《工程电磁场》配套教学课件

《工程电磁场》绪论为什么要学“工程电磁场”？1.电气工程专业类的基础；——电气类各专业的核心内容都是研究电磁现象在特定范围、条件下的体现2.新技术理论的基础。——近代科学技术发展进程表明，电磁场理论是众多交叉学科的生长点和新兴边缘学科发展的基础由于电磁场知识的基础性，有必要在物理电磁场的基础上进一步研究宏观电磁场现象和电磁过程的基本规律及分析计算方法。1.场2.电场、磁场及统一的电磁场3.电磁场的发展与展望4.与其它学科的关系5.学期计划6.参考文献1.场2.电场、磁场及统一的电磁场3.电磁场的发展与展望4.与其它学科的关系5.学期计划6.参考文献1.场(1)物理：遍及—个被界定的或无限扩展的空间内，存在着某种必须予以重视、研究的效应物理量分布着某物理量的空间(2)数学：给定区域内各点数值的集合，并由此规定了该区域内某一特定量的特性。某物理量关于空间和时间的函数矢量：标量：空间矢量时间研究场的目的：

寻找这种函数，寻找该类效应，由此而解决一定的问题。1.场2.电场、磁场及统一的电磁场3.电磁场的发展与展望4.与其它学科的关系5.学期计划6.参考文献2.电场、磁场及统一的电磁场(1)电场：在电荷的周围存在着一种特殊的物质，它对引入其中的电荷有一种力的作用。(2)磁场：在磁体或通电导线的周围存在着一种特殊的物质，对引入其中的运动电荷有一种力的作用。相异点——电场力只与电荷大小有关，磁场力与电荷的运动状态(速度、方向有关)。相同点——“电荷的效应”，磁场只是电荷另外一种效应的“别名”。(3)统一的电磁场：电场与磁场互相依赖和制约，互为“源泉”。变化的电场可以产生磁场，变化的磁场可以产生电场，在空间产生电磁波。1.场2.电场、磁场及统一的电磁场3.电磁场的发展与展望4.与其它学科的关系5.学期计划6.参考文献3.电磁场的发展与展望3.1发展

(1)实验定律的建立：18世纪以来，静电的库仑定律、电路的欧姆定律、电流之间相互作用的安培定律、电磁感应定律已经建立。

(2)“场”论的提出：法拉第(英，Faraday)开创性地认为，任何相互作用都不可能是超距的应通过某种媒质传递，这种媒质称作“场”，存在于电荷、电流、磁体周围，提出了“场线”的概念。

(3)统一电磁场的建立：麦克斯韦(英，Maxwell)引用流体力学的数学方法描述电场、磁场。——正、负电荷比作流体的源与汇，电场线比作流线；电场强度比作流速。

1865年，总结出由精辟的数学语言表达的四个微分方程——麦克斯韦电磁场方程（Maxwell’sEquations），成为宏观电磁场理论的基础和核心。历史地位：

Maxwell电磁场理论是19世纪物理学中最伟大的成就，是继Newton力学之后物理史上又一次划时代的伟大贡献，完成了宏观电磁场的最终总结。它的建立标志着电磁学的研究发展到了一个新的阶段。从此，一个广阔领域内的理论基础宣告形成，从而开拓了广泛的研究领域。Maxwell方程全电流定律电磁感应定律磁通连续性原理高斯定律

1865年，Maxwell将安培环路定律、电磁感应定律、磁通连续性原理、高斯通量定律应用于空间的微分元素上，引入位移电流概念，使相互激励的电场和磁场形成不可分割的统一体——电磁场，精辟地由四个方程来描述——Maxwell电磁场方程。3.2展望

