概率论与数理统计第一至第四章得重点题型-复习资料

概率论与数理统计第一至第四章得重点题型-复习资料第一章随机事件与概率一、填空题1.写出下列随机试验的样本空间。记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分），则=；生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，则=；对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果，用0表示次品，1表示正品，则=；在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，则=；同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和，则=；将一尺之锤折成三段，观察各段长度，设x,y,z分别表示三段长度，则=；在某十字路口，记录一小时内通过的机动车辆数，则=；记录某城市一天内的用电量，则=。2.设A，B，C为三件事，用A，B，C的运算关系表示下列各事件。（1）“A发生，B与C不发生”=；（2）“A与B都发，而C不发生”=；（3）“A，B，C中至少有一个发生”=；(4)“A，B，C都发生”=；（5）“A，B，C都不发生”=；（6）“A，B，C中不多于一个发生”=；（7）“A，B，C中不多于两个发生”=；（8）“A，B，C中至少有两个发生”=。3.在抛三枚硬币的试验中，1表示正面，0表示反面，试写出下列事件的集合表示。（1）“至少出现一个正面”=；（2）“最多出现一个正面”=；（3）“恰好出现一个正面”=；（4）“出现三面相同”=。4.设，则（1）；（2）（3）；（4）5.设A，B为两事件且P（A）=0.6，P（B）=0.7，则（1）当时，P（AB）取到最大值，最大值=；（2）当时，P（AB）取到最小值，最小值=。解：（1）观察上式，已知P(A)，P(B)均固定，当最小时，P(AB)最大。当，即时，最小，此时，P(AB)取到最大值，最大为P(AB)=P(A)=0.6。（2）当最大时，P(AB)最小。当时，取得最大值为1，此时，P(AB)取得最小值，最小值为=0.6+0.7-1=0.3。6.设A，B，C为三件事，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,则A,B,C至少有一个发生的概率=。要点：用字母表示事件，是本课程入门的又一关键，由“至少”联想“”，进而想到公式：解：至少有一个发生：其中7.设P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=,则事件A,B,C都不发生的概率=。解：事件A,B,C都不发生：8.在电话号码簿中任取一个电话号码，则后面四个数全不相同的概率（设后面四个数中的每一个数都是等可能地取0，1，…，9）=。解：所有可能的种数为10×10×10×10种，后四个数全不相同的种数为，则所求概率为。9.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3个记录其纪念章的号码。则最小号码为5的概率=；（2）最大号码为5的概率=。解样本空间的样本点总数为。最小号码为5是必须取到5号，而其余2人从6～10号中任取，故事件的样本点个数为，所求概率为最大号码为5，其余2人在1～4中选号，事件的样本点个数为，所求概率为10.10个人随机地围一圆桌而坐，则甲、乙两人相邻而坐的概率=。要点：先假定某人已坐好，再考虑其他人相对该人的坐法解：设甲已坐好，其余个人相对甲的坐法有种，甲乙相邻，乙有两种坐法，其余个人的坐法有种，故所求概率为。10.从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率。11.有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率。12.一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾。然后随机把六个头两两相接，六个尾两两相接，则放开手后六根草恰好连成一个环的概率=。要点：“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况。解：考虑头两两相接的先后次序，则“六个头两两相接”共有种不同结果。而要成环则第一步从6个头中任取1个，此时余下的5个头中有一个不能相接，只可与余下的4个头中的任一个相接，第二步从未接的头中任取1个，与余下的2个头中的任一个相接，这总共有种可能接法，故所求概率为。13．在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之和小于6/5的概率=。解：设两数之和小于6/5，两数分别为，由几何概率如图01y1yy01y1yyx14.设A,B为随机事件，且P(A)=0.5,P(B)=0.6,=0.8,则=。解：，所以15.设A,B为随机事件，且P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6,则P()=。解：，所以。16.已知事件A，B满足，记，则=。解：，由此得，所以。17.已知，则=。解：因为，所以，18.已知，则=。解：，由乘法定理有：又由有：19.三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率=。要点：“至少”对立事件。解：三人能否译出相互独立，则三人都译不出的概率为(1－1/5)(1－1/3)(1－1/5)=0.4，至少一个译出的概率为1－0.4=0.6。20.设两两独立的事件，且。若，且，则=。解：.或，由.21.已知（1）若和不相容，则=；（2）若和独立，则=；（3）若，则=。解：（1）（由已知）（2）（3）22.设在三次独立试验中，事件A出现的概率均相等且至少出现一次的概率为，则在一次试验中事件A出现的概率=。解：设所求概率为p，由题意有=，则p=23.某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为，则此射手的命中率=。24.某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.解：设第次取到正品，则或25.三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球.现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为__________.解：设取到第箱，取出的是一个白球26.从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是_________.解法1样本点总数为，记A=“4只鞋子中至少有2只是一双”，则对立事件=“4只鞋子均不成双”，故第一只鞋子是从5双（10只）中任取一只，有10种取法，第二只鞋子从剩下的4双（8只）中任取一只，有8种取法，第三只鞋子从再剩下的3双（6只）中任取一只，有6种取法，第四只鞋子有4种取法，故事件所包含的样本点总数为10×8×6×4，得

