2023年暑假作业高一数学第13练 统计（解析）

第13练统计

积累整.

知识点一：随机抽样

1全面调查和抽样调查

(1)全面调查

定义：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查.

相关概念：在一个调查中，把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称

为个体.

(2)抽样调查

定义：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况

作出估计和推断的调查方法.

相关概念：把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量.

2简单随机抽样

一般地，设一个总体含有MN为正整数)个个体，从中逐个抽取〃(1W"UV)个个体作为

样本.

如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽

样方法叫做放回简单随机抽样.

如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,

把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.

放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得

的样本称为简单随机样本.

3抽签法、随机数法

(1)抽签法：先给总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的

小纸片(也可以是卡月•、小球等)上作为号签，并将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，

每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取〃次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，

就得到一个容量为〃的样本.

(2)随机数法

①用随机试验生成随机数.

②用信息技术生成随机数：a.用计算器生成随机数；b.用电子表格软件生成随机数；c.

用统计软件生成随机数.

4总体均值和样本均值

(1)总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为H，匕，…，YN，则称y=

N

人+%+…+八1

——为总体均值，又称总体平均数.

(2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有MAWA9个，不妨

记为匕，匕，…，匕，其中匕出现的频数£。=1,2,…，％),则总体均值还可以写成加权

-k

1

平均数的形式力匕.

(3)样本均值：如果从总体中抽取一个容量为，的样本，它们的变量值分别为力,”，…，孙,

则称y=肛+为样本均值,又称样本平均数.

“j=l

(4)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数y去估计总体平均数V.

知识点二：分层随机抽样

1分层随机抽样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子

总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作

为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样.

(1)每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，

那么称这种样本量的分配方式为比例分配.

(2)如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M,N,两层抽取的样本量分别为处

n,两层的样本平均数分别为x,y,两层的总体平均数分别为X,丫，总体平均数为W,

样本平均数为

w

则=工x+-y,W=4普A/X+八4七/Y.

m+nm]-n7M+NM+N

由于可用每层的样本平均数估计每层的总体平均数，故可用正%X+荷%y估计总体平均

数W.

(3)在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数w估计总体平均数

2分层随机抽样的适用条件

分层随机抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的

一致性，这对提高样本的代表性非常重要.当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选

用分层随机抽样的方法.

3获取数据的途径

获取数据的基本途径有通过调查获取数据、通过试验获取数据、通过观察获取数据、

通过查询获得数据等.

知识点三：用样本估计总体

1频率分布直方图

作频率分布直方图的步骤

(1)求极差

极差为一组数据中最大值与最小值的差.

(2)决定组距与组数

将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的

分布规律能较清楚地呈现出来.

(3)将数据分组

(4)列频率分布表

々,一〃一+小组频数

各小组的糊率=样本容量.

(5)画频率分布直方图

纵轴表示蠢，舞实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积=组

距、蠢频率=频率•

2三种统计图的用途、优点、缺点

(1)条形图

人数/人

□视力低于4.8

□视力不低于4.8

400

2(X)

高一高二高三年级

用途：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率.

优点：当数据量很大时，它能更直观地反映数据分布的大致情况，并能清晰地表示出各

个区间的具体数目.

缺点：会损失数据的部分信息.

⑵折线图

体温/t

061218061218061218时同/h

9月7日9月8口9月9日

用途：描述数据随时间的变化趋势.

优点：可以表示数量的多少，直观反映数量的增减情况，即变化趋势.

缺点：不能直观反映数据的分布情况.

(3)扇形图

杂项商品和服务3.5%

居住II.4%

教育文化娱乐「会食品39.4%

服务15.9%

交通和通信戈小；

10.7%衣着5.9%

医疗保健

家庭设备用品

7.0%

及服务6.2%

用途：直观描述各类数据占总数的比例.

优点：可以直观地反映出各种情况所占的比例.

缺点：看不出具体数据的多少.

知识点四：百分位数

1第p百分位数的定义

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有0%的数据

小于或等于这个值，且至少有(100—p)%的数据大于或等于这个值.

2计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下：

第一步，按从〃到龙F列原始数据.

第二步，计算i=〃Xp%.

第三步，若，・不是整数，而大于，•的比邻整数为则第p百分位数为第/项数据；若i

是整数，则第p百分位数为第i项与第7+1)磁据的平均数.

3四分位数

第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到龙F列后

的数据分成四等分，因此称为皿位教，其中第25百分位数也称为第一期■役数或方四分

位数,第75百，分位数也强为第三四分位数学上四分位数.

4频率分布直方图中第p百分位数的计算

确定百分位数所在的区间仞，b).

确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为九％,八％,则第p百分位数为a+

p%—fa%

X(b—a).

fb%一§a%

知识点五：总体的集中趋势

1众数、中位数、平均数

(1)众数：一组数据中出现次数最多的数.

(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)_的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平

均数)叫做这组数据中位数.

(3)平均数：如果有"个数xi,也，…，x,„那么x=&xl+x2+…+xn)叫做这"个数的平均数.

2总体集中趋势的估计

(1)平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了•组数据的集中趋势.

(2)一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；

而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.

3频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法

(I)样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.

(2)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等.

(3)将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.

知识点六：总体的离散程度

1极差

一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.极差越大，波动范围越大.

2方差、标准差

n

假设一组数据为制，X2,…，斯，则这组数据的平均数X=1+立…方差S2=，£

n%

3总体方差、总体标准差

-N

如果总体中所有个体的变量值分别为H，丫2,…，自，总体平均数为Y，则称(Y,

**/=1

一丫)2为总体方差，5=正为总体标准差.

如果总体的N个变量值中，不同的值共有个，不妨记为H，匕，…，匕，其中匕出

1

现的频数为/V=i,2,k),则总体方差为$2=不£方化一y)2.

4样本方差、样本标准差

-n

1

如果一个样本中个体的变量值分别为“，及，…，为，样本平均数为了，则称$2=;;£(y-

ni=i

y产为样本方差，s=近为样本标准差.

5标准差(方差)的两个作用

(1)标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小.

(2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均数相等的情况下，

比较方差或标准差以确定稳定性.

6方差的性质

若x”xi,…，X”的方差为S2,贝ijwxi+a,〃肥+小…，〃优”+a的方差为加2s4

7分层随机抽样的平均数与方差的求法

(1)分层随机抽样的平均数的求法

设样本中不同层的平均数和相应权重分别为XI，X2,―,X"和孙，W2,—,W,„则

这个样本的平均数X=皿X\-\-W2X2-\----\-WnX

(2)方差计算公式

设样本中不同层的平均数分别为X”尤2,…，X"，方差分别为S,S2?,…，S.2,相

n___

应的权重分别为孙，W2，…，Wn,则这个样本的方差为$2=£皿［历2+(*］—X尸］,X为总

i=l

样本数据的平均数.

一、单选题

1.下列哪种工作不能使用抽样方法进行()

A.测定一批炮弹的射程

B.测定海洋水域的某种微生物的含量

C.高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度

D.检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况

【答案】D

【分析】抽样是为了用总体中的部分个体(即样本)来估计总体的情况，分别判断各个选项即

可.

【详解】抽样是为了用总体中的部分个体（即样本）来估计总体的情况，选项A、B、C都是从

总体中抽取部分个体进行检验.

选项D是检测全体学生的身体状况，所以，要对全体学生的身体都进行检验，而不能采取

抽样的方法.

故选:D.

2.现要用随机数表法从总体容量为240（编号为001到240）的研究对象中挑选出50个样本，

则在下列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为（）

3245174491145621651002456896405681655464416308562105214845131254102145

A.5B.44C.165D.210

【答案】D

【分析】由随机数表抽样方法可知答案.

【详解】由随机数表抽样方法可知，以3个数字为单位抽取数字，且数字不能大于240,且

要去掉重复数字，据此第一个数字为114,第二个为165,第三个为100,第4个为210.

故选：D

3.有甲、乙两箱篮球，其中甲箱27个，乙箱9个，现从这两箱篮球中随机抽取4个，甲箱

抽3个，乙箱抽1个.下列说法不正确的是（）

A.总体是36个篮球B.样本是4个篮球

C.样本容量是4D.每个篮球被抽到的可能性不同

【答案】D

【分析】利用样本、样本容量、总体的意义，逐项分析判断作答.

【详解】依题意，总体是36个篮球，样本是4个篮球，样本容量是4,选项A,B,C都正

确；

甲箱抽3个，每个球被抽到的概率为,乙箱抽1个，每个球被抽到的概率为则每个

篮球被抽到的可能性相同，D不正确.

