杆件的内力、强度、刚度及稳定性-组合变形（建筑力学）

概述建筑力学组合变形【学习目标】【学习目标】1.了解受组合变形时构件的受力和变形特点；2.掌握构件受斜弯曲时的应力与变形的分析与计算；3.掌握拉伸（压缩）与弯曲组合变形的应力与强度计算；4.掌握偏心拉压时构件的应力与强度计算；5.了解弯曲与扭转组合变形时构件的应力与强度计算；6.理解截面核心的概念及应用。13.1概述13.1概述【引言】组合变形是两种或两种以上基本变形的组合。分析组合变形问题的关键在于根据叠加原理将外力进行适当的分解与简化。只要能将组合变形分解成几种基本变形，便可应用叠加原理来解决这类构件在组合变形时的强度计算问题。13.1概述一、什么是组合变形前文中分别讨论了杆件在基本变形（拉、压、扭转、弯曲）时的强度和刚度计算。实际工程中不少构件同时产生两种或两种以上基本变形。例如左图为工业厂房的立柱，由于偏心外力不通过立柱的轴线，产生偏心弯矩，所以立柱的变形既有压缩变形，又有弯曲变形；13.1概述如图所示屋架上的檩条受铅直方向荷载作用，由于荷载不是作用在檩条的两个纵向对称平面上，所以使檩条会在y和z两个方向弯曲变形；13.1概述再如图所示的烟囱，除由自重引起的轴向压缩外，还有因水平方向的风力作用而产生的弯曲变形。这类由两种或两种以上基本变形组合的情况，称为组合变形。13.1概述二、如何计算组合变形分析组合变形时，假设构件的变形在弹性范围内、小变形条件下，可以认为组合变形中的每一种基本变形都是相互独立、互不影响的，所以构件可按其原始形状和尺寸进行汁算。计算时，先将外力进行分解或简化，使每一种荷载只对应着一种基本变形。分别计算每一种基本变形下发生的内力、应力和变形，然后根据各基本变形单独作用时引起的应力与变形，利用叠加原理、强度理论进行组合与叠加，最后进行强度、刚度计算。【注】如果构件的变形超出了线弹性范围，或虽未超出弹性范围但变形过大，而不能按其原始尺寸和形状进行计算，这时由于各基本变形之间相互影响，叠加原理不能使用。对于这类问题本教材不做讨论，读者可参阅有关资料。13.4偏心压缩与截面核心13.4偏心压缩与截面核心13.4偏心压缩与截面核心【引言】作用在杆件上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，杆件就受到偏心压缩（或拉伸）。偏心压拉是轴向压缩（拉伸）与弯曲的组合变形，可以分为单向偏心与双向偏心，是工程实际中常见的组合变形（右图所示为单向偏心）。现以矩形截面梁（柱）为例说明其应力分析的方法。13.4偏心压缩与截面核心一、单向偏心压缩（拉伸）当偏心力F通过截面一根形心主轴时，则称为单向偏心压缩。如图所示矩形截面杆，压力F作用在y轴上的E点处，E点到形心O的距离e称为偏心距。13.4偏心压缩与截面核心1.荷载简化和内力计算首先将偏心力F向截面形心平移，得到一个通过形心的轴向压力F和一个力偶矩为Fe的力偶。运用截面法可求得任意横截面上的内力为：轴力：FN

=F，（压力）

弯矩：Mz=Fe。13.4偏心压缩与截面核心2．应力计算和强度条件偏心受压杆截面中任意一点处的应力,可以由两种基本变形各自在该点产生的应力叠加求得轴向压缩时，截面上各点处的应力均相同，其值为平面弯曲时，截面上任意点处的应力为13.4偏心压缩与截面核心截面上各点处的总应力为

=

/+

//

即：式中：A为横截面面积；Iz为截面对z轴的惯性矩；y为所求点的坐标13.4偏心压缩与截面核心应用式（13－8）计算正应力时，F、Mz、y都可用绝对值代入，式中弯曲正应力的正负号可由观察变形情况来判定。当点处于弯曲变形的受压区时取负号；处于受拉区时取正号。截面上最大正应力和最小正应力（即最大压应力）分别发生在BC边缘及AD边缘上的各点处，其值为13.4偏心压缩与截面核心由于截面上各点均处于单向应力状态，故强度条件为13.4偏心压缩与截面核心3.对结论的讨论当偏心受压柱是矩形截面时，A

