2020-2021学年丽水市高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年丽水市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.直线3x-V3=。的倾斜角是（）

A.30°B.60°C.90°D.不存在

2.已知点B（2,t,t）,则4、B两点距离的最小值为（）

A更B.退C.述D.2

555

X+2y—2<0

3.若曲线/+y2=「2经过不等式组3x+y-320表示的平面区域，贝忏的取值范围是（）

,y>0

A•舄，旬B.2]C.[1,2]D.[1,4]

4.如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，贝M）

A.球的体积等于圆柱体积的右球的表面积等于等于圆柱的侧面积

B.球的体积等于圆柱体积的|,球的表面积等于等于圆柱的表面积

C.球的体积等于圆柱体积的|,球的表面积等于等于圆柱的测面积

D.球的体积等于圆柱体积的球的表面积等子等于圆柱的表面积

5.已知函数/。）=M05（3》+9）04>0,3>0,06/?）,则“/0）是奇函数”是“0=匹”的（）

喔

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.与圆C：/+3+5）2=3相切、且纵截距和横截距相等的直线共有（）

A.2条B.3条C.4条D.6条

7.下列四个结论：①若矛>0,则x>sinx恒成立；②命题“若x-sinx=0,贝卜=0"的逆命

题为“若X。0,则x-sinX。0”；③“命题P或4为真”是“命题P且0为真”的充分不必

要条件；④命题”的否定是“土。£凡而一此而工.其中正确结论的

个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.正方体4BCD—&B1GD1中，BBi与平面AC%所成角的余弦值为()

A.也B.立C.ID.在

3333

9.不论取任何实数，直线/：(活-l)x-y+2阳+1=0恒过一定点，则该定点的坐标是()

A.(2,3)B.(-2.3)C.(-2,0)D.(1-1)

10.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为凡准线为1与X轴的交点为P,点4在抛物线C上,

过点4作441_U,垂足为4,若四边形44'PF的面积为14,

且则抛物线C的方程为()

5

A.y2=%B,y2=2%C.y2=4%D.y2=8x

11.设"=｛正四棱柱｝,N=｛直四棱柱｝,P=｛长方体｝,Q=｛直平行六面体｝,则四个集合的关系

为()

A.MJP冬N与QB.McpcQcw

C.PcMc/vcQD.PCMCQc/v

12.已知椭圆2+?=1的焦点在x轴上，B],为是椭圆短轴的两个端点，F是椭圆的一个焦点，且

乙B/B2=120°,则m=()

A.2V3B.6C.12D.16

二、单空题(本大题共6小题，共28.0分)

13.已知直线?经过坐标原点，直线m与1平行，且直线m在心y轴上的截距相等，则直线/的方程是

14.如图，点。为正方体的中心，点E为面B'BCC'的中心，点F为B'C'的中点，则

15.已知a,b为异面直线，且a,b所成角为40。，直线c与a,b均异面，且所成角均为仇若这样的c共

有四条，贝码的范围为.

16.已知空间向量为=(1,3,2),3=(1,0,1).p=ka-2b，q=3a+4b，^p//q，则实数A=.

17.设椭圆捻+'=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,其焦距为2c,点Q(c()在椭圆的内部,

点P是椭圆C上的动点，且|PFi|+|PQ|<5|&F2l恒成立，则椭圆离心率的取值范围是.

18.圆C：x2+y2-2x-2y-7=0,设P是该圆的过点(3,3)的弦的中点，则动点P的轨迹方程是

三、多空题(本大题共1小题，共6.0分)

19.已知曲线C的方程为哈+£=1,则当C为双曲线时，k的取值范围是___；当C为焦点在y轴

四1-K

上的椭圆时，k的取值范围是.

四、解答题(本大题共4小题，共56.0分)

20.如图所示，在四棱锥E-•力BCD中，平面4BCD1平面BCE,四边

形4BCD为矩形，BC=CE,点?为CE的中点.

(1)证明：AE〃平面BDF；

(2)若点P为线段4E的中点，求证：BE_L平面PCD.

21.已知圆C以点(一1,0)为圆心，且被直线y=x-1截得弦长为2夜.