解法2中个数是从5双不同鞋子中任取4双，再从每双中任取一只的不同取法的种数，共有种取法，故27.设在一次试验中，事件发生的概率为.现进行次独立试验，则至少发生一次的概率为__________，而事件至多发生一次的概率为_________.解：设至少发生一次至多发生一次二、计算题1.据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P{孩子得病}=0.6，P{母亲得病│孩子得病}=0.5，P{父亲得病│母亲及孩子得病}=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：设A=“孩子得病”，Ｂ＝“母亲得病”，Ｃ＝“父亲得病”，则所求概率为。已知P(A)=0.6,P(B│A)=0.5,P(C│AB)=0.4,则由乘法定理有 由,,有2..已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。解法1：设A=“2正”，B=“2次”，C=“一正一次”，D=“第2次次”，基本事件=“取一只，不放回，再取一只”，S中个数=，可利用古典概型公式计算：Ａ中个数＝，于是Ｂ中个数＝，于是Ｃ中个数＝，于是Ｄ＝“第一次取出正且第二次取出次”∪“第一次取出次且第二次取出次”Ｄ中个数＝，于是解法２：设事件如解法１，又设=“第一次正”，=“第2次正”，则=“第1次次”，=“第2次次”，用乘法公式算3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解法1设Ai=“第i次接通电话”（i=1，2，3），A=“拨号不超过3次接通所需电话”，则，故所求概率解法2“拨号不超过3次就接通”的对立事件是“拨号3次都未接通”，于是设B=“已知最后一个数字式奇数，不超过3次拨通”，则4.（1）设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球，m只红漆；乙袋中装有N只白球、M只红球，今从甲袋中任意取一只放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少？（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一只盒子中任取2只球放入第二只盒子中去，然后从第二只盒子中任取一只球，求取到白球的概率。要点：从题中“嗅出”划分，把“全”公式写出来，剩下就简单了。解：（1）设B1=“从甲袋中取到白球”，B2=“从甲袋中取得红球”，则B1，B2构成一个划分，Ａ＝“从乙袋中取得白球”，由全概率公式（2）设Bi=“从第一只盒中取到i只白球”，i=0，1，2，则B0，B1，B2构成一个划分，设A=“从第二个盒中取得白球”，则由全概率公式知5.设一人群中有37.5%的人血型为A型，20.9%为Ｂ型，33.7%为O型，7.9%为AB型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再任选一人为需要输血者，问输血能成功的概率是多少？受血者受血者输血者A型B型AB型O型A型√×√√B型×√√√AB型√√√√O型×××√√：允许输血×：不允许输血解：设分别为A，B，O，AB型输血，分别为A，B，O，AB型受血，则6.某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。解字母脱落2个共有五种情况，脱下“M，X”或“A，X”或“M，A”或“A，A”或“M，M”分别用表示，则Ai，i=1，2，…，5构成划分；设B=“放回结果正确”。脱落的基本事件总数为。由全概率公式 7.已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？要点：“条件互倒”联想“贝”；公式右边=中转/全；抓住划分；死记贝叶斯公式不如掌握其推导过程。解：设Ａ＝“色盲患者”，B＝“男性”，＝“女性”，B与为划分，由贝叶斯公式8.10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的装有也是一等品的概率。解：设‘从箱中任取2件都是一等品’‘丢失等号’.则；所求概率为9.一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格，则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格，则第二次及格的概率为p/2。(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次及格，求他第一次及格的概率。解：设Ai=“第i次及格”，i=1，2，则其中10.已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’，‘任取一产品确是合格品’则（1）（2）11.将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收做B的概率为0.02，而B被误收做A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2:1，若接受站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解设B1=“发出信息A”，B2=“发出信息B”，A=“收到信息为A”，则，B1，B2为划分，由贝叶斯公式12.设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客随机察看4只，若无残次品，则买此箱玻璃杯，否则不买。求：

