2023-2024学年山西省晋城一中高三（上）月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年山西省晋城一中高三（上）月考数学试卷（9月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设集合A={x\x=3k,k6N},B={x\x=6z,zEN+}9则（）

A.0GBB.AQBC.BQAD.A[}B=A

2.已知命题p：VxG[-4,2],1x2-a>0,则p为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a<—2B.a<0C.a<8D.a<16

3.下列说法中，错误的是（）

A.若a>b>0,c<d<0,则一定有

cd

B.若菖>A,则a>b

C.若b>a>0,m>0,则黑

D.若Q>b,c<df则Q—c>b—d

4.已知0VxV2,则y=2x\4—/的最大值为（）

A.2B.4C.5D.6

5.设函数/（%）=窜（。。0），若9（%）=f(%-1)+1是奇函数，00/(2023)=()

A2023口2022C2023C2022

A--------B.-----C.-----D.--------

2022202420222024

6.已知y=/（%）是定义域为R的奇函数，若y=/（2x+1）的最小正周期为1,则下列说法中正确的个数是（）

①/（；）+用）=0

②房）+〃|）=0

③f（x）的一个对称中心为（1,0）

④/（X）的一条对称轴为X=1

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.函数/（x）=sin2x-cosx在[0,2江]上的零点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

8.已知0VmV1,0<7i<1,且2/og4m=10g2（l-九），则^+彳的最小值是（）

A.18B.16C.10D.4

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.在锐角三角形中，以下各式一定成立的是()

A.tan(4+8)+tanC=0

A+B.C

BD.cos—^—=sin-

C.sinA+sinB<cosA+cosB

D.tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

10.下列说法正确的是()

A.若％,y>0,x+y=2,则2"+2y的最大值为4

B.若x<I，则函数y=3%+高的最大值为一1

C.若%>0,y>0,x4-y+xy=3,则xy的最大值为1

D.函数y=客幺的最小值为2n

Vxz+4

11.函数/。)=45讥(3%+9)(4>0,3>0,0<卬<方的部分图象如图所示，汁

将/(X)的图象向左平移泞单位长度得函数。(久)的图象，则()1/\/

A.3=2/pinAT

B.g(x)的图象关于点(一乃,0)对称|\y

c.g(x)在咨物上单调递增

D.g(x)在(0,兀)上有两个极值点

12.已知函数/(%)=三，下列结论正确的是()

A.在(0、6)上单调递减B.f(x)的图象关于点(3,6)对称

C.曲线y=/(x)与x轴相切D./(x)的值域为(一应0]U[12,+8)

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知函数/(x)=3--3"若/(2。-1)+/(3(12)>0,则实数。的取值范围是.

14.已知角a的顶点在坐标原点，始边与％轴非负半轴重合，终边经过函数/(%)=-3-ax~3(a>0且aH1)的

定点M.则sin(〃+a)+3(步.

cos(27r-a)+sin(-a)

15.已知/(%)=sin(a)x4-$(3>0),若g(x)=/(%)+f'(x)在％=%o处取到最大值为一亏，则f(%())=

16.已知x6[4,+8),yG(0,5],ze(0,l],则呼好+学的最小值为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知数列｛6｝满足即=0,且有巴铲=an+n.

(1)证明：数列｛斯+2n｝是等比数列：

(2)求数列｛9右｝的前n项和3.

18.(本小题12.0分)

已知向量记=(cos居si九%),元=(cosx,yr^cosx),xER,设函数f(x)=沅•记+于

(1)求函数/(%)的单调递增区间；

(2)设a,b,c分别为△4BC的内角A,B,C的对边，若/⑷=2,b+c=2/7,UBC的面积为：，求a的

值.

19.(本小题12.0分)

习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、

亲善友爱的社会心态在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用,某

心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分

(满分100分)从低到高将心理健康状况分为四个等级：

调查评分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90J00]

心理等级有隐患一般良好优秀

并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在［70,80)的市民为400人.

(1)求n的值及频率分布直方图中t的值；

(2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导.据以往数据统计，

经过心理疏导后，调查评分在［40,50)的市民心理等级转为“良好”的概率为:，调查评分在［50,60)的市民心

理等级转为“良好”的概率为土若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的3人中，经过心理

疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少？

20.(本小题12.0分)

已知正方体4BCD-4iBiGDi的棱长为2,设P,Q分别为棱的7，为久的中点.

(1)证明：AQ〃平面PBD；

(2)求二面角P-BD-C的平面角的余弦值.