电磁场理论是日趋发展的电工、电子、信息技术的理论基础，遍及军事、生态、医疗、天文、地质等众多领域新技术的生长点。(3)工程应用：电磁设备模型的等效与建立，解决问题。(1)电磁场理论的发展：对电磁现象本质的探讨。(2)电磁场方法的改进，精度的提高。(4)电磁场软件的开发。1.场2.电场、磁场及统一的电磁场3.电磁场的发展与展望4.与其它学科的关系5.学期计划6.参考文献4.与其它学科(课程)的关系(1)高等数学：微积分是工具。(4)普通物理：电磁学基本概念的建立。(2)工程数学——矢量分析与场论：矢量、标量及其运算，梯度、散度、旋度，各类积分。(5)电路：是“积分”观点，场是“微分”观点。(6)电机学：为电机的设计制造，优化提供工具，分析其中的电磁过程。(7)电器原理：电力设备中的电磁现象。(8)电力电子：分析其中的电磁干扰。(3)计算机技术：熟悉计算机语言：C＋＋，Matlab。(9)电力工程：高电压技术、电力系统稳态、电力系统暂态、电力系统继电保护。承上启下1.场2.电场、磁场及统一的电磁场3.电磁场的发展与展望4.与其它学科的关系5.学期计划6.参考文献5.学期计划(1)课堂讲授为主：总共40学时，复习2学时。(2)课后：作业为辅，适当计成绩。(3)答疑：课后答疑为主，考前安排1-2次集中答疑。(4)课外阅读：同步指定参考书。(5)作业：课后习题。(6)考核：期末（80％）＋考勤（10％）＋作业（10％）。1.场2.电场、磁场及统一的电磁场3.电磁场的发展与展望4.与其它学科的关系5.学期计划6.参考文献6.参考文献[1]陈熙谋，陈秉乾.电磁学定律和电磁场理论得建立和发展[M].高等教育出版社,1992.7.[2]徐在新.宓子宏.从法拉第到麦克斯维[M].科学出版社，1986.[3]M.H.沙摩斯.物理史上得重要实验[M].科学出版社，1985.[4]倪光正.工程电磁场原理[M].高等教育出版社，2002.6.[5]杨弃疾.电磁场理论(上)[M].高等教育出版社，1992.7.麦克斯韦（JamesClerkMaxwell1831----1879)

麦克思维是19世纪伟大的英国物理学家、数学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡，自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡中学学习14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众的才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理。1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习，1854年以第二名的成绩获史密斯奖学金，毕业留校任职两年。1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授。1861年选为伦敦皇家学会会员。1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版，1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到1879年11月5日在剑桥逝世。伟大的Maxwell

麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。麦克斯韦大约于1855年开始研究电磁学，在潜心研究了法拉第关于电磁学方面的新理论和思想之后，坚信法拉第的新理论包含着真理。于是他抱着给法拉第的理论“提供数学方法基础”的愿望，决心把法拉第的天才思想以清晰准确的数学形式表示出来。他在前人成就的基础上，对整个电磁现象作了系统、全面的研究，凭借他高深的数学造诣和丰富的想象力接连发表了电磁场理论的三篇论文：《论法拉第的力线》（1855年12月至1856年2月）；《论物理的力线》（1861至1862年）；《电磁场的动力学理论》（1864年12月8日）。对前人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场理论用简洁、对称、完美数学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典电动力学主要基础的麦克斯韦方程组。据此，1865年他预言了电磁波的存在，电磁波只可能是横波，并计算了电磁波的传播速度等于光速，同时得出结论：光是电磁波的一种形式，揭示了光现象和电磁现象之间的联系。1888年德国物理学家赫兹用实验验证了电磁波的存在。麦克斯韦于1873年出版了科学名著《电磁理论》。系统、全面、完美地阐述了电磁场理论。麦克斯韦严谨的科学态度和科学研究方法是人类极其宝贵的精神财富。这一理论成为经典物理学的重要支柱之一。在热力学与统计物理学方面麦克斯韦也作出了重要贡献，他是气体动理论的创始人之一。1859年他首次用统计规律——麦克斯韦速度分布律，从而找到了由微观两求统计平均值的更确切的途径。1866年他给出了分子按速度的分布函数的新推导方法，这种方法是以分析正向和反向碰撞为基础的。他引入了驰豫时间的概念，发展了一般形式的输运理论，并把它应用于扩散、热传导和气体内摩擦过程。1867年引入了“统计力学”这个术语。麦克斯韦是运用数学工具分析物理问题和精确地表述科学思想的大师，他非常重视实验，由他负责建立起来的卡文迪什实验室，在他和以后几位主任的领导下，发展成为举世闻名的学术中心之一。他善于从实验出发，经过敏锐的观察思考，应用娴熟的数学技巧，从缜密的分析和推理，大胆地提出有实验基础的假设，建立新的理论，再使理论及其预言的结论接受实验检验，逐渐完善，形成系统、完整的理论。特别是汤姆孙W卓有成效地运用类比的方法使麦克斯韦深受启示，使他成为建立各种模型来类比研究不同物理现象的能手。在他的电磁场理论的三篇论文中多次使用了类比研究方法，寻找到了不同现象之间的联系，从而逐步揭示了科学真理。0场论0.1标量场和矢量场0.2标量场的梯度0.3矢量场的散度0.4矢量场的旋度0.5亥姆霍茨定理0.6三种特殊的场主要内容总结0场论0.1标量场和矢量场0.2标量场的梯度0.3矢量场的散度0.4矢量场的旋度0.5亥姆霍茨定理0.6三种特殊的场主要内容总结x=0平面dydzdxdydxdzdydxdzP(x,y,z)0.1标量场和矢量场1.

