山东省青岛市2022-2023学年高一年级上册期中数学 含解析

2022—2023学年青岛市高一教学质量检测

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

A—vlx2—]=

1.己知集合rI一则下列说法正确的是（）

A."AB.{-1}GAC.Ac{-1,1}D.0eA

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合4然后根据元素与集合，集合与集合的关系即得..

【详解】A=U|X2-1=O}={1,-1},

：AeA,{-l}cA,Ao{-1,1},0cA,

所以ABD错误，C正确.

故选：C.

2.二一<1的一个充分不必要条件是（）

X+1

A.尤>1或x<-1B.x>2C.x>0D.x<0

【答案】B

【解析】

【分析】根据分式的性质，结合充分不必要条件的定义进行求解即可.

【详解】由=1-<1,得了>1或工<一1,

x+1

22

显然x>2能推出——<1,但——<1不一定能推出%>2,

X+lX+1

选项CD都推不出——<1,

X+1

22

选项A能推出——<1,——<1也能推出或

x+1x+1

故选：B

3.已知函数y=g（x）的对应关系如表所示，函数y=/（x）的图象是如图所示，则的值为（）

X123

g(x)43-1

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数图象和表格直接求解即可.

【详解】由图可知"1)=3,所以g[/(l)]=g(3),

又由表可知g⑶=一1,

所以g[〃l)]=g(3)=-L

故选：A

4.已知函数〃x)=(巾2-2加一是幕函数，且在(0,+8)上单调递增，则"?=()

A.3B.-1C.1或一3D.-1或3

【答案】A

【解析】

【分析】根据幕函数的概念及性质即得.

【详解】因为“X)是新函数，

所以4_2m-2=1,解得帆=-1或3；

又了(%)在(0,+8)上单调递增，

当m=-1时，m2+m—1=—1»不符合题意，

当加=3时，+m-1=11，符合题意，

故"/=3.

故选：A.

(。一2)xH—,X42

5.已知函数/(%)=〈是R上的减函数，则实数。的取值范围是()

a八

A.(0,2)B.(1,2)C.[1,2)D.(0,1]

【答案】C

【解析】

【分析】由题可得函数在x«2及x>2时，单调递减，且23-2)+^上5，进而即得.

【详解】由题意可知：y=处在(2,+8)上单调递减，即。〉0；

X

y=(tz-2)x+—在(上也单调递减，即a-2<0；

又/(%)是R上的减函数,则23-2)+|2,,

4〉0

<a—2<0,

2(a-2)+-1>^-

I22

解得

故选：C.

6.已知偶函数/(x)在区间［0,+8)单调递增，则满足了(2x—1)</(：)的X取值范围是()

【答案】A

【解析】

【分析】由偶函数性质得函数在(-8,0］上的单调性，然后由单调性解不等式.

【详解】因为偶函数/(力在区间［(),+8)上单调递增，

所以/(x)区间(一*0)上单调递减，故x越靠近y轴，函数值越小，

因为—

112

所以|2x—1|<§,解得：—<%<—.

故选：A.

7.因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油.现张先生本周按照以下两种方案加油(两次加

油时油价不一样)，甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定.问哪种加油的方案

更经济？()

A.甲方案B.乙方案C.一样D.无法确定

【答案】B

【解析】

【分析】设两次加油的油价分别为x,y(%,y>o且分别计算两种方案的平均油价，然后比

较即得.

【详解】设两次加油的油价分别为x,>(x,y>0,且xxy),甲方案每次加油的量为。(。>0)；乙方

案每次加油的钱数为b优>0),

2b22xy

则甲方案的平均油价为：2/=2,乙方案的平均油价为：bb-1

--1--—+x+y，

xyXy

因为不—工生过〉0,

x+y2(x+y)

所以受:>与，即乙方案更经济.

x+y

故选:B.

7她「,、6LV2+bx+且/(l)=g

8.已知函数/(X)=2,在其定义域内为偶函数9则

X+1

+廉小+咽+川)+/⑵+

+/(2022)=()

<2022j

40454043

A.0B.2021C：.----D.

