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文档简介

北京市二中学教育集团2024年八年级数学第二学期期末学业水平测试模拟试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列代数式是分式的是()A. B. C. D.2.下列多项式能用完全平方公式进行分解因式的是()A. B.C. D.3.“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事.如图所示,表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系(其中直线段表示乌龟,折线段表示兔子).下列叙述正确的是()A.赛跑中,兔子共休息了50分钟B.乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟C.兔子比乌龟早到达终点10分钟D.乌龟追上兔子用了20分钟4.已知关于的方程是一元二次方程,则的取值范围是()A. B. C. D.任意实数5.下列图案中,不是中心对称图形的是()A. B. C. D.6.如图所示,矩形ABCD的面积为10cm2,它的两条对角线交于点O1,以AB、AO1为邻边作平行四边形ABC1O1,平行四边形ABC1O1的对角线交于点A.1cm2 B.2cm27.如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E是AD边上一点,连接CE,将△CDE沿CE翻折,点D的对应点是F,连接AF,当△AEF是直角三角形时,AF的值是()A.4 B.2 C.4,2 D.4,5,28.若(x-3)(x+5)是x2+px+q的因式,则q为()A.-15 B.-2 C.8 D.29.若关于x的不等式3x-2m≥0的负整数解为-1,-2,则m的取值范围是()A. B. C. D.10.下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是()A.1、2、3B.C.D.二、填空题(每小题3分,共24分)11.如图,小巷左右两侧是竖直的墙.一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7m,顶端距离地面2.4m.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2m,则小巷的宽度为_____m.12.如图,一张矩形纸片的长AD=12,宽AB=2,点E在边AD上,点F在边BC上,将四边形ABFE沿直线EF翻折后,点B落在边AD的三等分点G处,则EG的长为_______.13.如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB=3,将纸片沿对角线AC对折,BC边与AD边交于点E,此时,△CDE恰为等边三角形,则图中重叠部分的面积为_____.14.的倒数是_____.15.已知:,,代数式的值为_________.16.某种型号的空调经过两次降价,价格比原来下降了36%,则平均每次下降的百分数是_____%.17.若关于的一元一次不等式组所有整数解的和为-9,且关于的分式方程有整数解,则符合条件的所有整数为__________.18.2名男生和2名女生抓阄分派2张电影票,恰好2名女生得到电影票的概率是.三、解答题(共66分)19.(10分)如图,AD是△ABC的角平分线,线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F,连接DE、DF.(1)试判定四边形AEDF的形状,并证明你的结论.(2)若DE=13,EF=10,求AD的长.(3)△ABC满足什么条件时,四边形AEDF是正方形?20.(6分)如图,一个可以自由转动的转盘,分成了四个扇形区域,共有三种不同的颜色,其中红色区域扇形的圆心角为.小华对小明说:“我们用这个转盘来做一个游戏,指针指向蓝色区域你赢,指针指向红色区域我赢”.你认为这个游戏规则公平吗?请说明理由.21.(6分)点D是等边三角形ABC外一点,且DB=DC,∠BDC=120°,将一个三角尺60°角的顶点放在点D上,三角尺的两边DP,DQ分别与射线AB,CA相交于E,F两点.(1)当EF∥BC时,如图①所示,求证:EF=BE+CF.(2)当三角尺绕点D旋转到如图②所示的位置时,线段EF,BE,CF之间的上述数量关系是否成立?如果成立,请说明理由;如果不成立,写出EF,BE,CF之间的数量关系,并说明理由.(3)当三角尺绕点D继续旋转到如图③所示的位置时,(1)中的结论是否发生变化?如果不变化,直接写出结论;如果变化,请直接写出EF,BE,CF之间的数量关系.22.(8分)解不等式组:,并写出它的所有整数解.23.(8分)如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿AC折叠,点B落在点E处,AE与DC的交点为O,连接DE.(1)求证:△ADE≌△CED;(2)求证:DE∥AC.24.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,4),B(-4,2),C(-2,1),且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称.(1)画出△A1B1C1,并写出点A1的坐标;(2)P(a,b)是△ABC的AC边上一点,△ABC经平移后点P的对应点为P'(a+3,b+1),请画出平移后的△A2B2C2.25.(10分)已知关于x的方程有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.26.(10分)在菱形中,,点是射线上一动点,以为边向右侧作等边,点的位置随着点的位置变化而变化.(1)如图1,当点在菱形内部或边上时,连接,与的数量关系是______,与的位置关系是______;(2)当点在菱形外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理);(3)如图4,当点在线段的延长线上时,连接,若,,求四边形的面积.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【解析】

