天津市东丽区华新共同体2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

天津市东丽区华新共同体2023-2024学年九年级上学期

期中数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A.x~----=1B.\/3x2—2

x

C.f+y=2D.x+3=（-3）2

【答案】B

【解析】A.分母含有未知数，不是整式方程，不符合题意；

B.是一元二次方程，符合题意；

C.含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；

D.未知数的最高次数为1,不是一元二次方程，不符合题意；

故选：B

2.方程5尤2-1=4x化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是

A.4,-1B.4,1D.-4,1

【答案】C

【解析】5/—l=4x化成一元二次方程一般形式是5x2—4x—1=0,

它的二次项系数是5,一次项系数是-4,常数项是T.

故选C.

3.若％=1是关于x的方程f-2%+c=0的一个根，则c的值为（)

A.-1B.0D.2

【答案】C

【解析】把1=1代入方程得：l2-2xl+c=8.

***1—2+c=6,

C=1

故选：C.

4.用配方法解方程――i()x+9=0时，配方所得的方程为()

A.(%—5)2=16B.(%—5)2=-16

C.(x+5)2=16D.(%-10)2=-16

【答案】A

【解析】了2—10%+9=0,

x~—lOx=—9,

龙2—10%+25=-9+25，

(x-5)2=16.

故选：A.

1,

5.抛物线y=](x—2)—3的顶点坐标是()

A.(2,-3)B.(2,3)C.(-2,3)D.(-2,-3)

【答案】A

19

[解析】抛物线y=-(x-2)--3的顶点坐标是(2,-3),

故选A.

6.二次函数y=ax2+bx-1(存0)的图象经过点(1,1),贝1Ja+6+l的值是()

A.-3B.-1C.2D.3

【答案】D

【解析】把(1,1)代入y=ar2+bx-1可得到a+b-i=i,即可得〃+;?=3,故答案选D.

7.已知抛物线>=/+灰+。的部分图象如图所示，若y<0,则x的取值范围是()

A.-1cx<4B.-l<x<3

C.x<-1或x>4D.x<-1或x>3

【答案】B

【解析】根据图象可知，抛物线的对称轴为x=l,抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),

则(-1,0)关于x=l对称的点为(3,0),

即抛物线与彳轴另一个交点为(3,0),

所以y<0时，x的取值范围是

故选：B.

8.将二次函数丁二/的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象

的表达式是()

Ay=(x+2)2+3B.y=(x+2)2-3

C.y=(x-2)2-3D.y=(x-2)2+3

【答案】C

【解析】•.•二次函数丁=必的图象的顶点坐标为(0,0),

...将二次函数丁=必的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象

的顶点坐标为(2,-3),

得到的函数图象的表达式是y=(%—2)2—3,

故选：C.

9.点%),尸2(3,为)，尸3(5,%)均在二次函数y=—f+2%+c图象

上，则%，为，%的大小关系是()

A.%>%>%B.%>%=%

C.%〉%>%D.%=%>%

【答案】D

【解析1y=-%?+2x+c，

对称轴为X=1,P2(3,%)，尸3(5)内)在对称轴的右侧，y随X的增大而减小，

：3<5,

力〉为，

根据二次函数图象的对称性可知，Pi(-1,%)与(3,%)关于对称轴对称，

故%=%〉%，

故选：D.

10.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，

设平均每月降低的百分率为了,根据题意列出的方程是()

A.2500(1+%)2=3200B.2500(1-%)2=3200

C.3200(1-%)2=2500D.3200(1+%)2=3200

【答案】C

【解析】设平均每月降低的百分率为x,根据题意列出的方程是3200(1-x)2=2500,

故选：C

11.已知关于X的方程区2+(1—左)x—1=0,下列说法正确的是()

A.当左=0时，方程无解

B.当左=1时，方程有一个实数解

C.当左=-1时，方程有两个相等的实数解

D.当上WO时，方程总有两个不相等的实数解

【答案】C

【解析】当氏=0时，方程为一元一次方程X—1=0有唯一解x=l,.

当上w0时，方程为一元二次方程，解的情况由根的判别式确定：

:△=（1—左J—4・左・（一1）=（左+炉，

•••当左=-1时，方程有两个相等的实数解，

当左w0且左w-1时，方程有两个不相等的实数解.

综上所述，说法c正确.

故选：C.

12.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（g,1）,下列

结论：①〃Z?cVO；②〃+Z?=0；③4〃c-Z?2=4Q；④Q+/?+C〈O.其中正确的有（）个.

【答案】C

【解析】①・・,抛物线开口向下，

・・,抛物线的对称轴为x=——b=g1,

2a2

:・b=-。>0,

•・•抛物线与y轴交点在y轴正半轴，

Ac>0,

abc<Of①正确；

②•.7=-a,

,,.Q+/?=0,②正确；

③・・,抛物线的顶点坐标为（^，1），

.4ac-b2।

..--------=1,

4a

4ac-/=4。,③正确；

④：抛物线的对称轴为尤=/,

与x=0时y值相等，

,当尤=0时，j=c>0,

...当x=l时，y=a+b+c>0,④错误.

综上所述：正确的结论为①②③.

故选：C.

二、填空题(本大题共6小题，共18。分)

13.已知一元二次方程/+3%+左=0有两个相等的实数根，则上=.

9

【答案】-

4

【解析】根据题意可得：判别式A=/—4ac=32—4左=0，

9

解得左=—

4

9

故答案为：—

4

14.二次函数y=炉-4x的最小值为.

【答案】-4

【解析】Vy=x2-4x=x2-4x+4-4=(x-2)2-4,

二次函数y=f—4x的最小值为T.