22

【答案】D

【解析】

【分析】先由偶函数的性质求得人=(),再由/(1)=；求得。=1,由此得到/(X)的解析式，观察所求式子

容易考虑+的值，求之可解得结果.

【详解】因为“X)是偶函数，所以〃—x)=/(x),即弋-/*="「一,解得匕=0,

X+1X+1

2

所以小)=言

又因为/（l）=gX2

，所以二二二，解得a=l,所以/（元）=一一

22+1

1

22

.V-,X.2X1

因为+/---b+1x2+1+1+x2=1，

尤+11

11++/出+川)+八2)++/Q022)

所以+f

20222021

/焉]+"2022)+f1(]14043

+/(2021)++/-+/(2)+/(l)=2021+-=

、NUNNy202112yzJ22

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知a,仇ceR,则下列说法正确的是（）

…b+cb

A.若a>6>0，贝!lac>OcB.若a>b>0,c>0,则——>-

a+ca

C.若ac2>be2，贝Ia>bD.若则Q+:—

ba

【答案】BC

【解析】

【分析】利用不等式的性质可判断AC,根据作差法可判断BD.

【详解】对于A选项，若c<0,则ac（机•，故A错误；

b+cbc（a-h）八b+cb

对于B选项，因为a>6>0,c>0,-------——7->0,所以——>一,故B正确；

a+caa（a+c）a+ca

1,1,1

对于C选项，因为一^>0,所以ac~—Y>bc~—）即。>〃，故C正确；

对于D选项，因为a>b>0,-，=3-匕）［1+二］>0,所以4+，〉。+，，故D错

ba'ab）ba

误.

故选：BC.

10.下列结论正确的是（）

A.若%>1,则x+——>3B.若x#0,则LJ.25

x-lx~

x+51

C.若xeR,则/22D.若xvO,则x+—2—2

J尤2+4X

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据基本不等式和对勾函数逐项分析判断.

【详解】对于A选项，若%>1,则x-l>0,因为X+」-=X-1+_L+IN3（当且仅当x=2时,

X—1X—1

等号成立），故A正确；

Y4+Y2+4C4

对于B选项，因为“:十一=仁+\+125（当且仅当r=2时，等号成立），所以B正确；

xx

,Y+5x2+4+1I~J71

对于C选项，因为,...———/=，f+4+]，

y/x2+4&+44+4

令f=&+4»2,“/）=/+；,

对V4J2e[2,4w），4<弓,贝|」/（4）一/«2）=4+']一?2+-=""）"也"，

t{t2>O,z,-z2<O,r/2-l>O,则/（4）_/«2）<O，即/（4）<7,2），

二函数=f+；在fe[2,y=o）上单调递增，贝h+；z/（2）=m，故C正确；

对于D选项，若x<0,贝iJ-x>0,因为（―x）+1-22,所以％+，4-2（当且仅当户一1时，等号成

-xx

立），故D错误.

故选：ABC.

11.德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为

工x为有理数

。（刈=«则下列关于狄利克雷函数。（力的说法埼号的是（)

0,x为无理数'

A.对任意实数x,。（。（力）=1

B.。（力既不是奇函数又不是偶函数

C.对于任意的实数x,y,D（x+y）WD（x）+O（y）

D.若xdR,则不等式％2—4。（力工+3<0的解集为{x|l<x<可

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意结合奇偶性、一元二次不等式的解法逐项分析判断.

【详解】若X是有理数，则。（。（力）=。（1）=1；

若X是无理数，则。（。（力）=。（0）=1,故A正确：

若x是有理数，则-x也是有理数，此时。（力=。（一力=1；

若x是无理数，则—x也是无理数，此时。（x）=O（—x）=0；

即。（x）为偶函数，故B错误；

若x是无理数，取,=一％,则V是无理数，此时£>（x+y）=O（0）=l,£>（%）+。（一y）=0,即

£>（x+y）>£）（%）+£）（-y）,故C错误;

若X是有理数，贝一4O（x）x+3=£一4x+3<0的解集为｛xe01<x<3｝；

若x是有理数，f_4O（x）x+3=f+3<0,显然不成立，故D错误.