21.(本小题12.0分)

已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点居，F2在x轴上，离心率为:，点P在C上，且的周长为6.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点M(4,0)的动直线/与C相交于A,B两点，点B关于%轴的对称点为D,直线4。与x轴的交点为E,求4ABE

的面积的最大值.

22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=ex-x.

(1)求曲线y=/Q)在点(1/(1))处的切线方程；

(2)若曲线y=f(x)始终不在直线y=ax+b(a*一1)的下方，求(a+l)b的最大值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：因为集合4={x|x=3k,keN},B={x\x=6z,zGN+]

则集合4中的元素x是3的倍数，且为0和正整数，

集合B中的元素x必是6的倍数，且为正整数，

所以BU4则ZnB=B,所以B,。错误，C正确，

又064,0gB,所以A错误.

故选：C.

根据集合包含关系的定义交集定义判断.

本题考查了集合的包含关系，涉及到元素与集合的关系，属基础题.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了恒成立问题，属于基础题.

根据恒成立知识可直接将题意转化为a<在％e[—4,2]上恒成立，即可解.

【解答】

解：因为vxe[—4,2],1x2-a>0,则aW在久e[—4,2]上恒成立，

则aS俏/),即。口.

结合选项，使得p为真命题的一个充分不必要条件是QW-2.

故选A.

3.【答案】A

【解析】解：对于A,若a=2,b=1,c=—2,d——1,则7=，，故A错误.

对于B,由专>摄，可知c2#0,即c2>0,所以a>b,故B正确.

3工a+mam(b-a)

对于°，b+m-E=b(b+m)'

因为b>a>0,m>0,所以器焉>0,故歌>£，所以C正确.

对于D,因为cVd,所以—c>—d,结合a>b,所以a—c>b—d,故。正确.

故选：A.

对4举反例即可判断：对B和D,利用不等式基本性质加以判断：对C,利用作差法判断，即可得到本题的答

案.

本题主要考查了不等式的基本性质、作差法比较大小等知识，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：因为0<x<2,

所以y=2xV4—x2=2y/x2(4—%2)<2^(--+^x-)2=4，

当且仅当/=4—/时取等号，因为0<%<2,即x时取等号.

故选：B.

利用基本不等式进行求解即可.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

5.【答案】D

(解析】解：由已知可得g(x)=/(x-1)+1=窜2+1=悬p

则g(r)=售3

因为g(x)是奇函数，

所以g(x)+g(-x)=高+二4=0,

因为QH0,解得a=1,

所以f(x)=M，

所以「(2023)=一篇•

故选：D.

利用函数g(x)的奇偶性求出a，得到函数f(x)的解析式，根据解析式求函数值即可.

本题主要考查了函数奇偶性的性质与判断，考查转化思想与运算能力，属中档题.

6.【答案】B

【解析】解：因为y=f(2x+l)的最小正周期为1,

所以f(2(x+1)+1)=f(2x+1),即f(2x+3)=f(2x+1),

所以y=f(x)的最小正周期为2,且y=f(x)是定义域为R的奇函数，

所以/©+f(|)=胆)+/(-》=0,/(1)+/(1)=/(1)+/(-1)*0,故①错误，②正确;

••・y=/(x)的最小正周期为2,y=/(%)是定义域为R的奇函数,

•1•f(x+2)=f(x)=-/(-%),

・••/(X)一个对称中心为(巴尹,0),即(1,0)，故③正确，④错误.

故选：B.

根据题意，y=/(x)的最小正周期为2,再根据周期性，奇偶性，对称性，求解即可.

本题考查抽象函数的应用，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解:当xG［0,2兀］时，由/'(x)=sin2x—cosx=2sinxcosx—cosx=cosx(2sinx-1)=0.

若COSX=0,可得％=余y;

若sinx=I，可得x=\、即.

2o6

综上所述，函数/'(x)=sin2x-cosx在［0,2乃］上的零点个数为4.

故选:B.

在％6［0,2兀］时，解方程f(x)=0,即可得解.

本题考查函数零点与方程根的关系，涉及了二倍角公式以及常见的三角函数值，考查运算求解能力，属于

基础题.

8.【答案】B

【解析】解：由210g47n=log2(l-n)，可得log2m=log2(l-n)，

即m=l-n,即m+n=l,又0<n<1,

故工+-=(m+n)(—+-)=10+—+—

mnvynymn

210+2J*今=16,当且仅当巾=:,71=%时取等，

则工+2的最小值是16.

mn

故选：B.

