光子晶体能带理论及创新设计

I摘要光子晶体是由不同种介电常数的材料间隔周期性排列而成的人工材料，它对光或者电磁波存在光子带隙(PBG)，在此频率禁带中的光子无法在该光子晶体中传播。由于光子晶体的能带结构有关于光线的频率，光线在晶体内的传播又与其能带结构相关，不同的能带有着不同的特性，例如负折射效应等独特的光学性质，具有广阔的应用潜力。本文的主要研究内容有：1.阐述了光子晶体的概念，介绍了其相关应用，并阐述了负折射效应和慢光效应这两个光子晶体的重要光学性质，研究了常规的平面波展开法并在此之上研究了Ho等人改进的PWE与将等效介质理论运用至PWE中以提高收敛性，研究了有限时域差分法（FDTD）。2.研究了等频法在判断光子晶体是否产生负折射效应，通过调制光子晶体的折射率实现光子晶体的负折射现象，改变其色散关系，通过两种不同的二维晶格并分别研究其空气孔与介质柱的形式，通过进行能带仿真验证了等频法在验证光子晶体的负折射效应时的可用性。在研究以半径为0.30a的Si介质圆棒的二维正方晶格时，在归一化频率为0.231到0.2576处可能发生负折射效应，并通过软件Rsoft的FullWAVE验证了光线折射路径，确认归一化频率为0.2443处的确发生了负折射效应。最后说明了一部分基于光子晶体负折射效应和正负折射效应的一些实际应用。3.研究了光子晶体慢光效应的基础知识及慢光产生的原理，通过破坏光子晶体的周期性，将以半径为0.20a的Si介质圆棒破坏（引入了半径为0.13a的缺陷介质棒），发现了晶体在归一化频率为0.305发生强烈色散从而验证了慢光效应，详细介绍了目前基于慢光效应的部分应用。关键词：光子晶体、负折射效应、慢光效应 ⅡABSTRACTAphotoniccrystalisanartificialmaterialcomposedofdifferentdielectricconstantmaterialintervals.Ithasaphotonicbandgap(PBG)forlightorelectromagneticwaves,andthephotoninthisfrequencyforbiddenbandcannotpropagateinthephotoniccrystal.Becausethebandstructureofphotoniccrystalhasthefrequencyoflight,thepropagationoflightinthecrystalisrelatedtoitsbandstructure,differentenergyhasdifferentcharacteristics,suchasnegativerefractiveeffectandotheruniqueopticalproperties,hasbroadapplicationpotential.Themainresearchcontentsofthispaperare:1.Theconceptofphotoniccrystalandtheimportantopticalpropertiesofthenegativerefractiveeffectandtheslowlighteffectareintroduced,andthecommoncalculationmethodsoftheplane-waveexpansionmethodandthemethodoffinitetime-domaindifference(FDTD)arestudied.2.Theequalfrequencymethodisstudiedtodeterminewhetherthephotoniccrystalproducesnegativerefractioneffect,realizethenegativerefractionphenomenonofthephotoniccrystalbymodulatingtherefractiveindexofthephotoniccrystal,changeitsdispersionrelationship,andverifythenegativerefractioneffectofthephotoniccrystalthroughtheenergybandsimulationoftwo-dimensionalsquarelatticeandtriangularlattice.Whenstudyingthetwo-dimensionalsquarelatticeofSimediumcircularrodswitharadiusof0.30a,anegativerefractioneffectmayoccuratthenormalizedfrequenciesof0.231to0.2576,andthelightrefractionpathwasverifiedbytheFullWAVEofthesoftwareRsoft,confirmingthatthenegativerefractioneffectdidindeedoccuratthenormalizedfrequencyof0.2443.Finally,weillustratesomepracticalapplicationsofthenegativeandnegativerefractiveeffectofphotoniccrystals.3.Thispaperintroducesthebackgroundknowledgeofslowlighteffectandtheresearchprocessofslowlightproductionprinciple,bydestroyingtheperiodicityofphotoniccrystal,theradiusof0.20aSimediumroundroddamage(introducedtheradiusof0.13adefectmediumrod),foundthatthecrystalinthenormalizedfrequencyof0.305strongdispersiontoverifytheslowlighteffect,thecurrentapplicationbased Ⅲonslowlighteffectisintroducedindetail.Keywords:photoncrystal,Negativerefractioneffect,slowlighteffectⅣ目录TOC\o"1-3"\h\u149691绪论 1264711.1研究背景 1269711.1.1光子晶体的研究历程 180491.1.2光子晶体负折射效应的研究发展历程 217421.1.3光子晶体慢光效应的研究发展过程 3152441.2光子晶体特性 414751.2.1负折射效应 4130541.2.2慢光效应 4307451.3光子晶体的实际应用 4125651.3.1光子晶体光纤 4248761.3.2光子晶体滤波器 592031.3.3光子晶体光波导 5301811.4仿真工具RSOFT简介 6140621.5本文的结构 6322932光子晶体能带分布计算基础理论 8155442.1研究现状概述 8273382.2平面波展开法 8286432.2.1常规平面波展开法 832312.2.2Ho基础上的常规平面波展开法 9257342.2.3等效介质理论在平面波展开的应用 10317262.2.4超晶胞概念在平面波展开的应用 1271822.3有限时域差分法(Finite-DifferenceTime-Domain，FDTD) 13321503光子晶体负折射效应 15298173.1光子晶体负折射效应的判定方法 15229883.2二维光子晶体的仿真与结果 16139693.2.1二维正方晶格光子晶体的仿真与结果 16312203.2.2二维三角晶格光子晶体的仿真与结果 19253183.3光子晶体的正负折射、双负折射效应 2136363.4光子晶体负折射的实际应用 2170513.4.1低通滤波 21165623.4.2NR-PC平板透镜 22145743.5本章小结 22275394光子晶体慢光效应 23190124.1慢光效应的原理 23123524.1.1慢光的概念 2316194.1.2慢光效应理论 243734.2光子晶体慢光效应的仿真结果与分析 2560594.3光子晶体慢光效应的实际应用 26325514.3.1光子晶体慢光在光存储中的应用 26183154.3.2光子晶体慢光在非线性光学中的应用 27149204.3.3光子晶体慢光在传感器上的应用 27258594.4本章小结 28Ⅴ266055总结与展望 29292035.1本文总结 2916355.2未来展望 2911993致谢 3019512参考文献 311绪论1.1研究背景1.1.1光子晶体的研究历程1987年，E.Yablonovitch和S.John首次给出了光子晶格的定义，这一发现引发了科学家的广泛关注。这些物质通常都是按照特定的介电常数组合起来的，其能带结构中的禁带也被称为光子带隙，一定频率的光线无法在晶体中传播。通过引入部分缺陷可以调制光子晶体的能带结构，从而使得它们拥有更加优异的光学性能，并且拥有巨大的发展潜力。例如，破坏光子晶体周期性的介质结构从而形成线缺陷就能够创造一种不会受到弯曲影响的新型波导。随着光子晶体的诞生，一种全新的理论被指出，它改变了人们对于光的认知，并为光信息技术带来一场前所未有的变革。光子晶格可被区分为一维、二维和三维，它们按照一定的规律进行着周期性的电子传输。