判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.【详解】、、的分母中均不含有字母,因此它们是整式,而不是分式;分母中含有字母,因此是分式.故选:D.【点睛】考查分式的定义,掌握分式的定义是判断代数式是不是分式的前提.2、C【解析】

利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果.【详解】解:A选项为偶次方和1的和,不能因式分解;B选项不能因式分解;C选项x2-2x+1=(x-1)2,可以因式分解;D选项不能因式分解.故选C.【点睛】本题题考查了因式分解一运用公式法,熟练掌握完全平方公式以及因式分解的概念是解本题的关键.3、D【解析】分析:根据图象得出相关信息,并对各选项一一进行判断即可.详解:由图象可知,在赛跑中,兔子共休息了:50-10=40(分钟),故A选项错误;乌龟跑500米用了50分钟,平均速度为:(米/分钟),故B选项错误;兔子是用60分钟到达终点,乌龟是用50分钟到达终点,兔子比乌龟晚到达终点10分钟,故C选项错误;在比赛20分钟时,乌龟和兔子都距起点200米,即乌龟追上兔子用了20分钟,故D选项正确.故选D.点睛:本题考查了从图象中获取信息的能力.正确识别图象、获取信息并进行判断是解题的关键.4、A【解析】

利用一元二次方程的定义求解即可.【详解】解:∵关于x的方程是一元二次方程,∴m+1≠0,即m≠−1,故选:A.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.5、B【解析】

利用中心对称图形的性质,把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心,进而判断得出即可.【详解】A、是中心对称图形,故A选项错误;

B、不是中心对称图形,故B选项正确;

C、是中心对称图形,故C选项不正确;

D、是中心对称图形,故D选项错误;

故选:B.【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义,正确把握定义是解题关键.6、D【解析】

因为矩形的对边和平行四边形的对边互相平行,且矩形的对角线和平行四边形的对角线都互相平分,所以上下两平行线间的距离相等,平行四边形的面积等于底×高,所以第一个平行四边形是矩形的一半,第二个平行四边形是第一个平行四边形的一半依次可推下去.【详解】解:根据题意分析可得:∵四边形ABCD是矩形,∴O1A=O1C,∵四边形ABC1O1是平行四边形,,∴O1C1∥AB,∴BE=12BC∵S矩形ABCD=AB•BC,S▱ABC1O1=AB•BE=12AB•BC∴面积为原来的12同理:每个平行四边形均为上一个面积的12故平行四边形ABC5O5的面积为:10×1故选:D.【点睛】此题综合考查了矩形及平行四边形的性质,要求学生审清题意,找出面积之间的关系,这类题型在中考中经常出现,对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.7、C【解析】

当∠AFE=90°时,由∠AFE=∠EFC=90°可知点F在AC上,先依据勾股定理求得AC的长,然后结合条件FC=DC=3,可求得AF的长;当∠AFE=90°,可证明四边形CDEF为正方形,则EF=3,AE=4,最后,依据勾股定理求解即可.【详解】如下图所示:当点F在AC上时.∵AB=3,BC=8,∴AC=1.由翻折的性质可知:∠EFC=∠D=90°,CF=CD=3,∴AF=4.如下图所示:∵∠FED=∠D=∠DCF=90°,∴四边形CDEF为矩形.由翻折的性质可知EF=DE,∴四边形CDEF为正方形.∴DE=EF=3.∴AE=4.∴AF===4.综上所述,AF的长为4或4.故选:C.【点睛】本题主要考查的是翻折的性质,依据题意画出符合题意的图形是解题的关键.8、A【解析】

