2023-2024学年江苏省常州市高二上学期期末学业水平监测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3江苏省常州市2023-2024学年高二上学期期末学业水平监测数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A.63 B.10 C.21 D.0〖答案〗C〖解析〗由题意得，故C正确.故选：C.2.用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（）A.11 B.13 C.63 D.78〖答案〗D〖解析〗依题意，因为，所以，因为线性回归方程为一定过点，所以，所以.故选：D.3.方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知焦点在轴上，则，解得，故D正确.故选：D.4.已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（）A.13 B.10 C.1 D.13或1〖答案〗A〖解析〗由题意得焦距为，由双曲线定义可得，所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确.故选：A.5.定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（）A.21 B.35 C.36 D.45〖答案〗C〖解析〗“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，故首位最大为8，且首位不为0，则有：若首位为8，则剩余两位均为0，共有1个“幸运数”；若首位为7，则剩余两位为，共有个“幸运数”；若首位为6，则剩余两位为，或，共有个“幸运数”；若首位为5，则剩余两位为，或，共有个“幸运数”；若首位为4，则剩余两位为，或，或，共有个“幸运数”；若首位为3，则剩余三位为，或，或，共有个“幸运数”；若首位为2，则剩余三位为，或，或，或，共有个“幸运数”；若首位为1，则剩余三位为，或，或，或，共有个“幸运数”；综上所述：共有个“幸运数”.故选：C.6.已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设等比数列的公比为，则，则，所以，，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.7.已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗圆，即，其圆心，半径，圆，即，其圆心，半径，取线段的中点，连接，则，将圆与圆的方程做差可得公共弦的方程为，则，则，所以.故选：B.8.经过双曲线的右焦点作该双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如下图所示：设，则，则，双曲线的渐近线方程为，则到直线的距离为，因为，则，故，由勾股定理可得，因为，整理可得，又因为，解得.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.点、，过、的直线为，下列说法正确的有（）A.若，则直线的方程为B.若，则直线的倾斜角为C.任意实数，都有D.存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数〖答案〗ABD〖解析〗对于A选项，当时，点，又因为点，则，此时，直线的方程为，即，A对；对于B选项，若，则，又因为点，，设直线的倾斜角为，则，且，则，即直线的倾斜角为，B对；对于C选项，，当且仅当时，等号成立，C错；对于D选项，若直线过原点，则直线的斜率为，此时，直线的方程为，即，因为点在直线上，则，解得，若直线不经过原点，设直线的方程为，因为点在直线上，则，此时，直线的方程为，因为点在直线上，则，解得.综上所述，存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数，D对.故选：ABD.10.甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有（）A.若甲和乙相邻，共有种排法 B.若甲不排第一个共有种排法C.若甲与丙不相邻，共有种排法 D.若甲在乙的前面，共有种排法〖答案〗ACD〖解析〗甲、乙、丙等人排成一列，对于A选项，若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序，共有种排法，A对；对于B选项，若甲不排第一个，则甲有种排法，其余个人全排，共有种，B对；对于C选项，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排，然后将甲与丙插入人所形成的个空中的个空，所以，共有种排法，C对；对于D选项，若甲在乙的前面，只需在个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后将其余个人全排，共有种排法，D对.故选：ACD.11.已知直线与圆交于，两点，点为线段的中点，且点的坐标为．当时，，则（）A. B.的最小值为C.存在点，使 D.存在，使〖答案〗AD〖解析〗当时，直线，圆心到直线的距离，又，解得，A正确；由上可知圆，圆心到直线的距离，则，B错误；若，则直线斜率为，从而直线：，此时圆心到直线的距离，则直线与圆相离，即不存在点，使，C错误；设点，因为直线过定点，则，即，化简为，为点的轨迹方程，若，则，即，得，故存在存在，使，D正确.故选：AD.12.在等比数列中，，为数列的前项积，下列说法正确的有（）A.B.C.若，则的最大项为D.若，则的最小项为〖答案〗AC〖解析〗设等比数列的公比为，所以，又，所以，解得，故选项A正确，对于选项B，因为，又，所以，得到，故选项B错误，对于选项C，因为，又，所以，又，所以，则有，，又，所以数列中的奇数项为负数，偶数项为正数，所以，，又，，故选项C正确，对于选项D，因为，又，所以，又，，所以，又数列中奇数项为负数，偶数项为正数，且，，又，，，又，而，若，则，此时，故选项D错误，故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中，各项系数的绝对值之和为__________．〖答案〗〖解析〗二项式展开式的通项公式为，所以各项系数的绝对值之和为.故〖答案〗为：14.已知等差数列的公差不为，其前项和为，且、、成等比数列，则__________．〖答案〗〖解析〗设等差数列的公差为，则，，因为、、成等比数列，则，则，所以，，可得，又因为，则，则，则，所以，.故〖答案〗为：.15.