第十五章《分式》同步单元基础与培优高分必刷卷（全解全析）

第十五章《分式》同步单元基础与培优高分必刷卷全解全析1．B【分析】若分式的分子分母再无公因式，则是最简分式，把各分式的分子分母进行因式分解即可作出判断．【详解】解：A、是整式，故此选项错误；B、分子、分母不含有公因式，所以不能够约分，是最简分式；C、分子、分母含有公因式，能够约分，不是最简分式；D、分子、分母含有公因式，能够约分，不是最简分式；故选：B．【点睛】本题考查了最简分式，关键是判断分式的分子、分母是否有公因式．2．B【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】．故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．C【分析】先解分式方程，得出，根据关于的分式方程的解是正数，得出，再根据，得出，即可得出答案．【详解】解：关于的分式方程的解为：，∵关于的分式方程的解是正数，∴，解得：，∵，∴，∴，解得：，∴的取值范围是且，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是解出关于x的方程，注意方程的解．4．C【分析】利用分式的相应的运算法则进行运算即可．【详解】解：（1），故（1）符合题意；（2），故（2）不符合题意；（3），故（3）符合题意；（4），故（4）不符合题意；（5），故（5）符合题意；（6），故（6）不符合题意，综上所述，运算正确的有3个．故选：C．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5．B【分析】根据题意先求得快马的速度和慢马的速度，根据快马的速度是慢马的2倍列分式方程即可．【详解】解：设规定时间为天，慢马的速度为，快马的速度为，∵快马的速度是慢马的倍，∴．故选∶B．【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程．6．A【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：，∴如果把分式中的x、y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值不变，故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．7．C【分析】先算括号内，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：（m）•＝•＝m+1当m＝2时，原式＝2+1＝3，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了分式的化简求值，先对括号内的进行通分，化简，再与括号外的进行约分得到最简式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的值．8．D【分析】利用乘方运算、负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别进行化简运算，然后比较大小即可得出答案．【详解】解：∵，，，，∴．故选：D．【点睛】此题主要考查了乘方运算、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质以及有理数大小比较等知识，正确化简各数是解题关键．9．A【分析】先根据不等式组有解集求出m的取值范围，再根据分式方程有非负整数解求出符合条件的m值，再求和即可．【详解】解不等式组，得．因为该不等式组有解，所以，即．由分式方程有非负整数解，得，且.当时，；当时，（不符合题意）；当时，（不符合题意）；当时，；当时，（不符合题意）；当时，（不符合题意）；当时，（不符合题意）；当，时，不符合题意；当时，；当时不符合题意．故符合题意的m的值有7，4，－2，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，解含字母系数的分式方程，注意：当分式方程产生增根时不符合题意．10．D【分析】解不等式组，又因为不等式组有解，得到a＜4，由于，

得到：，因为a＜4，且y≠3，且整数，得到a=3，-1；即可求解；【详解】解：由①得：x≤-1，由②得：x＞a-5，因为不等式组有解，∴a-5＜x≤-1;∴a-5＜-1;∴a＜4，由，

得，得到：，∵a＜4，且y≠3，为整数，∴a=3，-1；3+（-1）=2．故选：D【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，有理数的混合运算，考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键．11．【分析】绝对值小于1的数科学记数法写成的形式，其中，n为小数点向左移动位数的相反数．【详解】解：用科学记数法记作：．故答案为：【点睛】本题考察科学记数法，熟记科学记数法的形式是解题的关键．12．【分析】根据分式无意义的条件，即可求解．【详解】解∶∵式子无意义，∴，，，解得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的除法，熟练掌握分式无意义的条件是解题的关键．13．