故选：D

4.某公司员工对户外运动分别持"喜欢""不喜欢"和"一般"三种态度，其中持"一般"态度的比

持“不喜欢"态度的多12人，采用按比例分配分层随机抽样方法从该公司全体员工中选出部

分员工座谈，如果选出的人中有6人对户外运动持"喜欢"态度，有1人对户外运动持“不喜

欢”态度，有3人对户外运动持"一般"态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢"

态度的人数为（）

A.36B.6C.12D.18

【答案】A

【分析岫题设出"喜欢""不喜欢"和"一般"三种态度的人数分别为6x,x,3x,从而3x-x=12,

解得X,进而可得解.

【详解】根据分层抽样的特点，设持"喜欢""不喜欢""一般"态度的人数分别为6x,x,3x,

由题意可得3x-x=12,解得x=6,所以持"喜欢”态度的有6x=36（人）.

故选：A

5.某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人.甲就读于高一，

乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法：①应该采

取分层随机抽样法；②高一、高二年级分别抽取100人和135人；③乙被抽到的可能性比

甲的大；④该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力.其中正确的有（）

A.①B.①③C.②③④D.①②④

【答案】D

【分析】根据分层抽样的概念对四种说法逐个判断可得答案.

【详解】因为总体是由差异明显的两部分组成的，所以应该采取分层随机抽样，故①正确；

高一共有20x50=1000人，高二共有30X45=1350人，从这两个年级2350人中共抽取

235人进行视力调查，高一应抽取黑X235=100人，高二应抽取翳X235=135人，故

②正确；

甲被抽到的可能性为箫=2乙被抽到的可能性为急=2，甲和乙被抽到的可能性相等,

故③不正确；

该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力是正确，故④正确.

所以正确的说法是：①②④.

故选：D

6.2022年，中央网信办举报中心受理网民举报违法和不良信息1.72亿件.下面是2021年、

2022年连续两年逐月全国网络违法和不良信息举报受理情况数据及统计图，下面说法中塔

TF2O221473,712332125K6160191534.3I49S.71441.416017I51X.KI400JIINX.31461・

A.2022年比2021年平均每月举报信息数量多B.举报信息数量按月份比较，8月平均

最多

C.两年从2月到4月举报信息数量都依次增多D.2022年比2021年举报信息数据的标

准差大

【答案】D

【分析】根据表中的数据逐项计算得出结论.

【详解】对于A,由图表可以看出2022年的数据基本在2021年之上，但7月份，8月份和

11月份2021年的数据较2022年大，

其差距与1月份，2月份和12月份基本相等，所以2022年的月平均数要大一些，正确：

对于B,从2年的角度看，8月份平均最多，正确；

对于C,从图表可以看出，从2月份到4月份，两条曲线都是递增的，正确；

对于D,从图表可以看出2022年的数据更加集中，即标准差更小，错误；

故选：D.

7.某高中社会实践小组为课题"高中生作业情况研究”进行周末作业时长调研，利用课间分

别对高一、高二、高三年级进行随机采访，按年级人数比例进行抽样，各年级分别有效采访

56人、62人、52人，经计算各年级周末作业完成时间分别为（平均）3小时、3.5小时、

4.5小时，则估计总体平均数是（）.

A.3.54小时B.3.64小时C.3.67小时D.3.72小时

【答案】B

【分析】根据平均数定义求解.

【详解】三个年级抽样人数的总时长=56x3+62X3.5+52x4.5=619,

三个年级抽样人数的平均时长=619+（56+62+52）«3.64,

根据样本估计总体，二总体的平均时长约为3.64（小时）；

故选：B.

8.下列表述不正确的是（）

A.总体的50%分位数就是总体的中位数

B.第p百分位数可以有单位

C.一个总体的四分位数有4个

D.样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确

【答案】C

【分析】根据百分位数定义分别判断各个选项即可.

（详解】50%分位数就是总体的中位数，故A选项正确，

第p百分位数可以有单位，故B选项正确，

一个总体的25%分位数，50%分位数，75%分位数是总体的四分位数，有3个，所以C错误.

样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确，故D选项正确.

故选：c.

9.如图，样本A和3分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为心和知，样本标

A.xA>xB,SA>SB，yA<yBB.xA<xB,>sB,yA>yB

C.xA>xB,sA<sB,yA>yBD.xA<xB,sA<sB,yA<yB

【答案】B

【分析】根据折线图的分布可判断两个样本的均值、极差和方差的大小，故可得正确的选项.

