湖南省怀化市九溪江中学2022年高二数学文下学期摸底试题含解析

湖南省怀化市九溪江中学2022年高二数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线y=上点P的纵坐标是4，则其焦点F到点P的距离为(

)A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；数形结合；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点P到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案．【解答】解：依题意可知抛物线化为抛x2=4y，抛物线的准线方程为y=﹣1，∴点P到准线的距离为4+1=5，根据抛物线的定义可知点P与抛物线焦点的距离就是点P与抛物线准线的距离，∴点A与抛物线焦点的距离为5，故选：C．【点评】本题主要考查了抛物线的定义的运用．考查了学生对抛物线基础知识的掌握．属基础题．2.曲线在点（e,e）处的切线与直线垂直，则实数的值为()A.－2

B.2

C.

D.－参考答案：B3.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l?βB．若l∥α，α∥β，则l?βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β参考答案：C考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l⊥α，α⊥β，则l?β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l?β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α?a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．4.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.若实数满足则的最小值是(

)A．0

B．

C．1

D．2参考答案：A6.若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D7.下列命题：①命题“若，则”的逆否命题：“若，则”②命题，则③“”是“”的充分不必要条件。④若为真命题，则均为真命题其中真命题的个数有（

）A．4个

B．3个

C．2个

D．1个参考答案：B8.下列函数中，满足“f（mn）=f（m）+f（n）”的函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=x2 C．f（x）=2x D．f（x）=lgx参考答案：D【考点】函数的值．【分析】根据对数函数的性质判断即可．【解答】解：∵lgmn=lgm+lgn，∴满足“f（mn）=f（m）+f（n）”，故选：D．9.已知原命题：“若，则关于的方程有实根，”下列结论中正确的是（

）A．原命题和逆否命题都是假命题

B．原命题和逆否命题都是真命题

C．原命题是真命题，逆否命题是假命题

D．原命题是假命题，逆否命题是真命题参考答案：B10.已知，则（）A.4 B.2 C.1 D.8参考答案：C【分析】先求导数，代数数据1，计算，再代入数据2计算【详解】故答案选C【点睛】本题考查了导数的计算，意在考查学生的计算能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，则l1与l2的位置关系是

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参考答案：平行略12.过点作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B．若直线AB恰好经过椭圆的焦点和上顶点，则椭圆方程为．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】方法一：利用圆的方程相减即可得出两圆相交的交点所在的直线的方程，进而得出椭圆的焦点、顶点，再利用椭圆的性质即可得出方程．方法二：易知直线x=1是圆的一条切线，即可得出切点为A（1，0）；设另一条切线的斜率为k，则切线方程为，利用切线的性质和点到直线的距离公式可得圆心（0，0）到切线的距离d=r，可得斜率k，进而得到切线方程和切点．【解答】解：方法一：设点P，O（0，0）．则以线段OP为直径的圆的方程为：．与方程x2+y2=1相减得．令x=0，得y=2；令y=0，得x=1．∴焦点为（1，0），上顶点为（0，2）．∴c=1，b=2．a2=b2+c2=5．∴椭圆的方程为．方法二：易知直线x=1是圆的一条切线，切点为A（1，0）；设另一条切线的斜率为k，则切线方程为，化为2kx﹣2y+1﹣2k=0，则，解得，得切线方程为3x+4y﹣5=0．联立解得切点B．∴直线AB的方程为：2x+y﹣2=0．以下同方法一．13.实数x，y满足x2+y2﹣4x+3=0，则的最大值是．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】圆即（x﹣2）2+y2=1，而表示圆上的点（x，y）与原点O连线的斜率，显然，当过原点的直线和圆相切时，斜率取得最值．由于OA=2AN=2AM，故有∠NOA=∠MOA=30°，故ON的斜率等于tan30°=，为所求的最大值．【解答】解：x2+y2﹣4x+3=0即（x﹣2）2+y2=1，表示以A（2，0）为圆心，半径等于1的圆．而表示圆上的点（x，y）与原点O连线的斜率，如图所示：ONOM为圆的两条切线，显然，当过原点的直线和圆相切时，斜率取得最值．由于OA=2AN=2AM，故有∠NOA=∠MOA=30°，故ON的斜率等于tan30°=，为最大值，故答案为：．【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线的斜率公式，直线和圆的位置关系，属于中档题．14.已知函数的定义域和值域都是则实数的值是