（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；

（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没残次品的概率。解：（1）设事件={一箱的玻璃杯中含i个残次品}，i=0,1,2,且P()=0.8,P()=P()=0.1,事件B={从一箱中任取四只杯子无残次品}，则由全概率公式可得：P(B)=P()P(B|)+P()P(B|)+P()P(B|)

=0.8×+0.1×+0.1×=0.94

（2）P(|B)==0.8513.设考生的报名表来自三个地区，分别有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5份。随机地从一地区，先后任取两份报名表，求：

(1)先取的那份报名表是女生的概率p；

(2)已知后取到的报名表是男生的，而先取的那份报名表是女生的概率q。解：(1)设={考生的报名表是第i个地区的}，i=1,2,3,B={取到的报名表是女生的}，由全概率公式知：

p=P(B)=P()P(B|)+P()P(B|)+P()P(B|)

=

（2）设C={先取的那份报名表是女生的},D={后取到的报名表是男生的},则q=P(C|D)==

其中P(CD)=P()P(CD|)+P()P(CD|)+P()P(CD|)

=

P(D)=P()P(D|)+P()P(D|)+P()P(D|)=

所以可计算得q=14.设第一只盒子中装有3只篮球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只篮球，3只绿球，4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球。求至少有一只篮球的概率；（2）求有一只篮球一只白球的概率；（3）已知至少有一只篮球，求有一只篮球一只白球的概率。解：设分别表示在第一只盒子中取到篮球、绿球、白球；分别表示在第二只盒子中取到的篮球、绿球、白球。（1）（2）15.如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在Ｃ发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每一个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。要点：独立“积的概=概的积”解：设Ai=“在情况C发生时，第i只开关闭合”，i=1，2，3，…，n。当n=2时，系统的可靠性为也可以设n只开关并联，可保证系统的可靠性至少为0.9999，则即故至少需要3只开关并联，才能使系统的可靠性至少为0.9999。16.设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率的概率为1/6。并设击伤两次也会导致潜水艇下沉。求释放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率。（提示：先求出击不沉的概率。）解：设A=“释放4枚炸弹，击沉潜水艇”，B=“释放4枚炸弹，均未击中潜水艇”，C=“释放4枚炸弹，恰有一枚击伤潜水艇”，则由独立性有随机变量及其分布填空题1.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只球，以X表示取出的3只球中的最大码，则随机变量X的分布律为。2.设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，则X的分布律为。解：P{X=1}=C12·C213/C315=，P{X=2}=C22·C13/C315=，P{X=0}=1－P{X=1}－P{X=2}=分布律图形如图2-1所示。X012pk22/3512/351/353.设随机变量X的分布律为，k=0，1，2，…；为常数，则常数=。4.设，且，则__________，__________。解：4.设随机变量Y在区间[1，6]上服从均匀分布，则方程有实根的概率为0.8。解：方程有实根当且仅当Δ≥0，即|Y|≥2,则P(|Y|≥2)==0.85.设随机变量X在区间[2，5]上服从均匀分布，求对X进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大于3的概率为。解：P(X＞3)==,则所求概率即为6.设X～，对X的三次独立重复观察中，事件{X≤0.5}出现的次数为随机变量Y,则P{Y=2}=9/64。解：P{X≤0.5}=0.25,Y服从B(3,0.25)分布,则P{Y=2}==7.设，若，则19/27。解：，则，则而，，，所以.8.设随机变量的概率密度为则__________，的分布函数__________。解：所以.9.设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布，设Ф（x）为标准正态分布函数，已知Ф（2.5）=0.9938,则X落在区间（9.95,10.05）内的概率为0.9876。10.设随机变量Xf(x)=,-∞＜x＜+∞,则X。解：当x＜0时，F(x)=