由于二维光子晶体和三维光子晶体中的许多特征都是一致的，而且易于制备，因此，深入探索这三种形态的光子晶体变得尤为必要。1887年，瑞利勋爵首次尝试探索这一复杂的结构，他利用多次反射和折射的计算结果，发现多层膜具备一个空腔。此外，他还发现，当两层之间的折射率相差较大时，光线会朝着一个相互垂直的方向发散，而这一发现超出了一般的光学规律。布拉格反射器被广泛认为是所有光子带隙的重要组成部分，因其具有双重反射特征，使得其在多种光学领域都有着重要的作用。多层反射器的出现，使得其具有更强的反射特性，并且具有更准确的波长定位，因此，在许多光学应用领域，布拉格反射器都被视作具有极佳效果的元电子器件。Maxwell方程能够准确地模拟出光的特性，对于这种特性的深入探索和分析，已经成为当今物质科学领域的核心任务。大规模的数值模拟也需求更加准确和迅速的方式来实现，因此，开发出更加高效的方程来解决这个问题，也就变得更加迫切了。目前已有平面波展开法、时域有限差分法等计算理论来计算光子晶体的能带分布，但各有优缺点。其中，平面波展开法具备了快速、灵活的优点，但在实际运用中往往由于收敛性较差导致计算结果不够精准。用于研究光子晶体的能带结构。而时域有限差分法（FDTD）虽然能够做到计算精准，然而由于其程序对大量参数进行傅里叶展开并进行采样，计算时间较长1.1.2光子晶体负折射效应的研究发展历程1968年，Veselago发现一种新型的“左手材料”介质，它可以使电磁波按照左手定则进行传输，进而拓展了光的反射和散射的规律。研究结果表明，在介电常数ε与磁导率μ均呈负值的情况下，物体的折射率可以达到：n=−εμ通过对比，我们发现左右手材料的折射率存在显著的差异。由于左手材料的折射率为负值，因此它们也被称为“负折射率”材料。这种差异反映出两种材料的光学性质。Veselago的研究结果显示，即使是负折射率的材料，（1）式所描述的光的折射规律仍然是有效的，因此，我们可以从（1）式中推断出sin根据n1/n2的值，可以确定折射角的值，并且可以通过观察它们的形状来确定它们与法线的夹角。因此，如果n1与n2的值发生变化，那么折射光线将与入射光线的夹角也将发生变化，从而使它们位于法线的两端。 Veselago提出的观点表明，当电磁波穿过具有负折射率的物体，其能量的传递方式将完全逆转，从而使得物体的温度也随着它的角落发生变化。这一发现为物体的热特性提供了一个新的解释，使得物体的热特征得以改变。随着Veselago的研究的出版，当受到光的作用时，其产生的能量会朝着不同的方向传播，从而大大降低介质的热传导，从而可以作为未来的制冷材料。然而，由于当时尚未发掘出Veselago提出的材料，其未来的可行性受限，导致其未来的应用受限。 在1996年至-1998年，英国皇家学院院士Pendry和其他研究者们基于理论，发明了一个按照一定的时序和方向排布的铜棒形阵列，它比Veselago的低能量材料更加符合其电学特征的需求。尽管科学家未能发现任何与此相关的物质，他们仍能够利用实验室技术创造出一些原本认定的物质。 几年之内，加州大学圣迭戈分校的Smith和其他Sub-I们使用由铜组成的复合材料，成功地模拟Pendry的研究，并发现其具有显著的负折射特性，从而使条件。在光子晶体中，其负折射现象产生于光线的反常色散，与光子晶体的独特频散导致的禁带息息相关。2000年，日本学者Notomi首次将二维光子晶体的理论应用于研究，并且成功地将其应用于研究光子晶体的折射行为；2002年，美国学者ChiyanLuo进一步证明，二维光子晶体的第一个能带具有完美的折射性，而2003年，麻省理工研究所的E.Cubukcu进一步证明了二维光子晶体的折射效果，从而使光子晶体的折射行为得到了更加深入的研究。2004年，X.Wang和其他研究者发明的二维六角晶格光子晶体，具有良好的负折射能力，使其能够在不需要使用近场的情况下，使用平面透镜，如P.VParimi和x.wang，进行高分辨率的图像处理。近年来，随着二维光子晶体技术的发展，负折射材料的研究已经取得了长足的进步，特别是通过对多个二维晶体的分析，可以有效地探索出多种负折射效应，从而更好地理解物体的特性。1.1.3光子晶体慢光效应的研究发展过程 1982年,，S.Chu等人在一次利用谐振系统研究激光脉冲的实验中观测发现了慢光现象。虽然其幅度改变极小,但仍然可以发现在谐振系统中激光脉冲存在着十分明显的共振现象。八年之后，电磁感应透明技术（EIT）宣告问世，它可以使选定的光束在系统的吸收量以及反射量为零，这使得,EIT成为研究了光与介质相互作用关键技术。1999年，美国哈佛大学的L.V.Hau等人利用EIT技术在玻色一爱因斯坦凝聚状态下使光速减慢达到17m/s。就在这一年，Kash等人也用调制技术在铷(Ru)蒸汽实验中观测到了慢光。A.V.Turukhin等人利用电磁感应透明技术，在5K的低温条件下，在掺有镨(Pr)的Y2SiO5中观测到群速度为45m/s的慢光。 