(1)求圆C的方程；

(2)点M是圆C上任意一点，问是否存在不同于原点。的定点力使耦=4恒成立。为常数，，>0)?若

存在，试求出满足条件的点4的坐标及4的值；若不存在，请说明理由.

22.如图，PA1平面4BCD,四边形4BCD是矩形，PA=AB=1,PD

与平面4BCD所成角是30。，点尸是PB的中点，点E在边BC上移

动.

(1)点6为3。的中点时，试判断E尸与平面PAC的位置关系，并说明

理由；

(n)证明：无论点E在边BC的何处，都有PEJ.4F；

(DI)当BE等于何值时，二面角P-DE-4的大小为45。.

23.已知函数/(x+2)为偶函数，抛物线/(x)与x轴交于两点4,B,\AB\=2,与y轴交于点(0,3),

(1)求/Q)的解析式：

(2)过抛物线f(x)上任意一点P作与直线/：2x+y+3=0夹角为30。的直线，交［于点4求］P川的最

小值.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：由已知直线3x-遍=0的斜率不存在，所以其倾斜角是90。；

故选C.

根据直线倾斜角与斜率的关系解答.

本题考查了直线的倾斜角；如果直线的倾斜角为a(a#90。)，则它的斜率为tana；当a=90。时，斜

率不存在.

2.答案：C

解析：

本题给出两点含有字母参数t的坐标，求两点间的最短距离，着重考查了两点间的距离公式和二次函

数的性质等知识，属于基础题.

由两点的距离公式，算出|4B|2关于t的式子，结合二次函数的性质可得t=：时，|48|2有最小值，相

应地小B两点距离也取得最小值.

解：•・,点4(1-t,1-t,t),B(2ft,t),

・，.=(c+1)2,|_(2£—1)2+(c—t)2=5/—2t+2,

•••t=：时，\AB\2=5t2_2t+2=5(t-1)2+3取得最小值

••・当”谢，的最小值为公

55

故选：C.

3.答案：B

解析:

作出不等式组对应的平面区域,利用N的几何意义进

行求解即可.

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决

本题的关键.

解：作出不等式组对应的平面区域如图：

x2+y2=N的几何意义，为区域内的点到原点的距

离的平方，

由图象知，C(2,0)到原点的距离最大，此时N=4,

圆心到直线4B：3x+y—3=0的距离最小，

此时日=晟=高则产=总，

则白Sr2s4,得型<r<2

io10

故选:B.

4.答案：C

解析：解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R,高为2R；

；•球的体积为晞=岸/?3,表面积为S球=4TTR2；

圆柱的体积是明住=兀氏2.2R=2TTR3,

侧面积为S窗柱网=2nR-2R=4TT/?2.

:・丫球=圆柱，s球=s圆柱侧.

故选：C.

根据球与圆柱的体积和表面积公式，计算即可得出结论.

本题考查了球与圆柱的体积与表面积计算问题，是基础题.

5.答案：B

解析：若/'(x)是奇函数，则w=%+卜兀(16Z),且当s=%时，f(x)为奇函数.

6.答案：C

解析：

本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距和斜率问题，是中档题.

先求己知圆的圆心和半径，原点和圆心的距离大于半径，判定原点在圆外，则存在过原点的两条线

与圆C：/+(y+5)2=3相切；有2条斜率为一1的切线，即可得答案.

解：已知圆的圆心(0,-5),半径是国，显然原点在圆外，

所以，与圆C：/+3+5)2=3相切、且纵截距和横截距相等的直线，

过原点的有两条，斜率为-1的有两条，共4条.

故选C.

7.答案：B

解析：解析：本题考查逆命题，充分必要条件，全称命题的否定。

①正确；②逆命题应为：若％=0,则％-sinx=O；③命题少或夕为真，则p,q至少有一个为

真，所以为

必要不充分条件；④正确，故选艮

8.答案：D

解析：

本题考查利用空间向量求直线和平面所成角.

确定空间点的坐标，根据点的坐标求向量的坐标，熟记向量夹角余弦的坐标公式，要弄清直线和平

面所成角和直线方向向量和平面法向量夹角的关系.

不妨设正方体的棱长为1,如图建立空间直角坐标系，则。建,0,0),B(L1,O)，BKLLI).