当x≥0时，F(x)=11.设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,则其分布函数F(x)=。12.设X的分布函数,则A=1,P|X|＜=1/2。解：为连续函数，.13.设X的分布函数，则X的概率分布列为。14.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2,则E(Z)=4。15.设X～N(2,）且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=0.2。解：

即,则16.设随机变量X服从参数为1的指数分布,则4/3。17.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则=18.4。解：X～B(10,0.4）,则18.设随机变量X的概率密度为，则（1）=2；（2）=1/3。19.设服从泊松分布.（1）若，则__________；（2）若，则__________。解：（1），（2）所以20.设，且，则__________。解：，所以21.设，且，则______；______。解：22.设一次试验成功的概率为，现进行100次独立重复试验，当________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________。解：，有最大值为5.23.设服从参数为的指数分布，且，则_______。解：.，24.一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，标准差为________。解：设表示所取产品的次品数，则.，25.设随机变量的概率密度为且，则__________，___________.解：①②解（1）（2）联立方程有：.计算题1.一汽车沿一街道行驶，要经过三个有信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿信号显示的时间相等，求此汽车首次遇到红灯前已通过的路口数X的概率分布。解：设={第个路口遇到红灯}，=1,2,3,则P()=0.5,X的所有取值为0,1,2,3,其概率分布如下：P(X=0)=P()=0.5P(X=1)==0.25P(X=2)==0.125P(X=3)==0.1252.一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻恰有2个设备被使用的概率是多少？至少有3个设备被使用的概率是多少？至多有3个设备被使用的概率是多少？至少有1个设备被使用的概率是多少？解：设对每个设备的观察为一次试验，则试验次数为5且每次试验相互独立。于是X～b(5,0.1),分布律为P{X=k}=(0.1)k(0.9)5-k，k=0，1，2，3，4，5P{X=2}=·0.12·（1-0.1）3=0.0729P{X}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=++=0.00856P{X}=1-P{X=4}-P{X=5}==0.99954P{X}=1-P{X}=1-P{X=0}=1-=0.409513.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。解：设A发生的次数为X，则Xb(n,0.3)，设B为指示灯发出信号。（1）n=5，则P(B)=P{X}=或P(B)==（2）n=7，则P(B)==或P(B)===0.3534.设随机变量X的密度函数为试求（1）X的分布函数；（2）。解：当时，；当时，；当时，；当时，所以可的X的分布函数为（2）5.设随机变量X的密度函数为试求（1）系数A；（2）X落在区间（0，/4）的概率。解：（1）因为所以（2）所求概率6.设随机变量X的分布函数为试求（1）系数A；（2）X落在区间（0.3，0.7）内的概率；（3）X的密度函数。解：（1）由的连续性，有，由此得（2）（3）X的密度函数为7.对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均72分且96分以上的考生数占2.3%，求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。解：设X表示考生的外语成绩，且X～N(72,),则P(X＞96)=1-P(X≤96)=1-()=0.023,即()=0.977,查表得=2，则=12，即且X～N(72,144)，