利用EIT，虽然可以通过气态介质来实现慢光，但只能用于实验室的慢光性质研究而无法用于慢光储存来实现实际应用。在实际情况之中，为获取慢光缓存，均是使用的固体材料。半导体材料是制造小型集成化慢光存储器件的最佳选择。 随着技术的发展，光子晶体慢光技术已经成为一种新的、有效的技术，它可以有效地改善传统的慢光技术，并且引起了全球学术界的广泛重视。1999年，J.D.Joannopoulos团队就开展了一项深入的研究，他们通过精确的数据分析，揭示出光子晶体的慢光机理。近年来，由于光子晶体具有良好的慢波传输性能，因此，关于它的慢波波导的研究取得了长足的进步，引起了全球范围的关注。比如，德国的A.YuPetrov和他的团队利用波导宽度的分析，实现了1太赫兹宽带的0.02倍真空光速的亚群速脉冲，而且，2005年，IBM的团队还利用多孔硅结构，实现了低至三百分之1的真空光速，并且nature也报告了相应的结果。Frandsen和gersenh的团队利用干涉法，成功地将光子晶体的孔隙尺寸调整到11纳米，从而使光子晶体的群体传播速率达到c/34，而且它的衰减率也降低到30dB/mm。2005年，他们还在PRL的最高水平的期刊上发表论文，报道他们利用二维光子晶体波导，将光子晶体的传播速率降低到0.001c，衰减率达到30。2005年，J.Chu团队利用具有较高折射率的介质柱，以及无色散的环境，对二维光子晶体进行了深入的探索，最终取得了10-5~10-4c的缓冲效果。NEC公司采用介质柱光子结晶波导，将5×5毫米的光子结晶转换为40ns的缓冲信号，从而实现子结晶波导的缓冲信号传播。此外，日本国YokohamaNaTionalUniversity的t.Baba研究所也应用光子晶体波导的耦合光波导技术，取得了令人瞩目的研究进展。1.2光子晶体特性1.2.1负折射效应负折射现象指的是，当光照射进某种物理介质时折射光和反射光处于相反的方向。而光子晶体能够产生这种现象，其折射效应源自其独特的色散特征，而这种物理介质的折射效应无须激发磁共振或者电共振，使得这种现象产生要求低，易于制备和实验而且整个传输过程的能量消耗几乎可以忽视。1.2.2慢光效应在缺陷晶体中，一定波长的传播光会在晶格处产生向后散射的后向波，并且与传播光波具有相同的频率、振幅，相干的振动方向以及稳定的相位差，二者之间相互干扰，产生向前传输的干涉模式或形成驻波，群速度变慢。另一种方式是通过全反射的方法，使光程增加从而获取慢光。1.3光子晶体的实际应用1.3.1光子晶体光纤通过有限元分析，R.Ahmed发明了一种新的光纤传感器，它通过将一种具备优异的光子晶体光纤的外壳覆盖上一层具备优异的物理化学安全性的金属来获得传感性能。此外，通过分析传感器的波长敏感度、振幅灵敏度、分辨率和谐振波长线性度，可以更好地评估其性能。通过采用不同波长和振幅，我们可以获得4000nm/RIU和478RIU1这两种极具精确性的传感器，这些传感器拥有极佳的安全性，并且采用精确的三维晶体结构，从而有效地减少了制作过程中的难度。我们期望设计的光纤生物传感器将在生物学领域取得重大突破，它将具备高精确性，以便对未知的生物及生物化学物质进行快速、灵敏的探索1.3.2光子晶体滤波器2-D光子晶体滤波器由VFallahil开发，它采用环形谐振器，其晶体结构为正方形，并且能够在波长为1545.3纳米、透射率为98%的情况下发挥最佳性能。此外，为了实现更高的效率，还需要对其进行更大的改进。经过详细研究，我们发现，在0.5纳米的波长范围内，这种器件的质量因素为3091。为了更好地评估这种设备的性能，我们还需要考虑其他相关的结构特征，例如折射率、晶体常数、介电棒的直径以及谐振器的内棒直径。通过使用PWE技术，我们可以获得光子带隙，而且，我们还使用FDTD技术，通过测试、模拟以及实际测量，可以获得更加精确的带隙信息。另一方面，该技术的设计非常简洁，从而为其他光子晶体光学器件的开发提供可能。1.3.3光子晶体光波导M.Danaie等提出了一种新的双耦合腔波导技术，它可以实现两种正交简并谐振模式，其中包括水平和垂直耦合的洞，从而使得光子晶体器件的设计具有更多的可能性。通过使用腔耦合矩阵，我们发现它能够有效地设计出超小型慢光光子晶体的光学延迟线。为了更好地理解这种结构，我们使用了PWE和FDTD。1.3.4光子晶体谐振腔 JR.HenDrickson提供的2×2马赫曾德尔光开关的模拟实验表明，干涉仪的各臂均采用耦合谐振光波导，并且谐振器采用1-d光子晶体纳米光束腔，而控制器则采用集成加热垫，以改善其光学性能，从而改善其光学特性。