平面的一个法向量为西=(1,1,1)，

又西=(0,0,1)-

设BBi与平面AC%所成角为仇

项;•斯［

•••sin6=|cos（DBi，BB［）\=_i_V3

|DBT||BB7|-V3X1-3

•••BB1与平面4CD1所成角的余弦值为

故选D

9.答案：B

解析：略

10.答案：C

解析：分析：

本题主要考查了抛物线的定义标准方程及其性质、四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能

力，属于中档题.

过点尸作FF'144',垂足为设|小叫=3x,根据cos/F44'=|,可得|AF|=5x,|尸'F|=4元由抛物

线定义可得：\AF\=|A4'|=5x.\A'F'\=2x=p,解得尤利用四边形A4'PF的面积S=（殁皿叱M

即可得出.

解：过点尸作FF'1/M',垂足为F'.设|AF'|=3x,

vcosZ-FAAr=/.\AF\=5x,|尸'用=4%,

由抛物线定义可得：\AF\=\AAf\=5x,

则|AF|=2x=p,解得*=今

四边形44'P尸的面积s=（IPFI+DIPA'I=3+初2P

22

=14,解得p=2.

二抛物线C的方程为y=4x.

故选：C.

11.答案：B

解析：解：M=｛正四棱柱｝;底面是正方形的直棱柱；

N=｛直四棱柱｝:是侧棱与底面垂直的四棱柱，底面是四边形即可;

P=｛长方体卜底面是矩形侧棱垂直底面的四棱柱；

Q=｛直平行六面体｝:是侧棱垂直底面的四棱柱；

故选：B.

明确正四棱柱、直四棱柱、长方体、直平行六面体间的概念的内涵，四个定义中底面的形状的要求,

侧棱和底面的关系，容易得到答案.

本题考查棱柱的结构特征，对概念的理解，概念间的关系，是基础题.

12.答案：C

解析：

本题主要考查椭圆性质的应用，结合三角形边角关系建立方程是解决本题的关键，是基础题.

根据椭圆的方程表示出a,b,c,结合三角形的夹角关系建立方程进行求解即可.

解：•••椭圆¥+日=1的焦点在x轴上，

m9

・•・a2=m,b2=9,c2=m—9,

则b=3,c=Vm-9,(m>9),

乙B/B?=120°,・•・4BiFO=60°,

'TO\/FJ

则tanNB[F。=微=^===遮，

即1=3,则上=3,

c2m-9

得m—9=3,得TH=12,

故选：c.

13.答案：x+y=0

解析：解：直线m在x,y轴上的截距相等，一是经过坐标原点，一是直线的斜率为-1,

二直线I的方程是：x+y=0.

故答案为：x+y=0.

直线在坐标轴上的截距相等，如果直线不经过原点，则直线的斜率为-1,求出直线，的方程即可.

本题考查直线方程的求法，基本知识的考查.

14.答案：①②③

解析：

本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查正方体的性质，本题是一个基础题，是为后面学习三

视图做准备，告诉我们从三个不同的角度观察图形结果不同，根据平行投影的特点和正方体的性质，

得到分别从正方体三个不同的角度来观察正方体，得到三个不同的投影图，逐个检验，得到结果，

属于基础题.

解：由题意知光线从上向下照射，得到③，

光线从前向后照射，得到①，

光线从左向右照射得到②，

故答案为①②③.

15.答案：(70°,90°)

解析：解：设平面a上两条直线九分别满足?n〃a,n//b

则m,n相交，且夹角为40。，

若直线c与a,b均异面，且所成角均为0,

则直线c与m,ri所成角均为仇

当0。W0＜20。时，不存在这样的直线c,

当。=20。时，这样的c只有一条，

当20。＜6＜70。时，这样的c有两条，

当。=70。时，这样的c有三条，

当70。＜。＜90。时，这样的c有四条，

当。=90。时，这样的c只有一条，

故答案为：(70°,90°)

由已知中a,b所成角为40。，平面a上两条直线m,n分别满足m〃a,n//b,则m,n相交，且夹角为

40°,且直线c与m,ri所成角均为仇分类讨论。取不同值时，直线c的条数，最后根据讨论结果，可

得答案.

