考点08一元一次不等式（组）

考点八一元一次不等式（组）知识点整合一、不等式的概念、性质及解集表示1．不等式一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．2．不等式的基本性质理论依据式子表示性质1不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变若，则性质2不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变若，，则或性质3不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变若，，则或不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．3．不等式的解集及表示方法（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．二、一元一次不等式及其解法1．一元一次不等式不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．2．解一元一次不等式的一般步骤解一元一次不等式的一般步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．三、一元一次不等式组及其解法1．一元一次不等式组一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．2．一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．3．一元一次不等式组的解法先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．4．几种常见的不等式组的解集设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：不等式组（其中）数轴表示解集口诀同大取大同小取小大小、小大中间找无解大大、小小取不了考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；（3）求一元一次不等式组的最小整数解；（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．考向一不等式的定义及性质（1）含有不等号的式子叫做不等式．（2）不等式两边同乘以或除以一个相同的负数，不等号要改变方向，在运用中，往往会因为忘记改变不等号方向而导致错误．典例引领1．整数满足，则的最小可能值是（

）．A．465 B．473 C．480 D．484【答案】A【分析】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式性质确定最大值和最小值即可解答；由可知最小是19，然后根据不等式的性质逐步求得m的最小值即可．【详解】解：∵，∴最小是19，∵，∴，即p最小是77，∵，∴，即n的最小是，∵，∴，即m的最小值是465．故选：A．2．若，，则下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的基本性质进行判断即可．【详解】A选项：已知，，当时，，故A选项的不等式不一定成立；B选项：若，，此时，但，故B选项的不等式不一定成立；C选项：∵，，∴，，∴．故C选项的不等式一定成立；D选项：若，，，则，故D选项的不等式不一定成立．故选：C3．下列判断不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案．【详解】解：若，则，故选项A正确；若，则，故选项B正确；若，则，故选项C不正确；若，则，故选项D正确．故选C．4．对不等式进行变形，结果错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质：不等式左右两边都加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，即可做出判断，解题关键是要注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．【详解】、∵，不等式的性质，∴，故此选项错误，符合题意；B、∵，不等式的性质，∴，故此选项正确，不符合题意；、∵，不等式的性质，∴，故此选项正确，不符合题意；、∵，不等式的性质∴，故此选项正确，不符合题意；故选：．5．如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，则下列不等式不成立是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了数轴，不等式的性质，由数轴可得，再根据不等式的性质逐项判断即可，熟练掌握不等式的基本性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，是解此题的关键．【详解】解：由数轴可得，A．，故原选项不成立，符合题意；B．，故原选项成立，不符合题意；C.，故原选项成立，不符合题意；D．，故原选项成立，不符合题意；故选：A．6．若有理数a，，b在数轴上对应点如图所示，则下列运算、、、结果是负数的有（）个A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据有理数a，，b在数轴上对应点列出不等式求解即可．【详解】∵，∴，∴，∵∴∵∴∴a到原点的距离大于b到原点的距离，∴如图所示，，∴，整理得，，根据题意无法判断的正负，∴结果是负数的有1个．故选：B．【点睛】此题考查了数轴表示有理数的大小，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．