通过对耦合腔器件和单独的谐振腔的对比，我们可以看到，在CT检查中，这两种腔器件的表现都得到了提升1.4仿真工具RSOFT简介 Rsoft是一款美国新思科技（Synopsys）R&D的模拟工具，包含了BeamPROP、FullWAVE、BandSOLVE、GratingMOD、DiffractMOD、FemSIM和ModePROP等四大功能模块，能够帮助用户创建出各种复杂的波导、光路和其他光学元素，同时还能够为这些元素的材质和结构几何进行准确的描述。在这篇文章里，我们采用了BandSOLVE和FullWAVE两个模块，前者可以对光子晶体的结构进行精确的调节，并且可以分辨出它们的能带特性和多个等效的信号；而后者则提供了一个完整的、可以对多个光学元素进行有限时域差分分析的解决方案，以便更好地理解普通的光束传输过程1.5本文的结构本文论述了光子晶体的两大效应：负折射效应与慢光效应。通过具体设计了两种理想二维晶格——正方晶格与三角晶格，验证了负折射效应并论述了具体实际应用思路，在正方晶格的基础上破坏了周期晶格，引进了线缺陷，通过仿真能带图验证了慢光效应，论述了应用思路。全文共分为4章，内容具体为：第一章绪论简要介绍了光子晶体的发展历程和平面波展开（PWE）基本模拟运算方法及其部分改良——基于Ho等人的PWE与引入了等效介质理论的PWE，简单介绍了光子晶体负折射现象与慢光效应的原理基础和实验仿真软件Rsoft，最后介绍了本文的结构。第二章光子晶体负折射效应通过回顾负折射材料的发展历程引出了光子晶体的研究发展，介绍了光子晶体实现负折射的原理，通过仿真正方晶格与三角晶格这两种二维晶格验证了其原理，并介绍了光子晶体的正负折射效应以及基于关于光子晶体的负折射现象、正负折射现象的实际应用。第三章光子晶体慢光效应介绍了慢光效应的原理与基础知识，总结了目前慢光效应的研究现状与目前的研究难点，并基于正方晶格引入线缺陷，通过仿真验证了其原理，介绍了慢光效应的实际应用第四章总结与展望总结了个人在毕业设计中学会的知识与本文的主要工作，对光子晶体的未来发展作出了展望。102光子晶体能带分布计算基础理论2.1研究现状概述通常平面波展开法有两种，一种是传统的平面波展开法，一种是Ho等人提出的更为繁复的平面波展开法。尽管该方法能够精确计算出光子晶体中的缺陷模式以及波导中的本征模式，但其收敛速度较传统的平面波方法有所提高，但仍然不能满足工程应用的要求。当前，学者们一致认为，虽然可以帮助等效介质理论可以作为一种有效的手段来处理非连续介质的物理问题，而且，它的运用可以显著提高平面波展开法的效率。然而，Ho等人的方法仅仅可以在第一个波段获得较高的效率，而第二个波段的效率却相对较低。通过引入等效介质理论，能够在各能带表现出良好的收敛性。2.2平面波展开法2.2.1常规平面波展开法在只有一维的光子晶体中，由两种不同介电常数的介质材料构成，并在x轴上呈周期性地排列。这种结构存在着E偏振和H偏振两种电磁模式，前一种有E=Eyy而后一种有E=Eyy。如果电磁波只在x轴上传输，则Ex=0，E偏振和H偏振两种模式简并光子晶体的H偏振模式场可用如下Maxwell方程组描述:iββ代表了沿z方向的传播常数，ε0表示真空介电常数，μ0表示真空磁导率。将相对介电常数Ex,y和Hz进行ε=这里qm=2πm/Λ,Λ是光子晶体的周期长度。通过把上述公式代入等式（1a）-（1c）中，我们可得以下的公式:β在这里，向量U定义为U=（…，u-m，…，u0，…，um，…）；向量Sx和Sz的定义与U类似。矩阵K和E的定义相似，其分别定义为Km,n=(qm+KE2.2.2Ho基础上的常规平面波展开法通过傅里叶变换，将方程（1b）和（1c）的两边除以ε函数，我们可以获得一个具有本征值的方程，它的形式是：KAK+此处有矩阵Am,n=am-n,ai表示为周期函数1/ε的Fourier级数展开系数。Ho等学者提出无穷矩阵A=E-1,并借此构建了相应的方程,从而提高了传统的平面波展开法的收敛性。需要注意,由于ε本身并不是个完整的连续函数,因此无穷矩阵A≠E-1，仍然存在介质常数的间断问题。2.2.3等效介质理论在平面波展开的应用目前的平面波展开法在计算三维光子晶体的光子带隙及其缺陷模和波导本征模时经常面临着严重的收敛性或计算精度问题。通过平面波展开法计算能带时，其收敛性差的根本原因是光子晶体介质交替排列，介电常数分布并非连续函数。因此，目前的学者普遍认可通过将等效介质理论引入平面波展开法中能够解决不连续介电常数分布这一物理问题，大大提高其收敛性通过等效介质理论，我们可以将一个光子晶体结构的周期单元[-Λ/2，Λ/2]均匀地划分为2N+1个小区域,把每个小区域Em(m=-N,-N+1,…,0,…,N-1,N)作为参照，Em(m=-N,-N+1,…,0,…,N-1,N)等小区域的介电特性用等效介电张量来表示，而这些张量用该小区域的中心场来表示，从而实现等效介质理论的应用。小区域的介电性质可用如下等效介电张量来表示：ε在小区域内，ε⊥m=ε1ε2/(f1,mε2+f2,mε1),ε∥m=f1,mε1+f2,mε2,f1,m和f2,m分别为小区域m内介质ε1和ε2的填充率,有f1,m+f2,m=1.