根据对数的性质，将已知条件化为加+九=1,进而利用基本不等式求最值即可.

本题考查对数运算性质，基本不等式的应用，属基础题.

9.【答案】ABD

【解析】解：对于4,在斜三角形中，A+B+C=zr,所以tan(A+B)=tan(7r-C)=-tanC,所以tan(4+

B)+tanC=0,故A正确；

对于8,在斜三角形中，4+8+C=7T,所以cos=cos=sin".故8正确；

对于C,由A+8>］得］>A>，-B>0,则sizM>sin(，-8)=cosB,同理可得siziB>cos4则sinA+

sinB>cosA+cosB,故C错误；

对于D,山tan。+B)==-tanC,

得tcmA+tanB=—(1—tanAtanB)-tanC=-tanC+tanAtanBtanC,

即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,故D正确.

故选：ABD.

通过A+B+C=兀以及三角函数诱导公式进行计算化简即可判断4和B；通过正弦函数单调性进而判断C；

通过两角和的正切公式计算化简即可判断D.

本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

10.【答案】BC

【解析】解：4：2X+2y>2V2X-2y=2yl~2^y=2y/~17=4,当且仅当2*=2〃时，即x=y=l时取等

号,因此4+2、的最小值为4,错误；

B：因为工<；,所以1—3x>0,

y=3x+高=-(1-3'+占)+1,

因为1一3x+N2I(1-3%)--^=2,当且仅当1-3x=2,即当％=0时取等号，所以一(1-3x+

1-3%7'7l-3x1-3%

占P--2,

所以y=3%+)=—(1—3%+)+1<-1,正确；

OA-XAJ

C：因为％>0,y>0,所以％+y+%y=3=>3-xy=x+yV2jxynQxy+3)(J-1)W0=>

y/xy-1<0,

所以孙W1,当且仅当x=y=1时取等号，正确；

D：y=j，=Vx2+4+/?>2I{#+4•j=2/-2,当且仅当>//+4=/：人取等号,

VX2+4VX2+47VX2+4V"+4

即/+4=2,显然该方程无实根，

因此上述不等式中等号不成立，即y=f兽>2q，没有最小值，不正确，

V力+4

故选：BC.

运用基本不等式逐一判断即可.

本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题.

11.【答案】AC

【解析】解：4选项，设/(x)的最小正周期为7,由图象知者一招=5=#,解得T=TT,

因为3>0,所以包=兀，所以3=2,故A正确；

0)

B选项,由f塔)=0,得2x瑞+中=2"+兀水CZ,解得尹建+2卜兀(kCZ),

又。<0<宗所以只有8=荽符合要求；

由/(0)=1,得由崂=1,故A=2,所以f(x)=2sin(2x+J

所以g(x)=2sin［2(x+嗨)+§=2sin(2x+卞=2cos2x.

由。(一兀)=2得g(%)的图象不关于点(一码0)对称，故8不正确；

。选项，由一兀+2kn<2x<2kn(kEZ),得一］+kn<x<kn(k6Z),

即g。)的单调递增区间为［-3+k%E：］(AEZ),令k=l,得、€8,初，

又含片)=碍何故g(x)在片片)上单调递增，故c正确；

£>选项,当*6(0,兀)时，2%G(0,271),由于y=2cosz在z6(0,2兀)上，

只有z=兀为极小值点，故g(x)在(0,兀)上仅有一个极值点，故D不正确.

故选：AC.

4选项，由函数图象求出最小正周期，从而得到3=2；B选项，代入特殊点坐标，得到W=*4=2,得

到函数解析式，得到平移后的解析式g(x)=2cos2x,代入得到。(-兀)=2,故B错误；C选项，整体法求出

函数单调递增区间，得到xeg，扪，由于停，巧U有扪，故C正确；。选项，结合余弦函数图象知只有1个

极值点.

本题考查了函数y=4sin0x+9)的图象变换，由y=Asin(3X+卬)的部分图象确定其解析式，考查了函数

思想和数形结合思想的应用，属于中档题.

12.【答案】BCD

【解析】解：由己知，/。)==黑，

(x-3)

令((x)<0,解得0<x<3或3<x<6,

令f'(x)>0,解得x<0或x>6,

所以/(x)在(0,3),(3,6)上单调递减，

在(-8,0),(6,+8)上单调递增，故4错误;

o7

由/(3—x)+/(3+x)=+^^-=号=12，

可知/(%)的图象关于点(3,6)对称，故8正确；

由/(0)=0,尸(0)=0,

可得曲线y=/(X)在％=0处的切线方程为y=0,

即曲线y=/(%)与％轴相切，故。正确；

由/(%)=三可知：当x从左边趋于3时，/(%)T-8,当久从右边趋于3时，/(%)T+8,

X—3

结合/(X)的单调性可知，/(X)的大致变换如图所示，

当x>3时,/(x)的最小值为f(6)=12,

当％<3时，/(X)的最大值为f(0)=0,

故f(x)的值域为(―8,0]U[12,+8),故Z)正确.