二、填空题7．若，则，，，从小到大的顺序为．【答案】【分析】本题考查了不等式的性质，有理数的大小比较．熟练掌握不等式的性质，有理数的大小比较是解题的关键．由，可得，，，然后作答即可．【详解】解：∵，∴，，，∴，故答案为：．8．已知角为锐角，角为钝角，其数值已给出，在计算的值时，全班得到和这样三个不同的结果，其中确定有正确的结果，则正确的结果是．【答案】/115度【分析】本题考查了角的分类，不等式的传递性，根据题意得出，则，进而得出，即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，只有满足．故答案为：．9．在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①；②；③；④．其中正确的有（填上序号）【答案】①②【分析】本题主要考查了数轴及不等式的性质，先确定的关系，再运用不等式的性质判定大小，解题的关键是运用不等式的性质判定大小．【详解】由数轴上数的位置可得，①∵，∴，故①正确，符合题意；②∵，∴，故②正确，符合题意；③∵，∴，故③错误，不符合题意；④∵，∴∴，故④错误，不符合题意．故选答案为：①②10．已知有理数a，b的和即与差即在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果为．【答案】【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，整式的加减运算，不等式的性质，先判断，再化简绝对值即可．【详解】解：由题意可得：，，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：．11．已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是（填序号）．【答案】④【解析】略三、解答题12．由于无理数是无限不循环小数，所以对于其小数部分我们不可能全部写出来，但是我们可以用这个无理数减去其整数部分来表示．比如的整数部分是1，所以其小数部分就可以表示为．根据上述材料，解答下列问题(1)a是的整数部分，b是的小数部分，则的值是；(2)已知，其中x是整数，求的值．【答案】(1)3(2)【分析】本题考查了无理数的整数部分，不等式的性质，代数式求值．熟练掌握无理数的估算，正确表示无理数的整数部分、小数部分是解题的关键．（1）由题意知，，则，，然后代值求解即可；（2）由，可得，进而可求，，然后代值求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，，∴，故答案为：3；（2）∵，∴，∴，∵，x是整数，∴，，∴，∴的值为．变式拓展1．已知，下列式子不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式的基本性质判断即可．【详解】解：．，，，故该选项不符合题意；．当时，，故本选项符合题意；．不等式两边都加上3，不等号的方向不变，故该选项不符合题意；．不等式两边都乘，不等号的方向改变，故该选项不符合题意．故选：．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．2．已知，下列结论中正确的有（）个，①，②，③若，那么，④若，那么．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据不等式的基本性质，结合特值法逐一判断即可.【详解】解：∵，则①当，时，，故①不符合题意；②当，时，，故②不符合题意；③若，则，即，故③不符合题意；④若，则，则，故④符合题意；故选A．【点睛】本题考查了不等式的性质，倒数的含义，能熟练掌握不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．根据下图，下列判断正确的个数是（

）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据数轴可得，，然后结合有理数的加减运算法则，不等式的性质，相反数的意义逐项判断即可．【详解】解：由数轴得：，①错误；∵，，∴，，∴，②正确；∵，，∴，③正确；∵，，∴，④正确；综上，正确的有3个，故选：C．【点睛】本题考查了数轴，有理数的加减，不等式的性质，相反数，根据数轴判断出a、b、c之间的关系是解题的关键．4．若，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质进行判断作答即可．【详解】解：∵，∴，A错误，故不符合要求；当且时，，B错误，故不符合要求；当时，，C错误，故不符合要求；，D正确，故符合要求；故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．5．如果，那么下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式性质判断即可：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除）同一个负数，不等号的方向变．【详解】解：A、∵，在不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，故该选项错误；B、∵，∴，∴，故该选项错误；C、∵，∴，故该选项错误；D、∵，∴，∴，故该选项正确；故选：D．【点睛】本题考查不等式性质，熟记概念是关键．6．已知，那么最小值为（