【详解】观察图形可知，样本A的数据均在［2.5,10］之间，样本B的数据均在［10,15］之间，

由折线图可得象<10,玛>10,故&<焉，而样本极差为=7.5>5=为，

又样本B的数据波动较小，故”>SB，

故选：B.

10.2021年5月22日上午10点40分，祝融号火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面,

开始巡视探测.为了帮助同学们深入了解祝融号的相关知识，某学校进行了一次航天知识讲

座，讲座结束之后，学校进行了一次相关知识测试（满分100分），学生得分都在［50,100］内，

其频率分布直方图如下，若各组分数用该组的中间值代替，估计这些学生得分的平均数为

【答案】C

【分析】根据题意，由频率之和为1,可得m的值，然后结合平均数的计算公式，代入计算,

即可得到结果.

【详解】由条件可得（0.004+m+0.054+0.012+0.010）x10=1,则m=0.020,故得分

的平均数为：（0.004x55+0.020x65+0.054x75+0.012x854-0.010X95）x10=

75.4.

故选：C

11.设一组数据X1，X2,…,Xn的方差为12，则数据由X1，有如…，4%的方差为（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【分析】数据axi，a&，…,的方差是数据%,小,…，为的方差的a2倍

【详解】因为修j2,…，如的方差为L2，

所以数据逐电花打，…，而xn的方差为（遍）x1.2=6,

故选：A.

12.随着人口红利的消失和智能制造趋势的演进，工业机器人逐渐成为企业提高产品质量、

向智能化转型升级的核心力量.经过多年的发展，我国的工业机器人产业己经达到了定的规

模，不仅在焊接、装配、搬运、冲压、喷涂等专业领域涌现出大量的机器人产品，同时机器

人关键零部件方面也已经接近或达到了世界领先水平.下图是“中投产业研究院”发布的

«2020-2024年中国机器人产业投资分析及前景预测报告》中关于2019年全国工业机器人

产量数据的统计图数据来源：国家统计局，根据统计图分析，以下结论不正确的是（）

0）本月产量。木月同比增长

1=］累计产量-6-本月止累计同比增长

A.2019年3〜12月，全国工业机器人本月同比增长最低的是8月份，最高的是12月份

B.2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长均在0%以下

C.2019年2〜12月，全国工业机器人本月累计同比增长最低值是4月份

D.2019年3~12月，全国工业机器人在12月份同比增长超过15%

【答案】C

【解析】根据统计图分别对四个选项逐一判断即可得正确答案.

【详解】对于选项A：由图知2019年3〜12月，全国工业机器人本月同比增长最低的是8月

份，最高的是12月份,故选项A正确；

对于选项B：由图知2019年2〜12月，全国工业机器人本月累计同比增长均在0%以下，故

选项B正确；

对于选项C：2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长最低值是5月份，故选项

C不正确；

对于选项D：2019年3~12月，全国工业机器人在12月份同比增长为18.7%,超过15%,

故选项D正确，

故选：C.

二、多选题

13.某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出N名学生，其数学成绩的

频率分布直方图如图所示.已知成绩在区间[90,100]内的学生人数为2人.则()

A.x的值为0.015,N的值为40

B.平均分为72,众数为75

C.中位数为75

D.已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人

【答案】AB

【分析】由各组的频率之和为1可得X的值；由区间[90,100]的人数以及频率可得N；众数看

图可得，中位数通过计算可得.

【详解】Q)由图可知，/[40,50)=0.05,/[50,60)=IO%，/[60,70)=0.2,

方70,80)=63,/[80,90)=0.25,/(90,100]=0.05,

由频率之和为1可得10X=0.15,故x=0.015；

②因为力90,100]=看=0.05,所以N=40；

③由图可知，众数为75；

④平均数为45x0.05+55x0.15+65X0.2+75x0.3+85X0.25+95x0.05=72；

®/[40,50)+/[SO,60)+/[60,70)=0,4,所以中位数位于区间[70,80),

设中位数为a,贝II(a-70)x0.03=0.1,解得a=73.33；

综上所述，AB正确，而C错误；

样本可以估计总体，但是不能通过样本直接确定总体，样本与总体之间总是存在一定的偏差,

故选项D错误.

