20人.因此a=20-1-2-8-4=5,根据中位数定义，在所有抽取的的20人中，中位数是排名第10和第

11两位同学成绩的平均数，因此只需找到排名第10和第11的两位同学即可.根据图表一得知，排名第10

和第11的两位同学在80W久<90范围当中，80W久<90范围之前已有8名同学，因此在80Wx<90范围

中找寻排名第二和第三的即可.将80Wx<90这一组的数据进行从小到大排列，得到：

8081828486878888.因此第10名为81分，第11名为82分，因此中位数b=(81+82)+2=81.5.

(2)70<x<80这一范围共有5人，占抽取总人数的比例为5+20=25%,因此对应圆心角的度数为：

360°x25%=90°.

(3)根据图表一，成绩在80分以上的同学共有8+4=12人，占抽取总人数的比例为12+20=60%,因此

该校九年级一共有300x60%=180名学生的体质达标.

首先根据60<%<70以及扇形图中所占的比例求得抽取学生总人数.再根据总人数求得70<%<80的人

数.对于中位数的计算，还需熟练掌握中位数的定义.对于扇形圆心角度，需要求得70Wx<80的人数

占总抽取人数的比例，再根据比例转化到360度的扇形中，求得圆心角的度数.对于第三问，根据抽取的

同学推测全部同学，依据部分推断整体思想，根据比例求得.

本题主要考查扇形统计图的画法及用样本估计总体等知识.另外还需着重理解中位数的含义.

24.【答案】证明：(1)•••DE//BC,DF//AB,

••・四边形DEBF是平行四边形，

•••DE//BC,

•••乙EDB=乙DBF,

•・•80平分乙4BC,

1

•••(ABD=乙DBF=

•••Z-ABD=乙EDB,

.・.DE—BE,

又・・•四边形BEDF为平行四边形，

・•・四边形BEDF是菱形；

(2)如图，过点。作DF/1BC于”,

•・.DF//AB,

・•.AABC=乙DFC=60°,

DH1BC,

・•.Z,FDH=30°,

FH=^DF,DH=0FH=£DF，

乙z

•••ZC=45°,DH1BC,

ZC=AHDC=45°,

DC=yJ~2DH-竽DF=6，

DF=2<6.

菱形BEDF的边长为2幅.

【解析】(1)由题意可证BE=DE,四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形;

(2)过点D作DH1BC于H,由直角三角形的性质可求解.

本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的判定定理是本题的关键.

25.【答案】解:(1)由题意得，点。和点4的坐标分别为(0,0)和(20,0),

•••8为函数顶点，

设抛物线解析式为y=a(x-h)2+k,

••・顶点B(10,4),

y=a(x-10)2+4,

再将。(0,0)代入解析式可得，a(0-10)2+4=0,

解得a=—亲

二抛物线的解析式为y=一/0-10)2+4(0<%<20)；

(2)由题意得，令y=2可得，—元Q—10)2+4=2,

解得/=10+5/1,久2=10-572,

•••桥拱宽度为：10+5/2-(10-5/2)=10/2(^)

(3)两小舟能同时从桥下穿过，理由如下：

•••两小舟的高均为3米，

...当y=3时，一击(X—10)2+4=3,

解得刀1=15,冷=5,

••.最大能通行的宽度为：15-5=10(米)，

「两小周宽为4米，

10>4+4=8,

•••两小舟能同时从桥下穿过.

【解析】(1)设抛物线解析式为y=a(x-仅2+匕再根据题意求解即可;

(2)由题意得，令y=2解出方程即可得到解答;

(3)由题意得，令y=3解出方程，再进行判断即可得到解答.

本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键.

26.【答案】⑴证明:连接。4

••,BC为O。的直径，B4平分NW,AD1BF,

：.乙ADB=/.BAC=90°,/.DBA=Z.CBA；

Z.OAC=Z-OCA,

・•・/.DAO=/.DAB+/-BAO=Z-BAO+Z.OAC=90°,

为。。的切线.

(2)解：BD=1,tan^ABD=2,

AD=2,

AB=AD2+BD2=V22+l2=y/~5,

•••cos乙DBA—半；

•・•乙DBA=乙CBA,

AB<5

•••80=^^=逅=c5.

5

.・・。。的半径为2.5.

【解析】(1)要证4。是。。的切线，连接。4,只证“20=90唧可.

(2)根据三角函数的知识可求出力D,从而根据勾股定理求出4B的长，根据三角函数的知识即可得出。。的

半径.

本题考查了切线的判定和性质.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径

),再证垂直即可.同时考查了三角函数的知识.

27.【答案】BM=PDCN=>[2PD

【解析】解：(1)BM=PD,CN=y[2PD,理由如下：

当n=l,贝!AP=AM,

AD-APAB-AM,

DP=BM,

•••四边形4BCD是矩形，四边形2MNP是矩形，

•••AD=CD=AB,AP=AM=NP,^ADC=乙APN=90°,

AC=Yla。，AN=ypiAP,

：.AC-AN=72(X0-4P).

CN=y[2PD,

故答案为：BM=PD,CN=，IP。；

(2)CN与PD之间的数量关系发生变化，CN=与PD，理由如下：

如图(1)在矩形4BCD和矩形力MNP中，

,•,当九=2时，AD=2AB,AP=2AM,

AC=AD>AN=AP>

.AC_AN

••---9

ADAP2

如图(3),连接AC,

图⑶

•・•矩形AMNP绕点4顺时针旋转，

・•・乙NAC=Z.PAD,

ANCs^APD,

CNAC<5

-=-=-9

PDAD2

CN=帝。；

(3)线段CN的长为，西-2或，西+2.理由如下:

如图3.1,当点N在线段CM上时，

CB

图3.1

•••AD=4,AD=2AB,

AB=CD=2,

•••AC=AD2+CD2=V16+4=<20>

•••AP=2,AP=2AM,

：.AM=1,

CM=y/AC2-AM2=V20-1=g，

：.CN=CM-MN\A19-2;

如图3.2,当点M在线段CN上时，

同理可求CM=719>

CN=CM+MN=V39+2;

综上所述：线段CN的长为/语-2或，西+2.

(1)根据题意得出AD=AB,AP=AM,即可推出DP=BM,根据矩形的性质得出AD=CD=AB,AP=

AM=NP,^ADC=AAPN=90°,则4C=<Z4D，AN=0AP,即可得出CN=7IPD;

(2)根据题意得出4D=24B,AP=2AM,进而得出AN="AP，则%=*=¥，连接

乙ZjcixZ

AC,通过证明△ANCSAAPD,即可得出结论；

(3)当点N在线段CM上时，根据勾股定理求出ac=M+CD2=则CM=-4M2=厅,

即可得出CN=CM-MN=，近一2;当点M在线段CN上时，同理可求CM