河北省衡水市武强中学高一下学期期中考试数学

武强中学2023—2024学年度下学期期中测试高一数学试题出题人：刘宽新一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A B. C. D.2.已知，则（）A. B. C. D.3.如图，在中，是的中点，若，，则等于（）A. B.C. D.4.在中，若，，的面积为，则（）A.13 B. C.2 D.5.已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（）A. B. C. D.6.如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积A. B.1 C. D.7.在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，则A.90 B.60 C.45 D.308.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，为z的共轭复数，复数，则下列结论正确的是（）A.对应的点在复平面的第二象限 B. C.的实部为 D.的虚部为10.如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（）A.BC.与的夹角为D.在方向上的投影向量为11.在中，下列命题正确的是（）A若，则B.若，则定为等腰三角形C.若，则定为直角三角形D.若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.13.水平放置的的直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为______．14.在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知，，.（1）求向量与的夹角；（2）当向量与垂直时，求实数值.16.复数，其中为虚数单位．（1）求及；（2）若，求实数，的值．17.的内角所对边分别为，已知．（1）求；（2）若，，求面积．18.已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）（1）求实数及；（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．19.在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，现有下列四个条件：①；②;③；④．（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；（2）已知同时满足上述四个条件中的三个．请选择使有解的三个条件，求的面积．武强中学2023—2024学年度下学期期中测试高一数学试题出题人：刘宽新一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．考点：截面及其作法2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为，故，故故选：C3.如图，在中，是的中点，若，，则等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形法则与平行四边形法则表示向量.【详解】因为是的中点，，，所以，所以.故选：D.4.在中，若，，的面积为，则（）A.13 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先用面积公式求出c，再用余弦定理求出a.【详解】在中，，，的面积为，所以,解得：c=4.由余弦定理得：所以.故选：B.5.已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的几何意义，列出方程求出与夹角的余弦值，即可得出夹角大小.【详解】记向量与向量的夹角为，在上的投影为.在上的投影为，，，.故选：B.6.如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【详解】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB，对应原图形平行四边形的高为：2，所以原图形的面积为：1×22．故选A．点睛】本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力．7.在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，则A.90 B.60 C.45 D.30【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA＝1，即A＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C，从而得到B的值．【详解】由正弦定理及得,因为，所以；由余弦定理、三角形面积公式及，得,整理得，又,所以,故.故选D【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．8.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，为z共轭复数，复数，则下列结论正确的是（）A.对应的点在复平面的第二象限 B. C.的实部为 D.的虚部为【答案】BC【解析】【分析】根据共轭复数的概念求出，然后结合复数的除法运算求出，根据复数的概念以及几何意义和模长公式逐项分析即可.【详解】因为，所以，所以，对应点为在第三象限，，实部为，虚部为，选项B，C正确，选项A，D错误．故选：BC．10.如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（）A.B.C.与的夹角为D.在方向上的投影向量为【答案】AB【解析】【分析】根据向量模、共线、夹角、投影向量等知识确定正确选项.【详解】，A正确.，所以且反向，所以B正确，C错误.在方向上的投影向量为，D错误.故选：AB11.在中，下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则定为等腰三角形C.若，则定为直角三角形D.若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角【答案】ACD【解析】【分析】选项，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项，用正弦定理边化角，再将代入展开，整理可得，所以正确；选项，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确.【详解】在中，若，则，因此，A正确；若，则或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B错误；若，则，所以，即，，所以定为直角三角形，C正确；三角形的三边的比是，设最大边所对的角为，则，因为，所以，D正确.故选:ACD.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于，属于中档题.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.【答案】【解析】【详解】由正弦定理，得，结合可得，则.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.13.水平放置的的直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为______．【答案】

【解析】【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出实际为一个直角边长分别为、的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【详解】根据斜二测画法的原则,由直观图知，原平面图形为直角三角形，且，,所以，所以，故边上中线长为.故答案为：2.5.14.在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．【答案】【解析】【详解】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知，，可得，，由可得，，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知，，.（1）求向量与的夹角；（2）当向量与垂直时，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用数量积的性质及运算律求出，再利用夹角公式计算作答；（2）利用垂直的向量表示及数量积的运算律求解作答.【小问1详解】因，，，则有，解得，因此，而，于是得，所以向量与的夹角.【小问2详解】因向量与垂直，由（1）知，则，解得，所以实数的值为.16.复数，其中为虚数单位．（1）求及；（2）若，求实数，的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数，进而根据复数的模长公式求解；（2）首先将代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数，的值.【小问1详解】∵，∴．【小问2详解】由（1）可知，由，得：，即，∴，解得17.的内角所对边分别为，已知．（1）求；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）根据正弦定理得，化简即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面积．【详解】（1）因为，根据正弦定理得，又，从而，由于，所以．（2）根据余弦定理，而，，，代入整理得，解得或（舍去）．故的面积为．【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18.已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）（1）求实数及；（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出的值，即可求出，从而求出其模；（2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.【小问1详解】∵，∴，，为纯虚数，，解得，故，则【小问2详解】，，复数所对应的点在第二象限，，解得，故实数取值范围为.19.在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，现有下列四个条件：①；②;③；④．（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；（2）已知同时满足上述四个条件中的三个．请选择使有解的三个条件，求的面积．【答案】（1）不能同时成立，理由见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由③利用二倍角余弦公式推得，由④利用余弦定理可得，即可三角形内角和可得结论；（2）确定满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．若选①②③，则可由正弦定理求得B，即可由三角