故选：AB

14.为了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了

1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是()

A.总体指的是该市参加升学考试的全体学生

B.个体指的是1000名学生中的每一名学生

C.样本容量指的是1000名学生

D.样本是指1000名学生的数学升学考试成绩

【答案】ABC

【分析】从总体，个体，样本和样本容量的定义即可判断各选项.

【详解】对于A,总体是该市高三毕业生的数学成绩，A错；

对于B,个体是指每名学生的成绩，B错；

对于C,样本容量是1000,C错：

对于D,样本是指1000名学生的数学成绩，D对.

故选：ABC

15.随着社会的发展，人们的环保意识越来越强了，某市环保部门对辖区内A、B、C、D

四个地区的地表水资源进行检测，按照地表水环境质量标准，若连续10天，检测到地表水

粪大肠菌群都不超过200个/L,则认为地表水粪大肠菌群指标环境质量稳定达到回类标准，

否则不能称稳定达到团类标准.已知连续10天检测数据的部分数字特征为：A地区的极差为

20,75%分位数为180；8地区的平均数为170,方差为90：C地区的中位数为150,极差为

60；。地区的平均数为150,众数为160.根据以上数字特征推断，地表水粪大肠菌群指标环

境质量稳定达到团类标准的地区是()

A.A地区B.B地区C.C地区D.。地区

【答案】AB

【分析】根据平均数、方差、众数、中位数、极差、百分位数的知识对各地区进行分析，从

而确定正确选项.

【详解】根据题意，设数据的最大值为X，最小值为y，每天的检测数据为々(i=l,2,…,10),

对于4地区，极差为20,x-y=20,乂由75%分位数为180,则x—180S20,则xW200,

4丁地区一定达标；

对于B地区，由-170)2=90,则£2(招一170)2=900,

如果这10个数据中有一个数据大于200,则必有々一"0)2>900,矛盾，

所以这10个数据均不大于200,B地区一定达标；

对于C地区，数据150、150>150、150、150、150、150、150、150,210,满足中位数为

150,极差为60,C地区可能没有达标；

对于。地区，数据140、150、150、100,100>160、160>160、160,220,满足平均数为

150,众数为160,。地区可能没有达标；

故选：AB

16.一组数据%,%2,….2。23是公差为2的等差数列，若去掉三项/,七012/2023后，则（）

A.平均数没变B.中位数没变C.方差没变D.极差没变

【答案】AB

【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断A,由中位数的概念可判断B,由方差

及数列求和公式计算即可判断C,根据极差及等差数列的通项公式可判断D.

【详解】由题意可知，对于选项A,原数据的平均数为元=蠢。1+X2+…+&023）=蠢X

2023(21+)2023)

=^1012»

2

去掉%%2023后的平均数为％'=五而(2。23%1012~X1~x2023~~x1012)=x1012=元，

即平均数不变，故选项A正确;

~1011+31013

对于选项B,原数据的中位数为勺012,去掉修,打（„2/2023后的中位数仍为=X1012»

2

即中位数没变，故选项B正确;

(工1一工1012)2+(32-%1012)2+・'+("2023一工1012)

对于选项C,则原数据的方差为s2=

2023

(2022)2+(2020)2+・+(2022)：

2023

_2[22+42+…+(2022)2]_8[产+22+…+(1011)2]81011X1012X2023

------x1364176,

2023202320236

。)。)。(^。产+侬丽+…+丑。)

去掉工1，工1012/％2023后的方差为s"=(42-%1122+…+02022-%1122_2_

20202020

2[22+42+-+(2020)2]8[12+22+-+(1010)2]81010x1011x2021ccd

-------------------------------=-------------------------------=--------X---------------------------=1DOZ154>

2020202020206

即方差变小，故选项c错误;

对于选项D,原数据的极差为次023-/=2022X2=4044,

去掉工1，/012，无2023后的极差为》2022-工2=2020X2=4040,即极差变小，故选项D错误.

故选：AB

三、填空题

17.一名交警在高速路上随机观测了6辆车的行驶速度，然后做出了一份报告，调查结果如

下表：

车序号123456

速度(km/h)666571546958

（1）交警采取的是调查方式.

（2）为了强调调查目的，这次调查的样本是,个体是.

【答案】抽样6辆车的行驶速度每一辆车的行驶速度

【分析】（1）从高速公路上抽取一部分，则为抽样调查；

（2）根据样本和个体的定义填写即可.