坐标系直角坐标系（笛卡尔坐标系）xyz0原点z=0平面y=0平面dV=dxdydz0.1标量场和矢量场2.

标量和标量场标量：仅具有大小特征的量。用一个实数表示，例如：距离L，高度H用两个实数表示，例如：正弦电压标量场：标量在空间的分布。例如电位场：高度场：等值面（线），等位面（线）单位矢量模矢量：不仅具有大小，而且具有方向特征的量。0.1标量场和矢量场3.

矢量和矢量场矢量场：矢量在空间的分布。例如电场：例如：电场强度

，速度矢量线0.1标量场和矢量场矢量：大小（模），方向（单位矢量）4.

矢量运算（1）代数运算加减运算：（平行四边形法则）乘法运算：（点乘，叉乘）

0.1标量场和矢量场（2）积分运算①线积分:定义：若矢量场的线积分值与积分路径l的形状无关，则称为守恒场（或保守场）。0.1标量场和矢量场②

环量积分:③

通量积分:S闭合时，有：物理意义：环量表示漩涡源的强弱。物理意义：通量表示通量源的强弱。：S内有源：S内有汇0.1标量场和矢量场5.

矢量微分算子标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度哈密顿算子0场论0.1标量场和矢量场0.2标量场的梯度0.3矢量场的散度0.4矢量场的旋度0.5亥姆霍茨定理0.6三种特殊的场主要内容总结0.2标量场的梯度图1等高线问：P点处，三个颜色标注的方向，哪个山势最陡？P红色的那条路径山势最陡0.2标量场的梯度设一个标量函数(x,y,z)，若函数

可微，定义：梯度(gradient)哈密顿算子式中物理意义：

标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;

梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.

梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即该点最大方向导数;0.2标量场的梯度梯度的计算公式0.2标量场的梯度例：设一标量函数描述了空间标量场，试求：(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；(2)该函数沿单位矢量方向的方向导数，并求得该方向导数在点P(1,1,1)处的值。答案：(1)(2)0.2标量场的梯度课后习题：（1）和；xyz0（2）。如图所示，为空间中源点与场点之间的距离，即矢量的模，，求：其中，0场论0.1标量场和矢量场0.2标量场的梯度0.3矢量场的散度0.4矢量场的旋度0.5亥姆霍茨定理0.6三种特殊的场主要内容总结0.3矢量场的散度>0(有正源)<0(有负源)=0(无源)图3矢量场的通量通量的物理意义：

如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在，即:散度(divergence)计算公式物理意义:

矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度的概念和物理意义

散度代表矢量场的通量源的分布特性：这点有正源这点有负源连续场，无源场散度和通量源(无源）(正源）(负源）

在矢量场中，若，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处，称之为无源场。散度的计算公式注意：散度是一种矢量运算，但结果是一个标量；通量源的性质只有两种，对应散度的正负号，散度无需方向信息。例题与习题如果，求原点处解：是常数2，与位置无关。课后习题：1.

