2024届云南省施甸县第三中学高三第三次测评数学试卷含解析

2024届云南省施甸县第三中学高三第三次测评数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.，且在第一象限，则（）A． B． C． D．2．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（）A． B． C． D．3．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．4．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A． B． C． D．5．如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有的点()A．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变D．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变6．已知偶函数在区间内单调递减，，，，则，，满足（）A． B． C． D．7．若，，则的值为（）A． B． C． D．8．设曲线在点处的切线方程为，则（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．10．将一块边长为的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为，则的值为（）A．6 B．8 C．10 D．1211．已知抛物线，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若，，则的面积为（）A． B． C． D．12．已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知平面向量，的夹角为，且，则=____14．函数在区间上的值域为______.15．已知（且）有最小值，且最小值不小于1，则的取值范围为__________.16．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求的值；（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）18．（12分）如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.（1）证明：平面.（2）三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.19．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，求函数的极值；（2）设函数的导函数为，求证：函数有且仅有一个零点．20．（12分）如图，三棱柱的所有棱长均相等，在底面上的投影在棱上，且∥平面（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值.21．（12分）如图，四棱锥中，平面平面，若，四边形是平行四边形，且.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若点在线段上，且平面，，，求二面角的余弦值.22．（10分）设数列是等差数列，其前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

作，；，由题意，由二倍角公式即得解.【详解】由题意，，准线：，作，；，设，故，，.故选：C【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2、C【解析】

模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，，；第二次，，；第三次，，，…；第九十八次，，；第九十九次，，，此时要输出的值为99.此时.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.3、A【解析】

由抛物线的焦点得双曲线的焦点，求出，由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为，由焦半径公式，联立求解.【详解】解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，．抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，，又，，则双曲线的离心率为．故选：．【点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．4、A【解析】

化简为，求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式，利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得，问题得解。【详解】函数可化为：，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，又所得到的图象关于轴对称，所以，解得：，即：，又，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。5、A【解析】

由函数的最大值求出，根据周期求出，由五点画法中的点坐标求出，进而求出的解析式，与对比结合坐标变换关系，即可求出结论.【详解】由图可知，，又，，又，，，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有向左平移个长度单位，得到的图象，再将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）即可.故选:A【点睛】本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.6、D【解析】

首先由函数为偶函数，可得函数在内单调递增，再由，即可判定大小【详解】因为偶函数在减，所以在上增，，，，∴.故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.7、A【解析】

取，得到，取，则，计算得到答案.【详解】取，得到；取，则.故.故选：.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取和是解题的关键.8、D【解析】

利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解【详解】因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题9、B【解析】

因为将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，可得，结合已知，即可求得答案.【详解】将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，又和的图象都关于对称，由，得，，即，又，.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.10、D【解析】

推导出，且，，，设中点为，则平面，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值．【详解】解：如图（4），为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，，且，由为等腰直角三角形可知，，设中点为，则平面，∴，∴，解得.故选：D【点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.11、A【解析】

根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【详解】由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.由得,则.又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.12、D【解析】

由题意，设每一行的和为，可得，继而可求解，表示，裂项相消即可求解.【详解】由题意，设每一行的和为故因此：故故选：D【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

根据平面向量模的定义先由坐标求得，再根据平面向量数量积定义求得；将化简并代入即可求得.【详解】，则，平面向量，的夹角为，则由平面向量数量积定义可得，根据平面向量模的求法可知，代入可得，解得，故答案为：1.【点睛】本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题.14、【解析】

由二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可求得值域．【详解】，，则，.故答案为：．【点睛】本题考查三角恒等变换（二倍角公式、两角和的正弦公式），考查正弦函数的的单调性和最值．求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论．15、【解析】

真数有最小值，根据已知可得的范围，求出函数的最小值，建立关于的不等量关系，求解即可.【详解】，且（且）有最小值，，的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查对数型复合函数的性质，熟练掌握基本初等函数的性质是解题关键，属于基础题.16、【解析】

利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积.【详解】如图：此四棱锥的高为，底面是长为，宽为2的矩形，所以体积.所以本题答案为.【点睛】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系【解析】

（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程，解方程求得的值.（2）根据表格数据填写列联表，计算出的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【详解】（1）由题意，解得.（2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.完善列联表如下：擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100，对照表格可知，，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查列联表独立性检验，属于基础题.18、（1）见解析（2）【解析】

（1）利用面面垂直的性质定理证得平面，由此证得，根据圆的几何性质证得，由此证得平面.（2）判断出三棱锥的体积最大时点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为平面平面是正方形，所以平面.因为平面，所以.因为点在以为直径的半圆弧上，所以.又，所以平面.（2）解：显然，当点位于的中点时，的面积最大，三棱锥的体积也最大.不妨设，记中点为，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则令，得.设平面的法向量为，则令，得，所以.由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19、见解析【解析】

（1）当时，函数，其定义域为，则，设，，易知函数在上单调递增，且，所以当时，，即；当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，为，无极大值．（2）由题可得函数的定义域为，，设，，显然函数在上单调递增，当时，，，所以函数在内有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；当时，，，所以函数有且仅有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；当时，，，因为，所以，，又，所以函数在内有一个零点，所以函数有且仅有一个零点．综上，函数有且仅有一个零点．20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）连接交于点，连接，由于平面，得出，根据线线位置关系得出，利用线面垂直的判定和性质得出，结合条件以及面面垂直的判定，即可证出平面平面；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出和平面的法向量，利用空间向量线面角公式，即可求出直线与平面所成角的余弦值.【详解】解：（Ⅰ）证明：连接交于点，连接，则平面平面，平面，，为的中点，为的中点，平面，，平面，平面，平面平面（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，设则，，，，，设平面的法向量为，则，取得，设直线与平面所成角为，直线与平面所成角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量法求线面角的余弦值，考查空间想象能力和推理能力.21、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）推导出BC⊥CE,从而EC⊥平面ABCD,进而EC⊥BD，再由BD⊥AE，得BD⊥平面AEC,从而BD⊥AC,进而四边形ABCD是菱形，由此能证明AB=AD.（Ⅱ）设AC与BD的交点为G,推导出EC//FG,取BC的中点为O