物理选修32人教全程导学笔记第四章电磁感应微型专题2

微型专题2电磁感应中的电路、电荷量及图象问题[课时要求]1.掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和解题基本思路.2.掌握电磁感应电路中感应电荷量求解的基本思路和方法.3.综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应的图象问题．一、电磁感应中的电路问题电磁感应问题常与电路知识综合考查，解决此类问题的基本方法是：(1)明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路．(2)画等效电路图，分清内、外电路．(3)用法拉第电磁感应定律E＝neq\f(ΔΦ,Δt)或E＝Blv确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向．在等效电源内部，电流方向从负极指向正极．(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解．例1固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd边长为L，其中ab是一段电阻为R的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可以忽略的铜线．磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．现有一段与ab段的材料、粗细、长度均相同的电阻丝PQ架在导线框上(如图1所示)．若PQ以恒定的速度v从ad滑向bc，当其滑过eq\f(L,3)的距离时，通过aP段的电流是多大？方向如何？图1答案eq\f(6BLv,11R)方向由P到a解析PQ在磁场中做切割磁感线运动产生感应电动势，由于是闭合回路，故电路中有感应电流，可将电阻丝PQ视为有内阻的电源，电阻丝aP与bP并联，且RaP＝eq\f(1,3)R、RbP＝eq\f(2,3)R，于是可画出如图所示的等效电路图．电源电动势为E＝BLv，外电阻为R外＝eq\f(RaPRbP,RaP＋RbP)＝eq\f(2,9)R.总电阻为R总＝R外＋r＝eq\f(2,9)R＋R＝eq\f(11,9)R，电路中的电流为：I＝eq\f(E,R总)＝eq\f(9BLv,11R).通过aP段的电流为：IaP＝eq\f(RbP,RaP＋RbP)I＝eq\f(6BLv,11R)，方向由P到a.1．“电源”的确定方法：“切割”磁感线的导体(或磁通量发生变化的线圈)相当于“电源”，该部分导体(或线圈)的电阻相当于“内电阻”．2．电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极．二、电磁感应中的电荷量问题例2面积S＝0.2m2、n＝100匝的圆形线圈，处在如图2所示的匀强磁场内，磁场方向垂直于线圈平面，磁感应强度B随时间t变化的规律是B＝0.02tT，R＝3Ω，C＝30μF，线圈电阻r＝1Ω，求：图2(1)通过R的电流方向和4s内通过导线横截面的电荷量；(2)电容器的电荷量．答案(1)方向由b→a0.4C(2)9×10－6C解析(1)由楞次定律可得线圈中电流的方向为逆时针，通过R的电流方向为b→a，q＝eq\x\to(I)Δt＝eq\f(\x\to(E),R＋r)Δt＝neq\f(ΔBS,ΔtR＋r)Δt＝neq\f(ΔBS,R＋r)＝0.4C.(2)由E＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝nSeq\f(ΔB,Δt)＝100×0.2×0.02V＝0.4V，I＝eq\f(E,R＋r)＝eq\f(0.4,3＋1)A＝0.1A，UC＝UR＝IR＝0.1×3V＝0.3V，Q＝CUC＝30×10－6×0.3C＝9×10－6C.1．求解电路中通过的电荷量时，一定要用平均感应电动势和平均感应电流计算．2．设感应电动势的平均值为eq\x\to(E)，则在Δt时间内：eq\x\to(E)＝neq\f(ΔΦ,Δt)，eq\x\to(I)＝eq\f(\x\to(E),R)，又q＝eq\x\to(I)Δt，所以q＝neq\f(ΔΦ,R).其中ΔΦ对应某过程磁通量的变化，R为回路的总电阻，n为电路中线圈的匝数．针对训练如图3所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B.一半径为b(b＞a)，电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合．