2022-2023学年江西省景德镇市第三中学高二数学文联考试卷含解析

2022-2023学年江西省景德镇市第三中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合M={x|2－x>0}，N={x|l≤x≤3}，则M∩N= （

）

A．[1,2）

B．[1,2]

C．（2,3]

D．[2,3|参考答案：A略2.已知直线a、b与平面α，给出下列四个命题（

） ①若a∥b，bα，则a∥α; ②若a∥α，bα，则a∥b; ③若a∥α，b∥α，则a∥b; ④a⊥α，b∥α，则a⊥b. 其中正确的命题是 （

） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：A略3.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为(

)A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1参考答案：D【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4.一动圆圆心在抛物线上，动圆恒过点，则下列哪条直线是动圆的公切线（

）A．x=4

B．y=4

C．x=2

D．x=-2

参考答案：C略5.已知实数r是常数，如果是圆内异于圆心的一点，那么与圆的位置关系是(

)

A．相交但不经过圆心

B．相交且经过圆心

C．相切

D．相离参考答案：D6.中，，，，则的值是（

）A．

B．

C．

D．或参考答案：B略7.已知集合，直线与双曲线有且只有一个公共点，其中，则满足上述条件的双曲线共有

（

）A．4条

B．3条

C．2条

D．1条参考答案：A略8.圆上的点到直线3x+4y+14=0的距离的最大值是（

）A.4

B.5

C.6

D.8参考答案：C略9.把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是A.27

B.28

C.29

D.30参考答案：B10.若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．B．1 C． D．2参考答案：C【考点】点到直线的距离公式．【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为所求．【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx，得y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标为（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，∴点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若命题“?x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．参考答案：﹣1≤a≤3【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解【解答】解：命题“?x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““?x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3故答案是﹣1≤a≤312.若定义在区间D上的函数y=f（x）满足：对?x∈D，?M∈R，使得|f（x）|≤M恒成立，则称函数y=f（x）在区间D上有界．则下列函数中有界的是：

．①y=sinx；②；③y=tanx；④；⑤y=x3+ax2+bx+1（﹣4≤x≤4），其中a，b∈R．参考答案：①④⑤【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】要对各个函数的定义域、值域逐一研究，其中对于函数y=sinx；y=tanx主要考察其值域，对于主要考察单调性，对于主要考察换元思想，对于y=x3+ax2+bx+1（﹣4≤x≤4），主要考察闭区间上的连续函数必有最大值和最小值这一性质．【解答】解：①∵y=|sinx|≤1，∴函数y=|sinx|在区间R上有界．②∵y=|x+|≥2∴函数y=|x+|在区间{x|x≠0}上无界；③∵y=|tanx|≥0∴函数y=|tanx|在区间{x|x≠+kπ，k∈Z}上无界；④∵；令t=ex，t＞0则原式y==1﹣∈（﹣1，1）即值域为（﹣1，1）∴存在M=1，对?x∈R，使得|f（x）|≤M恒成立，∴④是有界的．⑤∵y=x3+ax2+bx+1（﹣4≤x≤4），∴y在区间[﹣4，4]上是连续的函数，故一定要最大值P和最小值Q，设M=max{|P|，|Q|}∴对?x∈D，?M∈R，使得|f（x）|≤M恒成立，故⑤是有界的．故本题答案为：①④⑤．【点评】本题是关于函数的定义域和值域方面的综合性问题，属于难题．13.从棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面平行于底面），所得几何体的表面积是

.参考答案：14.若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为_________________．参考答案：15.如果单位圆与圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝4相交，则实数a的取值范围为

.参考答案：或16.在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tanB=,则角B的值为________.参考答案：略17.已知命题p：，命题q：，若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的范围是______．参考答案：(0,2)【分析】先求出命题和命题的取值范围，再根据命题和命题的充分不必要条件，利用集合之间的关系，即可求解.【详解】由题意，可的命题得或，即集合或命题得或，即集合或，因为命题和命题的充分不必要条件，即集合A是集合B的真子集，所以，解得，又，所以，又由当时，命题和命题相等，所以，所以实数的取值范围是，即.【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的应用，其中解答中正确求解命题和命题，转化为集合之间的关系求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知矩阵，点，点.（1）求线段在矩阵对应的变换作用下得到的线段的长度；（2）求矩阵的特征值与特征向量.

参考答案：解：(1)由，，………4分所以所以

…………………7分(2)

…………………9分得矩阵特征值为，

…………………10分分别将代入方程组得矩阵属于特征值的特征向量为当属于特征值的特征向量为

…………14分19.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣3n（n∈N*）．（1）证明数列{an+3}是等比数列，求出数列{an}的通项公式；（2）设bn=an，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）数列{an}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）由已知数列递推式可得数列{an+3}是等比数列，结合等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式；（2）把数列{an}的通项公式代入bn=an，然后利用错位相减法求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设存在s、p、r∈N*，且s＜p＜r，使得as、ap、ar成等差数列，则2ap=as+ar，得2（3?2p﹣3）=3?2s﹣3+3?2r﹣3，结合2p﹣s+1为偶数，1+2r﹣s为奇数，可知2p+1=2s+2r不成立，故不存在满足条件的三项．【解答】（1）证明：∵Sn=2an﹣3n，∴Sn+1=2an+1﹣3（n+1），则an+1=2an+1﹣2an﹣3，∴an+1=2an+3，即，∴数列{an+3}是等比数列，a1=S1=3，a1+3=6，则，∴；（2）解：，，令，①，②①﹣②得，，，∴；（3）解：设存在s、p、r∈N*，且s＜p＜r，使得as、ap、ar成等差数列，则2ap=as+ar，即2（3?2p﹣3）=3?2s﹣3+3?2r﹣3，即2p+1=2s+2r，2p﹣s+1=1+2r﹣s，∵2p﹣s+1为偶数，1+2r﹣s为奇数，∴2p+1=2s+2r不成立，故不存在满足条件的三项．【点评】本题考查数列递推式，训练了错位相减法求数列的和，考查数列的函数特性，训练了学生的逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．20.设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点． （1）若x1=﹣1，x2=2，求函数f（x）的解析式； （2）若，求b的最大值．． 参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件． 【专题】综合题；压轴题． 【分析】（1）由f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0），知f'（x）=3ax2+2bx﹣a2（a＞0）依题意有，由此能求出f（x）． （2）由f'（x）=3ax2+2bx﹣a2（a＞0），知x1，x2是方程f'（x）=0的两个根，且，故（x1+x2）2﹣2x1x2+2|x1x2|=8．由此能求出b的最大值． 【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）， ∴f'（x）=3ax2+2bx﹣a2（a＞0） 依题意有， ∴． 解得， ∴f（x）=6x3﹣9x2﹣36x．． （2）∵f'（x）=3ax2+2bx﹣a2（a＞0）， 依题意，x1，x2是方程f'（x）=0的两个根， 且， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2+2|x1x2|=8． ∴， ∴b2=3a2（6﹣a） ∵b2≥0， ∴0＜a≤6设p（a）=3a2（6﹣a）， 则p′（a）=﹣9a2+36a． 由p'（a）＞0得0＜a＜4， 由p'（a）＜0得a＞4． 即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数， 在区间[4，6]上是减函数， ∴当a=4时，p（a）有极大值为96， ∴p（a）在（0，6]上的最大值是96， ∴b的最大值为． 【点评】本题考查函数解析式的求法和实数b的最大值的求法，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用． 21.(12分)已知c＞0，且c≠1，设p：函