直接利用多项式乘法或十字相乘法得出q的值.【详解】解:∵(x−3)(x+5)是x2+px+q的因式,∴q=−3×5=−1.故选:A.【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式,正确得出q与因式之间关系是解题关键.9、D【解析】解,得x≥,根据题意得,-3<≤-2,解得,故选D.点睛:本题主要考查了一元一次不等式的解法,先用含m的式子表示出不等式的解集,再根据不等式的负整数解得到含m的式子的范围,即关于m的不等式组,解这个不等式组即可求解.10、C【解析】试题解析:A、∵12+22=5≠32,∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形,故选项错误;B、∵(32)2+(42)2≠(52)2

,∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形,故选项错误;C、∵()2+()2=3=()2,∴以这三个数为长度的线段,能构成直角三角形,故选项正确;D、∵()2+()2=7≠()2,∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形,故选项错误.故选C.【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理,已知三条线段的长,判断是否能构成直角三角形的三边,判断的方法是:判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断.二、填空题(每小题3分,共24分)11、2.2【解析】

作出图形,利用定理求出BD长,即可解题.【详解】解:如图,在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,∴AB2=0.72+2.42=6.25,在Rt△BD中,∠DB=90°,D=2米,BD2+D2=B2,∴BD2+22=6.25,∴BD2=2.25,∵BD0,∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用,属于简单题,利用勾股定理求出BD的长是解题关键.12、或【解析】

如图,作GH⊥BC于H.则四边形ABHG是矩形.G是AD的三等分点,推出AG=4或8,证明EG=FG=FB,设EG=FG=FB=x,分两种情形构建方程即可解决问题.【详解】解:如图,作GH⊥BC于H.则四边形ABHG是矩形.

∵G是AD的三等分点,

∴AG=4或8,

由翻折可知:FG=FB,∠EFB=∠EFG,设FG=FB=x.

∵AD∥BC,

∴∠FEG=∠EFB=∠GFE,

∴EG=FG=x,

在Rt△FGH中,∵FG2=GH2+FH2,

∴x2=22+(4-x)2或x2=22+(8-x)2

解得:x=或,

故答案为或.【点睛】本题考查翻折变换,矩形的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.13、.【解析】

根据翻折的性质,及已知的角度,可得△AEB’为等边三角形,再由四边形ABCD为平行四边形,且∠B=60°,从而知道B’,A,B三点在同一条直线上,再由AC是对称轴,所以AC垂直且平分BB’,AB=AB’=AE=3,求AE边上的高,从而得到面积.【详解】解:∵△CDE恰为等边三角形,∴∠AEB’=∠DEC=60°,∠D=∠B=∠B’=60°,∴△AEB’为等边三角形,由四边形ABCD为平行四边形,且∠B=60°,∴∠BAD=120°,所以所以∠B’AE+∠DAB=180°,∴B’,A,B三点在同一条直线上,∴AC是对折线,∴AC垂直且平分BB’,∴AB=AB’=AE=3,AE边上的高,h=CD×sin60°=,∴面积为.【点睛】本题有一个难点,题目并没有说明B’,A,B三点在同一条直线上,虽然图形是一条直线,易当作已知条件,这一点需注意.14、【解析】分析:根据倒数的意义或二次根式的化简进行计算即可.详解:因为×=1所以的倒数为.故答案为.分析:此题主要考查了求一个数的倒数,关键是明确倒数的意义,乘积为1的两数互为倒数.15、4【解析】

根据完全平方公式计算即可求出答案.【详解】解:∵,,∴x−y=2,∴原式=(x−y)2=4,故答案为:4【点睛】本题考查二次根式的化简求值和完全平方公式,解题的关键是熟练运用完全平方公式,本题属于基础题型.16、20%.【解析】