当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线环横截面的电荷量为()图3A.eq\f(πB|b2－2a2|,R) B.eq\f(πBb2＋2a2,R)C.eq\f(πBb2－a2,R) D.eq\f(πBb2＋a2,R)答案A解析开始时穿过导线环向里的磁通量设为正值，Φ1＝Bπa2，向外的磁通量则为负值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，总的磁通量为它们的代数和(取绝对值)Φ＝B·π|b2－2a2|，末态总的磁通量为Φ′＝0，由法拉第电磁感应定律得平均感应电动势为eq\x\to(E)＝eq\f(ΔΦ,Δt)，通过导线环横截面的电荷量为q＝eq\f(\x\to(E),R)·Δt＝eq\f(πB|b2－2a2|,R)，A项正确．三、电磁感应中的图象问题1．问题类型(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象．(2)由给定的图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量．2．图象类型(1)各物理量随时间t变化的图象，即B－t，Φ－t，E－t和I－t图象．(2)导体切割磁感线运动时，还涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移变化的图象，即E－x和I－x图象．3．解决此类问题需要熟练掌握的规律：安培定则、左手定则、楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律、欧姆定律等．例3(2016·宁波三中期中)在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向如图4甲所示，当磁场的磁感应强度B随时间t按图乙变化时，图中能正确表示线圈中感应电动势E变化的是()图4答案A解析由题图乙知，0～1s内磁通量向上均匀增加，根据楞次定律知，电流方向为正且保持不变；3～5s内磁通量向上均匀减少，由楞次定律知，电流方向为负且保持不变．由法拉第电磁感应定律知，感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比，所以3～5s内的电动势是0～1s内的电动势的eq\f(1,2)，故选项A正确．本类题目线圈面积不变而磁场发生变化，可根据E＝neq\f(ΔB,Δt)S判断E的大小及变化，其中eq\f(ΔB,Δt)为B－t图象的斜率，且斜率正、负变化时对应电流的方向发生变化.例4(2017·慈溪高二期中)如图5所示，有一等腰直角三角形形状的导线框abc，在外力作用下匀速地经过一个宽为d的有限范围的匀强磁场区域，导线框中产生的感应电流i与沿运动方向的位移x之间的函数图象是图中的(规定逆时针为电流正方向)()图5答案B解析开始时导线框进入磁场切割磁感线，根据右手定则可知，电流方向为逆时针，当导线框开始出磁场时，回路中磁通量减小，产生的感应电流为顺时针；不论进入磁场还是出磁场时，由于切割的有效长度变小，导致产生的感应电流大小变小，故B正确，A、C、D错误．1．(电磁感应中的电路问题)(多选)(2017·慈溪高二上学期期中联考)如图6所示，虚线框内是磁感应强度为B的匀强磁场，用同种导线制成的正方形线框abcd的边长为L(L小于磁场宽度d)，线框平面与磁场方向垂直．导线框以恒定速度v水平向右运动，当ab边刚进入磁场时，ab两端的电势差大小为U1；当cd边刚进磁场时，ab两端的电势差大小为U2，则()图6A．U1＝BLv B．U1＝eq\f(3,4)BLvC．U2＝BLv D．U2＝eq\f(3,4)BLv答案BC解析ab边进入磁场切割磁感线，产生的感应电动势E＝BLv，ab两端的电势差大小U1＝eq\f(3,4)E＝eq\f(3,4)BLv.当cd边刚进磁场时，回路中无感应电流，则ab两端的电势差大小为U2＝BLv.2．(电磁感应中的电荷量问题)如图7所示，将一半径为r的金属圆环在垂直于环面的磁感应强度为B的匀强磁场中用力握中间成“8”字形(金属圆环未发生翻转)，并使上、下两圆环半径相等．如果环的电阻为R，则此过程中流过环的电荷量为()图7A.eq\f(πr2B,R) B.eq\f(πr2B,2R)C．0 D.eq\f(3πr2B,4R)答案B解析流过环的电荷量只与磁通量的变化量和环的电阻有关，与时间等其他量无关，ΔΦ＝Bπr2－2·Bπeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2＝eq\f(1,2)Bπr2，因此电荷量为q＝eq\f(ΔΦ,R)＝eq\f(πr2B,2R)，故选B.3．(电磁感应中的图象问题)(2017·余姚中学高二上学期期中)如图8所示，两条平行虚线之间存在匀强磁场，虚线间的距离为l，磁场方向垂直纸面向里，abcd是位于纸面内的梯形线圈，ad与bc间的距离也为l，t＝0时刻，bc边与磁场区域左边界重合．