2024年初中升学考试模拟测试湖南省衡阳市衡南县中考数学一模试卷

第1页（共1页）2023年湖南省衡阳市衡南县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）﹣2的绝对值是（）A． B．﹣ C．2 D．﹣22．（3分）下列计算正确的是（）A．＝±4 B．（﹣2）0＝1 C．+＝ D．＝33．（3分）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．38，39 B．35，38 C．42，39 D．42，354．（3分）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：45．（3分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．16．（3分）某地区准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．127．（3分）下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角 B．对角线相等的四边形是矩形 C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等8．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠AOB＝128°，则∠P的度数为（）A．32° B．52° C．64° D．72°9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A． B．2 C．2 D．410．（3分）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5） C．该函数有最大值，最大值是5 D．当x＞1时，y随x的增大而增大11．（3分）将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y＝2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（）A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣812．（3分）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a﹣b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点坐标是（2，0）；③7a+c＞0；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根；⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y2＜y1．其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）13．（3分）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是．14．（3分）已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝．15．（3分）一个圆锥的底面直径是8cm，母线长为9cm，则该圆锥的侧面积为cm2（结果保留π）．16．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为．17．（3分）如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+6x+c的图象上，那y1，y2，y3之间的大小关系是．18．（3分）如图已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An作x轴的垂线交二次函数y＝x2（x＞0）的图象于点P1，P2，P3，…Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3，…依次进行下去，则S3＝，最后记△Pn﹣1Bn﹣1Pn（n＞1）的面积为Sn，则Sn＝．三.解答题（19，20题，每题6分：21，2，23，24题，每题8分；25题10分；26题12分）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2023．20．（6分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．21．（8分）为庆祝中国共产党成立101周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教育实践活动，我校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动，为了解学生的参与情况，我校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调在．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：（1）这次抽样调查的总人数为人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为；（2）我校约有4500名学生，请你估计选择参加书法的有多少人？（3）学校准备从推荐的4位同学（两男女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．22．（8分）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）23．（8分）由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品，某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元，经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系式为y＝﹣2x+1000．．（1）该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式；（2）若要使每月的利润为40000元并且为了减少库存，销售单价应定为多少元？（3）求该公司每月的最高利润．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OE＝1cm，AC＝4cm，求DC的长（结果保留根号）．25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．26．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝9，E为BC上一点，BE＝4，动点F从点A出发沿射线AB方向以每秒3个单位的速度运动，连DF，DE，EF，过E作DF的平行线交射线AB于点H，设点F的运动时间为t，（不考虑D，E，F在同一直线的情况）（1）当AF＝CE时，试求出BH的长；（2）当△BEF与△BEH相似时，求t的值；（3）当F在线段AB上时，设△DEF面积为S，△DEF周长为W，①求S与t的函数关系式；②直接写出W的最小值．

2023年湖南省衡阳市衡南县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）﹣2的绝对值是（）A． B．﹣ C．2 D．﹣2【答案】C【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解答】解：﹣2的绝对值是2，即|﹣2|＝2．故选：C．2．（3分）下列计算正确的是（）A．＝±4 B．（﹣2）0＝1 C．+＝ D．＝3【答案】B【分析】根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可．【解答】解：16的算术平方根为4，即，故A不符合题意；根据公式a0＝1(a≠0)可得（﹣2）0＝1，故B符合题意；、无法运用加法运算化简，故，故C不符合题意；，故D不符合题意；故选：B．3．（3分）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．38，39 B．35，38 C．42，39 D．42，35【答案】C【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．【解答】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，39，42，42，众数为42，中位数为39，故选：C．4．（3分）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【答案】D【分析】根据相似三角形的判定和性质定理解答即可．【解答】解：在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝＝．故选：D．