=bh，Wz=bh2/6，Mz=Fe，将各值代入式（13－9）得13.4偏心压缩与截面核心边缘B－C上的正应力σmax的正负号，由上式中的符号决定，可能出现三种情况：13.4偏心压缩与截面核心当e＜h/6时，σmax为压应力。截面全部受压，如图所示。当e=h/6时，σmax为零。截面上应力分布如图所示，整个截面受压，而边缘B-C正应力恰好为零。当e＞h/6时，σmax为拉应力。截面部分受拉，部分受压。应力分布如图所示。可见，截面上应力分布情况随偏心距e而变化，与偏心力F的大小无关。当偏心距e＞h/6时，截面上出现受拉区；当偏心距e≤h/6时，截面全部受压。13.4偏心压缩与截面核心二、双向偏心压缩（拉伸）当偏心压力F的作用线与柱轴线平行，但不通过截面任一形心主轴时，称为双向偏心压缩，如图所示。13.4偏心压缩与截面核心1.荷载简化和内力计算设压力F至z轴的偏心距为ey，到y轴的偏心距为ez。先将压力F平移到z轴上，产生附加力偶矩Mz=Fey，再将力F从z轴上平移到截面的形心，又产生附加力偶矩My=Fez。偏心力经过两次平移后，得到轴向压力F和两个力偶Mz、My，可见，双向偏心压缩就是轴向压缩和两个相互垂直的平面弯曲的组合。13.4偏心压缩与截面核心由截面法可求得任一横截面上的内力为：轴向压力：FN

=F；F对z轴的力偶矩引起对z轴的弯矩：Mz=Fey；F对y轴的力偶矩引起对y轴的弯矩：My=

Fez。13.4偏心压缩与截面核心2.应力计算和强度条件横截面上任一点（y、z）处的应力为应为三部分应力的叠加轴向压力F引起的应力为Mz引起的应力为My引起的应力为13.4偏心压缩与截面核心叠加以上结果可得截面上任一点处的应力为即：弯矩引起的应力

//及

///的正负，仍然可根据及的转向和所求点的位置决定。截面上应力的正负情况如图所示。13.4偏心压缩与截面核心最大正应力在A点处，最小正应力在C点处，其值为由于危险点A、C都处于单向应力状态，所以强度条件为13.4偏心压缩与截面核心比较可知，前面分析单向偏心受压所得的公式（13－9）、（13－10）式实际上是（13－13）及（13－14）式的特殊情况：压力作用在端截面的一根形心主轴上，其中一个偏心距为零。13.4偏心压缩与截面核心例13-4

如图所示矩形截面柱，柱顶有屋架传来的压力F1=100kN，牛腿上承受吊车梁传来的压力F2=30kN与柱轴有一偏心距e

=0.2m。现已知柱宽b

=180mm，试问截面高度h为多大时才不会使截面上产生拉应力？在所选h尺寸下，柱截面中的最大压应力为多少？13.4偏心压缩与截面核心解：将作用力向截面形心O简化，得轴向力F=F1+F2=130kN对z轴的力偶矩Mz=F2e

=30kN×0.2m=6kN·m要使截面上不产生拉应力，应满足：即：解得：h≥0.28m，此时截面中的最大压应力为13.4偏心压缩与截面核心例13-5

挡土墙的横截面形状和尺寸如图如示，C点为其形心。土壤对墙的侧压力每米长为F=30kN，作用在离底面h/3处，方向水平向左。挡土墙材料的密度ρ为2.3×103kg/m3。试画出基础面m-n上的应力分布图。13.4偏心压缩与截面核心解：（1）内力计算。挡土墙很长，且是等截面的，通常取1m长度来计算。每1m长墙自重为土壤侧压力为：F=30kN用截面法求得基础面的内力为：轴力：FN=G=103.5kN

