2022-2023学年上海四团中学高二数学文联考试题含解析

2022-2023学年上海四团中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.已知集合，，则A∩B=(

)A.[－2,3] B.[3,4] C.[－2,4] D.(－2,3)参考答案：B【分析】分别解出集合A，B，再求两个集合的交集。【详解】由题解得，，则，故选B.【点睛】本题考查集合的交集，属于基础题。3.设命题甲：的解集是实数集R；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件参考答案：B由题意得，命题甲的解集是实数集，则，所以命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C.考点：必要不充分条件的判定.4.圆柱的侧面展开图是一个面积为16π2的正方形，该圆柱内有一个体积为V的球，则V的最大值为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据正方形的面积计算出圆柱的底面直径和高，由此求得圆柱内最大球的半径，进而求得体积.【详解】设圆柱的底面直径为，高为，则，解得.故圆柱的底面直径为，高为，所以圆柱内最大球的直径为，半径为，其体积为.故选A.【点睛】本小题主要考查圆柱侧面展开图有关计算，考查圆柱内的最大球的体积的求法，属于基础题.5.已知命题p：可表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（）A．① B．③④ C．①③ D．①②③参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用；双曲线的简单性质．【分析】先分别判定命题p、命题q的真假，在根据复合命题的真值表判定．【解答】解：对于命题p：若可表示焦点在x轴上的双曲线，则3﹣a＞0，a﹣5＞0，a不存在，故命题p是假命题；对于命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2或a2=b2或a2＜b2，命题q为假命题；①p∨q为假，②p∧q为假，③（￢p）∨q为真，④（￢p）∧（￢q）为真；故选：B．6.若抛物线C：y2＝4x上一点M（a，b）到焦点F的距离为5，以M为圆心且过点F的圆与y轴交于A，B两点，则|AB|＝（）A.4 B.6 C. D.8参考答案：B【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得a＝1＝5，求得a，b，以及圆的半径，运用弦长公式计算可得所求值．【详解】抛物线C：y2＝4x的焦点为（1，0），准线方程为x＝﹣1，由抛物线的定义可得a+1＝5，解得a＝4，b＝±4，以M（4，±4）为圆心且过点F的圆的半径为5，由圆心到y轴的距离为4，可得|AB|＝26，故选：B．【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆的定义和弦长求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.函数为偶函数，且在单调递增，则的解（

）A．

B.C.

D.参考答案：A略8.函数y=的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，利用特殊值判断函数值的即可．【解答】解：函数y=是奇函数，所以选项A，B不正确；当x=e时，y=＞0，图象的对应点在第一象限，D正确；C错误．故选：D．9.若直线和x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内做等边△ABC，如果在第一象限内有一点使得△ABP和△ABC的面积相等，则m的值为A.

B.

C.

D.参考答案：C10.已知ABC中，A=30°，B=45°，b=，则a=（）A．3 B．1 C．2 D．参考答案：B【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解．【解答】解：∵A=30°，B=45°，b=，∴由正弦定理可得：a===1．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.为椭圆上的点，是其两个焦点，若，则的面积是

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．参考答案：略12.若随机变量，则.参考答案：13.在区间（0，1）上随机取两个数m,n,则关于x的一元二次方程有实根的概率为

参考答案：略14.，则

.参考答案：略15.若y=x3+x﹣2在P处的切线平行于直线y=7x+1，则点P的坐标是．参考答案：（，）或（﹣，）

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求导函数，由导数的几何意义令导函数等于4建立方程，求出方程的解，即可求出切点的横坐标，代入原函数即可求出切点坐标．解答：解：由y=x3+x﹣2，求导数得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=7，解之得x=±．当x=时，y=；当x=﹣时，y=．∴切点P0的坐标为（，）或（﹣，）．故答案为：（，）或（﹣，）．点评：本题考查利用导数求切点的坐标，利用导数值等于切线的斜率是解决问题的关键，属基础题．16.过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于______.参考答案：2略17.函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中,则的最小值为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）当时，求的解集；（2）若恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）将代入函数的解析式，并将函数表示为分段函数，分段解出不等式，可得出所求不等式的解集；（2）分和两种情况，将函数的解析式表示为分段函数，求出函数的最小值，然后解出不等式可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，当时，由，得；当时，由，得；当时，不等式无解.所以原不等式的解集为；（2）当时，；当时，.所以，由，得或，所以实数a的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及绝不等式不等式恒成立问题，一般采用去绝对值的办法，利用分类讨论思想求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.19.已知：复数与在复平面上所对应的点关于y轴对称，且（i为虚数单位），||=。（I）求的值；（II）若的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值。参考答案：（I）或（II）【分析】（I）设，得出的表达式，根据和列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值.（II）根据（I）的结论确定的值.代入运算化简，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得的值.【详解】解：（I）设（x，y∈R），则=－x+yi，∵z1（1－i）=（1+i），||=，∴，∴或，即或

（II）∵的虚部大于零，∴，∴，则有，∴，∴。【点睛】本小题主要考查复数的概念，考查复数的模、复数相等、复数的虚部等知识，属于基础题.20.已知函数.（1）证明：函数在内存在唯一零点；（2）已知，若函数有两个相异零点，且（b为与x无关的常数），证明：.参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先利用导数确定单调性，再利用零点存在定理证明结论，（2）先求，再结合恒成立转化证明，即需证，根据条件消，令，转化证，即需证，这个不等式利用导数易证.【详解】（1），令，则在上恒成立，所以，在上单调递减，，，根据零点存在定理得，函数在存在唯一零点，当时，，所以在存在唯一零点；（2）因为，，所以，不妨设，因为，所以，，所以，，因为，，而要求满足的b的最大值，所以只需证明.所以（*）令，则，所以（*），令，则，所以在上单调递增，即综上，.【点睛】本题考查利用导数研究函数零点以及利用导数证明不等式，考查综合分析论证能力，属难题.21.已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．（Ⅰ）若a=2，试求函数y=（x＞0）的最小值；（Ⅱ）对于任意的x∈，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由y===x﹣4．利用基本不等式即可求得函数的最小值；（Ⅱ）由题意可得不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在恒成立”．不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得y===x﹣4．因为x＞0，所以x，当且仅当x=时，即x=1时，等号成立．所以y≥﹣2．所以当x=1时，y=的最小值为﹣2．…（Ⅱ）因为f（x）﹣a=x2﹣2ax﹣1，所以要使得“?x∈，不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在恒成立”．不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在恒成立．因为g（x）=x2﹣2ax﹣1=（x