故选：BCD.

对函数求导，利用导函数可判断函数的单调性，从而判定4还可判断与x轴是否相切，从而判定C；根据函

数的单调性及函数值的变换，可得出函数值域，从而判定D；根据函数的对称性，可判断B.

本题考查利用导数判断函数单调性，求切线及值域，考查函数的对称性，属中档题.

13.【答案】(一1W)

【解析】解：f(x)=3r-3丫定义域为R,且f(-x)=3X-3r=—f(x),

故/'(x)=3T-3、为奇函数,所以f(2a-1)>-/(3a2)=/(-3a2),

又f(x)=3r-3*在艮上单调递减，

-I

所以2Q—1V—3a之，即3a之+2a—1V0,解得-1VQV于

故答案为：(―l,g).

先得到函数的奇偶性和单调性，从而得到不等式，求出解集.

本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题.

14.【答案W

【解析】解：由％-3=0,得x=3,/(3)=-4,即点M(3,-4),

\OM\=V32+(-4)2=5,

因此sina=—^,cosa=|,

.sin(7r+a)+cos偿-a)——sina—sina_2sina_2x(一3_g

.COS(2TT—a)+sin(—a)cosa—sinasina—cosa_1_|7>

故答案为:f.

求出定点M的坐标，利用三角函数定义求出sina,cosa,再利用诱导公式计算.

本题考查任意角的三角函数的定义，考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题.

15.【答案】?

【解析】解：g(x)=sin(«x+令+cocos(a)x+：)=V1+to2sin((ox+今+0),其中tans=2,

依题意V1+“2=7■耳,故3=2,此时g(x)=，^sin(2x+：+w),且2沏+：+g=]+2/(兀，

因此/Qo)=sin(2x0+》=sin(^—<p)=coscp=?•

故答案为：

求导、利用两角和的正弦展开式化简可得g(x),由最值可得3和答案.

本题主要考查三角函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题.

16.【答案】2+2y/~2

【解析】解:钙+罗=2+1+号=1+罗+|•计213+箕+2=「+楙

当且仅当/=若,即2y2=(%+2z)2时取“=”，

,,,X>T2X>J~2e、r

此时亍=1诙=春芽因为xe[4,+8),ZG(0,1]，

X

所以5e(0，；],所以亨,所以,

所以原式22+2，^，此时久=4,y=3<7,z=l.

故答案为：2+2，2.

将隼著+等变形为丘+詈+19+2,利用基本不等式求解得自+瞽+深：+22。+|-

：+2,再根据取等号的条件可得？=湛=注，判断出:的范围，进而判断得湎范围，可得

yy人1H—xxyLy

可得所求最小值.

本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了转化思想，是中档题.

17.【答案】（1）证明：由号必=a”+n,即册+i=2与+2n-2,

+2（九+1）_2。箕+2?1—2+2（九+1）_2azi+4九_?

寸an4-2nan+2nan+2n'

又%+2=2,.;{an+2n}是以2为首项，2为公比的等比数列;

(2)解：由⑴知，即+2n=2X2吁1=2n,•，•£%=£,

1

•1•Sn=1x(i)+2x(界+3x0)3+…+nx(扔，

=1x(|)2+2x(1)3+-+(n-l)x0严+nx(j)"+1,

两式相减得，

1,11

4c=//+/+-.+/一联尹

=/：『)_n•煮=1_(1+)G)n,

即S7t=2_(2+n)(勺n.

【解析】(1)由已知可得即+i=2即+2n—2,再由等比数列的定义证明数列｛斯+2必是等比数列;

(2)直接利用错位相减法求数列｛标｝的前n项和Sn.

本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题.

