2013高考数学备考训练-不等关系

2013高考数学备考训练-不等关系一、选择题1．(2010·江西卷，文)对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由ac2>bc2⇒a>b，但由a>b推不出ac2>bc2，故选B.2.设a>b>0，下列各数小于1的是()A．2a－bB．(eq\f(a,b))eq\f(1,2)C．(eq\f(a,b))a－bD．(eq\f(b,a))a－b答案D解析y＝ax(a>0且a≠1)．当a>1，x>0时，y>1，当0<a<1，x>0时，0<y<1.∵a>b>0，∴a－b>0，eq\f(a,b)>1,0<eq\f(b,a)<1由指数函数性质知，D成立．3．若a、b∈R，下列命题中①若|a|＞b，则a2＞b2；②若a2＞b2，则|a|＞b；③若a＞|b|，则a2＞b2；④若a2＞b2，则a＞|b|正确的是()A．①和③B．①和④C．②和③D．②和④答案C解析条件|a|＞b，不能保证b是正数条件a＞|b|可保证a是正数故①不正确，③正确a2＞b2⇒|a|＞|b|≥b，故②正确④不正确4．(2011·沧州七校联考)若a>1,0<b<1，则下列不等式中正确的是()A．ab<1B．ba>1C．logab<0D．logba>0答案C解析特殊值法：令a＝2，b＝eq\f(1,2)，则只有C成立．5．已知0<a<b，且a＋b＝1，下列不等式成立的是()A．log2a>0B．2a－C．2ab>2D．log2(ab)<－2答案D解析由已知，0<a<1,0<b<1，a－b<0,0<ab<eq\f(1,4)，log2(ab)<－2，故选D.6．若a>b>c，a＋2b＋3cA．ab>acB．ac>bcC．ab>bcD．a|b|>c|b|答案A7．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是()A．ab<b2<1B．logeq\f(1,2)b<logeq\f(1,2)a<0C．2b<2a<2D．a2<ab答案C解析解法一特值法．取b＝eq\f(1,4)，a＝eq\f(1,2).解法二0<b<a⇒b2<ab，A不对；y＝logeq\f(1,2)x在(0，＋∞)上为减函数，∴logeq\f(1,2)b>logeq\f(1,2)a，B不对；a>b>0⇒a2>ab，D不对，故选C.二、填空题8．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是______．答案(－3,3)解析－4<β<2⇒－4<－|β|≤0，－3<α－|β|<3.9．已知a＋b>0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是________．答案eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)解析eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0，∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).10．若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a答案eq\f(1,2)<a<1解析∵a2＋1>2a，loga(a2＋1)<loga2a∴0<a<1∵loga(2a)<loga1∴2a>1∴a>eq\f(1,2)∴eq\f(1,2)<a<111．下列命题为真的是____________．①若a>b，则algeq\f(1,2)>blgeq\f(1,2)②若a>b>0，c>d>0，则a2－eq\r(d)>b2－eq\r(c)③若a>b,且a、b∈R，则(eq\f(1,3))a<(eq\f(1,3))b④若a∈[－π，eq\f(2π,3)]，则1－sinα>0答案②③解析lgeq\f(1,2)<0，①是错误的，a>b>0，a2>b2，c>d>0，eq\r(c)>eq\r(d)>0，－eq\r(c)<－eq\r(d)，a2－eq\r(d)>b2－eq\r(c).②正确．y＝(eq\f(1,3))x是减函数，a>b，则(eq\f(1,3))a<(eq\f(1,3))b.③正确．④中α＝eq\f(π,2)时1－sinα＝0，不正确．12．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A、B两点间的距离d满足的不等式为________．答案2≤d≤2eq\r(3)13．(2010·上海春季高考改编)若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab＋1____a＋b.答案<解析(ab＋1)－(a＋b)＝1－a－b＋ab＝(1－a)(1－b)∵a>1，b<1，∴1－a<0,1－b>0∴(1－a)(1－b)<0，∴ab＋1<a＋b三、解答题14．已知a>0且a≠1，比较loga(a3＋1)和loga(a2＋1)的大小．解析当a>1时，a3>a2，a3＋1>a2＋1.又logax为增函数，所以loga(a3＋1)>loga(a2＋1)；当0<a<1时，a3<a2，a3＋1<a2＋1又logax为减函数所以loga(a3＋1)>loga(a2＋1)综上，对a>0且a≠1，总有loga(a3＋1)>loga(a2＋1)15．已知m∈R，a>b>1，f(x)＝eq\f(mx,x－1)，试比较f(a)与f(b)的大小．解析f(x)＝eq\f(mx,x－1)＝m(1＋eq\f(1,x－1))，所以f(a)＝m(1＋eq\f(1,a－1))，f(b)＝m(1＋eq\f(1,b－1))．由a>b>1，知a－1>b－1>0，所以1＋eq\f(1,a－1)<1＋eq\f(1,b－1).①当m>0时，m(1＋eq\f(1,a－1))<m(1＋eq\f(1,b－1))，即f(a)<f(b)；②当m＝0时，m(1＋eq\f(1,a－1))＝m(1＋eq\f(1,b－1))，即f(a)＝f(b)；③当m<0时，m(1＋eq\f(1,a－1))>m(1＋eq\f(1,b－1))，即f(a)>f(b)．1．(2010·江苏卷，理)设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤eq\f(x2,y)≤9，则eq\f(x3,y4)的最大值是________．答案27解析由题设知，实数x，y均为正实数，则条件可化为lg3≤lgx＋2lgy≤lg8，lg4≤2lgx－lgy≤lg9，令lgx＝a，lgy＝b，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg3≤a＋2b≤3lg2,2lg2≤2a－b≤2lg3))，又设t＝eq\f(x3,y4)，则lgt＝3lgx－4lgy＝3a－4b，令3a－4b＝m(a＋2b)＋n(2a－b)，解得m＝－1，n＝2，即lgt＝－(a＋2b)＋2(2a－b)≤－lg3＋4lg3＝lg27，∴eq\f(x3,y4)的最大值是27.另解：将4≤eq\f(x2,y)≤9两边分别平方得，16≤eq\f(x4,y2)≤81，①又由3≤xy2≤8可得，eq\f(1,8)≤eq\f(1,xy2)≤eq\f(1,3)，②由①×②得，2≤eq\f(x3,y4)≤27，即eq\f(x3,y4)的最大值是27.2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．答案4解析解法一设等差数列{an}的公差为d，依题意有4a1＋eq\f(4×3,2)d≥10，即2a1＋3d≥5；5a1＋eq\f(5×4,2)d≤15，即a1＋2d≤3，注意到a4＝a1＋3d＝－(2a1＋3d)＋3(a1＋2d)≤－5＋3×3＝4，因此a4的最大值为4.解法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S4≥10，,S5≤15))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d≥10,5a1＋10d≤15))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs