2024届浙江省杭州市高三上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2浙江省杭州市2024届高三上学期期末数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得：，解得：，由可得，即，即，解得：或，故，，所以.故选：D.2.已知复数满足（为虚数单位），且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，，则，因为，则，又，则，解得或，所以或，所以或，故选：B.3.已知随机变量，分别满足二项分布，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，所以，则，若，则.所以“”是“”的充要条件.故选：C.4.若，则的最小值是（）A. B.6 C. D.9〖答案〗A〖解析〗因为，可得，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值是.故选：A.5.冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（）A.3小时 B.4小时 C.5小时 D.6小时〖答案〗C〖解析〗设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟，则，两边同时取对数得，，所以，所以大约需要小时.故选：C.6.已知定义在上的函数满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，，故恒成立，故在上单调递增，故，即.故选：B7.已知数列，满足，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，则，又，则，所以数列的奇数项与偶数项分别为公比为的等比数列，由可得，则数列的各项为，其中奇数项的通项公式为，偶数项的通项公式为，所以数列的通项公式为.故选：D.8.已知四面体，是边长为6的正三角形，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，取中点，连接，因为是边长为6的正三角形，，则由三线合一可知，所以二面角的平面角为，取三角形的外心，设外接球的球心为，则平面，且，其中为四面体外接球的半径，过点作垂直平面，垂足为点，由对称性可知点必定落在的延长线上面，由几何关系，设，而由正弦定理边角互换得，进而，由勾股定理得，从而，，所以，，所以由得，，解得，所以四面体的外接球的表面积为.故选：B.二、选择题9.已知平面向量，，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗A.若，则，解得，故正确；B若，则，解得，故正确；C.若，或，故错误；D.若，则，解得，故正确，故选：ABD.10.已知四棱柱的底面为菱形，且，，，为的中点，为线段上的动点，则下列命题正确的是（）A.可作为一组空间向量的基底B.可作为一组空间向量的基底C.直线平面D.向量在平面上的投影向量为〖答案〗BCD〖解析〗如图所示，四棱柱，对于选项A，，三个向量都在平面，即三个向量共面，则也共面，不可作为一组空间向量的基底，选项A错误；对于选项B，两个向量都在平面，显然直线与平面是相交关系，不与平面平行，故三个向量不共面，可作为一组空间向量的基底，选项B正确；对于选项C，由于，，易得平面，平面，从而有平面平面，且平面，所以直线平面，选项C正确；对于选项D，取作为一组空间向量的基底，，，，其中，因为底面为菱形，且，，，得，，所以，即，，其中，显然，，所以，即，，因为，，且平面，平面，，所以平面，所以向量在平面上的投影向量为，选项D正确；故选：BCD.11.已知函数，，则（）A.将函数的图象右移个单位可得到函数的图象B.将函数的图象右移个单位可得到函数的图象C.函数与的图象关于直线对称D.函数与的图象关于点对称〖答案〗ACD〖解析〗因为，将函数的图象右移个单位可得到，将函数的图象右移个单位可得到，故A正确，B错误；由A选项可知，，所以函数与的图象关于直线对称，故C正确；若函数与的图象关于点对称，则在上取点关于的对称点必在上，所以，所以，故D正确.故选：ACD.12.（多选）已知数据，若去掉后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，记，，，的平均数与方差为，，记，，，的平均数与方差为，，则（）A.B.C.D.〖答案〗AC〖解析〗因为，所以，所以，所以，故A正确，B错误；，故C正确，D错误.故选：AC.三、填空题13.直线的倾斜角是___________.〖答案〗0〖解析〗的斜率为0，设倾斜角为，则，解得，故倾斜角0故〖答案〗为：0.14.已知二项式的展开式中含的项的系数为84，则___________.〖答案〗〖解析〗二项式中含的项为：，该项的系数为，由于该项的系数为84，得方程，即，解得或（舍去），故〖答案〗为：.15.位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为___________米.