。参考答案：2略15.在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝_____参考答案：2

16.观察下列等式： 13+23=32=（1+2）2 13+23+33=62=（1+2+3）2 13+23+33+43=102=（1+2+3+4）2 … 据此规律，第n个等式可为

． 参考答案：13+23+33+…+（n+1）3==[1+2+3+…+（n+1）2【考点】归纳推理． 【专题】推理和证明． 【分析】左边是连续自然数的立方和，右边是左边的数的和的立方，由此得到结论． 【解答】解：∵13=1 13+23=9=（1+2）2， 13+23+33=36=（1+2+3）2， 13+23+33+43=100=（1+2+3+4）2， … 由以上可以看出左边是连续自然数的立方和，右边是左边的数的和的立方， 照此规律，第n个等式可为：13+23+33+…+（n+1）3==[1+2+3+…+（n+1）2． 故答案为：13+23+33+…+（n+1）3==[1+2+3+…+（n+1）2 【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 17.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(1)从0，1，2，3，4，5这六个数字任取3个，问能组成多少个没有重复数字的三位数？

(2)若（x6+3）（x2+）5的展开式中含x10项的系数为43，求实数a的值．

参考答案：（1）解：从0，1，2，3，4，5这六个数字任取3个，

能组成没有重复数字的三位数的个数是

?=5×5×4=100

（2）解：（x6+3）（x2+）5=x6+3，

且二项式展开式的通项公式为

Tr+1=?x2（5﹣r）?=?x10﹣3r?ar；

令10﹣3r=10，解得r=0，

∴其展开式中x10的系数为?a0=1；

令10﹣3r=4，解得r=2，

∴其展开式中x4的系数为?a2=10a2；

故所求展开式中含x10项的系数为

10a2+3×1=43，

解得a=±2

【考点】二项式系数的性质

【分析】（1）可用分步原理求解，第一步排首位，从非零数字中选一个，有种不同方法；第二步排后两位，从余下的5个数字中选2个排列即可；（2）化（x6+3）（x2+）5=x6+3，

利用展开式的通项公式求出x10的系数和x4的系数，

即可得出所求展开式中含x10项的系数，列方程求出a的值．

19.在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求切点A的坐标及过切点A的切线方程，先求切点A的坐标，设点A的坐标为（a，a2），只须在切点处的切线方程，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而得到切线的方程进而求得面积的表达式．最后建立关于a的方程解之即得．（2）结合（1）求出其斜率k的值即可，即导数值即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：（1）如图示：，设点A的坐标为（a，a2），过点A的切线的斜率为k=y'|x=a=2a，故过点A的切线l的方程为y﹣a2=2a（x﹣a），即y=2ax﹣a2，令y=0，得x=，则S=S△ABO﹣S△ABC=﹣（??a2﹣x2dx）=﹣==，∴a=1∴切点A的坐标为（1，1），（2）由（1）得：A的坐标为（1，1），∴k=2x=2，∴过切点A的切线方程是y=2x﹣1．20.如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．（Ⅰ）求证：AB1⊥CC1；（Ⅱ）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，证明CC1⊥OA，CC1⊥OB1，得到CC1⊥平面OAB1，即可证明CC1⊥AB1．（Ⅱ）以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，求出C，B1，A，求出平面CAB1的法向量，平面A1AB1的法向量，通过向量的数量积求解二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．取CC1中点O，连OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1．…（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA=OB1=，又AB1=，所以OA⊥OB1．如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，则C（0，﹣1，0），B1（，0，0），A（0，0，），…设平面CAB1的法向量为=（x1，y1，z1），因为=（，0，﹣），=（0，﹣1，﹣），所以取=（1，﹣，1）．…设平面A1AB1的法向量为=（x2，y2，z2），因为=（，0，﹣），=（0，2，0），所以取=（1，0，1）．…则cos＜＞===，因为二面角C﹣AB1﹣A1为钝角，所以二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值为﹣．…21.已知函数（1）若，是否存在，使得为偶函数，如果存在，请举例并证明，如果不存在，请说明理由；（2）若，判断在上的单调性，并用定义证明；（3）已知，存在，对任意，都有成立，求a的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）.【分析】（1）将代入证明为偶函数即可。（2）代入，先判断函数为单调递减函数，再根据定义法代入作差即可证明为单调递减函数。（3）去绝对值化简不等式，根据全称命题与特称命题的成立关系可得，分两段不等式求解即可。【详解】（1）存在使为偶函数，此时：，证明：的定义域为关于原点对称，且为偶函数。（2），且