故P(60≤X≤84)=P(-1≤≤1)=2(1)-1=0.6828.设测量误差X～N(0，100)，求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用Possion分布求其近似值（精确到0.01）。解：由于X～N(0，100)，则P(|X|＞19.6)=1-P(|X|≤19.6)=2[1-(1.96)]=0.05且显然Y～B(100,0.05),

故P(Y≥3)=1-P(Y≤2)=1-

设=np=100×0.05=5，且YP(5),则

P(Y≥3)=1-P(Y≤2)=1-=0.87059.设X~N(3,22)，(1)求Ｐ{2<X≤5}，P{－4<X≤10}，P{丨X丨>2},P{X>3};（2）确定c使得P{X>c}=P{X≤c},(3)设d满足P{X>d}≥0.9，问d至多为多少？要点：本题及接下来的四道题要查表计算：一般正态化为标准正态，再查标准正态表，其理论根据：若X~N(,2),则～Ｎ（０，１），例如，Ｘ～Ｎ（，2）,求P{x1<X≤x2}=?核心技术：让x1，X，ｘ2三方“同跳标准舞”，P{x1<X≤x2}=P{<≤}=（）－。反之，若这个知识点不透，后面的学习将会在黑暗中摸索，因为在统计部分仍将反复使用这个知识点。可省去过程，直接使用公式：P{x1<X≤x2}=（）－由于的图像关于远点对称，口诀：解：（１）P{2<X≤5}＝＝0.5328P{－4<X≤10}==P{丨X丨>2}=1－P{}=1－Φ()+Φ()=1－Φ(－)+Φ(－)=1+Φ()－Φ()=0.6977P{X}=1－P{X}=1－Φ()=1－==0.5（2）由P{X}=P{X}得：P{X}=，P{X}=Φ(，则c=3（3）P{X}=1－P{X}=1－P{}=1－Φ()0.9Φ()0.1查表10.设随机变量X的概率密度函数为对独立重复观察4次，表示观察值大于的次数，求的数学期望。解：因为随机变量的概率密度函数为所以，。因此。于是便可得11.设随机变量X的概率密度函数为试求。解：所以，于是得。12.设随机变量X的概率密度=，x≥0，求Y=的概率密度。解：因为的取值范围是，且是严增函数，其反函数为，及，所以的密度函数为13．设随机变量，求的分布。解：因为的取值范围是，所以当时的密度函数为。而当时，的分布函数为，上式两边关于求导得，当时的密度函数为所以的密度函数为14.设随机变量X服从，求随机变量的密度函数。解：的密度函数为由于在内取值，所以的取值范围是。在的取值范围之外有。而当时，的分布函数为上式两边关于求导得所以的密度函数为15.设随机变量X的概率密度为，求的概率密度。解当时，，则当或时，或当时，则概率密度为应用题1.有一大批产品，其验收方案如下。先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为10％，求这批产品经第一次检验就能接受的概率。需做第二次检验的概率。这批产品按第二次检验的标准被接受的概率。这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率。这批产品被接受的概率。 解：设X=“第一次检验的次品数”，Y=“第二次检验的次品数”，p=10％=0.1，则Xb(10,0.1),Yb(5,0.1)P{X=0}==0.910≈0.349P{1X2}=P{X=1}+P{X=2}=≈0.581P{Y=0}==0.95≈0.590P{Y=0,1X2}=P{Y=0}P{1X2}两事件相互独立=0.590.581≈0.343P（{X=0}{Y=0,1X2}）=0.349+0.343=0.6922.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。某人随机的去猜，问他试验成功一次的概率是多少？某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）。要点：本题第（2）问为后面第八章假设检验作伏笔。解：（1）为古典概型问题，基本事件总数为，则成功一次的概率为1/=（2）设成功次数为X，则Xb(10,)，所以P{X=3}=≈3.16310-4因为仅凭猜测，能成功3次的概率特别小，可认为他确有区分的能力。3.