）A． B． C． D．12【答案】D【分析】先利用基本不等式求得的取值范围，代入原式，再次利用基本不等式求其最小值．【详解】解：，，，，，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，最小值为12，故选：D．【点睛】本题考查了基本不等式求最值，基本不等式公式：当，则（当时，等号成立）．7．下列说法错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据不等式性质判断即可：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A、若，则，即，故该选项正确；B、∵，当时，则，故该选项正确；C、若，当时，；当时，，当时，，故该选项错误；D、若，则，故该选项正确；故选：C．【点睛】本题考查不等式性质，熟记相关性质是解题的关键．8．三个非零实数a，b，c，满足，则下列不等式一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据不等式的性质，逐个进行判断即可．【详解】解：A、∵，∴，故A符合题意；B、∵，∴，故B不符合题意；C、∵，∴，故C不符合题意；D、∵，∴不一定大于b，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．二、填空题9．已知关于、的二元一次方程组，若，设，则的取值范围为．【答案】【分析】利用得，，即：，再根据，可得，问题随之得解．【详解】，得，，即：，∵，∴，即，∴S的取值范围是：．【点睛】本题考查了采用加减消元法求解二元一次方程组的解，不等式的性质等知识，掌握加减消元法是解答本题的关键．10．若的解集为，则的取值范围是．【答案】【分析】根据不等式的性质解答即可．【详解】解：的解集为，，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．三、解答题11．（1）如果，那么______；如果，那么______；如果，那么______．（填“”、“”或“”）（2）试用（1）提供的方法比较与的大小．【答案】（1），，（2）【分析】（1）分别将移项，即可求解；（2）作差：，判断结果，即可求解．【详解】解：（1），，，，，，故答案：，，；（2）由题意得，，，，．【点睛】本题考查了作差法比较大小，整式加减，掌握比较方法是解题的关键．12．已知，求的取值范围？【答案】【分析】由，可得，再根据，可得，再根据不等式的性质解答即可．【详解】解：，，又，，由，得，，，；由，得，，，，综上所述，，，．【点睛】本题考查了不等式的性质，根据题意得出是解答本题的关键．考向二一元一次不等式（组）的解集及数轴表示（1）一元一次不等式的求解步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1．（2）进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论．典例引领1．方程组的解满足，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解一元一次不等式，将两方程相加得出，然后根据即可求解，正确理解题意、掌握题中特点是解题的关键．【详解】解：，得，∴，∵，∴，解得：，故答案为：．2．无论取何值，都成立，则的取值范围是．【答案】【分析】分类讨论求出不同情况下的取值即可求出的取值范围．【详解】解：当时，；当时，；当时，；综上，，则当时，恒成立．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是求一元一次不等式的解集、化简绝对值、含绝对值的一元一次不等式，解题关键是对含绝对值的不等式分类讨论求解．3．不等式的解集为．【答案】【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可．【详解】，去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．故答案为：二、解答题4．（1）解方程组：．（2）求不等式的解集．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法或代入消元法，即可解题．（2）本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的方法，即可解题．【详解】（1）解：，由，得③，由，得，把代入①得，解得，∴原方程组的解是．（2）解：，去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，化系数为1得：，原不等式的解集为．5．解不等式，并把解在数轴上表示出来．【答案】，数轴上表示见详解【分析】此题主要考查了一元一次不等式的解法，正确解不等式是解题关键．直接利用一元一次不等式的解法分析得出答案．【详解】解：去分母得：，则，解得：．解集在数轴上表示为：6．解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)；(2)．【答案】(1)，数轴表示见解析(2)，数轴表示见解析【详解】（1）去括号，得，移项，得．合并同类项，得系数化为1，得．这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．（2）去分母，得．去括号，得．移项，得．合并同类项，得系数化为1，得这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．7．定义关于@的一种运算：，如．(1)若，且x为正整数，求x的值．(2)若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式；（1）利用题中的新定义得出不等式，解不等式求出x的取值范围，再根据x为正整数得出答案；（2）求出不等式的解集，利用题中的新定义得出关于a的不等式，解不等式求出，再根据两个不等式的解集相同求出a的值即可．【详解】（1）解：由得：，解得，∵x为正整数，∴；（2）解不等式得：，由得：，解得：，∵关于x的不等式的解和的解相同，∴，解得．8．