13.4偏心压缩与截面核心（2）应力计算基础底面的面积A=b2×1m=2m×1m=2m2=2×106mm2抗弯截面系数

基础面m-m边上的应力为n-n边上的应力为。基础面应力分布如图所示。13.4偏心压缩与截面核心三、截面核心1．截面核心的概念在前面的研究中，我们知道，偏心受压杆件截面中是否出现拉应力与偏心距的大小有关。当外力作用在截面形心附近的某一个区域内时，可以实现使中性轴在横截面边缘以外，杆件整个截面上正应力全部为压应力而不出现拉应力，则形心附近的这个外力作用区域称为截面核心。土建工程中大量使用的砖、石、混凝土材料，其抗拉能力远低于抗压能力，主要用作承压构件。这类构件在偏心压力作用下，应力求使全截面上只出现压应力而不出现拉应力，为此，就需将外力F作用点控制在截面核心内。13.4偏心压缩与截面核心2．截面核心的确定我们知道，中性轴将截面分为两个区域：一边是拉应力区，一边是压应力区。倘若中性轴位置正好与截面的轮廓线相重合，则截面全部处在中性轴一边，整个截面上只有一种符号的应力。据此，可用以确定的核心的位置。若设中性轴上点的坐标为y0、z0，由偏心受压时截面上任意点处的应力计算式：所以有13.4偏心压缩与截面核心在上式中，ey、y0（ez、z0）同号时，应力为负，所以中性轴与偏心距一定处于形心的两侧，而且中性轴的位置与外力大小无关，只与力作用点的位置及截面形状、尺寸有关。因此有由此得中性轴方程式（13－15）是一个直线的截距式方程，表明中性轴是一根不通过形心的直线。在形心主轴z及y上的截距分别为13.4偏心压缩与截面核心中性轴在形心主轴z及y上的截距分别为如果让中性轴与截面的某条轮廓线相重合，使截面内只产生一种符号的应力，由（13－16）式可以确定此时外力作用点的位置（即偏心距）为13.4偏心压缩与截面核心再让中性轴与截面各条轮廓线一一重合，便可得到截面上只产生一种符号的应力时外力作用点的轨迹，即截面核心的轮廓。例13-6求如图所示矩形截面的截面核心。13.4偏心压缩与截面核心解：（1）计算有关参数（2）将AB

边作为中性轴I-I

，从图中可得，其截距为

13.4偏心压缩与截面核心代入（13-17）式，得到力的作用点1的坐标为：从而可在截面上定出点1位置13.4偏心压缩与截面核心再以AD边作为中性轴II-II，其截距为代入(13－17)式，得到力作用点2的坐标：类似地以CD、BC为中性轴,可分别得3、4点坐标。

13.4偏心压缩与截面核心中性轴由Ⅰ-Ⅰ绕A点顺时针旋转到时Ⅱ-Ⅱ，力的作用点将沿直线从1点移到2点。这可以从中性轴方程（13－15）式看出：当中性轴绕A点旋转时，各条中性轴上都含A点坐标（y0=yA，z0=zA），将它代入（13－16）式，得到力作用点的变化规律为式中yA、zA为不变量，所以ey与ez间成线性关系。因此，将前面所得各点间依次联成直线，便得整个截面核心的图形。13.4偏心压缩与截面核心如图所示为一些图形的截面核心。13.4偏心压缩与截面核心确定截面核心的步骤如下：（1）以截面外凸边界为作中性轴，将截距代入（13－17）式，求得截面核心图形的角点；（2）连接相邻角点，便到得截面核心图形。另外，在确定截面核心时须注意，对周边有凹进部分的截面，如工字形、槽形、T形等，不能将凹进部分的边界取作中性轴，因为这种线穿过截面，将截面分为拉、压两个区域。13.5弯曲与扭转组合13.5弯曲与扭转组合13.5弯曲与扭转组合弯曲与扭转的组合变形是机械工程中最常见的情况。机器中的大多数转轴都是以弯曲与扭组合的方式工作的。现以如图所示曲拐中的AB段圆杆为例，介绍弯曲与扭转组合时的强度计算方法。13.5弯曲与扭转组合将外力F向截面B形心简化，得AB段计算简图如图b所示。横向力F使轴发生平面弯曲，而力偶矩为Me=Fa的力偶使轴发生扭转。其弯矩图和扭矩图如图所示。可见，危险截面在固定端A，其上的内力为：

弯矩M=Fl，扭矩Mn=Me=Fa13.5弯曲与扭转组合根据前面章节的讨论,可得截面A的弯曲正应力和扭转剪应力的分布图,如图所示,可以看出,点C1和C2为危险点,点C1的单元体如图所示,由应力计算公式得点C1的正应力与剪应力为

式中Wz=

d3/32，WP=

d3/16，分别是圆轴的抗弯和抗扭截面系数。13.5弯曲与扭转组合危险点Cl或C2处于二向应力状态，其主应力为对塑性材料，采用第三或第四强理论。若按第三强度理论，强度条件为：