【分析】根据幂的乘方运算法则，即同底数幂乘法是底数不变，指数相加；同底数幂的除法是底数不变，指数相减；任何非零数的零次幂是1；同底数幂的乘方的逆运算即可求解．【详解】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．故答案是：；；；；；；；【点睛】本题主要考查同底数幂的运算法则，掌握同底数幂的乘法、除法法则，同底数幂乘方的逆运算，任何非零数的零次幂的运算是解题的关键．14．或【分析】根据，可以得到它们的比值或者a、b、c的关系式，进而解答．【详解】解：设，则，，，∴，∴，当时，，，当时，．故答案为：或．【点睛】本题考查分式的混合运算，利用等式的性质进行变形是解题关键．15．【分析】计算，然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组求出，，代入计算即可．【详解】解：解法一：因为所以，解得．故答案为：．解法二：由，得，因此，．由此可得，．所以故答案为：．【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，注意运用整体思想求解．16．【分析】设有x人在甲组，有（8－x）人在乙组，根据题意列出方程即可确定x与t的值，再计算出纯冰质量与人造雪质量，求比值即可．【详解】解：设有x人在甲组，有（8－x）人在乙组，则t小时后，纯冰的质量为：5tx+100－10t（8－x）=15tx－80t+100（千克），∴（15tx－80t+100）：=1:8，化简得：，其中，x、t均为正整数，且x<8，∴t=8，x=5，故甲组有5人，乙组有3人．加工800千克人造雪，需要纯冰800÷2=400千克，原有100千克，甲组需将600千克的水转化为300千克的冰，甲组生产纯冰的总时间为：600÷10÷5=12小时，此时乙组生产的人造雪质量为：12×3×20=720千克，还剩400－360=40千克的冰未加工，∴此时纯冰质量与人造雪质量之比为40:720=，故答案为：．【点睛】本题属于应用类题目，解题关键是根据题意找出题目中的等量关系列出方程求解．17．3【分析】从甲地到乙地，快车整点出发，慢车晚半个小时，旅客9：30分上车必须坐慢车，从10：00点钟后整点发车可以看一个追及相遇问题，计算出慢车与后面不同整点发出的快车相遇的站点，方可上快车才能节省时间，同时还考虑旅客只带70元钱够车费，方能到达终点的时间最短．【详解】解：∵从甲地到乙地有20站，快车共需2小时，∴快车从上一站点到下一站点的时间为，又∵快车的速度是慢车速度的2倍；∴从甲地到乙地有20站，慢车共需4小时，∴慢车从上一站点到下一站点的时间为．由题意可知：①当9：30旅客坐上慢车后，与第1辆10：00钟发出的快车相遇于第x个站点，则有：，解得：x＝5；∴此刻10：00发出的快车行了小时，慢车行了1个小时；即相遇时刻为10：30分．②当10：30旅客坐慢车继续前行，需过小时，快车将在11：00发出追及慢车相遇于第y个站点，则有：，解得：y＝10，∴此刻11：00发出的快车行了1小时，慢车行了2个小时；即相遇时刻为12：00分．③当12：00旅客坐慢车继续前行，此刻甲地快车发出追及慢车相遇于第z个站点，则有：，解得：z＝20，∴此刻相遇刚好在终点．由上可知：旅客要从慢车坐上快车在第①和第②次相遇时坐上快车节省时间．（Ⅰ）第①种情况旅客坐慢车相遇快车后上快车，从甲地到乙地的总时间为：（小时）；又∵快车每站车费5元，慢车每站车费2元，∴此种方式的总费用：2×5+15×5＝75（元），又∵旅客只有70元钱，∴75＞70，即此时相遇后坐快车钱不够，不合题意舍去．（Ⅱ）第②情况旅客坐慢车相遇快车后上快车，从甲地到乙地的总时间为：（小时）．此种方式的总费用：5×10+2×10＝70（元）即此种情况节约时间，旅客所带的钱够花．故答案为3．【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意列出方程，分类讨论是解题的关键．18．(1)(2)原方程无解【分析】（1）方程两边同时乘以将分式方程变为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；（2）方程两边同时乘以将分式方程变为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．【详解】（1）解：，方程两边同乘以得：，去括号得：，移项合并同类项得：，检验：把代入得：，∴是原方程的解．（2）解：，方程两边同时乘以得：，移项合并同类项得：，把代入得：，∴是原方程的增根，∴原方程无解．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意解分式方程要进行检验．19．(1)(2)(3)【分析】（1）先把除法转化为乘法，再把分子、分母约分化简；（2）先通分，再根据同分母分式的加减法法则计算；（3）先把括号内通分化简，再约分化简．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．20．，或，或【分析】根据增根的意义，先化简分式方程，将增根代入化简后的整式方程即可求出参数的值．【详解】将原分式方程去分母，得：，∴，∴．将代入，得．将代入，得．∴当或时，原方程会产生增根，此时原方程无解．∵对于方程，当时，此方程无解，此时原方程也无解．∴当或或时，原方程无解．【点睛】本题考查了增根产生的条件，明确增根不是原分式方程的解，而是原分式方程去分母后相应整式方程的解是解决本题的关键．21．，【分析】根据分式的运算对代数式进行化简，求得的值，代入求解即可．【详解】解：将代入得，原式【点睛】此题考查了分式化简求值，涉及了分式的四则运算，完全平方公式，零指数幂和负整指数幂，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．22．(1)(2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低【分析】（1）根据每千米行驶费用=相应的费用÷续航里程，即可求解；（2）①结合（1），列出分式方程，解方程求解即可；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．【详解】（1）解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元），故答案为：元；（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，∴，解得，经检验，是原分式方程的解，∴（元），（元），答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②设每年行驶里程为,由题意得：，解得，答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．23．(1)小聪，分式的分母不能为0；(2)且；(3)或．【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围；（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围．（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0∴小聪说得对，分式的分母不能为0．（2）解：原方程可化为去分母得：解得：∵解为非负数∴，即又∵∴，即∴且（3）解：去分母得：解得：∵原方程无解∴或者①当时，得：②当时，，得：综上：当或时原方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．24．(1)第一次每箱道口烧鸡的购进价格为40元(2)这两次购进的道口烧鸡售价每箱至少应为46元【分析】（1）设第一次每箱道口烧鸡的购进价格为元，则第二次每箱道口烧鸡的购进价格为元，根据第二次所购数量是第一次所购数量的1．5倍列出方程求解即可；（2）设两次购进的道口烧鸡的售价为元，由（1）得第一次购进道口烧鸡70箱，第二次购进道口烧鸡105箱，由全部