上海市长征中学2023-2024学年高一年级上册期中 数学试题（含解析）

2023学年第一学期期中考试

高一数学试卷

试卷满分100分考试时间90分钟

一、填空题(本大题共有12题，满分36分，每小题满分3分)

1.已知集合4={2,病—1},且"A,则实数。=.

2.集合«(T€NM€N)用列举法表示为.

32

3.的5次方根是___.

243

4.已知lor=—2,贝1"=.

5.若久6是方程V+4x+l=0的两个根，则;

ab

6.已知a>0,匕>0,化简口-0@2k&=.

7.已知集合4={刀氏<1},B^{x\x>a},且AB=R,则实数”的取值范围是.

8.已知Ilog52=a,5b=3,用。，b表示log512=_.

9.已知等式2x?-3x-l+/?(x-l)+c恒成立，其中a、b、c为常数，则a+6+c=

10.关于x的不等式加-2":+〃>-1的解集为兄则实数a的取值范围是.

11.关于X的不等式如+b>0的解集为(—[)，则关于X的不等式处?>0的解集

x+2

为.

12.当且仅当工=时，代数式/+普取得最小值

二、选择题(本大题共有4题，满分14分，其中第13、14题每题3分，第

15、16题每题4分)

13.下列不等式中解集是R的是()

33

A.—1<—；B.|x|>°；C.x24-2x+1>0;D.2x2+x+1>0.

xx

14.已知集合4={(演V)1丁二灯,8={(%丁)|丁=5—40，则A8=()

A.(1,1)B.{(1,1)}C.D.{(—1,—1),(14)}

15.设mb>Of则下列运算中正确的是()

4322

A・a3a4=aB,a3a4=0

C.lga+lg/?=lg(a/?)D.郭=lga-lg人

16.设U为全集，A、5为非空集合，下面四个条件，其中是人勺B的充要条件个数有

()个

(1)AB=A；(2)=(3)AnB=0;(4)AuB=L/.

A.1B.2C.3D.4

三、解答题(本大题共有5题，满分50分)

2>—

17.解不等式组x+1.

心-3K2

18.月饼是中华传统特色节日糕点.某食品工坊推出冰流酥月饼和青红丝月饼两款新品,

已知冰流酥月饼每个售价为x元,青红丝月饼每个售价为y元，销售数量为a个或〃个，

且0<x<y,0<av4销售结果如下：

一，冰流酥月饼销售数量为。个，青红丝月饼销售数量为。个；

二，冰流酥月饼销售数量为6个，青红丝月饼销售数量为。个

试问：哪一种销售结果，销售收入更好？请说明理由.

19.已知全集0=1«,集合A={x|-5cx<4},8={x|q-l<x<a+3}

(1)当a=—2时，求A耳;

(2)若4B=B,求实数〃的取值范围.

20.(1)求证：二』~-<1；

r+2x+2

(2)已知a>0,b>0,且a+b>2,用反证法证明：包和虫中至少有一个小于

ab

2.

21.已知标+昉2=4.

(1)若。与均为正数，求必的最大值，并指出取最大值时”与6的值;

⑵若〃与〃均为负数，求方1+/2的最小值.

1*±>/2

【分析】根据元素与集合的关系，元素的特点，求出。的值即可.

【详解】集合A={2,4—1},且［6A,

a2-\=1=>a=±\/2，

故答案为：±0.

2.{1,2,3,6)

【分析】由awN,-eN,即可求出。的值构成的集合.

a

【详解】aeN,-eN,

a

二当a=l时，—=6,当a=2时，9=3,

aa

当〃=3时，—=2,当〃=6时，-=1,

aa

集合卜片NMEN卜{1,2,3,6},

故答案为：{123,6}.

3.--

3

【分析】根据指数幕的性质求解即可.

【详解】因为-卫/二］,

243I3J

所以一3羌2的5次方根是一：2，

_,2

故答案为：-

4.e-2##-4

e~

【分析】直接利用对数的性质求解即可.

【详解】因为lnx=-2=lne",

所以x=ei,

故答案为：e-2

5.-4

【分析】根据根与系数的关系，化简求值.

【详解】由题意可知。+%=~4,ah=\,

故答案为：-4

°b2

6.—

a

【分析】根据指数幕的运算法则化简即可.

【详解】因为a>0,b>0,

所以(浦0。『应族近

_-1,2b2

-ah=—，

a

故答案为：

a

7.a<l

【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合可得解.

【详解】A={x|x<l},fi={x|x>«)(

且AB=R,如图，故当“Ml时，命题成立.

故答案为：a<l.

--------X—o►

a1---%

8.2a+b##Z?+2〃

【分析】由题可得bg53=b,再利用对数的运算法则即得.

【详解】•・・56=3,

log53=6,又log52=m

/.log512=log5(3x4)=log53+2log52=2a+b.