5．（3分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】B【分析】先根据一元二次方程解的定义得到4+2m+2n＝0，然后利用等式的性质可得到m+n的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，∴4+2m+2n＝0，∴2m+2n＝﹣4，∴m+n＝﹣2．故选：B．6．（3分）某地区准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【分析】在Rt△ABC中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边AC的长度．【解答】解：由在Rt△ABC中，cos∠ACB＝＝，设BC＝4x，AC＝5x，则AB＝3x，则sin∠ACB＝＝；又∵AB＝6m，∴AC＝10m．故选：C．7．（3分）下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角 B．对角线相等的四边形是矩形 C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【答案】D【分析】根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答案．【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；C、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意．故选：D．8．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠AOB＝128°，则∠P的度数为（）A．32° B．52° C．64° D．72°【答案】B【分析】利用切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，然后利用四边形内角和是360°，进行计算即可解答．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠AOB＝128°，∴∠P＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠AOB＝52°，故选：B．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A． B．2 C．2 D．4【答案】C【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝2，故选：C．10．（3分）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5） C．该函数有最大值，最大值是5 D．当x＞1时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．故选：D．11．（3分）将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y＝2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（）A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8【答案】D【分析】先根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式，再列方程组，有公共点则△≥0，则可求出b的取值．【解答】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣1，则，（x﹣3）2﹣1＝2x+b，x2﹣8x+8﹣b＝0，△＝（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，b≥﹣8，故选：D．12．（3分）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a﹣b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点坐标是（2，0）；③7a+c＞0；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根；⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y2＜y1．其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】①利用对称轴方程进行解答；②利用抛物线的对称性质求解便可；③把（2，0）代入二次函数解析式，并把b换成a的对称代数式便可；④根据抛物线抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝2的交点情况解答；⑤根据两函数图象的位置关系解答．【解答】解：①由抛物线对称轴知，x＝﹣，∴2a﹣b＝0，则此小题结论正确；②设抛物线与x轴的另一个交点坐标是（m，0），根据题意得，，∴m＝2，则此小题结论正确；③把（2，0）代入y＝ax2+bx+c得，4a+2b+c＝0，∵x＝﹣，∴b＝2a，∴4a+2×2a+c＝0，∴8a+c＝0，∴7a+c＝﹣a＞0，则此小题结论正确；④由函数图象可知，直线y＝2与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，∴ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，即ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根，则此小题结论正确；⑤由函数图象可知，当﹣4＜x＜﹣1时，抛物线在直线上方，于是y2＜y1．则此小题结论正确．故选：D．二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）13．（3分）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是a≥1．【答案】见试题解答内容【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．【解答】解：根据题意知a﹣1≥0，解得a≥1，故答案为：a≥1．14．（3分）已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝﹣1．【答案】﹣1．【分析】根据根与系数的关系解答．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0中的a＝b＝1，c＝﹣1，∴x1x2＝＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（3分）一个圆锥的底面直径是8cm，母线长为9cm，则该圆锥的侧面积为36πcm2（结果保留π）．【答案】36π．【分析】根据圆锥的侧面积公式S侧＝πrl，把相应数值代入即可求解．【解答】解：根据题意得：．故答案为：36π．16．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为3．【答案】见试题解答内容【分析】根据垂径定理由CD⊥AB得到CH＝CD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3．【解答】解：连接OC，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，∵直径AB＝10，∴OC＝5，在Rt△OCH中，OH＝＝3，故答案为：3．17．（3分）如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+6x+c的图象上，那y1，y2，y3之间的大小关系是y2＞y3＞y1．【答案】y2＞y3＞y1．【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+6x+c的开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝3，∴当x＞3时，y随x的增大而减小，P1（1，y1）关于称轴是直线x＝3的对称点是（5，y1），∵3＜4＜5，∴y2＞y3＞y1．故答案为：y2＞y3＞y1．18．（3分）如图已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An作x轴的垂线交二次函数y＝x2（x＞0）的图象于点P1，P2，P3，…Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3，…依次进行下去，则S3＝，最后记△Pn﹣1Bn﹣1Pn（n＞1）的面积为Sn，则Sn＝．【答案】，．