15.4.2-角的平分线的性质和判定

第15章

轴对称图形与等腰三角形第4节角的平分线第2课时角平分线的性质和判定课堂讲解课时流程12角平分线的性质角平分线的判定逐点导讲练课堂小结课后作业1知识点角平分线的性质知1－导思考：如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA,PD⊥

OB,点C,D是垂足.你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想.知1－讲知识点下面我们给出上面“思考”中猜想结论的证明.证明：∵OP平分∠AOB，（已知）∴∠AOP=∠BOP.(角平分线定义）又∵

PC⊥OA，PD⊥

OB，（已知）∴∠PCO=∠PDO=90°.(垂直的定义）知1－讲知识点在△PCO

和△

PDO中，∵

∴△

PCO≌

△

PDO.(AAS)∴PC=PD.（来自教材）知1－讲知识点1.角的平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．要点精析：(1)点一定要在角平分线上；(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；(3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等．知1－讲知识点2．书写格式：如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E,∴PD＝PE.3．易错提示：易找错距离，误以为角平分线上的点到角的两边的距离就是角平分线上的点与角两边上任意点间的距离．知1－讲知识点例1如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．知1－讲知识点证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C＝90°，∴DE＝DC，∠DEB＝∠C＝90°.

在△BDE和△FDC中，

∴△BDE≌△FDC,∴BD＝DF.（来自《点拨》）知1－讲（来自《点拨》）由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等，这是证线段相等的一个简捷方法．

总

结知1－讲例2

如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E.若AB＝10cm，求△DBE的周长．知1－讲导引：要求△DBE的周长，实质是求BE＋DE＋BD的长，而题中已知AB＝10cm，因此需证DE＋BD＝AE，又AD是角平分线及垂直条件知DE＝CD，所以需证BC＝AE，由BC＝AC，因此只需证AC＝AE，它可由Rt△ACD≌Rt△AED得出．知1－讲解：∵AD平分∠CAB，且∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE.又∵∠C＝∠DEA＝90°，AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE.知1－讲又∵AC＝BC，∴AC＝AE＝BC.∴DE＋EB＋BD＝DC＋EB＋BD＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB.又∵AB＝10cm，∴△DBE的周长为DB＋BE＋DE＝10cm.（来自《点拨》）知1－练1(中考·茂名)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为(

)A．6 B．5C．4 D．3A（来自《典中点》）知1－练如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是(

)A．6cm B．7cmC．8cm D．9cmA2（来自《典中点》）知1－练(中考·湖州)如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于(

)A．10 B．7C．5 D．43（来自《典中点》）C2知识点角平分线的判定知2－讲思考：写出上面角平分线性质定理的逆命题.这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明.知2－讲角平分线的判定：1．判定方法：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．(1)书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．(2)作用：运用角平分线的判定，可以证明两个角相等或一条射线是角的平分线．知2－讲2．角平分线的判定定理与性质定理的关系：(1)如图，都与距离有关：即条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备；(2)点在角平分线上点到角两边的距离相等．3.拓展：三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边的距离相等．性质判定知2－讲例3

如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.导引：要证AD平分∠BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成．知2－讲证明：∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.

在△BDE和△CDF中，

∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴AD平分∠BAC.（来自《点拨》）知2－讲总

结判定角平分线的两步：(1)找出与角的两边都垂直的垂线段；(2)证明两条垂线段相等．

（来自《点拨》）知2－讲例4

如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，点E在∠ACB的平分线上，D是AC上一点，若∠CBD＝20°，求∠ADE的度数．知2－讲解：如图，作EN⊥CA于点N，EM⊥BD于点M，

EP⊥CB交CB的延长线于点P，因为∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝100°－20°＝80°，∠PBA＝180°－100°＝80°，所以∠PBA＝∠ABD.知2－讲因为EM⊥BD于点M，EP⊥CB于点P，所以EP＝EM.又∵点E在∠ACB的平分线上，EN⊥CA，EP⊥CB，∴EN＝EP，∴EN＝EM，∴DE平分∠ADB.∵∠ADB＝∠ACB＋∠CBD＝40°，∴∠ADE＝∠ADB＝×40°＝20°.（来自《点拨》）知2－讲总

结（来自《点拨》）本题根据角的和差关系计算有关角的度数，利用角平分线的性质定理证明EP＝EM和EN＝EP，得到EN＝EM，由角平分线的判定判断DE平分∠ADB，便可求出∠ADE的度数．知2－讲例5已知：如图，△ABC中，∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P.求证：AP平分∠BAC.知2－讲证明：过点P分别作PM⊥BC，PN⊥

AC，PQ⊥

AB,垂足分别为点M,N,Q.∵BE是∠B的平分线，点P在BE上，（已知）∴PQ=PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等）同理，PN=PM.∴PN=PQ.(等量代换）∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）（来自教材）知2－讲总

结这个例子说明：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.（来自教材）知2－讲例6如图，在△ABC中，请证明：(1)若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC；(2)设D为BC上的一点，连接AD，若S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，则AD为∠BAC的平分线．知2－讲证明：如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.(1)∵AD平分∠BAC且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∴S△ABD∶S△ACD＝∶＝AB∶AC.(2)∵S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，∴∶＝AB∶AC，∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD为∠BAC的平分线．（来自《点拨》）知2－讲总

结运用角平分线解与面积有关的问题的方法：首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关系，结合角平分线的性质进一步转化为三角形边长之间的关系，从而把两者联系起来，结合已知条件可解决问题．（来自《点拨》）知2－练在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，∠AOB两边距离相等的点应是(

)A．点M B．点N

C．点P D．点Q1（来自《典中点》）A知2－练如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是(

)A．∠1＝∠2

B．∠1>∠2

C．∠1<∠2

D．无法确定2A（来自《典中点》）知2－练如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是(

)A．AF平分BC

B．AF平分∠BACC．AF⊥BC

D．以上结论都正确3B（来自《典中点》）知2－练如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S