在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为__________．〖答案〗〖解析〗由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，如图所示，设抛物线的准线为，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于，则，所以直线的倾斜角为，又，故直线的方程为，联立，消整理得，即，解得或，则，，所以，又原点到直线的距离为，所以，当直线的斜率为负，即直线的倾斜角为时，同理可求．故〖答案〗为：．16.已知椭圆的离心率为，点，若椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，则的取值范围为__________．〖答案〗〖解析〗由题意知，在椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，由对称性知，在直线右侧要存在两个点到的距离相等，不妨设轴上方椭圆上的点为，即，得，所以，，要满足题意，由二次函数的对称性可知需在内对于总能取到两个不同的的值，即等价于二次函数对称轴在的范围内即可，所以，即，即，即，化简得，即，即，解得，又因为，所以.故〖答案〗为：.四、解答题、本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．中国体育代表团获得201金111银71铜，共383枚奖牌，取得亚运会参赛历史最好成绩．亚运会结束后，某调查小组为了解杭州市不同年龄段的市民每日运动的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，结果如下表所示，其中每日平均运动低于1万步的人数占样本总数的，40岁以上（含40岁）的人数占样本总数的．每日平均运动1万步或以上每日平均运动低于1万步总计40岁以上（含40岁）8040岁以下总计200（1）将题中表格补充完整（填写在答题卡上）；（2）判断是否有的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关．附：，其中．0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828解：（1）由已知，40岁以上（含40岁）的人数为，40岁以下的人数为100．每日平均运动低于1万步的人数为．由此得如下列联表：

每日平均运动1万步或以上每日平均运动低于1万步总计40岁以上（含40岁）802010040岁以下4060100总计12080200（2），所以有的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关．18.设是正项数列的前项和，且，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式．解：（1）因为，，所以，，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列．（2），且，所以．当时，，．时，不满足上式，所以．19.已知椭圆的右焦点为，点在上．（1）求的方程；（2）斜率为1的直线与交于，两点，线段的中点为，求点的横坐标的取值范围．解：（1）由已知得椭圆的左右焦点分别为，，，所以，所以，所以．（2）设直线的方程为：，，，联立消去得：，所以，由，解得．因为，所以，所以点的横坐标的取值范围为．20.已知．（1）求的最大值；（2）求被13除的余数．解：（1）因为，所以，．所以，，．令，则，所以的最大值为1792．（2）因为．所以被除余数，即为被除的余数为．21.已知等差数列满足，，数列满足，且．（1）证明：是等比数列，并求数列和的通项公式：（2）将数列和的公共项从小到大排成的数列记为，求的前项和．解：（1）由题可知，，所以，，所以．因为，所以，因为，所以，所以（常数），所以是等比数列，所以，即．（2）为从开始的奇数，当为奇数时，为奇数，，故．．22.已知抛物线的焦点为，过点的直线（斜率为正数）与由左至右交于、两点，连接并延长交于点．（1）证明：；（2）当的内切圆半径时，求的取值范围．解：（1）易知抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，设点、，，则，由得，，由韦达定理可得，，则，所以．（2）由（1）可知：的内切圆圆心在轴上，所以设圆心，则，设直线的方程为，且，由得，，且，则，由韦达定理可得，，所以，所以直线的方程为，即．因为点到直线的距离等于点到直线的距离，所以，所以，，，则，上述两个等式作差可得，可得，所以，因在上单调减，所以．所以.江苏省常州市2023-2024学年高二上学期期末学业水平监测数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A.63 B.10 C.21 D.0〖答案〗C〖解析〗由题意得，故C正确.故选：C.2.用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（）A.11 B.13 C.63 D.78〖答案〗D〖解析〗依题意，因为，所以，因为线性回归方程为一定过点，所以，所以.故选：D.3.方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知焦点在轴上，则，解得，故D正确.故选：D.4.已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（）A.13 B.10 C.1 D.13或1〖答案〗A〖解析〗由题意得焦距为，由双曲线定义可得，所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确.故选：A.5.定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（）A.21 B.35 C.36 D.45〖答案〗C〖解析〗“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，故首位最大为8，且首位不为0，则有：若首位为8，则剩余两位均为0，共有1个“幸运数”；若首位为7，则剩余两位为，共有个“幸运数”；若首位为6，则剩余两位为，或，共有个“幸运数”；若首位为5，则剩余两位为，或，共有个“幸运数”；若首位为4，则剩余两位为，或，或，共有个“幸运数”；若首位为3，则剩余三位为，或，或，共有个“幸运数”；若首位为2，则剩余三位为，或，或，或，共有个“幸运数”；若首位为1，则剩余三位为，或，或，或，共有个“幸运数”；综上所述：共有个“幸运数”.故选：C.6.