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，求出P1（1，），则根据三角形面积公式计算出S1＝，同样可得S2＝；S3＝，S4＝，所有相应三角形的面积等于分母为4，分子为奇数的分式，从而得到Sn＝．【解答】解：当x＝1时，y＝x2＝，则P1（1，），所以S1＝×1×＝；当x＝2时，y＝x2＝2，则P2（2，2），所以S2＝×1×（2﹣）＝；当x＝3时，y＝x2＝，则P3（3，），所以S3＝×1×（﹣2）＝，同样方法可得S4＝，所以Sn＝．故答案为，．三.解答题（19，20题，每题6分：21，2，23，24题，每题8分；25题10分；26题12分）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2023．【答案】x+1，2024．【分析】根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x+1）2﹣x（x+1）＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，当x＝2023时，原式＝2023+1＝2024．20．（6分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程可化为x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．21．（8分）为庆祝中国共产党成立101周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教育实践活动，我校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动，为了解学生的参与情况，我校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调在．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：（1）这次抽样调查的总人数为200人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为108°；（2）我校约有4500名学生，请你估计选择参加书法的有多少人？（3）学校准备从推荐的4位同学（两男女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．【答案】（1）200，108°；（2）1800人；（3）．【分析】（1）由参加唱歌的人数和所占百分比求出这次抽样调查的总人数，即可解决问题；（2）由该校学生人数乘以参加书法的学生所占的比例即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，恰为一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）这次抽样调查的总人数为：36÷18%＝200（人），则参加舞蹈”的学生人数为：200﹣36﹣80﹣24＝60（人），∴扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为：360°×＝108°，故答案为：200，108°；（2）4500×＝1800（人），即估计选择参加书法有1800人；（3）画树状图如图：共有12种等可能的结果，恰为一男一女的结果有8种，∴恰为一男一女的概率为＝．22．（8分）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）【答案】（1）300m；（2）205m．【分析】（1）通过作辅助线，构造直角三角形，在Rt△ACD中，可求出CD、AD，根据外角的性质可求出∠B的度数，在Rt△BCD中求出BC即可；（2）计算AC+BC和AB的长，计算可得答案．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，∴CD＝AC＝300（m），AD＝AC＝300（m），∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，∴CD＝BD＝300（m），BC＝CD＝300（m），答：景点B和C处之间的距离为300m；（2）由题意得．AC+BC＝（600+300）m，AB＝AD+BD＝（300+300）m，AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）≈204.6≈205（m），答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m．23．（8分）由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品，某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元，经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系式为y＝﹣2x+1000．．（1）该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式；（2）若要使每月的利润为40000元并且为了减少库存，销售单价应定为多少元？（3）求该公司每月的最高利润．【答案】（1）利润w与销售单价x的函数关系式为w＝﹣2x2+1400x﹣200000；（2）要使每月的利润为40000元，销售单价应定为300元；（3）该公司每月的最高利润为45000元．【分析】（1）根据销售利润＝每天的销售量×（销售单价﹣成本价），即可列出函数关系式；（2）令y＝40000代入解析式，求出满足条件的x的值即可；（3）根据（1）得到销售利润的关系式，利用配方法可求最大值．【解答】解：（1）由题意得：w＝（x﹣200）y＝（x﹣200）（﹣2x+1000）＝﹣2x2+1400x﹣200000；∴利润w与销售单价x的函数关系式为w＝﹣2x2+1400x﹣200000；（2）令w＝﹣2x2+1400x﹣200000＝40000，解得：x＝300或x＝400，∵为了减少库存，∴x＝300，故要使每月的利润为40000元，销售单价应定为300元；（3）w＝﹣2x2+1400x﹣200000＝﹣2（x﹣350）2+45000，∵﹣2＜0，∴当x＝350时，w有最大值，最大值为45000，答：该公司每月的最高利润为45000元．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OE＝1cm，AC＝4cm，求DC的长（结果保留根号）．【答案】（1）见解析；（2）cm．【分析】（1）连接OC，推出∠DAC＝∠OCA＝∠CAO，推出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线判定推出即可；（2）首先求得线段AO的长，然后证△AOE∽△ACD，得出比例式，代入求出即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∴∠ADC＝∠OCF，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠OCF＝90°，∴OC⊥CD，∵OC为半径，∴CD是⊙O的切线．（2）∵OE⊥AC，∴AE＝AC＝2cm，在Rt△AOE中，AO＝＝＝cm，由（1）得∠OAC＝∠CAD，∠ADC＝∠AEO＝90°，∴△AOE∽△ACD，∴，即，∴DC＝cm．25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据抛物线的解析式求得B点的坐标，然后根据待定系数法求得直线BC的解析式，可设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，进而表示出EF的长度，则可表示出△CBF的面积，从而可表示出四边形CDBF的面积，利用二次函数的性质，可求得其最大值及此时E点的坐标；（3）可设出P点坐标，从而可表示出PC、PD的长，由条件可得PC＝CD或PD＝CD，可得到关于P点坐标的方程，可求得点P的坐标．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），C（0，2）．∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设E（a，﹣a+2），则F（a，﹣a2+a+2），则EF＝（﹣a2+a+2）﹣（﹣a+2）＝﹣a2+2a＝﹣（a﹣2）2+2，∴S△BFC＝EF×4＝2EF＝﹣（a﹣2）2+4＝﹣a2+4a，∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴D（，0），∴BD＝4﹣＝，∵S△BCD＝BD•OC＝××2＝，∴S四边形CDBF＝S△BFC+S△BCD＝﹣m2+4a+＝﹣（a﹣2）2+，∵﹣1＜0，∴当a＝2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）；（3）由题意可设P点坐标为（，t），∵D（，0），C（0，2），∴CD＝＝，PD＝|t|，PC＝，∵△PCD是以CD为腰的等腰三角