磁场Hy是一个连续函数,我们可以通过用有限个平面波来近似描述它,即：H将(5)式代入(1b)和(1c)式,可求得E用平面波拟合Ex和Ez,即：E则有R将(7)方程代入(1a)方程,我们就可以得到一个新本征值方程：KA在此,向量U和矩阵K的定义保持不变,而矩阵A′和A″各自定义为：A这里i,j=-N,-N+1,…,0,…,N-1,N;qi-j=2π(i-j)/Λ,xm=mΛ/(2N+1)。2.2.4超晶胞概念在平面波展开的应用由于常规的平面波展开只能用于计算完美的光子晶体的能带计算，对于引入了缺陷的光子晶体的能带计算结果精准度相差很大。因此，通过引入超晶胞概念，将光子晶体视为含有缺陷的晶胞结构的周期性重复，可以极大的改善计算精度。以典型的线缺陷三角晶格光子晶体与耦合腔正方晶格光子晶体为例，其超晶胞结构如图2.1所示。图2.1（a）线缺陷三角晶格光子晶体和（b）线缺陷三角晶格光子晶体假定晶格常数为a,晶胞宽度为ma而宽度为na,其基本晶格的矢量则可以写为：a由晶格基矢与倒格子基矢的对应关系aib介电常数的傅里叶展开系数为：ε=式中，Ac为晶胞面积，有Ac=mna2,S(r)是结构参数。将超晶胞内的积分用每个晶格单元的积分和代替，可以得到：ε式中J为一阶贝塞尔函数，N是超晶胞中基本晶格单元的数目，f=Aholes/Ac是晶格的填充因子，即超晶胞中所有介质柱（空气孔）的面积和与超晶胞总面积之比。通过把超晶胞概念引入平面波展开计算能带结构中，只要能够确定合适结构的光子晶体超晶胞，就可以精准计算处结果。2.3有限时域差分法(Finite-DifferenceTime-Domain，FDTD)1996年，K.S.Yee首先指出了一个全新的方法时域有限差分法，它可以有效地处理电磁性的变形，即以一组差分方程的形式，从而实现从空间到时间的分析，从而更好地描述电磁性的变形。Yee元胞是一个新型的抽取方法，它的特性是它的四个分子在四个方向上相互作用，形成了一个完整的网络结构，从而使得它既满足了物理学的基本原理，又满足了麦克斯韦方程组的差分计算，从而更加精细地捕捉到了电磁波的传播特性。在研究波导本征模和光子晶体的局部态方面，FDTD方法有很大的优势，因为它基于麦克斯韦方程。麦克斯韦方程能够更准确地描述电磁波的传播规律，所以FDTD方法会具备更强的准确度。除此之外，FDTD方法还具备良好的适应能力，可以解决各种形状、不均匀介质中的电磁散射和辐射的研究。利用有限时域差分法，可方便地刻画出随时间推移而产生的电磁场变化。利用虚拟图像，我们可以更加直观的展现出这种改变。此外，FDTD法的优点是能较好地对电磁场进行时间域描述。这是由于在时域中做有限差分操作时，不必逐个地去处理每一步骤中的各个点。在此基础上，利用微分方程组中某些参数的变化，对计算区内的磁场进行了有效的调节，使其与真实环境更为吻合。。FDTD方法的基本原理是对空间电磁场的E、H分量在空间和时间上采取交替抽样的离散方式。每1个E（或H）有4个H（或E）场分量环绕。在对这些场分量进行离散时，我们通过一个特殊的FDTD结构来实现这一目的。这个特殊的FDTD结构由一个中心激励源、4个FDTD边值条件和4个离散时间步进电流组成。该结构的每个时间步进电流都被分配到一个新的时间节点。在每个新的时间节点，该激励源被施加到麦克斯韦方程组中。这个激励源所施加的场分布，与已知场分布之间的差，就是该激励源产生的场分量，这些场分量又被加到每个新的时间节点。在每个新的时间节点，FDTD边值条件被应用到电磁场方程中去，并通过一组差分方程来表示其边界条件，在时间轴上逐步地求解空间电磁场。FDTD方法的核心思想是将麦克斯韦方程在时间和空间上进行离散化，用差分方程替代一阶偏微分方程。3光子晶体负折射效应3.1光子晶体负折射效应的判定方法光子晶体的负折射效应是由于它们的带隙边缘的特殊色散现象造成的。这种现象使得光子晶体的折射率变得非常复杂，并且随着入射角度的变化而变化。因此，在研究光子晶体的折射情况时，不仅需要能带图，还需要等频图来进行判断。能带图中的横坐标对应布里渊区的三个对称点Γ、M、K，纵坐标为归一化频率的大小。若是在以Γ为中心沿ΓM或ΓN方向上，某一条能带呈现出频率随着波矢的增加而减小的情况，则在这条能带的频率段有可能出现负折射效应。进一步需要根据能带的等频图来帮助判断。可知，在正折射率的同向性的等均匀介质当中，波矢k的方向与群速度Vg相同，而在负折射率介质中两者方向相反。通过推导出波矢与群速度的方向，观测其相同还是相反就能得出其折射率为正或者为负。 