将式(13－19)代入上式，得：将式(13－18)中的

和

代入上式（13－20），并注意到圆截面的参数WP=2Wz，于是可得出圆杆的弯扭组合变形下的强度条件为：13.5弯曲与扭转组合若按第四强度理论，其强度条件为：将式(13－19)代入上式，经简化后得：再以式(13－18)代入上式，即得到按第四强度理论的强度条件为式中，Wz为圆截面杆的抗弯截面系数。13.5弯曲与扭转组合例13-7如图所示为一钢制实心圆轴，轴上齿轮的受力如图所示。齿轮C的节圆直径dC=500mm，齿轮D的节圆直径dD=300mm。许用应力[

]=100Mpa，试按第四强度理论计算轴的直径。13.5弯曲与扭转组合解：先将齿轮上的外力向AB的轴线简化，得到如图所示的计算简图。根据轴的计算简图,分别作出轴的扭矩图Mn图、垂直平面内的弯矩My图和水平面内的弯矩Mz图。13.5弯曲与扭转组合对于圆轴，因为通过圆心的任何直径都是形心主轴，所以圆轴在两个方向弯曲时可以直接求其合成弯矩，即对于C截面对于B截面

由于BCD段轴上的扭矩相同，所以截面B是危险截面。13.5弯曲与扭转组合由第四强度理论的强度条件式（13－23）可知将Wz=

d3/32代入上式，得【讨论】从该例可知，对于弯曲与扭转组合变形的杆件，在进行强度计算时，可以直接用式(13-21)和式(13-23)，所以主要工作量是确定各截面上的弯矩和扭矩。组合变形小结组合变形小结1．叠加原理成立的条件：（l）材料的应力-应变之间保持线性关系。（2）构件必须是产生小变形，且每一种荷载作用下杆件的变形不会影响其他荷载作用时杆件所产生的内力。2．构件受组合变形时，其强度问题的解决步骤是：（1）将外力向截面形心简化，分解为几种基本变形。（2）根据所给各基本变形的内力图，判断可能的危险截面，并确定危险截面上的内力分量。（3）根据危险截面上与各内力分量的应力分布．判断危险点的位置。（4）计算危险点处各基本变形产生的应力，如为单向应力状态即进行叠加，如为复杂应力状态则应按照强度理论建立强度条件。组合变形小结3．熟练掌握杆件在拉（压）、弯曲组合与偏心压缩清况下的应力分析及强度计算，由于危险点处于单向应力状态，所以可使用单向拉（压）时的强度条件。即组合变形小结4．圆轴受弯曲、扭转组合变形时，危险点处于复杂应力状态，故强度条件(塑性材料)为按照第三强度理论：按照第四强度理论：13.2斜弯曲13.2斜弯曲13.2斜弯曲中曾介绍，如果构件有一纵向对称平面，当横向外力作用于这一对称面内时，构件在纵向对称平面内发生平面弯曲。但是，在实际工程结构中，作用于梁上的横向力有时并不在梁的纵向对称面内。如图所示，屋面桁条倾斜地放置于屋顶桁架上，所受外力不在纵向对称面内，此时构件就要发生斜弯曲。13.2斜弯曲为了说明问题，以矩形截面悬臂梁为例，介绍斜弯曲的应力和变形的分析方法。设外力F作用于梁自由端，过形心且与y轴夹角为

。取Oxyz坐标系如图所示。将F向两个形心主轴方向分解，其分量分别为

Fy=Fcos

，Fz=Fsin

由图知，Fy将使梁在xy面内发生平面弯曲；而Fz则使梁在xz面内发生平面弯曲。所以，构件在F作用下，将产生两个平面弯曲的组合变形。13.2斜弯曲一、内力的换算在距自由端为x的横截面m-m上，两个分力Fy和Fz所引起的弯矩值分别为其中M=F·x，它表示力F对截面m-m所引起的总弯矩13.2斜弯曲二、应力分析如图13-4a、b所示，距自由端为x的横截面m-m上任意点处（坐标为y、z），由Mz和My所引起的正应力分别为它们在截面上的分布如图所示。σ/、σ//在截面上各区间的正负号如图所示。13.2斜弯曲由叠加原理可知m-m截面上任意点处的总应力应是σ/和σ//叠加，即式中Iy、Iz分别横截面对形心主轴z和y的惯性矩；y、z则表示计算截面上任一点的坐标值。应用上式计算任意一点处的应力时,应将该点的坐标,连同符号代入,便可得该点应力的代数值。也可通过平面弯曲的变形情况直接判断正应力σ的正负号。正值和负值分别表示拉应力和压应力。13.2斜弯曲由式（13-2）可见，应力σ是坐标y、z的线性函数，所以它是一个平面方程。正应力σ在横截面上的分布规律可用一倾斜平面表示（如图）。斜平面与横截面的交线就是中性轴，它是横截面上正应力等于零的各点的连线，这条连线也称为零线。零线在危险截面上的位置可由应力σ=0的条件确定，即：即有：所以：13.2斜弯曲式中的y0、z0为中性轴上任一点的坐标。当y0=0、z0