求点P(2,3,-1)处的，其中，通量Φ高斯散度定理——

高斯散度定理意义：

在三重积分与二重积分之间，建立起了联系0场论0.1标量场和矢量场0.2标量场的梯度0.3矢量场的散度0.4矢量场的旋度0.5亥姆霍茨定理0.6三种特殊的场主要内容总结0.4矢量场的旋度旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。旋度(curl)在直角坐标系下旋度也可描述成单位面积上的环流量max以“流速场”为例，利用一个小浆轮作为“旋度计”。如图所示：流速场1.流速均匀2.流速不均旋度的物理意义物理意义：

矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。

在矢量场中，若

,称之为旋度场(或旋涡场)，

称为旋度源(或旋涡源)；

若矢量场处处

，称之为无旋场（保守场）。旋度的物理意义旋度的计算公式注意：旋度是一种矢量运算，但结果也是一个矢量；旋度的方向垂直于矢量线围成的面，与矢量线的方向满足右手螺旋法则。例题与习题设在区域内，其余区域，如图所示。计算边长为d，中心位置在

y＝0平面上

处的正方形路径的值，其中。xyzdd解1：当面积趋于0时，有：其他分量值为0，所以：例题与习题解2：而课后习题：2.

已知，求沿着到到到再到的矩形路径的闭合回路积分；作为的近似，求闭路线积分与该闭路围成的面积的商；计算该面积中心点的。斯托克斯旋度定理——

斯托克斯旋度定理意义：

在面积分与线积分之间，建立起了联系。由散度的定义：有：0场论0.1标量场和矢量场0.2标量场的梯度0.3矢量场的散度0.4矢量场的旋度0.5亥姆霍茨定理0.6三种特殊的场主要内容总结0.5亥姆霍茨定理1.

矢量恒等式证明：由斯托克斯定理，有：在矢量场中，任取一有向曲面，做面积分，而，而是任取的，0.5亥姆霍茨定理2.

场的分类无旋场无源场一般场调和场判断矢量场的类型=0=0=000=00.5亥姆霍茨定理在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。在电磁场中3.亥姆霍茨定理：已知矢量

的通量源密度矢量

的旋度源密度场域边界条件矢量唯一地确定电荷密度电流密度场域边界条件唯一地确定了电磁场无源场无旋场0.5亥姆霍茨定理线性空间，根据矢量的叠加原理：其中结论：任意矢量场可描述成无旋场和无源场之和，且无旋场由该矢量场的散度决定，无源场由该矢量场的旋度决定。物理意义：0场论0.1标量场和矢量场0.2标量场的梯度0.3矢量场的散度0.4矢量场的旋度0.5亥姆霍茨定理0.6三种特殊的场主要内容总结0.6三种特殊的场1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为

Z轴)的一族平行平面上，场的分布都相同，即

，则称这个场为平行平面场。2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为

Z轴)的一族子午面上，场

的分布都相同，即

，则称这个场为轴对称场。3,球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场

的分布都相同，即

，则称这个场为球面对称场。0场论0.1标量场和矢量场0.2标量场的梯度0.3矢量场的散度0.4矢量场的旋度0.5亥姆霍茨定理0.6三种特殊的场主要内容总结主要内容1.

矢量场和标量场：d100V+-0d/2d50100间距zv/V电压v的分布：电场强度的分布：xyz0++++++++++--------------100V0Vyz0主要内容2.

矢量乘法：点乘叉乘主要内容习题：1.证明和是正交矢量。2.证明矢量、和是直角三角行的边，并计算该三角形的面积。作业：用矢量，求由P(1,1,1)、Q(3,2,5)和S(5,7,9)三点构成的三角形的面积。主要内容直角坐标圆柱坐标球坐标3.

矢量微分算子：主要内容习题：作业：1.

若，求。

2.

在静电场，我们定义电场强度和电位之间满足负梯度关系：，还定义体电荷密度满足：，在下列情况下，求和，(1)圆柱坐标下，，这里V0和a是常数；(2)球坐标下，。

如果电场强度在空间给定，是，求：和。无旋场无源场一般场调和场主要内容4.