解方程组、解不等式组．(1)解方程组：(2)解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】(1)(2)解集为，数轴表示见解析．【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组及解不等式组，表示不等式的解集，熟练求解二元一次方程组及不等式组是解题的关键．（1）根据代入消元法求解即可；（2）先求解不等式组，再表示出解集即可．【详解】（1）解：解法一：把②变形得．③把③代入①得，解得．把代入③得．该方程组的解为解法二：把①变形得．③把③代入②得，解得．把代入③得．该方程组的解为（2）解：解不等式①得，解不等式②得．在数轴上表示出不等式①②的解集如图所示，该不等式组的解集为．变式拓展一、单选题1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴是表示不等式的解集，先解不等式，然后将解集表示在数轴上即可，正确解答一元一次不等式是解题的关键．【详解】解：移项得，，合并同类项得，，在数轴是表示不等式的解集为：故选：．二、填空题2．当时，；当时，．例如：，．若，那么x的所有可能的值是．【答案】20或12或28【分析】本题考查解一元一次方程和不等式，根据新运算的法则，列出方程，进行求解即可．解题的关键是掌握新运算的法则，正确的列出方程．【详解】解：当时，，∴，当，所以，即时，，解得；当，即时，，解得；当时，，当，，即时，，解得（舍去）；当，即时，，解得；综上，的值为：20或12或28，故答案为：20或12或28．3．若关于x、y的方程组有整数解，且关于z的一元一次不等式有负整数解，则符合条件的所有整数a的和为．【答案】【分析】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，先解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求得a的值，再根据一元一次不等式的解的情况得到a的取值范围，然后取公共a值即可．解答关键是正确求得a的取值范围进而求得a值．【详解】解：解方程组，得：，则，将代入②中，得，则，∴方程组的解为，∵该方程组有整数解，∴为或，当即，符合题意；当即，符合题意；当即，符合题意；当即，符合题意；∵关于z的一元一次不等式即有负整数解，∴，则，综上，或，∴符合条件的所有整数a的和为，故答案为：．4．若不等式的解是，则不等式的解是．【答案】【分析】先解第一个不等式，根据不等式的解得到，，再代入第二个不等式中求解即可．【详解】解：解不等式得，∵该不等式的解是，∴该不等式的解为，且，∴，则，∵，∴，则，∴不等式可化为，即，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查解一元一次不等式和一元一次不等式的解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，利用不等式的性质解答．三、解答题5．已知不等式．(1)若它的解集与不等式的解集相同，求的值并将解集在数轴上表示出来；(2)若它的解都是不等式的解，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】略6．解下列不等式(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项的步骤解不等式即可；（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可；此题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．【详解】（1）解：去括号得，，移项得，，合并同类项得，（2）去分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数化为1得，．7．解下列不等式，并把解表示在下列数轴上．．【答案】，数轴上表示见解析【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集；先解不等式，根据不等式的解集表示在数轴上，即可求解．【详解】解：原不等式可变形为：，解得：；此解集在数轴上表示为：8．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如：，．(1)若，求x的取值范围；(2)已知关于x的方程的解满足，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，解一元一次方程．根据新定义列出关于x的不等式，正确的解一元一次不等式、一元一次方程是解题的关键．（1）根据新定义列出关于x的不等式，求解即可；（2）先解关于x的方程得出，再将代入由列出的关于a的不等式中，计算求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，解得，；（2）解：，去括号得，，移项合并得，，系数化为1得，，∵，关于x的方程的解满足，∴，解得，．考向三一元一次不等式（组）的整数解问题此类问题的实质是解不等式（组），通过不等式（组）的解集，然后写出符合题意的整数解即可．典例引领一、单选题1．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据题意得到必定有整数解0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【详解】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，∵，∴三个整数解不可能是．若三个整数解为，则不等式组无解；若三个整数解为0，1，2，则；解得．故选：B．二、填空题2．写出一个满足不等式组的整数解．