增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),本题可参照增长率问题求解.设平均每次下降的百分数是x,则根据题意可列方程(1-x)2=1-36%,解方程即可求解.注意根据实际意义进行值的取舍.【详解】设平均每次下降的百分数是x,根据题意得(1-x)2=1-36%

解方程得x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去)

所以平均每次下降的百分数是20%.故答案是:20%.【点睛】考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.(当增长时中间的“±”号选“+”,当降低时中间的“±”号选“-”).17、-4,-1.【解析】

不等式组整理后,根据所有整数解的和为-9,确定出x的值,进而求出a的范围,分式方程去分母转化为整式方程,检验即可得到满足题意a的值,求出符合条件的所有整数a即可.【详解】解:,

不等式组整理得:-4≤x<a,

由不等式组所有整数解的和为-9,得到-2<a≤-1,或1<a≤2,

即-6<a≤-1,或1<a≤6,

分式方程,

去分母得:y2-4+2a=y2+(a+2)y+2a,

解得:y=-,经检验y=-为方程的解,

得到a≠-2,∵有整数解,

∴则符合条件的所有整数a为-4,-1,

故答案为:-4,-1.【点睛】此题考查分式方程的解,一元一次不等式组的整数解,熟练掌握运算法则是解题的关键.18、.【解析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好2名女生得到电影票的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.解:画树状图得:∵共有12种等可能的结果,恰好2名女生得到电影票的有2种情况,∴恰好2名女生得到电影票的概率是:=.故答案为:.三、解答题(共66分)19、(1)四边形AEDF是菱形,证明见解析;(2)24;(3)当△ABC中∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;【解析】

(1)由∠BAD=∠CAD,AO=AO,∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO,推出EO=FO,得出平行四边形AEDF,根据EF⊥AD得出菱形AEDF;(2)由(1)知菱形AEDF对角线互相垂直平分,故AO=AD=4,根据勾股定理得EO=3,从而得到EF=6;(3)根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形.【详解】(1)四边形AEDF是菱形,∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,又∵EF⊥AD,∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中∵,∴△AEO≌△AFO(ASA),∴EO=FO,∵EF垂直平分AD,∴EF、AD相互平分,∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD,∴平行四边形AEDF为菱形;(2)∵EF垂直平分AD,AD=8,∴∠AOE=90°,AO=4,在RT△AOE中,∵AE=5,∴EO==3,由(1)知,EF=2EO=6;(3)当△ABC中∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;∵∠BAC=90°,∴四边形AEDF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).【点睛】本题考查了菱形的判定和正方形的判定,解题的关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形,有一个角是直角的菱形是正方形.20、游戏公平【解析】

直接利用概率公式求得指针指向蓝色区域和红色区域的概率,进而比较得出答案.【详解】解:∵红色区域扇形的圆心角为,∴蓝色区域扇形的圆心角为60°+60°,,,∴,所以游戏公平.故答案为:游戏公平.【点睛】本题考查游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.21、(1)见解析;(2)结论仍然成立.理由见解析;(3)结论发生变化.EF=CF-BE.【解析】

(1)根据△ABC是等边三角形知道AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,而DB=DC,∠BDC=120°,这样可以得到△DCF和△BED是直角三角形,由于EF∥BC,可以证明△AEF是等边三角形,也可以证明△BDE≌△CDF,可以得到DE=DF,由此进一步得到