现令线圈以向右的恒定速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域，取沿a→b→c→d→a方向的感应电流为正，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化的图线是图中的()图8答案B解析开始时bc边进入磁场切割磁感线，根据右手定则可知，电流方向为逆时针，即为负方向，故A、C错误；当bc边开始出磁场时，回路中磁通量减小，产生的感应电流为顺时针，方向为正方向，因此D错误；电流方向先为逆时针，后为顺时针，并都逐渐增大，故B正确．4．(电磁感应中的图象问题)一矩形线框位于一随时间t变化的匀强磁场内，磁场方向垂直线框所在的平面(纸面)向里，如图9甲所示，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示．以i表示线框中的感应电流，以图甲中线框上箭头所示方向为电流的正方向(即顺时针方向为正方向)，则以下的i－t图中正确的是()图9答案C一、选择题考点一电磁感应中的电路问题1．如图1所示，设磁感应强度为B，ef长为l，ef的电阻为r，外电阻为R，其余电阻不计．当ef在外力作用下向右以速度v匀速运动时，ef两端的电压为()图1A．Blv B.eq\f(BlvR,R＋r)C.eq\f(Blvr,R＋r) D.eq\f(Blvr,R)答案B2.如图2所示，由均匀导线制成的半径为R的圆环，以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的有直线边界(图中竖直虚线)的匀强磁场．当圆环运动到图示位置(∠aOb＝90°)时，a、b两点的电势差为()图2A.eq\r(2)BRv B.eq\f(\r(2),2)BRvC.eq\f(\r(2),4)BRv D.eq\f(3\r(2),4)BRv答案D解析设整个圆环的电阻为r，位于题图所示位置时，电路的外电阻是圆环总电阻的eq\f(3,4)，即磁场外的部分．而在磁场内切割磁感线的有效长度是eq\r(2)R，其相当于电源，E＝B·eq\r(2)R·v，根据欧姆定律可得U＝eq\f(\f(3,4)r,r)E＝eq\f(3\r(2),4)BRv，选项D正确．3．用均匀导线做成的正方形线框边长为0.2m，正方形的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图3所示．当磁场以10T/s的变化率增强时，线框中a、b两点间的电势差大小是()图3A．0.05V B．0.1VC．0.15V D．0.2V答案B解析正方形线框的左半部分磁通量发生变化而产生感应电动势，从而在线框中有感应电流产生，把左半部分线框看成电源，其电动势为E，内阻为eq\f(r,2)，画出等效电路如图所示，则a、b两点间的电势差大小即为电源的路端电压，设l是正方形线框的边长，且依题意知eq\f(ΔB,Δt)＝10T/s.由E＝eq\f(ΔΦ,Δt)得E＝eq\f(ΔBS,Δt)＝eq\f(ΔB,Δt)·eq\f(l2,2)＝10×eq\f(0.22,2)V＝0.2V，所以U＝IR＝eq\f(E,\f(r,2)＋\f(r,2))·eq\f(r,2)＝0.1V，故B选项正确．4．如图所示，相同长度的同材料导线做成不同几何形状的单匝线圈，有等边三角形、正方形、圆形，将它们放在有直线边界的匀强磁场中，线圈平面与磁场垂直，现以相同的速度v将线圈从磁场中拉出，当线圈的一半在磁场中时，线圈与磁场边界交点间电压最大的是()答案C解析设导线的总长度为s.A图中，设圆的直径为d，则πd＝s，有效切割长度d＝eq\f(s,π)；B图中，设正方形边长为L，则4L＝s，有效切割长度L＝eq\f(s,4)；C图中，有效切割长度为l＝eq\r(2)L＝eq\f(\r(2)s,4)；D图中，设正三角形的边长为a，则3a＝s，a＝eq\f(s,3)，有效切割长度h＝asin60°＝eq\f(\r(3),6)s.由数学知识可知，C图中有效切割长度最大，产生的感应电动势最大，则线圈与磁场边界交点间电压最大，C正确．5．如图4所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a，总电阻为R(指剪开拉直时两端的电阻)，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面．环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为eq\f(R,2)的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为()图4A.eq\f(Bav,3) B.eq\f(Bav,6)C.eq\f(2Bav,3) D．Bav答案A解析导体棒AB摆到竖直位置时，AB切割磁感线的瞬时感应电动势E＝B·2a·eq\f(1,2)v＝Bav.