【答案】（答案不唯一，写出、0、1中的一个即可）【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集，再结合题干条件，即可解题．【详解】解：由得：，由得：，则不等式组的解集为，所以不等式组的整数解为、0、1，故答案为：（答案不唯一，写出、0、1，中的一个即可）．3．对于任何数a，符号表示不大于a的最大整数，例如：，，，如果，则满足条件的所有整数x的和为．【答案】【分析】本题考查了新定义运算，正确理解定义，转化为不等式或不等式组求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，关于x的所有整数为，∴．故答案为．三、解答题4．解不等式组将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解．【答案】不等式组的解集：，解集在数轴上表示见解析，整数解有：，，0，1，2，3【分析】本题考查解不等式组，用数轴表示出不等式组的解集，求不等式组的整理数解．先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再确定出不等式组的解集，然后用数轴表示出不等式组的解集，并写不等式组的整数解即可．【详解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，原不等式组的解集：，解集数轴表示：整数解有：，，0，1，2，3．5．解不等式组，并求出所有整数解的和．【答案】【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出整数解即可．【详解】解：，由①得：，由②得：，不等式组的解集为，不等式组的整数解为，，，，0，1，其和为：故答案为：6．解不等式组：，并求它的整数解的和．【答案】不等式组的解集为，，整数解的和为．【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解，再相加即可．【详解】解：，由①得：，由②得：，则不等式组的解集为，故不等式组的整数解的和为．7．解不等式组，把解集表示在数轴上，并直接写出这个不等式组的所有整数解．【答案】，数轴见解析，【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，则不等式组的解集为．不等式组的解集在数轴上的表示如图所示．这个不等式组的所有整数解为．8．解不等式组，并把所有的整数解写出来．【答案】原不等式组的解集为，不等式组的所有整数解为、0、1【分析】此题主要考查不等式组的解法，根据不等式的性质，分别解出不等式，再求出其公共解集，再写出整数解即可．【详解】解：，解①得：，解②得：，把它们的解集在数轴上表示如下：∴原不等式组的解集为，∴不等式组的所有整数解为、0、1.变式拓展一、单选题1．若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解不等式组可得解集为，再根据不等式组有且只有3个整数解，即可求解．【详解】解：，由①得，，由②得，，∴不等式组的解集为，∵不等式组有且只有3个整数解，∴这三个整数是0、1、2，∴，故选：A．【点睛】本题考查解不等式组和不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．二、填空题2．关于的方程的解为非负整数，若，则符合条件的所有整数的和为.【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式，准确找出所有符合条件的结果，是解答本题的关键．根据题意，得到，根据为非负整数，且为整数，得到或，由此得到答案．【详解】解：根据题意得：关于的方程的解为非负整数，为非负整数，即，解得，又，，为非负整数，且为整数，或，故符合条件的所有整数的和为．故答案为：．三、解答题3．解不等式组：．（注：必须通过画数轴求解集）并写出该不等式组的最小整数解．【答案】原不等式组的解集是：；该不等式组的最小整数解是：【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握确定解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小找不到是解答本题的关键．根据解一元一次不等式组的方法，分别解不等式，得到，，在数轴上将，表示出来，由此得到答案．【详解】解：根据题意得：，解①得：，解②得：，原不等式组的解集是：．该不等式组的最小整数解是：．4．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．【答案】，【分析】分别解两个一元一次不等式，得到一元一次不等式组的解集，再根据解集得到它的非负整数解即可解答．【详解】解：，解①得：，解②得：，故原不等式组的解集为，它的所有非负整数解为．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知非负整数的意义即为正整数和0，是解题的关键．5．解不等式组：，并写出该不等式组的负整数解．【答案】【分析】先求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集，最后确定不等式的负整数解即可．【详解】解：，由①得：，由②得：，故不等式组的解集为：．所以该不等式组的负整数解为：．【点睛】本题主要考查了求一元一次方程的整数解，求出一元一次不等式的解集是解答本题的关键．6．解不等式组，并求出它的整数解．【答案】解集为，整数解为：2、3、4、5【分析】先根据解不等式的步骤分别解出不等式组中每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小是无解，求出该不等式组的解集，进而找出其解集范围内的整数即可．