故选：BCD.

12.设矩形ABC。（AB>8C）的周长为定值2a,把.一ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交0c

于点尸，如图，则下列说法正确的是（）

5.

A.矩形48CQ的面积有最大值B.的周长为定值

C.△APO的面积有最大值D.线段PC有最大值

【答案】BC

【解析】

【分析】根据基本不等式的性质，结合图形折叠的性质，结合对钩函数的性质逐一判断即可.

【详解】设AB=x,则BC=a-x,因为AB>BC,所以

（_\22

一""J

2J4

因为所以无最大值.故A错.

根据图形折叠可知AAPD与ACPBI全等，

所以△AP。周长AP+PD+DA=AP+PBl+DA=AB+DA=a.故B正确.

设。尸="，则AP=PC=x—m,有。产+D42=Ap2,即1+m一］)2=(］一附2,得m=a一匕,

2x

23

。1(aY、3a2ifa}3-2y/22M夜工口日,,士十

S^DP=7。一丁(。一x)=—;—7以+二《a，当x=a时，取取大值,故C正

212xJ42142

2

确.PC=x-----ci，

2x

因为函数了=%+呆—a在(0,孝a)上单调递减，在xe(当,+8上单调递增，

所以当x当x=*a时函数有最小值，无最大值.故D错误.

故选：BC.

【点睛】关键点睛：利用基本不等式的性质、对钩函数的性质是解题的关键.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.计算：(g)+83+2022°=.

【答案】7

【解析】

【分析】根据指数的运算法则计算即可.

【详解】原式=2+4+1=7.

故答案为：7.

14.已知/(x)是一次函数，且2/(x+l)—/(x)=x+3,则/(x)=.

【答案】x+l##l+x

【解析】

【分析1根据待定系数法设/(x)=ar+匕，代入整理得ac+2a+》=x+3,对比系数列式求解.

【详解】设/(%)="+8，

因为2/(x+1)-/(x)=x+3,

则2[a(x+l)+Z?]-(ox+/?)=OX+2Q+/?=%+3,

a=l[a=l/、

可知J,力解得〈7/故/(x)=x+L

2a+Z?=3[b=l'7

故答案为：x+1.

15.已知/(6=/+,，若正数加，〃满足/(2〃?)+/(〃-2)=0,则工+工的最小值为.

xmn

【答案】-+V2

2

【解析】

【分析】首先判断函数的奇偶性，即可得到2加+〃=2,再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.

【详解】解：因为/(耳=丁+1•定义域为{xlxwO},且/(一%)=(一X)3+」=_13+_1)=_/(耳，所

以/(X)为奇函数,

因为/(2帆)+/(〃-2)=0,所以2〃?+〃-2=0，即2加+〃=2,

因为加>0，〃>0,

一，11/1l1/c、11(〃2加。)、3后

所以—I———I—(2/71+n)•————I---F312—F>/2,

mn\mn)22\mn)2

M2777

当且仅当一=——，即加=2—&，〃=20—2时取等号.

mn

故答案为：H,s/2

2

16.对于区间［a,可(a<»,若函数y=/(x)同时满足：①/(%)在［a,句上是单调函数;②函数

y=/(x),xw[a,，|的值域是[a,。],则称区间[a,目为函数的“保值”区间.(1)写出函数

y=2f的一个，保直，区间为；(2)若函数/(幻=32_3》+4(加＞0)存在“保值”区间，则实

数，"的取值范围为.

【答案】①.[如0,0.5]②.根常噌J

【解析】

【分析1⑴由条件可知“X)在区间可上是单调函数，根据/(X)的值域判断出力〉aNO,由此得

到＜从而求解出的值;

f®=b

33

(2)设存在的“保值”区间为［a,可，考虑两种情况：—<a<b,a<h<—,根据单调性得到关于

2m2m

等式，然后根据二次函数的性质即得.