本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，熟练掌握空间直线与直线夹角的定义及几何特征是解

答的关键.

16.答案：—|

解析：解：•.・空间向量五=(132),3=(101)，

••p=ka-2b=(k—2,3k,2k—2),

q=33+46=(7,9,10)，

—>./—k—23k2k—2

:、——=——=----

,:p1qV,7910

3

解得实数k

2*

故答案为：-|

利用向量坐标运算法则求出万=k五一2石=(fc-2,3k,2k-2')，q=3a+4b=(7,9,10),再由万〃于,

能求出实数k的值.

本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

17.答案：(消)

解析：解：■:点Q(C^)在椭圆的内部，••・尤＞：,贝IJ2b2＞。2,即

na2

a2>2c2.

..一<g^\PF1\+\PQ\=2a-\PF2\+\PQ\,

a2

又因为一IQF2I+\PQ\<\PQ\-\PF2\<IQF2I，且IQBI=p

要|PF1|+|PQ|<5|F/2l恒成立，即2a-|PF2l+|PQIW2a+?<5x2c,羊<10,则

则椭圆离心率的取值范围是G，¥),

故答案为：©净.

点Q(c，》在椭圆的内部，则《>三，\PF1\+\PQ\^2a-\PF2\+\PQ\,由一IQF2I+|PQIS|PQI-

4a2

\PF2\<IQF2I，且IQF2I=p要IPF/+|PQ|<5尸抵|恒成立，即2a-\PF2\+\PQ\<2a+^<5x2c,

即可求得椭圆的离心率的取值范围.

本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键，属于难题.

18.答案:(%-2)2+0-2)2=2

解析：解：•・•圆C:/+y2一2%-2y_7=0,化成标准方程得(X-1)

(y1)2=9,

二圆心为半径r=3.

设4(3,3),连结PC

・•・P是该圆的过点(3,3)的弦的中点，

•••PC1AP,可得点P在以4c为直径的圆上运动.

v\AC\=’(3—1)2+(3-1)2=2V2,AC的中点为B(2,2)

.••以4c为直径的圆的圆心为8(2,2),半径R=^力(?|=鱼，

其方程为(X-2)2+(y_2)2=2,即为动点P的轨迹方程.

故答案为：(x-2)2+(y-2)2=2

由题意求出圆C的圆心为设4(3,3),由垂径定理得PC_LAP,可得点P在以AC为直径的圆上

运动.根据两点间的距离公式与中点坐标公式，求出以4C为直径的圆的圆心为8(2,2)、半径R=V2,

得到其方程为(x-2尸+(y—2/=2,即为动点P的轨迹方程.

本题给出经过定点的直线与已知圆相交，求截得弦的中点轨迹方程.着重考查了垂径定理、两点间

的距离公式和中点坐标公式等知识，考查了轨迹方程的求法，属于中档题.

19.答案：(1,+8)；

1

(-8,0)u(0,-)

解析：

本题还考查了双曲线的标准方程，椭圆的标准方程.属较易题.

根据曲线是双曲线时，方程中含y2项和含/的项异号，列出不等式，求出k的范围；要使曲线为焦点

在y轴上的椭圆，方程中产的分母i-k大于/分母因，且都大于o,列出不等式组，求出k的范围.

解：曲线为双曲线o|同(1一£)<0,

户(1-fc)<0或尸(1-fc)<o

Ifc>0&<0

Qk>1,即々的取值范围是(1,+8).

曲线为焦点在y轴上的椭圆"瑞紫—

代V(1-k)或厂k<l-k

Ik>0U<0

<=>k<0或。<kV*

故答案为：(1,+8),(_8,0)u(0,).

20.答案：证明：(1)连结AC,交BD于。，连结0凡

•••四边形4BCD为矩形，二。是AC中点，

•••点尸为CE的中点，••.4E〃0F,

vOFu平面BDF,AEC平面BDF,

•••AE〃平面BDF.

(2)取BE中点G连结CG、PG,

•••四边形4BCD为矩形，点P为线段4E的中点，PG//AB//CD,

.,・平面PCD与平面PCDG是同一个平面，

••,四边形4BCC为矩形，AB1BC,

•••平面4BCD_L平面BCE,二AB1平面BCE,

vPG//AB,：.PGI5?ffiBCF,PG1BE,

"BC=CE,点尸为CE的中点，•••CGJ.BE,

•:PGCCG=G,•.BE_L平面PCD.