【详解】解：由①得：，由②得：原不等式组的解集为，不等式组的整数解为：2、3、4、5．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及整数解问题，掌握解法是解题的关键．7．解不等式（组）：(1)解不等式；(2)解不等式组，把解集在数轴上表示出来．并写出其整数解．【答案】(1)(2)，数轴表示见解析，整数解为【分析】（1）按照解不等式的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”求出不等式的解集；（2）分别解出两个不等式，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来，最后找出整数解即可．【详解】（1）解：，去分母得：，去括号得：，移项、合并同类项得：，解得：；（2）解：，解不等式，得，解不等式，得，原不等式的解集是．在数轴上表示则整数解为．【点睛】本题主要考查的是解不等式和解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是要熟练掌握解不等式．考向四求参数的值或取值范围求解此类题目的难点是根据不等式（组）的解的情况得到关于参数的等式或不等式，然后求解即可．典例引领一、单选题1．若不等式组的解集为，那么（）A． B．C．， D．【答案】D【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．先把a、b当作已知条件表示出不等式组的解集，再与已知解集相比较即可得出结论．【详解】解：，解不等式①得：解不等式②得：，∴原不等式组的解集为，∵不等式组的解集为，∴，解得：．故选：D2．已知关于x的不等式组有两个整数解，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．解出一元一次不等式组的解集，根据有两个整数解得出a的取值范围．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，故不等式组的解集为，不等式组有两个整数解，，，故选B．3．若关于x的不等式的解集为，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】略二、填空题4．若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于的不等式组只有一个整数解，即可得到的取值范围．【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，关于的不等式组只有一个整数解，，故答案为：．5．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为．【答案】【分析】本题考查的是解一元一次不等式．先根据题意判断出、的符号及大小，再代入不等式进行计算即可．【详解】解：关于的不等式的解集为，，，，，，，，即，，即．故答案为：．6．已知不等式组，有3个整数解，则a的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的不等式的取值范围．先解每一个不等式，再根据不等式组有3个整数解，确定含a的不等式的取值范围．【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，∵不等式组有3个整数解，即：，0，1，，，故答案为：．7．关于x的不等式组无整数解，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查了不等式组的解集问题，解题的关键是熟练掌握解不等式组的一般方法．先求出的解集为，然后分两种情况进行讨论：当不等式有解时，当不等式无解时，分别求出结果即可．【详解】解：由不等式，得，（1）当不等式有解时，解不等式得：，∴，解得：；（2）当不等式无解时，，解得：；综合（1），（2）可得：．8．若不等式的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是．【答案】/【分析】本题考查了不等式的解法和一元一次不等式整数解的应用．先解不等式得到，再根据正整数解的情况得到，即可求出m的取值范围．【详解】解：解不等式得，∵正整数解是1，2，3，∴m的取值范围是，即．故答案为：三、解答题9．不等式的正整数解为1，2，3，4，求a的取值范围．【答案】【分析】本题考查了根据不等式的解求参数，根据题意得，根据此不等式正整数解为1，2，3，4得，则，可得，即可得，进行计算即可得，根据不等式的解确定a的取值范围是解题的关键．【详解】解：，∵此不等式正整数解为1，2，3，4，∴，∴，∴，∴，∴．10．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是多少？【答案】【详解】由条件可得由，得，将代入中，得．则可变形为．又，．11．关于x，y的方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求符合条件的整数k的值．【答案】k的值为，0，1，2，3．【详解】解：①＋②，得，∴．∵，∴，解得．解不等式③，得．解不等式④，得．∵关于x的不等式组有解，∴．综上所述，．故符合条件的整数k的值为，0，1，2，3．变式拓展一、单选题1．若关于x的一元一次不等式的解为，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质可知，两边同时除以，不等式的符号发生改变，可知，求解即可．【详解】解：关于x的一元一次不等式的解为，，．故选：A．2．已知关于的不等式组的整数解只有1、2、3，其中都为整数，则的值共有（

）A．16个 B．17个 C．18个 D．72个【答案】D【分析】本题考查