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001。在某天的改短时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算。）解：1000辆汽车中在一天的某段时间内发生事故的次数X服从二项分布b(1000,0.0001),所求概率为P{X2}==1－=1－计算较麻烦，如果用泊松定理计算，将大大化简计算。即≈，其中np=10000.0001=0.1，于是P{X2}=1－P{X2}=1－P{X=0}－P{X=1}1－=1－=0.004684.某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）服从N（110，122），在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X；（1）求P{X}，P{100}；（2）确定最小的x，使P{X}0.05。解（1）XP{X}=Φ()=Φ(－0.417)=1－Φ(0.417)=1－0.6628=0.3372P{100}=Φ()－Φ()=Φ(0.83)－Φ(－0.83)=2Φ(0.83)－1=0.5934（2）要使P{X}0.05，只须1－P{X}0.05，即P{X}1－0.05=0.095亦即Φ()0.95，故。5.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y}。要点：5次5重Yb(n,p)=b(5,p)，p由X的分布求。解：Yb(5,p)p=P{X}=Y的分布律为P{Y=k}=，k=0，1，2，3，4，5P{Y}=1－P{Y}=1－P{Y=0}=1－=0.51676.由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布，规定长度在范围10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。解：记螺栓的长度为X，则螺栓为不合格品的概率为3.一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ的正态分布，若要求P{}，允许σ最大为多少？解：XP{}=ΦΦ=2Φ得Φ，查表知，Φ(1.28)=0.90，即ΦΦ(1.28)所以σ最大为31.25。7.以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是(x)=，求下述概率：P{至多3分钟}；（2）P{至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间；（4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟}。要点：由此题可体会由分布函数计算概率的简洁！解：（1）P{X}=FX(3)=1－=1－e-1.2=0.6988P{X}=1－P{X}=1－FX(4)==0.2019P{3X4}=P{X}－P{X}=FX(4)－FX(3)=1－=0.0993P{X}+P{X}=1－=0.6988+0.2019=0.9007P{X=2.5}=08.某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量（单位：吨）服从（300，500）上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1.5（千元）；若积压1吨，公司损失0.5（千元）。问公司应该组织多少货源，可以使平均收益最大？解：设公司组织该货源吨，则应有。又记Y为在吨货源条件下的收益额（单位：千元），则收益额Y为需求量的函数，有所以这是的二次函数。当=450吨时，达到最大。故公司应该组织货源450吨。-9.某新产品在未来市场上的占有率是仅在区间（0，1）上取值的随机变量，它的密度函数为试求平均市场占有率。解：求平均市场占有率即是去求，有第三章多维随机变量及其分布一、填空题1.设X的分布律为且X与Y独立同分布，则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为（）。