故答案为：2a+b.

9.1

【分析】结合已知等式进行变形，然后结合等式恒成立，对应项系数相等可建立关于。，

C的方程，从而可求.

【详解】因为2X2—3X-1="(X—1)2+。(％-1)+0恒成立,

即2x~—3x—1=cix~+(/?-2a)x+a—)+c恒:成立,

a=2

所以"-2a=-3,

a-b+c=-\

解得，〃=2,b=l,c=—2,

所以〃+"+c、=l.

故答案为：1.

10.(1,-HX))

【分析】⑪2—2缶+〃>—1的解集为R转化为⑪2—2后+〃+1>0恒成立，根据判别式即

可求出.

【详解】加-20X+Q>-1的解集为A，

即ax2-2A/2X+a+1〉0，

当a=0时，即-2，5元+1>0,不符合题意，

a>0

当awO时，贝ij，/-\2x,解得。>1,

(-242)-4〃(.+1)<0

综上所述实数。的取值范围为(1,叱).

11.(f,-2)(-1,4-00)

Y4-1

[分析]由不等式ar+b>0的解集为(―,1),得到。,且a<0,代入把不等式化为>0，

x+2

结合分式不等式的解法，即可求解.

【详解】由题意，不等式5+6>0的解集为(—/)，可得-2=1且a<0,即b=-a,

a

n.i-7-/wr_nbx-a-a(x+l)八x+1八&刀/口-5,

则不等式一~=>0,即ari-->0,解得x<-2且x>-l,

x+2x+2x+2

即不等式的解集为(—,-2)(7,e).

故答案为：(-°0,-2)(―L+oo).

12.±7710-1

【分析】根据基本不等式取等条件可得.

【详解】f+£=f+[+£_],

x+1x+1

Hx2+1>0,所以炉+1+—^-22h+l)x—^=2而，

厂+1Vv7x+l

故9+马22亚-1,当且仅当x?+l=瑞，即工=±，疝_1时等号成立,

故答案为：±"5/15-1

13.D

【分析】分别解不等式，即可得出结果.

□□r_I<Q

【详解】A选项，由士-1<士得，所以解集为(9,0)=(0,钟)，排除A；

XXI/(J

B选项，由|x»0得xwO,所以解集为(F,O)U(O,E),排除B；

C选项，由f+2x+i>0得(x+l)2>0,解得xw—1,即解集为(―1,物)，排除C；

+!》+[>0,则(x+口+—>0>

D选项,由2f+x+l>0得/显然恒成立，所以解集为

22I4)16

R,即D正确;

故选：D.

14.B

【分析】根据题意联立二…,即可解

【详解】由1=：，得所以48={(1,1)}.

[y=5-4x,[y=l,

故选：B.

15.C

【分析】根据指数幕的运算性质，可得AB错；根据对数的运算性质，可得C正确，D错.

【详解】由题中条件。，力>。，

则//=)€=成,故A错；

则焉=击=京故B错；

根据对数的运算法则，可得lga+lgh=lg("),即C正确;

lgy=lga-lg/>,故D错.

b

故选：C.

16.D

【分析】结合韦恩图可直接判断集合间的关系.

【详解】U为全集,A、B为非空集合

对于（1）Ac8=AoAu8；

对于（2）AuB=B<=>AcB；

对于（3）4c5=0=4口8；

对于（4）AuB=UA^B.

故选：D

【解析】分别解不等式，即可求出结果.

229x+3-2.x-2<0上40=->0

则产

【详解】由《X+1得<x+l一,即<X+15

<2-2<2x-3<21<2%<5

解得14xg，

即原不等式组的解集为1，（

18.第一种，理由见解析

【分析】列出两种销售结果的收入，利用作差法比较即可.

【详解】第一种销售结果的收入为51=依+处（元）,

第二种销售结果的收入为邑=缈+以（元），

则S2-S1=ay-{-bx-^ax-\-by）=a^y-x）+b^x-=^y-x）^a-b）,

因为xvy,a<b,所以（丁一力（。一与<0,BP52<5,,

所以第一种销售结果，销售收入更好.

19.（1）Ac与={x|-5<xK-3或lKx<4}

(2){a|-4<«<l}

【分析】分别求出集合A与万，再根据交集运算求结果：

由A8=8得8=4,建立不等关系即可得a的范围.

【详解】⑴由题意得河=何—5cx<4},

当”=一2时，B={x|-3<x<l},则方={x|x4-3或xNl}

所以Ac^={x[—5<x4—3或14x<4}.

(2)因为AB=B,所以BqA,

a-l>-5

所以a+344,解得Xa"

即{alTSaKl}.

20.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】⑴先计算x”x+2的范围，进而可得再存的范围，即可求证;

(2)假设竺^22,—>2,可得A+12