DE=DF∠BDE=∠CDF=30°,这样可以得到BE=DE=DF=CF,而△DEF是等边三角形,所以题目的结论就可以证明出来了;(2)结论仍然成立.如图,在AB的延长线上取点F’,使BF’=CF,连接DF’,根据(1)的结论可以证明△DCF≌△DBF’,根据全等三角形的性质可以得到DF=DF’,∠BDF’=∠CDF,又∠BDC=120°,∠EDF=60°,可以得到:∠EDF’=∠CDF=60°,由此可以证明△EDF’≌△EDF,从而证明题目的结论;(3)结论发生变化.EF=BE-CF.如图,在射线AB上取点F′,使BF′=CF,连接DF′.由(1)得△DCF≌△DBF′(SAS).根据全等三角形的性质可以得到DF=DF′,∠BDF′=∠CDF.又因为∠BDC=120°,∠EDF=60°,可以得到∠FDB+∠CDF=60°,∠FDB+∠BDF′=∠FDF′=120°,所以∠EDF′=∠EDF=60°,由此可得△EDF′≌△EDF(SAS),从而证明题目的结论EF=EF′=BF′-BE=CF-BE。【详解】(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°.∵DB=DC,∠BDC=120°,∴∠DBC=∠DCB=30°.∴∠DBE=∠DBC+∠ABC=90°,∠DCF=∠DCB+∠ACB=90°.∵EF∥BC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°.∴AE=AF.∴BE=AB-AE=AC-AF=CF.又∵DB=DC,∠DBE=∠DCF=90°,∴△BDE≌△CDF.∴DE=DF,∠BDE=∠CDF=(120°-60°)=30°.∴BE=DE=DF=CF.∵∠EDF=60°,∴△DEF是等边三角形,即DE=DF=EF.∴BE+CF=DE+DF=EF,即EF=BE+CF.(2)解:结论仍然成立.理由如下:如图,在射线AB上取点F′,使BF′=CF,连接DF′.由(1)得∠DBE=∠DCF=90°,则∠DBF′=∠DCF=90°.又∵BD=CD,∴△DCF≌△DBF′(SAS).∴DF=DF′,∠BDF′=∠CDF.又∵∠BDC=120°,∠EDF=60°,∴∠EDB+∠CDF=60°.∴∠EDB+∠BDF′=∠EDF′=60°.∴∠EDF′=∠EDF.又∵DE=DE,∴△EDF′≌△EDF(SAS).∴EF=EF′=BE+BF′=BE+CF.(3)解:结论发生变化.EF=CF-BE.理由:在射线AB上取点F′,使BF′=CF,连接DF′.由(1)得∠DBA=∠DCF=90°,则∠DBF′=∠DCF=90°.又∵BD=CD,∴△DCF≌△DBF′(SAS).∴DF=DF′,∠BDF′=∠CDF.又∵∠BDC=120°,∠EDF=60°,∴∠FDB+∠CDF=60°.∴∠FDB+∠BDF′=∠FDF′=120°.∴∠EDF′=∠EDF=60°.又∵DE=DE,DF=DF′,∴△EDF′≌△EDF(SAS).∴EF=EF′=BF′-BE=CF-BE。【点睛】此题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质;利用等边三角形的性质去探究全等三角形,利用全等三角形的性质解决题目的图形变换规律是非常重要的,要注意掌握.22、解集为-4<x<2,不等式组的整数解是:﹣3,﹣2,﹣1、1.【解析】

分别解出两个不等式,然后得到公共解集,再找出整数解即可【详解】,∵解不等式①得:x>﹣4,解不等式②得:x<1,∴原不等式组的解集为:﹣4<x<2,∴不等式组的整数解是:﹣3,﹣2,﹣1、1.【点睛】本题主要考查求不等式组的整数解,关键在于解出不等式组的解23、(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】

(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AB=CD.又∵AC是折痕,∴BC=CE=AD,AB=AE=CD.又∵DE=ED,∴ΔADE≌ΔCED(SSS);(2)∵ΔADE≌ΔCED,∴∠EDC=∠DEA,又∵ΔACE与ΔACB关于AC所在直线对称,∴∠OAC=∠CAB.又∵∠OCA=∠CAB,∴∠OAC=∠OCA.∵∠DOE=∠COA,∴∠OAC=∠DEA,∴DE∥AC.考点:1.折叠问题;2.矩形的性质;3.折叠对称的性质;4.全等三角形的判定和性质;5.平行的判定

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