[答案：]2.设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=,求边缘密度，。解：

=3．设X～N(-3，1），Y～N(2,1),且X与Y相互独立，若Z=X-2Y+7，则Z服从的分布是（）。

[答案填：N(0,5）]4.设D是由曲线xy=1与直线y=0,x=1,x=围成的平面区域,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘分布在x=2处的值为()。

[答案填：]

由，设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则：

当(x,y)∈D时，f(x,y)=；当(x,y)∈时，f(x,y)=0.

∴当1≤x≤时，显然在x=2处的值为.5.设随机变量相互独立且都服从区间上的均匀分布，则__________.解：1xy1xy016.设两个随机变量X与Y相互独立且均服从分布N(0,),则E|X-Y|=().

[答案填：]

令U=X-Y,则U～N(0,1),从而

E|X-Y|=E|U|=

=7.设是两个随机变量，且，则__________.解：.8.设，则__________.解：，，常数9.设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4，而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式有（）。

[答案填：]事实上，

10.设是两个随机变量，且，则__________.解：.11.设，则__________.解：，，常数计算题1.设某班车起点站上客人数X服从参数为（＞0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率p(0＜p＜1),且中途下车与否相互独立。已Y表示在中途下车的人数,求：

（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率;

（2）二维随机向量(X,Y)的概率分布.解：（1）P{Y=m|X=n}=,m=0,1,2,…n.

（2）P{X=n,Y=m}=,m=0,1,2,…n;n=0,1,2,…2.设随机变量,求的联合分布列.解:(X1,X2)的可能取值数对及相应的概率如下：P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2)=(|Y|≥2)=22Φ(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2)=P(1≤|Y|<2)=2[Φ(2)Φ(1)]=0.2719P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2)=0，P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2)=P(|Y|<1)=0.68263.设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=,求边缘密度，。解：

=4.，试求：（1）常数A；（2）P(X<2,Y<1);（3)P{(X,Y)D},其中D为2x+3y≤6.解：（1）=A/6，所以（2）P{X<2,Y<1}（3）5.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为，(1)求常数k；(2)求概率P(X+Y≤1)。解：（1），即，由此得（2）6.设二维随机变(X,Y)量具有概率密度，(1)确定常数C；(2)求概率P(X>Y)。解：（1），由此得。（2）积分区域为，所以7.设随机变量（X,Y）的概率密度为（1）确定常数k；（2）求（3）求（4）求.。要点：1°确定常数，启动；2°用重要公式：；3°复习二重积分计算。解：（1）由可知（2）（3）（4）8.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为，其中A，B，C为常数，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)(1)试确定A，B，C；(2)求X和Y的边缘分布函数；(3)求P(X>2)解：由联合分布函数性质2可知：，，解得，，。故（2），，（3）由X的分布函数可得：9.设二维随机变量，求边缘密度函数fX(x)和fY(y)解：当0<x<1时,，当x≤0或x≥1时，fX(x)=0，所以；当0<y<1时,，当y≤0或y≥1时，fY(y)=0，所以10.设二维随机变量（X,Y）的概率密度为，求边缘概率密度。解：由知：当时，；当时，由于。，当时，；当时，。于是，边缘概率密度为，11.设二维随机变量（X,Y）的概率密度为，（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度。解：（1）由（2）当时，即时，当时，当时，；其余，故X,Y的边缘概率密度为12．设解：，得（2）于是(X,Y)关于X的边缘概率密度为于是(X,Y)关于Y的边缘概率密度为13.某电子仪器由两个部件构成，其寿命（单位：千小时）X与Y的联合分布函数为

问：（1）X与Y是否独立？（2）两部件的寿命都超过100小时的概率。解：（1）

则恒有，从而X与Y独立。

（2）15.设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为，求随机变量Z=X＋Y的概率密度。解：X与Y相互独立，Z=X+Y的概率密度为，知，故16.设二维随机变量在区域上服从均匀分布.求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密度.1D01z1D01zxyx+y=1x+y=zD1（2）利用公式其中当或时xzz=xxzz=x故的概率密度为的分布函数为17.随机变量X与Y相互独立，X～N(1,2),Y～N(0,1),求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数。解：由于随机变量X与Y独立，X～N(1,2),Y～N(0,1),则X与Y的线性函数Z=2X-Y+3业服从正态分布，且E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=5,D(Z)=4D(X)+D(Y)=9,即Z～N(5,9)