已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设等比数列的公比为，则，则，所以，，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.7.已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗圆，即，其圆心，半径，圆，即，其圆心，半径，取线段的中点，连接，则，将圆与圆的方程做差可得公共弦的方程为，则，则，所以.故选：B.8.经过双曲线的右焦点作该双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如下图所示：设，则，则，双曲线的渐近线方程为，则到直线的距离为，因为，则，故，由勾股定理可得，因为，整理可得，又因为，解得.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.点、，过、的直线为，下列说法正确的有（）A.若，则直线的方程为B.若，则直线的倾斜角为C.任意实数，都有D.存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数〖答案〗ABD〖解析〗对于A选项，当时，点，又因为点，则，此时，直线的方程为，即，A对；对于B选项，若，则，又因为点，，设直线的倾斜角为，则，且，则，即直线的倾斜角为，B对；对于C选项，，当且仅当时，等号成立，C错；对于D选项，若直线过原点，则直线的斜率为，此时，直线的方程为，即，因为点在直线上，则，解得，若直线不经过原点，设直线的方程为，因为点在直线上，则，此时，直线的方程为，因为点在直线上，则，解得.综上所述，存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数，D对.故选：ABD.10.甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有（）A.若甲和乙相邻，共有种排法 B.若甲不排第一个共有种排法C.若甲与丙不相邻，共有种排法 D.若甲在乙的前面，共有种排法〖答案〗ACD〖解析〗甲、乙、丙等人排成一列，对于A选项，若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序，共有种排法，A对；对于B选项，若甲不排第一个，则甲有种排法，其余个人全排，共有种，B对；对于C选项，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排，然后将甲与丙插入人所形成的个空中的个空，所以，共有种排法，C对；对于D选项，若甲在乙的前面，只需在个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后将其余个人全排，共有种排法，D对.故选：ACD.11.已知直线与圆交于，两点，点为线段的中点，且点的坐标为．当时，，则（）A. B.的最小值为C.存在点，使 D.存在，使〖答案〗AD〖解析〗当时，直线，圆心到直线的距离，又，解得，A正确；由上可知圆，圆心到直线的距离，则，B错误；若，则直线斜率为，从而直线：，此时圆心到直线的距离，则直线与圆相离，即不存在点，使，C错误；设点，因为直线过定点，则，即，化简为，为点的轨迹方程，若，则，即，得，故存在存在，使，D正确.故选：AD.12.在等比数列中，，为数列的前项积，下列说法正确的有（）A.B.C.若，则的最大项为D.若，则的最小项为〖答案〗AC〖解析〗设等比数列的公比为，所以，又，所以，解得，故选项A正确，对于选项B，因为，又，所以，得到，故选项B错误，对于选项C，因为，又，所以，又，所以，则有，，又，所以数列中的奇数项为负数，偶数项为正数，所以，，又，，故选项C正确，对于选项D，因为，又，所以，又，，所以，又数列中奇数项为负数，偶数项为正数，且，，又，，，又，而，若，则，此时，故选项D错误，故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中，各项系数的绝对值之和为__________．〖答案〗〖解析〗二项式展开式的通项公式为，所以各项系数的绝对值之和为.故〖答案〗为：14.已知等差数列的公差不为，其前项和为，且、、成等比数列，则__________．〖答案〗〖解析〗设等差数列的公差为，则，，因为、、成等比数列，则，则，所以，，可得，又因为，则，则，则，所以，.故〖答案〗为：.15.在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为__________．〖答案〗〖解析〗由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，如图所示，设抛物线的准线为，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于，则，所以直线的倾斜角为，又，故直线的方程为，联立，消整理得，即，解得或，则，，所以，又原点到直线的距离为，所以，当直线的斜率为负，即直线的倾斜角为时，同理可求．故〖答案〗为：．16.已知椭圆的离心率为，点，若椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，则的取值范围为__________．〖答案〗〖解析〗由题意知，在椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，由对称性知，在直线右侧要存在两个点到的距离相等，不妨设轴上方椭圆上的点为，即，得，所以，，要满足题意，由二次函数的对称性可知需在内对于总能取到两个不同的的值，即等价于二次函数对称轴在的范围内即可，所以，即，即，即，化简得，即，即，解得，又因为，所以.故〖答案〗为：.四、解答题、本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．中国体育代表团获得201金111银71铜，共383枚奖牌，取得亚运会参赛历史最好成绩．亚运会结束后，某调查小组为了解杭州市不同年龄段的市民每日运动的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，结果如下表所示，其中每日平均运动低于1万步的人数占样本总数的，40岁以上（含40岁）的人数占样本总数的．每日平均运动1万步或以上每日平均运动低于1万步总计40岁以上（含40岁）8040岁以下总计200（1）将题中表格补充完整（填写在答题卡上）；（2）判断是否有的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关．附：，其中．0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828解：（1）由已知，4