=0代入时，方程可以满足，由此可知，零线是一条过坐标原点的直线。它与y轴的夹角为只有当Iz=Iy，tan

=-tan

。可见，零线与力的作用线不垂直。13.2斜弯曲为了进行强度计算，必须找出构件上的危险截面和危险点。可见，对前图所示悬臂梁，固定端就是危险截面，对应于点A和C就是危险点。其中A有最大拉应力，C有最大压应力。其应力的绝对值为【注】斜弯曲时，梁内剪应力很小，通常不予计算。13.2斜弯曲三、强度条件进行强度计算,首先要确定危险截面和危险点的位置。对于前图所示的悬臂梁,固定端截面的弯矩值最大,是危险截面。对矩形、工字形等具有两个对称轴及棱角的截面，最大正应力必定发生在角点上。将角点坐标代入式（13－2）式便可求得任意截面上的最大正应力值。若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯曲的强度条件为13.2斜弯曲公式（13－3）根据这一强度条件，同样可以进行强度校核、截面设计和确定许可荷载。但是，在设计截面尺寸时，要遇到Wz和Wy两个未知量，可以先假设一个的比值，再根据强度条件式（13－3）计算出杆件所需的Wz值，从而确定截面的尺寸及计算出Wy值，再按式（13－3）进行强度校核。

通常对矩形截面取,对工字形截面取对槽形截面取。13.2斜弯曲四、变形的分析自由端因Fy所引起的挠度为fy

，因Fz所引起的挠度为fz

由叠加原理，自由端的总挠度是两个方向挠度的矢量和，即

13.2斜弯曲若总挠度f与y轴的夹角为

，则从上式可见，对于Iy

Iz的截面，

。这说明变形后梁的挠曲线与集中力F不在同一纵向平面内，故称为斜弯曲，如图所示。13.2斜弯曲式（13－5）有些截面，如圆形或方形截面，其Iy

=Iz，则有

=

，表明挠曲线与集中力F仍在同一纵向平面内，仍然是平面弯曲。13.2斜弯曲例13-1

如图所示，屋架上的木檩条采用100mm×140mm的矩形截面，跨度l=4m，简支在屋架上，承受屋面荷载q=1kN/m（包括檩条自重）。木材的许用拉应力[σ]=10MPa，试验算檩条强度。13.2斜弯曲解：据题意将檩条简化为一简支梁，其最大弯矩发生在跨中点截面：由截面尺寸算得13.2斜弯曲由Mmax的方向可判别出，截面下边缘的C点处拉应力最大所以檩条满足强度要求。13.2斜弯曲例13-2

如图所示吊车梁由工字钢制成，材料的许用应力[σ]=160MPa，l=4m，F=30kN，现因某种原因使F偏离纵向对称面，与y轴的夹角

=5°。试选择工字钢的型号。13.2斜弯曲解：（1）荷载分解和内力计算吊车荷载F位于梁跨中时,吊车梁处于最不利的受力状态,梁的跨中截面弯矩最大,是危险截面。先将荷载F沿y、z轴分解，得13.2斜弯曲由Fy引起在Oxy平面内的平面弯曲，中性轴为z轴。跨中的最大弯矩为由Fz引起在Oxz平面内的平面弯曲，中性轴为y轴，跨中的最大弯矩为（2）选择截面。先设Wz/Wy=8，将强度条件式（13－3）变换为13.2斜弯曲所以查型钢表，选取用22b工字钢，其相关数据Wz=325cm3=325×103mm3，Wy=42.7cm3=42.7×103mm3。(3)强度校核按选用的型号，根据强度条件式（13－3）进行校核。所以选用22b工字钢是合适的。13.3压缩(拉伸)与弯曲组合13.3压缩(拉伸)与弯曲