【详解】(1)因为y=/(x)=2f,所以“力的值域为［0,+巧,

所以OWa〈人所以0(x)在上单调递增,

所以《二二,-所以<,，又OWa〈人,

"3)=b［2h2=b

a=0

解得Li,

b=—

2

所以一个“保值”区间为0，g;

(2)设保值区间为［。,以，若丁则/(x)在［”,句上为增函数，

2m

f(a\=ma2_3a+4=a

所以=力+4=力，即〃，b为方程〃优2一4%+4=°的2个不等实根,

A=16-16/n>0

32

、—<一

设g(x)=mr2-4x+4,则〈2mm

所以—<加<1；

16

3

若avbW合,则/(%)在可上为减函数,

/(tz)=ma2-3〃+4=/?2

所以有,两式相减：Q+〃=—,

f(b)=mb2-3/7+4=am

ma~-2a+4---=0

m

代入得:

2

mlr9-2b+4---=0

m

i2

所以方程加*—2x+4——=0有2个不等实根“，b,

m

4-47nxf4--j>0

13

从而有，—<——

m2m

mxI-2x—+4-->0

2mm

解得得匚44；

164

113

综上所述:me

1654

113

故答案0,1；u

164白1

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知A={x|—2cx<3},8={卅万2-5x-6<。}.

（1）求4c8，ADB；

（2）求图中阴影部分表示集合.

【答案】（1）Ac8={x|-l<x<3},Au8={x|-2<x<6}

⑵阴影部分表示的集合是{耳一2。〈一1或3Wx<6}.

【解析】

【分析】（I）先根据一元二次不等式求解集合B,再根据集合的并集、交集运算求解；（2）根据题意理解

可得阴影部分表示的集合是GUB（ACB）,根据补集运算求解.

【小问1详解】

由》2一5%一6<0，解得：一l<x<6,即8={x|-l<x<6},

所以AcB={x|-l<x<3},AuB=|x|-2<x<6|；

【小问2详解】

由题意可知：阴影部分表示的集合是C4DB（ACB）={X[-2<x4—l或3Wx<6}.

18.已知函数y=炉+(2-〃)X-2Q+Z?,a.bGR.

(I)若函数值y<0时，其解集为{工1<%<2},求“与匕的值；

(2)若关于x的不等式'<人的解集中恰有两个整数，求实数”的取值范围.

a=5

【答案】(1),,c；

b=12

(2){4-5Wa<-4或0<a41}.

【解析】

【分析】(1)根据二次不等式的解法及韦达定理即得；

(2)分。<一2,a>-2,a=—2讨论，然后结合条件即得.

【小问|详解】

由题意可知d+(2-a)x—2a+0<0的解集为{x[l<x<2},

l+2=a—2

所以，CC,，

1x2=-2a+b

ci—5

即《：

[b=n

【小问2详解】

由f+(2-a)x-2a+/?<。，可得(x+2)(x-a)<0,

①当a<-2时，不等式的解集为{%|a<x<—2},

若y〈匕的解集中恰有两个整数解，则—5Wa<-4；

②当a>—2时，不等式的解集为{x|-2<x<a},

若的解集中恰有两个整数解，0<aWl；

③当。=-2时，不等式的解集为0,不合题意；

综上所述，实数”的取值范围是{a|-5Va<-4或0<a«l}.

9

19.已知函数/(x)=x+—.

X

(1)根据函数单调性的定义证明/(X)在区间(0,3]上单调递减；

(2)若/(力在区间加,〃]上的值域为[6/0],求〃-"2的取值范围.

【答案】(1)证明见解析:

(2)［2,8］.

【解析】

【分析】(1)利用作差法证得/(%)—/(々)>0,由此可证得/(x)在区间(0,3］上单调递减；

(2)先求得双勾函数〃幻=6与/(x)=10时x的取值，结合图像，可知区间［巾,〃］的子集与全集情况,

由此求得〃一机的取值范围.

【小问1详解】

任取％,为2w(。，3］,不妨设Xy<x2,

因为/(石)一/(尤2)=X|+?—尤2-2=(与一々).22-9,

Xjx2XjX2

xx—9

因为0<%<工2«3,所以罚一工2<0，玉工2>0，占W-9<0,所以(尤1一%2),上"—>0，

X\X2

所以/(%)-/㈤>。,即"％)>/(%),

所以/(X)在区间(0,3］上单调递减.