由于群速度Vg方向是光能的传播方向，因而群速度方向应该指向由Vg=∇kω可知，3、光在折射时，波矢k切向分量守恒;4、根据以上规则确定群速度Vg根据这些规则，如图3.1所示，假定光线从空气射至光子晶体内，我们就以入射光的起始位置做一个等频率圆，在这个等频率圆内，光波的频率不会受到外界环境的影响，并且假定光波在光子晶体的等频面也为一圆形，并且随着波矢距离圆心的增加其频率也相应增加；通过切向分量守恒定理假定在晶体中存在两个可能的波矢k2和k3，它们的群速度方向应远离光源并且与等频面相垂直。通过上述规则可以推导出两个波矢的群速度Vg3和Vg2的方向。由图可见，只有Vg2的方向符合指向要求，因此为光线实际方向；且由于波矢与群速度的方向相反， 在实际情况中，往往由于光子晶体的等频面形状有着凸、凹不同的情况，会使得假定的两个波矢的群速度方向存在不同，而非如例子中均与波矢反向的情况。要判断实际的光线情况，再判断在此处的折射率为正或负。图3.1利用等频法判断光子晶体的负折射效应3.2二维光子晶体的仿真与结果3.2.1二维正方晶格光子晶体的仿真与结果利用Rsoft软件计算正方晶格光子晶体TE模的能带结构和等频率面。本文使用了将Si做背景介质做空气孔以及将Si作介质棒两种晶体结构，空气棒与介质棒均视为无限长。取入射光线波长为2.5um，此情况下硅的折射率为3.446。取晶格常数为0.6um，空气孔与介质棒半径均为0.18um，入射光束为高斯光束，如图3.2所示图3.2正方二维晶格光子晶体排列图图3.3（a）与图3.3（b）分别为Si做背景介质与Si做介质棒的情况下的TE模式的能带图，计算时使用平面波展开，只计算八个能带。图3.3（a）Si做背景介质时光子晶体前八能带结构图图3.3（b）Si做介质棒时光子晶前八能带结构图从图2.3（a）可以看出，第二能带在沿ΓM方向上随着波矢k增大而归一化频率降低，在图2.4(b)中可以看出第五能带在沿ΓM方向上随着波矢k增大而归一化频率降低。借由等频法判断，在这两个方向上是有可能发生负折射效应的。为使仿真结果较为清晰且选取中心频率更能看出光线在此处的折射情况，选择Si做背景介质时，第二能带（频率范围为0.231—0.2576），其等频图如图3.4所示，可见其符合等频法中，负折射效应的判断规则。图3.4Si做背景介质时第二能带的等频图选取中心频率0.2443，通过FullWAVE仿真验证光线的折射情况，如图3.5所示，证明其的确发生了负折射效应。图3.5Si做背景介质时第二能带下的负折射效应3.2.2二维三角晶格光子晶体的仿真与结果与正方晶格光子晶体的仿真参数相同，本文使用了将Si做背景介质做空气孔以及将Si作介质棒两种晶体结构，空气棒与介质棒均视为无限长。取入射光线波长为2.5um，此情况下硅的折射率为3.446。取晶格常数为0.6um，空气孔与介质棒半径均为0.18um，入射光束为高斯光束，如图3.6所示：图2.6三角二维晶格光子晶体排列图图3.6（a）与图3.6（b）分别为Si做背景介质与Si做介质棒的情况下的TE模式的能带图，计算时使用平面波展开，只计算八个能带：图3.6（a）Si做背景介质时光子晶体前八能带结构图图3.6（b）Si做介质棒时光子晶体前八能带结构图3.3光子晶体的正负折射、双负折射效应光子晶体负折射效应本身的复杂性使得在研究时相对困难。通过等频法固然极大方便了研究负折射效应，为判断是否形成负折射提供了依据，然而由于光子晶体中的局域化等多种效应，这种判断方法并非是百试百灵，依旧需要具体分析晶体中光线的传播才能得到可靠的判断。而在研究能带图时，我们不难发现光子晶体当中的部分能带出现了重合情况。在重叠部分，又因为两者波矢量不同，使得折射具有不同的相速度与群速度，这说明了在这一频率下的光波可能会对应多种折射率从而实现存在多条折射光线的情况。在这一基础上，通过调制光子晶体的折射率，可以实现光线同时发生负折射与正折射现象或者出现实现两种不同负折射率的折射光线。通过使用折射的不同类型，我们可以创造出不同的光学器件。例如，通过使用双负折射，我们可以实现光学双聚焦成像，并在光学全息技术中进行波前分割与干涉。这些技术都为光学研究带来了巨大的改变，并为光学器件的发展做出了重要贡献。3.4光子晶体负折射的实际应用3.4.1低通滤波研究人员曹始明等人发现，二维三角格光子晶体具有独特的特性。他们将空气柱按照三角晶格的形式排列，其中半径为0.40a，介电常数为10.5。晶格常数a被用来表示这些晶体的特征，而所有的归一化频率都被转换成ωa/2πc。图2.7表明，在归一化频率方面，它的表现十分出色最新的研究发现，当归一化频率升高时，等频线的轮廓会逐渐接近γ，并且会呈现出完全的等值线梯度，从而使得光子晶体的负折射率得以实现。由此可见，当等值线梯度接近γ时，其所代表的传播模型的等频线会朝着与其相反的方向发展。经过研究发现，当归一化频率介于0.325~0.385之间时，具有较高Γ值的入射波会受到低通空间滤波器的负折射，从而达到完整的反射效果。