场的分类参考文献[1]

王泽忠，全玉生，卢斌先.工程电磁场[M].清华大学出版社，2004.9:1-28

[2]

周克定，张肃文等译.电磁场与电磁波[M].机械工业出版社，2000.8:10-47

[3]

倪光正.工程电磁场原理[M].高等教育出版社，2002.6:11-27

[4]

徐安士，周乐柱译.工程电磁学[M].电子工业出版社，2004.6:1-14，49-50，177-184

图1等值线图2矢量线1静电场1.2

高斯定理1.3静电场基本方程，分界面上衔接的条件1.4静电场边值问题唯一性定理1.1电场强度·电位1.5镜像法1.7数值计算方法

——有限差分法和有限元法1.6电容总结1.1电场强度·电位1.1.2电场强度1.1.3电位1.1.4电力线与等位面1.1.1库仑定律总结1.1.1库仑定律库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明:真空中两个静止的点电荷之间存在相互作用力。1.1.1库仑定律适用条件：

两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力；

无限大真空情况(式中F/m)可推广到无限大各向同性均匀介质中当真空中引入第三个点电荷时，试问：与相互间的作用力改变吗?为什么？电场力符合矢量叠加原理

的引入对被测电场分布的影响为01.1.2电场强度

(ElectricFieldIntensity)

定义：

电场中，单位电荷所受电场力的大小就是这一点电场强度的大小。V/m(N/C)与试验电荷的大小无关1.1.2电场强度

(ElectricFieldIntensity)

a)点电荷产生的电场强度V/m根据库仑定律和电场强度的定义1)

点电荷位于坐标原点：V/m

b)n个点电荷产生的电场强度

(注意:矢量叠加)V/m2)

点电荷不位于坐标原点：1.1.2电场强度

(ElectricFieldIntensity)

1.1.2电场强度

(ElectricFieldIntensity)

c)连续分布电荷产生的电场强度体电荷分布取电荷元点电荷1.1.2电场强度

(ElectricFieldIntensity)

面电荷分布线电荷分布例真空中有长为L的均匀带电直导线，电荷线密度为,试求P点的电场。选择合适坐标系选择电荷元积分，得(直角坐标)(圆柱坐标)1.1.3电位(Potential)1).

静电场中，电荷移动，电场所作的功与该电荷移动路径无关，仅与移动前后的位置有关。2).

静电场是无旋场（保守场）即：——

静电场环路定律电位的定义和物理意义1.

电压：定义：静电场中两点之间的电压，等于由一点至另一点移动单位正电荷，电场力所做的功。2.

电位：若则：Q：参考点参考点Q的选择原则：1.场中任意两点之间的电压与Q位置无关2.同一问题，选一个参考点3.尽可能使φ的表达式简单，且有意义习惯：1.电荷分布有限：取无穷远处2.电荷分布无限：取有限位置3.工程：取大地——

接地例点电荷产生的电场常数C表达式无意义电位和电场强度的关系1.

在静电场中，任意一点的电场强度的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。物理意义：2.静电场中，移动单位试验正电荷，电场力做正功所需能量由其位能的减少量提供。3.线性媒质中，在同一参考点下，电位可以叠加。1.1.4电力线与等位面

线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度的方向一致，故电力线微分方程：在直角坐标系中：

在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，等位线(面)方程:

线起始于正电荷，终止于负电荷，不能相交；线愈密处，场强愈大。

相邻两等位面之间的电位差应相等，这样才能表示出电场的强弱。等位面愈密处，场强愈大。

点电荷与接地导体的电场均匀场中放进了导体球的电场点电荷位于一块导平面上方的电场电偶极子的电场分析：图电偶极子一对带等量但极性相反且非常靠近的电荷定义：特征物理量：相对位置定义：——电偶极距其中，r1r2在球坐标系中：代入上式，得用二项式展开，又有，得图电偶极子的等位线和电力线总结V/m(N/C)点电荷在真空中的静电场：作业：1.真空中，有两个同号点电荷：和，它们之间的距离为d。试分析在其连线上，哪一点的电场强度为零？哪一点上由该两点电荷所引起的电场强度相同？2.书P13.1-1-31.2高斯定理1.2.2静电场中的电介质1.2.3真空中的高斯定律1.2.4电介质存在时的高斯定律1.2.1静电场中的导体1.2.5高斯定律的应用作业：P19.1-2-3P67.1-3，1-71.2.1静电场中的导体(conductor)导体：可以导电的物质，含有大量自由电子的物质。1）导体内部电场为零；2）导体是一个等势体，导体表面是一等势面；3）电力线垂直于导体表面；4）导体如果带电，则电荷一定分布在导体表面。静电场中导体的性质：