18.【答案】解：(1)•・,m=(cosx,sinx),n=(cos%,，3cos%),

・••/(%)=n1-n4-1=cos2%+y/~3sinxcosx+1

l+cos2xC.,11o」

=——------F—siriQlx+-=-coso2x+—sin2x+1

=sin(2x+看)+1,

令2/c7r—*42%+g工2/CTT+9，kEZt

LoZ

解得Ayr—^<x<kn+kEZ9

3o

fQ)的单调递增区间是即一?卜兀+Jkez；

(2)由(1)知：f(x)=sin(2x+^)+1,

••"Q4)=2,

Asin(2/l+7o)+1=2,

即sin(24+6=1,

•・,0V/V7T,

：•0<2/1<271,

・,・A=g,

o

ABC的面积为：，

1,.1,1

・•・-bcsm4A=-bc=-,

242

解得be=2,

•・•b+c=2y/~2^

，由余弦定理得M=fo2+c2—2bccosA=（b+c）2—2bc—2bccosA=4—2，"^,

va>0,

・•.a=V4—2>/~3=V-3—1，

综上所述，a=y/~~3—1.

【解析】（1）根据向量数量积公式及三角恒等变换得到/（X）=Sin（2x+弓）+1,从而利用整体法求出函数单

调递增区间；

（2）在（1）基础上，求出4=会结合三角形面积公式求出be=2,进而由余弦定理求出答案.

本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性，余弦定理的应用，属中档题.

19.【答案】解：（1）由已知条件可得n=^\=2000,每组的纵坐标的和乘以组距为1,

U.UNX1U

所以0.84+80t=1,解得t=0.002.

（2）由（1）知t=0.002,

所以调查评分在［40,50）的人数占调查评分在［50,60）人数的

若按分层抽样抽取3人，

则调查评分在［40,50）有1人，［50,60）有2人，

因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，

所以选出的3人经过心理疏导后，

心理等级均达不到良好的概率为*x|x|=g,

所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为P=l-1x|x|=|.

【解析】(1)由频率分布直方图数据列式求解，

(2)由分层抽样与对立事件的概率公式求解.

本题考查频率分布直方图、概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

20.【答案】解：(1)证明：连接4C,BD交于点R,连接PQ,PR,46，

由中位线可知PQ〃&G且PQ=同iG，由因为AR&且AR=

所以PQ〃/R且PQ=AR,所以PQAR为平行四边形，

所以ZQ〃PR,因为4QC平面PBD,PRu平面PBD,

所以4Q〃平面PBD；

(2)以。为坐标原点，DC,DA,DC］所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.

此时。(0,0,0),8(2,2,0),P(l,0,2),丽=(2,2,0)，而=(1,0,2)，

设平面PBD的法向量为访=(x,y,z),则由丽•沆=0，DP-m=0.

可知：2y二°,令刀=2,则y=-2,z=-l,

所以沆=(2,—2,-1),

显然平面BC。的法向量为元=(0,0,1),

设二面角P-BD-C的平面角为仇贝吆为锐角.

所L'lrncfl=-&=|2x0+(-2)x0+(-l)xl|=1

所以COS。一网.同一v4+4+1V0+0+1_3)

所以二面角P-BD-C的平面角的余弦值为最

【解析】(1)连接AC,BD交于点R,连接PQ,PR,4G，证明4Q〃PR,可证结论；

(2)以D为坐标原点，DC,DA,DDi所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面PBD与平面BDC的一

个法向量，利用向量法可求二面角P-BD-C的平面角的余弦值.

本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题.

21.【答案】解：⑴由题意可设椭圆C的标准方程为务/=1,

•.•离心率为』即6=£=3，则a=2c.

2a2

•••△P&F2的周长为6,则|P&|+\PF2\+IF/2I=6,

2a+2c=6,即a+c=3.

于是2c+c=3,解得c=l,则a=2,b=Va*23-c2=y/~3.

••・椭圆C的标准方程是1+4=1.

43

(2)设直线2的方程为欠=ty+4«WO),4(%i，%),B(x21y2),

%=ty+4

联立/y2，消去x整理得（3t2+4）y2+24ty+36=0.

（LH=I

则为+"2=一诉,y，2=覆互.

•••点B,。关于x轴对称,则。（次,-丫2）•设点E（Xo,O），

・••4E,D三点共线，则心E=/CDE，即悬=湍，

人1人0人2人0

即%（%2-&）=一为（与-%0）>即％*2+*=+丫2），

俎丫：〉/2+丫2丫1夕1（•2+4）+丫2（/+4）

付°一yi+y2~yi+y2

=21丫1丫2+4（力+及）=2"1丫2+4=-2tX36+4=1

_yt+y224t•

•••点E（1,O）为定点，|EM|=3.

S^ABE-1sMME—S^BMEI=,|EM|•M-yzl=2V（71+丫2）2-4yly2