则：18.设随机变量X与Y相互独立且X～N(,),Y～U[-,}求Z=X+Y的概率密度函数。（计算结果用标准正态分布函数表示）。解：由卷积公式可知

（令）

19.设随机变量（X,Y）的概率密度为（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度（3）求函数的分布函数。解：（1）因为，即由此得得（2）y>0时,即（3）由（1）、（2）不难验证：，知X,Y相互独立。于是20.设随机变量（X,Y）具有概率密度求。解：，21.设随机变量具有概率密度求。解：，，同理故22.设的概率密度为，求要点：，分别令即可。解：，23.将n只球随机地放进n只盒子中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为总的配对数，求E(X)。解：引进随机变量则，其中分布，，从而24.设与在圆域上服从联合均匀分布，

（1）求与的相关系数；（2）问与是否独立？解：（1）由与服从圆域上的联合均匀分布，即

可知关于各自的边缘概率密度函数为：

且（奇函数对称区间上的积分为0

因而

且，即与的相关系数为0。

（2）由

及

可知，即与不独立。25.已知三个随机变量X,Y,Z中，,求。要点：条件没说X,Y,Z相互独立，因而在算。解：应用题1.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，先开动其中的一台，当发生故障时，自动停机，另一台自动开机。求：两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度、期望值与方差。解：设{第台自动记录仪无故障的工作时间}，，与独立同分布，且，即，

当时，

当时，

即为两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度。

2.设一商店经销某种商品，每周的进货量与顾客对该商品的需求量是两个相互独立的随机变量，均服从区间上的均匀分布，此商店每售出一个单位的商品，可获利1000元，若需求量超过了进货量，可从其它商店调剂供应，此时售出的每单位商品，仅获利500元，求此商店经销这种商品每周获利的期望。解：设一商店经销某种商品的每周所获利润为元，据题意可知：

当时，

当时，

即

且

所以此商店经销这种商品每周获利的期望是14167元。3.卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X（以公斤计）服从(50，2.5)，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05。解：每袋重量X~，设最多装n袋，则总重量Y＝，，故最多装39袋，（本题要点：反查的表。）证明题1.设X，Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为的泊松分布，证明：Z=X+Y服从参数为的泊松分布。证明：由题设知由上一题结论可知二项式定理：即Z=X+Y服从参数为的泊松分布。2.设X,X,…,X是相互独立的随机变量。且有E(X)＝μ，D(X)＝σ,i＝1,2,…,n.。记＝，S＝验证E()＝μ,D()＝；验证S＝;验证E(S)＝σ。要点：此题为第六章及以后知识作准备，是核心推导之一。证明：利用数学期望和方差的性质及定义。（1）E()＝E＝＝＝μD()＝D＝＝＝(2)S＝＝＝＝＝＝（3）E(S)＝＝＝＝＝3.设二维随机变量（X,Y）的概率密度为试验证：X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。要点：不相关；不独立（非“几乎处处”）证明：即同理经验证有，故X与Y不是相互独立的，这是一方面。另一方面（奇函数在对称区间积分为零）同理从而即4.设服从二维正态分布，且有证明当时，随机变量相互独立。证明：服从二维正态分布X,Y的线性组合W,V也服从正态分布==由已知二维正态随机变量相互独立的充要条件是：。故当时，随机变量W与V相互独立。第四章大数定律及中心极限定理一填空题1.掷一颗骰子100次，记第次掷出的点数为，点数之平均为，则概率=。2.汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为的泊松分布。若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的。则一年中售出700辆以上汽车的概率为。3．一仪器同时收到50个信号设它们相互独立，且都服从（0，1）内的均匀分布，则=。二计算题1.据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，先随机地取36只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。解设16只元件寿命分别为，由指数分布的期望及方差公式可知：。由定理四知：即寿命总和大于1920小时的概率为0.2119。2.计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数。设所有舍入误差是独立的且在（-0.5，0.5）上服从均与分布。（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？解设每个加数的舍入误差为则相互独立，,于是，。（1）设，由定理四有：即误差总和的绝对值超过15的概率约为0.1802。设，求。由定理四有：即，查表得从上式解出故最多有443个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90。3.设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期