电介质：广义指所有电工材料，但一般指绝缘体(Insulated)。绝缘体：其中的自由电子被束缚(束缚电荷)，电场作用下带电粒子作微小移动或转动，但不能离开分子。均匀(Uniform)：媒质特性不随空间坐标（x,y,z）而变化；线性(Linear)：媒质的特性不随电场量值而变化；各向同性(Isotropic)：媒质的特性不随电场的方向而变化。1.2.2静电场中的电介质(Dielectric)电介质特性：无极性分子极性分子

电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩。表示电介质的极化程度,极化强度P

：

电偶极子电偶极矩图电偶极子的等位线和电力线

实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中

——电介质的极化率,无量纲量。极化强度极化电荷体密度极化电荷面密度(1)二者共同作用在真空中产生的电位:(2)两部分极化电荷的总和电介质极化后产生的电场可以等效成某种分布的极化电荷在真空中产生的电场。极化电荷分布多个点电荷、分布电荷存在时：称作E通量在真空中，点电荷q产生的静电场取球面S作为积分面1.2.3真空中的高斯定律极化电荷:（自由电荷）自由电荷极化电荷1.2.4有电介质存在时的高斯定律定义电位移矢量（Displacement）高斯通量定理(1)比较真空和介质存在时：结论：对无限大介质均匀和真空比较，E小了倍；或，真空中所有公式的换为即可。1.2.5高斯定律的应用(2)

求解具有对称场的电场强度1）选择适当的闭合面作为高斯面，使容易积分。2)在高斯面上D的数值为常数，可以提在积分号外。3)一般对称面：球面、无限大平面、无限长线、无限长圆柱分布的电场。

球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。

轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。试问：能否选取正方形的高斯面求解球对称场?(a)(b)(c)例求电荷线密度为的无限长均匀带电体的电场。解：电场分布特点：

D

线皆垂直于导线，呈辐射状态；

等

r

处D值相等；取长为L，半径为r的封闭圆柱面为高斯面。由,得:1.3静电场的基本方程分界面上的衔接条件1.3.1

静电场的基本方程1.3.2分界面上的衔接条件1.3.1静电场的基本方程微分：积分：辅助方程：表示“区域”的关系表示“点”的关系均匀各向同性的线性媒质意义：

(1)采用微分形式判定一个矢量可否表示成；

(2)采用积分形式计算对称形式的电场分布。例已知它能否表示个静电场？能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?1.3.1静电场的基本方程对应静电场的基本方程

，矢量

可以表示一个静电场。1.3.2分界面上的衔接条件(1)电场强度

的衔接条件结论：分界面两侧

的切向分量连续。(2)位移

的衔接条件结论：分界面两侧的

的法向分量不连续。当时，

的法向分量连续。1.3.2分界面上的衔接条件当分界面为导体与电介质的交界面时：

结论：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的

就等于该点的自由电荷密度。00折射定律：

——

折射定律在分界面上不存在时，即：作用：可以定性地绘制电介质两边电力线的走向。各向同性的线性分片均匀介质交界面前提结论：在介质分界面上，电位是连续的。(3)用电位函数表示分界面上的衔接条件结论：一般情况下,电位的导数是不连续的。设点1与点2间距为d，d→0，则：1.3.2分界面上的衔接条件解：忽略边缘效应图（a）图（b）（a）（b）例

如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知和,图(a)已知极板间电压U0,图(b)已知极板上总电荷,试分别求其中的电场强度。1.