图3.7光子晶体的等频图3.4.2NR-PC平板透镜NR-PC平板透镜拥有卓越的负折射效果，使得它可以获得更加清晰的“点源成点像”》图像，从而可以更好地满足近距离的图像处理需求，与传统的远距离透镜相比，它可以显著提高图像的清晰度，从而更好地满足“点源成点像”图片的要求。2011年，徐阳等人提出的两种NR-PC平板，采用归一化的中心频率f.=0.3068的点发射光源，通过仿真建模，证明负折射PC具有良好的自聚焦特性，而且与板间距S的变动无明显的相关，因此，这种技术具有较高的分辨率，并且具有较强的近场完美成像效果，因此，它的应用范围将会变得更加广阔。3.5本章小结本章介绍了光子晶体负折射研究的发展过程及产生原理，通过仿真验证了等频法，并介绍了光子晶体正负折射与双负折射，举例说明了负折射效应的具体应用。

4光子晶体慢光效应4.1慢光效应的原理4.1.1慢光的概念当角频率ω被折射到具有n折射率的介质中时，单色平面波的传播方程可以用下列公式来描述：：E（z,t）=A×其中，k=nω/c，c为光速，c.c为共轭复数。如果将相速用vp表示，并将相位Ф=kz−ωt设置为kz−ωt，那么当相位相同的点在时间间隔∆t内移动的距离为∆z时，就会出现以下情况：k∆z=ω∆t因而可以推得相速vpv在色散介质中，单色波的相速通常是固定的，但它们的长度可能不会无限增加。因此，我们可以将这些单色波组合成一列波，这些波被称为波包，它们可以提供更多的信息，从而更好地描述物体的特性。当光波穿过介质时，由于其波长的差异，它们的相速度也会发生变化，从而导致整个波包的形状也随之改变。这种由单一波长的光波组成的包络，其最大的位置移动的速度被称为vg，它是由介质中的其他波长的光波组成的。对光脉冲而言，群速度vgv对上式取倒数可得：c即：n由上述式子可知，仅有当dn/dω＞0时，群折射率高于介质折射率，导致群速度减小。并且可以发现，群速度依赖于色散dn/dω，通过选择适合的质材料，使其折射率在入射光线为一定的频率范围内时强烈变化，即可实现慢光效应。4.1.2慢光效应理论如果在光子晶体中引入线缺陷从而破坏光子晶体中的周期介电函数，会使导致光子晶体的带隙中出现缺陷。这种现象可以通过调制光子晶体的结构来改变，使光子晶体更符合目标功能慢光效应的原理有全反射与后向散射两种，如图4.1所示。如果一束光波和光子间隙内的倒模具有相同的波长，光波在晶体中传播时会在晶格处产生向后散射的后向波，并且与传播光波具有相同的频率、振幅，相干的振动方向以及稳定的相位差，而在布里渊区的边缘，由于正向传播的入射光波与反向散射的后向波在相位和振幅上都有很好的匹配，二者互相干扰，产生了一个群速为0的驻波。但随着入射光波矢的距离越来越远，两个光束之间虽然也会发生干涉，但不会在布里渊区形成驻波，反而会在波矢方向上形成向前传输的干涉模式，群速也会降低从而形成慢光。图4.1（a）所示，光线在缺陷波导中进行传输时产生了后向散射，在布里渊区边缘处两波的相位与振幅匹配产生了驻波。在偏离布里渊区边缘处两波依然能够发生干涉现象，降低了群速度。图4.2（b）所示，由于光子晶体的带隙特性，光线在缺陷态波导中以某角度k传播时发生反射，使得光程增加从而令光速降低。这是通过全反射的方法来获取慢光。图4.1光子晶体中形成慢光的两种原理4.2光子晶体慢光效应的仿真结果与分析为了更好观测到引入缺陷后光子晶体的能带结构变化，我们需要使完美光子晶体带隙尽可能的宽。通过平面波展开法对介质棒二维正方晶体的周期仿真，发现当介质棒的半径为0.20a时有着最大的禁带宽度。利用Rsoft设计四方结构的空气衬底Si介质棒，其中完美介质棒半径r1=0.2a，缺陷介质棒半径r2=0.12a,a为晶格常数，空气的相对介电常数为1，Si介质棒的相对介电常数为11.56，其晶体结构如图4.2所示：图4.2光子晶体线缺陷结构使用Rsoft中的BandSOLVE模版计算线缺陷光子晶体的能带图，其中使用平面波展开法，光的偏振假定为TE模式，计算前十六个能带，其结果如图4.3所示。图4.3线缺陷光子晶体能带结构图从图中可见，线缺陷光子晶体仅在归一化频率为0.263—0.351仅存在一条能带，这是引入线缺陷所导致的。已知群速度Vg=dω/dk，利用将此晶体能带的数据文件借助MATLAB进行绘图，其中群指数ng(ω)图4.4线缺陷光子晶体波导的群速度和群指数曲线从图中可得知在频率为0.32处获得最大的群速度，约为0.30c，然后群速度随着远离此频率而变小，在布里渊区边缘处几乎为0。4.3光子晶体慢光效应的实际应用4.3.1光子晶体慢光在光存储中的应用初步的慢光试验采用了在冷凝物和“bose-einstein”冷凝体中最佳观测到的电磁自感透明（EIT）。这是一个很好的介质基础研究，但在实践中并没有什么实际意义。目前，人们正致力于在固体体系（例如半导体、光纤等）中，通过与电磁自感透明（EIT）体系相似的方法