【小问2详解】

Q

当X>0时，f(x)=x+^>6(当且仅当x=3时，等号成立)，所以/(3)=6,

令/(x)=10,解得x=l或x=9,

结合双勾函数/(x)的图象可知，［1,3仁］根,〃仁［1,9］或［〃仁［1,9］,

所以当［1,3］=［m,可时，〃一抗取得最小值为3—1=2；

当上〃,〃］=［1,9］时，”一机的最大值为9—1=8；

故〃一加的取值范围为［2,8］.

20.己知函数/(x)在定义域R上单调递增，且对任意的孙士都满足“玉+马)=/&)+/(w).

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）若/（炉+工-3）+/（机一〃四）〉0对所有的工€（2,3）均成立，求实数加的取值范围.

【答案】（1）函数是奇函数，证明见解析；

（2）（-oo,3].

【解析】

【分析】（1）利用赋值法得到了（—x）=—/（x）,由此证得函数的奇偶性；

（2）利用函数奇偶性与单调性推得9+%-3>加（％-1）,进而得到———+2,利用复合函数的

单调性证得y=x-一!一+2在（2,3）上单调递增，由此求得加的取值范围.

%—1

【小问1详解】

函数是奇函数.证明如下：

因为对任意的芭,当都有/（玉+X2）=/（X|）+/（A2）,

令斗=々=o,则/（o）=2/（0）,即/（0）=0,

令为=X,x2=-x,则/（0）=/（X）+/（T）=0,

即/（-x）=-/（x）,

所以y=/（x）是奇函数.

【小问2详解】

因为Vxe（2,3）,/（x2+x-3）>-/（〃?-=/（〃氏一机）恒成立，

又因为“X）在定义域R上单调递增，

所以f+x—3>如一机=机（工—1）恒成立，

因为工42,3）,所以工一1>1>0,

由1、1%2+X—3（尤―1）+3（x—1）—111c后

所以机<---------=---------------L—=x-1-------+3=%--------+2怛成立，

X—1X—1X—1X—1

因为/=」一在（1,物）上单调递减，丁=7在（1,田）上单调递减，

X—1

所以复合函数y=-一匚在。,母）上单调递增，

x—\

故y=x--二+2在上单调递增，即y=x--匚+2在（2,3）上单调递增，

x—1x—1

所以y=x———+2>2--—+2=3,

x-12-1

故/wW3,即me（-oo,3].

21某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表所示.

每户每月用水量水价

3

不超过12m3的部分2.5元/m

超过12m3但不超过18m3的部分6元/n?

超过18m3的部分9元/n?

（1）求用户每月缴纳水费（单位：元）与每月用水量x（单位：„?）的函数关系式；

（2）随着生活水平的提高，人们对生活的品质有了更高的要求，经验表明，当居民用水量在一定范围内

时，若随性用水，用水量增加，生活越方便；若时刻想着节约用水，生活也会麻烦.数据表明，人们的

“幸福感指数”K与缴纳水费y及“生活麻烦系数”M存在以下关系：K=My（其中v（x）=「），

当某居民用水量在（12,18]时，求该居民“幸福感指数”K的最大值及此时的用水量.

2.5x,0<x<12

【答案】（1）y=<6x-42,12<x<18；

9x-96,x>18

3

（2）K的最大值为77，此时用水量为14m"

14

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，分段求解函数关系式即可；

（2）根据题意写出K与x的关系式，再求其最大值即可.

【小问1详解】

当0«%<12时-，y=2.5x；

当12<xW18时，y=30+（x-12）x6=6x-42；

当x>18时，y=66+（x-18）x9=9x-96；

2.5x,0<x<12

可知y与x的函数关系式为y=<6x-42,12<x<18.

9x—96,x〉18

【小问2详解】

6x-42426

由题意可知：当%«12』8]时-，K=

2

X

、2

令/=，，则/£—11I,于是K=-42产+61=-42（/一，3

4------，

x1812