故答案为：-4.

15.己知函数y=2%+1的图象与x轴只有一个公共点，则。的值是.

【答案】。或1

【解析】由题意得：

当。=0时，则函数解析式y=-2x+l,满足与无轴只有一个公共点，

当存0时，则函数y=a%2—2%+1的图像与x轴只有一个公共点，需满足廿一4"=0，

即4—4。=0,

,a=1,

综上所述：当函数>=取2一2x+l的图象与x轴只有一个公共点，贝I」。的值是。或1；

故答案为0或1.

16.一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程(x-2)(x—4)=0的一个根，则

这个三角形的周长是.

【答案】13

【解析】(x-2)(x-4)=0,

x—4=0或x—2=0,

所以占=4,x2=2,

因为2+3<6,所以尤=2舍去，

所以三角形第三边的长为4，

所以三角形的周长=3+6+4=13,

故答案为：13.

17.已知抛物线丁=以2一2奴+c与x轴一个交点的坐标为(—1,0),则一元二次方程

ax1—2ax+c=0的根为•

【答案】占=—1,4=3

【解析】根据题意得：

—2cl

抛物线的对称轴为直线%=-----=1,

2a

抛物线y=ax2-lax+c与九轴一个交点的坐标为(-L0),

根据对称性可知抛物线与X轴的另一个交点的坐标为(3,0),

，一元二次方程℃？—2℃+c=0的根为：%=-1,x2—3,

故答案为：Xj=-1,x2=3.

1,

18.如图，将抛物线y=-万/平移得到抛物线根.抛物线机经过点A(6,0)和原点O,它

的顶点为P,它的对称轴与抛物线丁二-^/交于点0,则图中阴影部分的面积为.

【解析】连接OROQ,如图

119Q

•••平移后的抛物线机的函数解析式为y=—Q(X—6)-=-万(％—3)一+3，

・•.P]3q],抛物线机的对称轴为直线x=3,

当x=3时，y=-g(x-3)2,则点Q[3,—51,

19

由于抛物线y=--x2向右平移3个单位，在向上平移万个单位得到抛物线

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.解下列关于x的方程.

（1）（2%+1）2-9=0；

（2）Y—5%+2=0.

解：⑴V（2%+1）2-9=0,

.•.（2X+1）2=9,

2x+1=±3,

所以％1=1，%2=-2；

⑵5%+2=0，

Va=l,b=—5,c=2,

・•・△=/—44=（—5）2—4x1x2=25—8=17>0,

.5±A/175±折

••x=----------=-----------,

22

诉“5+7175-V17

20.已知抛物线丁=2必+云+°过点。,3）和（0,4）,求该抛物线的解析式.

3=2+Z?+c

解：：抛物线丁=2/+法+。过点（1,3）和（0,4）,~'''

4=c.

b——3

解方程组，得《

c=4.

，抛物线的解析式是y=—3x+4.

21.已知关于X的方程e2—5x+3a+3=0.

（1）若。=1,请你解这个方程；

（2）若方程的一个根为-2,求方程的另一个根.

解：（1）当。=1时，原方程得，x2-5x+6=0,

因式分解得，（x—2）（x—3）=0,解得，石=2,々=3,

...原方程的解为：%=2,%=3.

17

（2）依题意得：（-2）9+10+3〃+3=0,解得，a=——,

・,•方程可转化为：X2-5X-14=0,因式分解得，（x+2）（x—7）=0,

%---2,x,-7,

.•.另一根为x=7.

22.某学校开始有一名同学患了流感，经过两轮传染后共有81名同学患了流感.

（1）每轮传染中平均一名同学传染了几名同学？

（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？

解：（1）设每轮传染中平均一名同学传染了x名同学，

则（1+X）2=81,

解得l+x=9或l+x=-9,

x=8或兀=一10（舍去），

答：每轮传染中平均一名同学传染了8名同学.

（2）三轮传染后（l+x）3=93=729（人）

答：三轮传染后共有729人患流感.

23.己知关于x的一元二次方程以％+3左2=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若此方程的两个实数根为,巧，满足（石+超了-2x/2=20,求％的值.

解：（1）A=b2-4ac=（-Aky-4xl-3k2=16k2-12k2=4k2>Q,

该方程总有两个实数根；

（2）.•方程的两个实数根再，x2,

2

由根与系数关系可知，为+%=4左，xrx2=3k,

2

（x；+x2）-2XJX2=20,

•••16左2—6左2=20，

k=±V2-

24.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，已知墙长为18米，设这

个苗圃园垂直于墙的一边长为无米.

------------18m--------------►

〃〃/{//////〃〃//〃/〃/〃（〃/,

苗圃园

（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值.

（2）若平行于墙的一边长不小于8米，当x取何值时，这个苗圃园的面积有最大值

解：（1）由题意可得，x（30—2x）=72,

即%2―15%+36=0，解得芭=3,4=12，

当％=3时，30—2x=24>18,故舍去；

当x=12时，30—7x=6,由上可得，x的值是12；

（2）设这个苗圃园的面积为S平方米，

由题意可得，S=x（30—2x）=—2（x—+/，

..•平行于墙一边长不小于8米，且不大于18米，

.••8<30-2x<18,解得

15225

...当x=K时，S取得最大值k，

22

答：当工=」is时，这个苗圃园的面积有最大值2」25平方米.

22

25.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线丁=依2+公+0（。/0）的顶点坐标为

c（3,6）,并与y轴交于点8（0,3）

图1图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①所示，尸是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，AP=2,求的面

积的最大值；

(3