（结果保留整数，参考数据：）〖答案〗310〖解析〗设米，因为在点C测得塔顶A的仰角为80°，所以，在中，，所以，在中，因为，，所以，由正弦定理得，所以，则，所以米.故〖答案〗为：310.16.已知点P是双曲线C：与圆在第一象限的公共点，若点P关于双曲线C其中一条渐近线的对称点恰好在y轴负半轴上，则双曲线C的离心率___________.〖答案〗〖解析〗联立，取，解得，即，设点P关于双曲线C的渐近线的对称点为，则恰好在轴负半轴上，且，所以，由点与点关于渐近线对称，所以直线的斜率为，所以，即，化简可得，所以.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，角C为锐角，已知的面积为.（1）求c；（2）若为上的中线，求的余弦值.解：（1）由的面积为可得：，因为，，解得：得，由角为锐角得，故，解得.（2）因为为上的中线，所以，所以，，解得：.故.18.已知为公差为2的等差数列的前项和，若数列为等差数列.（1）求；（2）求数列的前项和.解：（1）因为数列为等差数列，所以，因为为公差为2的等差数列的前项和，则，解得.故.（2）由（1）得，故，故数列的前项和为.19.已知直三棱柱，，，D，E分别为线段，上的点，.（1）证明：平面平面；（2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值.（1）证明：在直三棱柱中，，平面，所以以为原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点，，，，，则，，，设，则，设平面和平面的法向量分别为，则，取，则；，取，则，因为，所以平面平面.（2）解：设点，由，得平面的法向量，由得点到平面的距离，解得，由，得，直线与平面所成的角的正弦值为.20.已知点，为椭圆C：的左，右焦点，椭圆C上的点P，Q满足，且P，Q在x轴上方，直线，交于点G.已知直线的斜率为.（1）当时，求值；（2）记，的面积分别为，，求的最大值.解：（1）设直线与椭圆的另一个交点为，由椭圆的对称性得，关于原点对称.设点，.因为C：中，所以，所以当时，直线的方程为：，联立直线与椭圆的方程得，所以，所以，所以.（2）由题可设直线的方程为：，联立直线与椭圆得：，所以，，，所以当即时等号成立，取到最大值.21.我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下：中秋天气元宵天气合计降水无降水降水194160无降水5090140合计69131200（1）依据的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？（2）从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求.参考公式与数据：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假设为：元宵节的降水与中秋节的降水无关.，因为，所以没有充分证据推断不成立，故元宵节的降水与中秋节的降水无关.（2）中秋节的降水状况为一降水一无降水概率为，中秋节、元宵节的降水状况均为一降水一无降水概率为，故.22.定义满足的实数为函数的然点.已知.（1）证明：对于，函数必有然点；（2）设为函数的然点，判断函数的零点个数并证明.（1）证明：，由得.令，因为在上单调递增，故至多一个零点，又因为，，所以使，故对于，函数有唯一然点.（2）解：由（1）得，令，因为在上单调递减，且，，故使，在上单调递增，在上单调递减.因为，故，将代入，得，所以有2个零点.浙江省杭州市2024届高三上学期期末数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得：，解得：，由可得，即，即，解得：或，故，，所以.故选：D.2.已知复数满足（为虚数单位），且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，，则，因为，则，又，则，解得或，所以或，所以或，故选：B.3.已知随机变量，分别满足二项分布，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，所以，则，若，则.所以“”是“”的充要条件.故选：C.4.若，则的最小值是（）A. B.6 C. D.9〖答案〗A〖解析〗因为，可得，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值是.故选：A.5.冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（）A.3小时 B.4小时 C.5小时 D.6小时〖答案〗C〖解析〗设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟，则，两边同时取对数得，，所以，所以大约需要小时.故选：C.6.已知定义在上的函数满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，，故恒成立，故在上单调递增，故，即.故选：B7.