外电路电阻大小为eq\f(\f(R,2)·\f(R,2),\f(R,2)＋\f(R,2))＝eq\f(R,4)，由闭合电路欧姆定律有|UAB|＝eq\f(E,\f(R,2)＋\f(R,4))·eq\f(R,4)＝eq\f(1,3)Bav，故选A.考点二电磁感应中的电荷量问题6．如图5所示，将一个闭合金属圆环从有界磁场中匀速拉出，第一次速度为v，通过金属圆环某一截面的电荷量为q1，第二次速度为2v，通过金属圆环某一截面的电荷量为q2，则()图5A．q1∶q2＝1∶2 B．q1∶q2＝1∶4C．q1∶q2＝1∶1 D．q1∶q2＝2∶1答案C7.物理实验中，常用一种叫做“冲击电流计”的仪器测定通过电路的电荷量．如图6所示，探测线圈与冲击电流计串联后可用来测定磁场的磁感应强度．已知线圈的匝数为n，面积为S，线圈与冲击电流计组成的回路总电阻为R.若将线圈放在被测匀强磁场中，开始时线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转180°，冲击电流计测出通过线圈的电荷量为q，由上述数据可测出被测磁场的磁感应强度为()图6A.eq\f(qR,S)B.eq\f(qR,nS)C.eq\f(qR,2nS)D.eq\f(qR,2S)答案C解析由题意知q＝eq\x\to(I)·Δt＝eq\f(\x\to(E),R)·Δt＝eq\f(n\f(ΔΦ,Δt),R)Δt＝neq\f(ΔΦ,R)＝neq\f(2BS,R)，则B＝eq\f(qR,2nS)，故C正确．考点三电磁感应中的图象问题8．如图7甲所示，线圈ab、cd绕在同一软铁芯上．在ab线圈中通以变化的电流，用示波器测得线圈cd间电压如图乙所示．已知线圈内部的磁场与流经线圈的电流成正比，则下列描述线圈ab中电流随时间变化关系的图中，可能正确的是()图7答案C9．(多选)如图8甲所示，一个闭合线圈固定在垂直纸面的匀强磁场中，设磁场方向垂直纸面向里为磁感应强度B的正方向，线圈中的箭头指向为电流的正方向．线圈中感应电流i随时间t变化的图线如图乙所示，则磁感应强度B随时间变化的图线可能是()图8答案CD10．(2017·宁波诺丁汉大学附中高二第一学期期中)矩形导线框abcd放在匀强磁场中静止不动，磁场方向与线框平面垂直，磁感应强度B随时间t变化的图象如图9所示．设t＝0时刻，磁感应强度的方向垂直纸面向里，则在0～4s时间内，选项图中能正确反映线框ab边所受的安培力F随时间t变化的图象是(规定ab边所受的安培力向左为正)()图9答案D11．如图10所示，在光滑水平面上，有一个粗细均匀的单匝正方形闭合线框abcd.t＝0时刻，线框在水平外力的作用下，从静止开始向右做匀加速直线运动，bc边刚进入磁场的时刻为t1，ad边刚进入磁场的时刻为t2，设线框中产生的感应电流的大小为I，ad边两端电压大小为U，水平拉力大小为F，则下列I、U、F随运动时间t变化关系图象正确的是()图10答案C解析设线框边长为L，线框的速度与时间的关系式为v＝at，由E＝BLv和I＝eq\f(E,R)得，感应电流与时间的关系式为I＝eq\f(BLa,R)t，B、L、a均不变．在0～t1时间内，感应电流为零，t1～t2时间内，电流I与t成正比，t2时间后无感应电流，故A、B错误．由于I＝eq\f(BLa,R)t，在0～t1时间内，感应电流为零，ad边两端电压为零，t1～t2时间内，电流I与t成正比，U＝IRad＝eq\f(BLa,R)t×eq\f(1,4)R＝eq\f(BLat,4)，电压随时间均匀增大，t2时间后无感应电流，但ab边两端有电压，U＝BLat，电压随时间均匀增大，故C正确．安培力为F安＝BIL＝eq\f(B2L2at,R)，由牛顿第二定律得F－F安＝ma，得F＝eq\f(B2L2at,R)＋ma，在0～t1时间内，感应电流为零，F＝ma，为定值，t1～t2时间内，F安与t成正比，F与t是线性关系，但不过原点，t2时间后无感应电流，F＝ma，为定值，故D错误．二、非选择题12．(电荷量的计算)如图11所示，导线全部为裸导线，半径为r，两端开有小口的圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一根长度大于2r的导线MN以速度v在圆环上无摩擦地自左端匀速滑到右端，电路中固定电阻阻值为R，其余部分电阻均忽略不计，试求MN从圆环左端滑到右端的过程中：图11(1)电阻R上的最大感应电流；(2)电阻R上的平均感应电流；(3)通过电阻R的电荷量．答案(1)eq\f(2Brv,R)(2)eq\f(πBrv,2R)(3)eq\f(Bπr2,R)解析(1)MN自左向右滑动时，切割磁感线的有效长度不断变化，当MN经过圆心时，有效切割长度最长，此时感应电动势和感应电流达到最大值，所以Imax＝eq\f(Emax,R)＝eq\f(2Brv,R).(2)eq\x\to(E)＝eq\f(ΔΦ,Δt)＝eq\f(Bπr2,\f(2r,v))＝eq