天津武清区大良中学高一数学理期末试题含解析

天津武清区大良中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2]参考答案：A【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】由条件利用正弦函数的减区间可得，由此求得实数ω的取值范围．【解答】解：∵ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递减，则，求得≤ω≤，故选：A．2.定义在上函数满足对任意，都有，记数列，有以下命题：①；②；③令函数，则；④令数列，则数列为等比数列.其中正确命题的为（

）A.①②③

B.①②

C.②③

D.①②③④参考答案：A略3.已知函数f（x）对任意实数x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）成立，则f（1）=（）A．3 B．2 C．1 D．0参考答案：D考点：抽象函数及其应用．

专题：函数的性质及应用．分析：利用赋值法直接求解即可．解答：解：函数f（x）对任意实数x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）成立，则f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1），可得f（1）=0．故选：D．点评：本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．4.设，，若则的取值范围是（

）

A

B

C

D参考答案：B5.在下列函数中，最小值为2的是(

)A．

B．C．

D．参考答案：D6.若函数，则f(－2)的值等于（

）A、B、C、D、2参考答案：A7.函数的最小正周期是（

）A.6π B.2π C. D.参考答案：C【分析】逆用两角和的正弦公式，把函数的解析式化为正弦型函数解式，利用最小正周期公式求出最小正周期.【详解】,，故本题选C.【点睛】本题考查了逆用两角和的正弦公式、以及最小正周期公式，熟练掌握公式的变形是解题的关键.8.在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（

）参考答案：A略9.已知α∈[，]，β∈[﹣，0]，且（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，8β3+2cos2β+1=0，则sin（+β）的值为（）A．0 B． C． D．1参考答案：B【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】构造思想，转化为函数问题，零点与方程的根的关系，利用单调性找出α，β的关系，求解即可．【解答】解：∵（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，可得：（α﹣）3﹣cos（）﹣2=0，即（﹣α）3+cos（）+2=0由8β3+2cos2β+1=0，得（2β）3+cos2β+2=0，∴可得f（x）=x3+cosx+2=0，其，x2=2β．∵α∈[，]，β∈[﹣，0]，∴∈[﹣π，0]，2β∈[﹣π，0]可知函数f（x）在x∈[﹣π，0]是单调增函数，方程x3+cosx+2=0只有一个解，可得，即，∴，那么sin（+β）=sin=．故选：B．10.已知sin（α+）=，＜α＜π，则求sin（﹣α）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣参考答案：D【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用已知条件求出cos（α+），由sin（﹣α）=sin（﹣﹣α）=sin，运用两角差的正弦公式和诱导公式：﹣α，即可得到答案．【解答】解：由于＜α＜π，则＜α+＜，又sin（α+）=，则＜α+＜π，即有cos（α+）=﹣=﹣，则sin（﹣α）=sin（﹣﹣α）=sin===（﹣﹣）=﹣．故选：D．【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和诱导公式及两角差的正弦公式，注意角的变换，考查运算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若两个等差数列、的前项和分别为、，对任意的都有，则=

。参考答案：12.函数y=cosx+cos（x+）的最大值是

.参考答案：略13.

已知函数

，则的值为___________。参考答案：14.给出下列六个命题：①函数f（x）＝lnx－2＋x在区间（1,e）上存在零点；②若，则函数y＝f（x）在x＝x0处取得极值；③若m≥－1，则函数的值域为R；④“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件。⑤函数y=（1+x）的图像与函数y=f（l-x）的图像关于y轴对称；⑥满足条件AC=，AB=1的三角形△ABC有两个．其中正确命题的个数是

。参考答案：①③④⑤15.已知向量集合={|=（1，2）+（3，4），∈R}，={|=（-2，-2）+（4，5），∈R}，则=__________。参考答案：（-2，-2）略16.

参考答案：略17.已知函数（），若的定义域和值域均是，则实数=_______.参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在正方体中，求证：平面平面．参考答案：略19.已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．（1）求图中阴影部分表示的集合C；（2）若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D?（A∪B），求实数a的取值范围．参考答案：【考点】Venn图表达集合的关系及运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）根据题意，分析可得C=A∩（?UB），进而由补集的定义求出?UB，再由交集的定义可得A∩（?UB），即可得答案；（2）根据题意，先求出集合A∪B，进而集合子集的定义可得，解可得a的范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，分析可得：C=A∩（?UB），B={x|2＜x＜4}，则?UB={x|x≤2或x≥4}，而A={x|1≤x≤3}，则C=A∩（?UB）={x|1≤x≤2}；（2）集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．则A∪B={x|1≤x≤4}，若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D?（A∪B），则有，解可得2＜a≤3，即实数a的取值范围是{a|2＜a≤3}．20.（本题满分12分）已知数列的前项和满足证明是等比数列.设，求证:参考答案：简答：（1）当

故是等比数列（2）由（1）知

=略21.已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx+1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[，]上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时自变量x的值．参考答案：【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式（1）利用周期公式求出函数的周期；（2）求出，根据正弦函数的单调性求出函数的最值，写出求函数取得最大值和最小值时的自变量x的值．【解答】解：==（1）f（x）的最小正周期（2）∵∴∴当，即时，当或时，即或时，．22.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.

(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．参考答案：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.(2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝．如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及点O所在且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)．

所以＝(1，，－2)，＝(0,2，0)．设PB与AC所成角为θ，则