已知数列，满足，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，则，又，则，所以数列的奇数项与偶数项分别为公比为的等比数列，由可得，则数列的各项为，其中奇数项的通项公式为，偶数项的通项公式为，所以数列的通项公式为.故选：D.8.已知四面体，是边长为6的正三角形，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，取中点，连接，因为是边长为6的正三角形，，则由三线合一可知，所以二面角的平面角为，取三角形的外心，设外接球的球心为，则平面，且，其中为四面体外接球的半径，过点作垂直平面，垂足为点，由对称性可知点必定落在的延长线上面，由几何关系，设，而由正弦定理边角互换得，进而，由勾股定理得，从而，，所以，，所以由得，，解得，所以四面体的外接球的表面积为.故选：B.二、选择题9.已知平面向量，，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗A.若，则，解得，故正确；B若，则，解得，故正确；C.若，或，故错误；D.若，则，解得，故正确，故选：ABD.10.已知四棱柱的底面为菱形，且，，，为的中点，为线段上的动点，则下列命题正确的是（）A.可作为一组空间向量的基底B.可作为一组空间向量的基底C.直线平面D.向量在平面上的投影向量为〖答案〗BCD〖解析〗如图所示，四棱柱，对于选项A，，三个向量都在平面，即三个向量共面，则也共面，不可作为一组空间向量的基底，选项A错误；对于选项B，两个向量都在平面，显然直线与平面是相交关系，不与平面平行，故三个向量不共面，可作为一组空间向量的基底，选项B正确；对于选项C，由于，，易得平面，平面，从而有平面平面，且平面，所以直线平面，选项C正确；对于选项D，取作为一组空间向量的基底，，，，其中，因为底面为菱形，且，，，得，，所以，即，，其中，显然，，所以，即，，因为，，且平面，平面，，所以平面，所以向量在平面上的投影向量为，选项D正确；故选：BCD.11.已知函数，，则（）A.将函数的图象右移个单位可得到函数的图象B.将函数的图象右移个单位可得到函数的图象C.函数与的图象关于直线对称D.函数与的图象关于点对称〖答案〗ACD〖解析〗因为，将函数的图象右移个单位可得到，将函数的图象右移个单位可得到，故A正确，B错误；由A选项可知，，所以函数与的图象关于直线对称，故C正确；若函数与的图象关于点对称，则在上取点关于的对称点必在上，所以，所以，故D正确.故选：ACD.12.（多选）已知数据，若去掉后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，记，，，的平均数与方差为，，记，，，的平均数与方差为，，则（）A.B.C.D.〖答案〗AC〖解析〗因为，所以，所以，所以，故A正确，B错误；，故C正确，D错误.故选：AC.三、填空题13.直线的倾斜角是___________.〖答案〗0〖解析〗的斜率为0，设倾斜角为，则，解得，故倾斜角0故〖答案〗为：0.14.已知二项式的展开式中含的项的系数为84，则___________.〖答案〗〖解析〗二项式中含的项为：，该项的系数为，由于该项的系数为84，得方程，即，解得或（舍去），故〖答案〗为：.15.位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为___________米.（结果保留整数，参考数据：）〖答案〗310〖解析〗设米，因为在点C测得塔顶A的仰角为80°，所以，在中，，所以，在中，因为，，所以，由正弦定理得，所以，则，所以米.故〖答案〗为：310.16.已知点P是双曲线C：与圆在第一象限的公共点，若点P关于双曲线C其中一条渐近线的对称点恰好在y轴负半轴上，则双曲线C的离心率___________.〖答案〗〖解析〗联立，取，解得，即，设点P关于双曲线C的渐近线的对称点为，则恰好在轴负半轴上，且，所以，由点与点关于渐近线对称，所以直线的斜率为，所以，即，化简可得，所以.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，角C为锐角，已知的面积为.（1）求c；（2）若为上的中线，求的余弦值.解：（1）由的面积为可得：，因为，，解得：得，由角为锐角得，故，解得.（2）因为为上的中线，所以，所以，，解得：.故.18.已知为公差为2的等差数列的前项和，若数列为等差数列.（1）求；（2）求数列的前项和.解：（1）因为数列为等差数列，所以，因为为公差为2的等差数列的前项和，则，解得.故.（2）由（1）得，故，故数列的前项和为.19.已知直三棱柱，，，D，E分别为线段，上的点，.（1）证明：平面平面；（2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值.（1）证明：在直三棱柱中，，平面，所以以为原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点，，，，，则，，，设，则，设平面和平面的法向量分别为，则，取，则；，取，则，因为，所以平面平面.（2）解：设点，由，得平面的法向量，由得点到平面的距离，解得，由，得，直线与平面所成的角的正弦值为.20.已知点，为椭圆C：的左，右焦点，椭圆C上的点P，Q满足，且P，Q在x轴上方，直线，交于点G.已知直