解析：(1)连结AC,交BD于0,连结。F,推导出4E〃0F,由此能证明4E〃平面8。口

(2)取8E中点G,连结CG、PG,则PG〃AB〃CD,由AB1BC,得1平面BCE,从而PG，平面BCE,

进而PGJ.BE,再由BC=CE,点产为CE的中点，得CGJ.BE,由此能证明BE_L平面PCD.

本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查运算求解能力，是中档题.

21.答案：解：(1)根据题意，设圆C的方程为(x+l)2+y2=M(r>。)

则由条件得2夜=2b_(哥,解得Z=4,

所求圆的方程为(x+I)2+y2=4；

(2)假设存在满足条件的点4(m,n)(m,n不同时为零)，

设=4>0.则/”—

\〃\MA\J(%_?n)2+(y-n)2

化简得(1—A2)(x2+y2)+2mX2x+2nA2y—A2(m2+n2)=0①

又M(x,y)满足(％+l)2+y2=4(2)

联立①②，消去直得2Km+1)A2—l]x+2大22y+3—A2(?n24-n2+3)=0③

由M的任意性知方程③有无穷多解，

(2mA2+2A2-2=0

・•・|2nA2=0,

(.3—A2(m2+M+3)=0

解得九=0,m=3,A=-f

解得A(3,0),A=1.

解析：本题考查直线与圆的方程的综合应用，关键是利用直线与圆的位置关系求出圆的方程，属于

中档题.

(1)根据题意，设圆(?的方程为(>+1)2+丫2=「20>0),由直线与圆的位置关系可得2&=

2卜_(哥,解得r的值，结合圆的标准方程即可得答案；

(2)假设存在满足条件的点设M(x,y),则有‘屋熏一序=九变形可得化简得(1-

2*2)(x2+y2)+2mA2x+2nA2y-A2(m2+n2)=0,结合圆的方程可得(x+l)2+y2=4,联立两个

式子可得2[(m+1)22—l]x+2nA.2y+3—A2(m2+n2+3)=0,由M的任意性可得该方程有无穷多

解，据此分析可得答案.

22.答案：(I)解：连接PC,EF,当点E为BC的中点时，EF与平面P4C平行.

•.•在APBC中，E、F分别为BC、PB的中点，

•••EF//PC.

又EFC平面R4C,PCu平面P4C,

EF〃平面P4C;

(II)证明：••・P41平面ABCD,BEu平面/BCD,

•••BE1PA,

•••四边形4BCD是矩形，

•••BE1AB,

又ABCMP=A,AP,4Bu平面PAB,

BE_L平面PAB,

又4Fu平面P4B,

•••AF±BE.

又R4=AB=1,且点尸是PB的中点，

•••PBLAF,

又♦；PBCBE=B,PB、BEu平面PBE,

AF，平面PBE,

vPEu平面PBE,

■•■AFIPE,

故无论点E在边BC的何处，都有PE1AF;

(HI)解：当BE=百一迎时，二面角P—CE-4的大小为45。.

过A作AG1DE于G,连接PG,

•••P4平面4BCD,OEu平面4BCD,

DE1PA,

X---PA,AGu平面PAG,PACtAG=A,

DE1,平面PAG,vPGu平面PAG,

•••DE1PG,

则4PG4是二面角P-DE—A的平面角，:4PG4=45°,

vPAL平面ABC。，

•••4PDA就是PD与平面ABC。所成的角，即4PD2=30°,

又PA=AB=1,AD=V3AG=1，DG=V2,

设BE=x,贝!]GE=x,CE=V3—x>

在Rt△力CE中,(V2+x)2=(V3-x)2+l.

解得x=V3—&或x=y/3+&(舍去)，

故当BE=8一迎时，二面角P-DE-4的大小为45。.

解析：本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定及性质，二面角等知识点，属于中档题.

(/)当点E为BC的中点时，由三角形中位线定理可得EF〃PC,进而由线面平行的判定定理可得EF〃平

面P4C.

(〃)由题意可得此题是