【详解】（1）此种调查是抽样调查，调查对象的指标是车的行驶速度.

（2）这次调查的样本是6辆车的行驶速度，个体是每一辆车的行驶速度.

故答案为：（1）抽样；（2）6辆车的行驶速度；每一辆车的行驶速度.

18.某学校为了解教师身体健康情况，从高考学科和非高考学科教师中采用分层抽样的方法

抽取部分教师体检.已知该学校高考学科和非高考学科教师的比例是5：1,且被抽到参加体

检的教师中，高考学科教师比非高考学科教师多64人，则参加体检的人数是.

【答案】96

【分析】设参加体检的人数为n,利用分层抽样的定义列出方程，求解即可.

【详解】设参加体检的人数为n,则各一3=64,解得n=96,所以参加体检的人数是96

66

人.

故答案为：96.

19.某次体检，7位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.41,1.80,1.69,

1.77,则这组数据的第75百分位数是（米）

【答案】1.78

【分析】首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.

【详解】将这7个数据从小到大排列为1.41,1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,

因为7X75%=5.25,故第75百分位数为第6个数1.78.

故答案为：1.78

20.已知一组样本数据x2,xn（xx<x2<<xn）,现有一组新的数据空，空，…，

生产，守，则与原样本数据相比，对于新的数据有以下四个判断：①平均数不变；②

中位数不变；③极差变小；④方差变小，其中所有正确判断的序号是.

【答案】①③④

【分析】由平均数、中位数、极差及方差的概念计算即可.

【详解】对于①，新数据的总数为空+等+…+空=/+&+…+出，

与原数据总数一样，且数据数量不变都是n,故平均数不变，故①正确；

对于②，不妨设原数据为：1,2.5,3,中位数为2.5,

则新数据为1.75,2.75,2,中位数为2,显然中位数变了，故②错误；

对于③，原数据极差为：xn-x1(新数据极差为：号且一中，

因为生产一空一(0一修)=w产晅＜0,极差变小了，故③正确；

对于④，由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均

数，故方差变小，即④正确.

故答案为：①③④.

四、解答题

21.某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景点为了

提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统

计结果按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组，制成如下频率分布直方图:

⑴求抽取的样本老年、中青年、少年的人数;

⑵求频率分布直方图中a的值；

⑶估计当天游客满意度分值的75%分位数.

【答案】⑴50,40,10

(2)0.020

(3)82.5

【分析】(1)求出老年、中青年、少年的人数比例，从而求抽取样本中老年、中青年、少年

的人数：

(2)利用频率之和为1列出方程，求出a的值；

(3)利用百分位数的定义进行求解.

【详解】(1)老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比

例为625:500:125=5:4:1,

故抽取100人，样本中老年人数为100x=一=50人，中青年人数为100x」一=40人,

5+4+15+4+1

少年人数为100X-^―=10人；

5+4+1

(2)由题意可得，(0.010+0.025+0.035+。+0.010)x10=1,解得：a=0.020；

(3)设当天游客满意度分值的75%分位数为x,

因为（0.010+0.025+0.035）x10=0.7<0.75,（0.010+0.025+0.035+0.020）X10=

0.9>0.75,

所以x位于区间［80,90）内，

则（X-80）x0.020=0.75-0.7,解得:x=82.5,

所以估计当天游客满意度分值的75%分位数为82.5.

22.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷.现从使用A和8

两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到

频率分布直方图，如图所示.

使用/款订餐条件的50个商家“平使用8款订餐条件的50个商家“平

均送达时间”的频率分布直方图均送达时间”的频率分布直方图

⑴试估计使用4款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数（同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表）；

⑵根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：

①能否认为使用B款订餐软件"平均送达时间"不超过40分钟的商家达到75%?

②如果你要从A和8两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由.

【答案】⑴40（分钟）

（2）①可以认为使用B款订餐软件"平均送达时间〃不超过40分钟的商家达到75%；②选B

款订餐软件，理由见解析

【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算即可求得平均数；

（2）①计算出使用B款订餐软件"平均送达时间”不超过40分的频率，比较即可得解；②

计算出使用B款订餐软件商家的“平均送达时间"的平均数，与使用A款订餐软件商家的"平

均送达时间”的平均数进行比较即可得解.

【详解】（1）依题意可得：使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为：

15x0.06+25x0.34+35x0.12+45x0.04+55x0.4+65x0.04=40（分钟）.

