2022年湖南省郴州市杨梅山中学高二数学文期末试题含解析

2022年湖南省郴州市杨梅山中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1

B．1

C．3

D．－3

参考答案：B2.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如表列联表：

感染未感染总计服用104050未服用203050总计3070100附表：P（K2＞k）0.100.050.025k2.7063.8415.024参考公式：K2=（n=a+b+c+d为样本容量）参照附表，下列结论正确的是（）A．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”B．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”C．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”D．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”参考答案：A【考点】独立性检验的应用．【分析】计算观测值，与题目中的观测值表进行比较，即可得出预测结论．【解答】解：由题意算得，k2=≈4.762＞3.841，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．故选：A．3.定义为n个正数p1，p2，…pn的“均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又，则=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】类比推理．【专题】新定义；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由已知得a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn，求出Sn后，利用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可求得通项an，最后利用裂项法，即可求和．【解答】解：由已知得，∴a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1，验证知当n=1时也成立，∴an=4n﹣1，∴，∴∴=+（）+…+（）=1﹣=．故选C．【点评】本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．4.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若，平行于同一平面，则与平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若，不平行，则与不可能垂直于同一平面参考答案：D由，若，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故不正确；由，若，平行于同一平面，则，可以平行、重合、相交、异面，故不正确；由，若，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于，交线的直线；由项，其逆否命题为“若与垂直于同一平面，则，平行”是真命题，故项正确.所以选D.考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.5.用数学归纳法证明：“”在验证时，左端计算所得的项为（

）A．1 B． C． D．参考答案：C6.的展开式中的常数项为（

）A.－12 B.－6 C.6 D.12参考答案：C【分析】化简二项式的展开式，令的指数为零，求得常数项.【详解】二项式展开式的通项为，令，故常数项为，故选C.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式中的常数项，属于基础题.7.抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为（）A． B． C．4 D．﹣4参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】把抛物线的方程化为标准方程，找出标准方程中的p值，根据p的值写出抛物线的准线方程，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：由y=ax2，变形得：x2=y=2×y，∴p=，又抛物线的准线方程是y=1，∴﹣=1，解得a=﹣．故选B8.已知函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，若f（﹣3）+g（3）=2，f（3）+g（﹣3）=4，则g（3）等于（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】利用函数的奇偶性的性质，化简已知条件通过解方程求解即可．【解答】解：函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，若f（﹣3）+g（3）=2，f（3）+g（﹣3）=4，可得﹣f（3）+g（3）=2，f（3）+g（3）=4，解得g（3）=3．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查计算能力．9.在△ABC中，a=3，b=5，，则sinB等于（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：D10.已知集合，，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，A，B分别是椭圆的右、上顶点，C是AB的三等分点（靠近点B），F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且MF⊥OA，则椭圆的离心率为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（a，0），B（0，b），F（c，0），椭圆方程为+=1（a＞b＞0），求得C和M的坐标，运用O，C，M共线，即有kOC=kOM，再由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设A（a，0），B（0，b），F（c，0），椭圆方程为+=1（a＞b＞0），令x=c，可得y=b=，即有M（c，），由C是AB的三等分点（靠近点B），可得C（，），即（，），由O，C，M共线，可得kOC=kOM，即为=，即有b=2c，a==c，则e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线的有关知识，考查运算能力，属于中档题．12.如图，△是⊙的内接三角形，是⊙的切线，交于点，交⊙于点．若，，，则

参考答案：8

略13.双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若在C上存在一点P，使得PO=|F1F2|（O为坐标原点），且直线OP的斜率为，则，双曲线C的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意可知|PO|=|F1F2|判断出∠F1PF2=90°，直线OP的斜率为，可求出出|PF2|=c，则|F1P|=c，进而利用双曲线定义可用c表示出a，最后可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵|PO|=|F1F2|，∴|OF1|=|OF2|=|OP|∴∠F1PF2=90°，∵直线OP的斜率为，∴tan∠POF1=，∴cos∠POF1=由余弦定理可得|PF1|2=c2+c2﹣2c2?=c2，即|PF1|=，同理可得|PF2|=，∴﹣=2a，∴=∴e=．故答案为：【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用，属于中档题．14.已知，则的最大值是

.参考答案：1015.如果执行右边的程序框图，则输出的S=

参考答案：255016.已知椭圆和圆，若上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为，，满足，则椭圆的离心率的取值范围是

．参考答案：17.在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝（图中圆圈表示珠宝）构成如图1所示的正六边形，第三件首饰如图2，第四件首饰如图3，第五件首饰如图4，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第7件首饰上应有_______颗珠宝。参考答案：91三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，是双曲线C：，（a>0,b>0）的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点，若,则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．2

D．参考答案：A略19.在中，角对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值.参考答案：解：（1）又.(2)，又，，

，即20.顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l：y=2x+1与抛物线相交于A，B两点，求AB的长度．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线的标准方程；（2）直线l：y=2x+1与抛物线联立，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求AB的长度．【解答】解：（1）由题意，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2，可知p=2．…∴抛物线标准方程为：x2=4y…（2）直线l：y=2x+l过抛物线的焦点F（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AB|=y1+y2+p=y1+y2+2…联立得x2﹣8x﹣4=0…∴x1+x2=8…∴|AB|=y1+y2+2=2x1+1+2x2+1+2=2（x1+x2）+4=20…21.（本题满分14分）设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.参考答案：、(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞) f′(x)－0＋f(x)2(1－ln2＋a)故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.22.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，点P（，）在C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）与圆x2+y2=b2相切的直线l与C交于不同的两点M，N，当|MN|=时，求直线l的斜率．

参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）±1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意得到a，b的关系，得到椭圆C的方程为．把点P（，）代入求得b2=1，进而得a2=3，则椭圆方程可求；（Ⅱ）若直线l的斜率不存在时，不妨设l的方程为x=1，代入，求得|MN|=≠，不合题意．若直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，由题意，有得到m与k的关系．联立直线方程和椭圆方程，由弦长公式得到|MN|=，解方程求得k的值．解答：解：（Ⅰ）由题意，有e2=1﹣=，得a2=3b2，即椭圆C的方程为．∵点P在C上，将点P（，）的坐标代入，得b2=1，进而a2=3，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）当直线l的斜率不存