（2）①使用B款订餐软件"平均送达时间"不超过40分钟的商家的比例估计值为

0.04+0.20+0.56=0.80=80%>75%.

故可以认为使用B款订餐软件"平均送达时间"不超过40分钟的商家达到75%.

②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间"的平均数为

15x0.04+25x0.2+35x0.56+45x0.14+55x0.04+65x0.02=35<40.所以选B款订餐软件.

23.从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目"3+1+2"模式."3"

指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；"1"指考生从物理、历史两

门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；"2"指考生从政法、地理、化学、生

物四门学科中"再选"两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分

规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A,B,C,D,E五个等级，各等级人数所占比

例及赋分区间如下表:

等级ABCDE

人数比例15%35%35%13%2%

赋分区间[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式

为第=然，其中看,巴分别表示原始分区间的最低分和最高分，7\,0分别表示等级赋

分区间的最低分和最高分，y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为匕时，

等级分为71，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50,最高分为98,呈

连续整数分布，其频率分布直方图如下：

⑴求实数a的值;

⑵按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间.

⑶用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90,试计算其等级分;

【答案】（1）0.005

⑵[85,98]

(3)91分

【分析】（1）利用频率分布直方图列出关于实数a的方程，解之即可求得实数a的值；

（2）先利用频率分布直方图求得笫85百分位数对应的原始分，进而估计出此次考试化学成

绩A等级的原始分区间：

（3）利用题给转换公式即可求得其等级分.

【详解】（1）由10（a+0.02+0.03+0.04+a）=1,可得a=0.005

（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间［90,100］的占比为5%,

位于区间［80,90］的占比为20%,

估计等级A的原始分区间的最低分为90—粤泮x10=85,

20%

所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为［85,98］

（3）由粽=黑，解得7=臂”91,该学生的等级分为91分

90-85T—8613

24.某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产某款产品，每条生产线一天能生产200件该

产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为A等品，低于10分的为B等品.厂

家将A等品售价定为2000元/件，8等品售价定为1200元/件.下面是检验员在现有生产线

上随机抽取的16件产品的评分：

9.9510.129.969.9610.019.969.9810.04

10.269.9110.1310.029.3410.0410.059.95

经计算得元=表比1%=9.98,S2=表18—制2=.2：：［呼一元=0.045.其中看为

抽取的第i件产品的评分，i=1,2,3,…,16.该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，

已知对一条生产线增加生产工序每年需花费2000万元，改进后该条生产线产能不变，但生

产出的每件产品评分均提高0.05.已知该厂现有一笔2000万元的资金.

⑴若厂家用这2000万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分，估计改进后

该厂生产的所有产品评分的平均数和方差；

（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为8.2%的理财产品.请你利用所学知识分析，将这

2000万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所

增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计算）

【答案】⑴平均数为10.005,方差为0.045625

（2）改进一条生产线一年后收益更大

【分析】（1）首先求得改进后的生产线的产品评分的平均数2,由此求得改进一条生产线后

该厂生产的所有产品评分的平均数.根据方差的计算公式，计算出改进一条生产线后该厂生

产的所有产品评分的方差.

（2）分别计算出改进生产线和投资理财产品的一年收益，由此确定收益更大的方案.

【详解】（1）设一条生产线改进前一天生产出的产品评分为％（i=1,2,3,…,200）,改进后生

产出的产品评分为z4=1,2,3,-,200）,其中4=%+0.05.

由已知得，用样本估计总体可知歹=9.98,

所以2=,溜。=,£吃(%+0.05)=y+0.05=10.03,

所以估计改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数为:

,八八八「

-9-.9--8-X--2-0-0--+-1-0--.0--3-X-2--0-0=10,005,

400

由已知得，用样本估计总体可知城=0045,

所以整=肃2鲁(4-2)2=熹2：：：［(%+0.05)-(y+0.05)］2=sj=0.045.

估计改进后该厂生产的所有产品评分的方差为：

=磊[2鲁*一200歹2+200歹2+2；常-200z2+200z2]-10.0052(*)

因为¥=表2O-1?，所以2-=iyl-2oo歹2=2oos2,

同理一2002=200Sz，

所以(*)式=磊[20(^+200y2+200s方+200z2]-10.0052

Sy+Szy2+Z2

=-------10.00527

22

9.982_10.005210.032_10.0052

=0.045+---------------------+------------------------

…一