如图所示，一无限长圆柱电缆，内外圆柱之间的电位差为U，内外半径分别为R1、R2，其间填充介电常数分别为ε1、ε2的电介质，所占圆心角分别为α、2π-α，求该同轴电缆内外圆柱之间的电场分布。课后作业R1R2α2π-α2.书P24.1-3-3

1.4静电场边值问题唯一性定理1.4.1泊松(Poisson)方程与拉普拉斯(Laplace)方程1.4.2静电场的边值问题1.4.3静电场的唯一性定理作业：P30.1-4-3(2)(3)

1.4.1泊松(Poisson)方程与拉普拉斯(Laplace)方程推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：泊松方程特别注意：泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。拉普拉斯方程——拉普拉斯算子参考点电位有限值一、二类边界条件的线性组合，即已知场域边界上各点电位的法向导数已知场域边界上各点电位值第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件自然边界条件场域边界条件分界面衔接条件边值问题微分方程边界条件1.4.2静电场的边值问题边界条件:例设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解:采用球坐标系,分区域建立方程参考点电位解得

电场强度（球坐标梯度公式）：电位：(2)唯一性定理的重要意义：

唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。1.4.3唯一性定理(UniquenessTheorem)(1)证明方法：反证法

可判断静电场问题的解的正确性在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程）的解是唯一的。称之为静电场的唯一性定理。课堂练习、作业例：利用唯一性定理判定点电荷偏心位于金属球壳内，场分布特点？作业：P29.1-4-2Q·1.5.1镜像法边值问题（导体上部）：(1)点电荷对无限大平面导体的镜像上半场域边值问题：（导板及无穷远处）（除

q所在点外的区域）

（导体板表面）（除

q所在点外的区域）

（导板及无穷远处）

（导体板表面）

镜像法:

用虚设的电荷(镜像电荷，虚拟电荷)分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。特别警示：有效区域的问题。同类的间接方法：电轴法，虚拟电荷法，等等。。虚拟电荷(镜像电荷)是唯一吗？导体例：求空气中一个点电荷+q在地面引起的感应电荷分布情况。求电场分布（方向指向地面）整个地面上感应电荷的总量为：解:点电荷在地面引起的感应电荷的分布镜像电荷电量(2)点电荷对导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。边值问题：（除q点外的导体球外空间)确定镜像电荷的具体位置和带电量设镜像电荷位于球内，球面上任一点的电位为0，有：对任意θ成立由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为接地导体球外的电场计算点电荷位于接地导体球附近的场图

镜像电荷不能放在当前求解的场域内。

镜像电荷等于负的感应电荷总量；不接地金属球（绝缘金属球）附近放置一点电荷q时的电场分布。边值问题：(除

q点外的导体球外空间）

(S为球面面积)在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置1）感应电荷有两种极性，在球内起码两个镜像电荷。2）：正负镜像电荷绝对值相等。4）：正镜像电荷只能位于球心。3）负镜像电荷参考接地球的方式放置，取值，将拉到0。任一点电位及电场强度为：点电荷位于不接地导体球附近的场图球表面一点的电位和电场强度呢？试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置?课堂练习不接地导体球，半径为R，球内偏心b处放置一点电荷q

，求球内外的电场分布情况。（3）点电荷对不同介质分界面的镜像边值问题：(下半空间)(除q点外的上半空间)和即

•

中的电场是由与共同产生，其有效区在上半空间，是等效替代极化电荷的影响。

•

中的电场是由决定，其有效区在下半空间，是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。

点电荷位于不同介质平面上方的场图作业：如图所示，求两点电荷间的作用力大小。镜像法小结

(1)镜像法的理论基础是静电场唯一性定理；(2)镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；(3)镜像法的关键是确定镜像电荷的个数，大小及位置；(4)应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。课外阅读及作业一种数值计算方法——

模拟电荷法原理及其应用要求：写报告，记成绩，2周后交。电轴法（自学）边值问题：

（导线以外的空间）长直平行圆柱导体传输线能否用高斯定理求解？(1)待解决问题

(2)两根细导线产生的电场以y轴为参考点,C=0,则：当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。两根细导线的电场计算

a、h、b三者之间的关系满足

等位线方程为：圆心坐标圆半径根据及E线的微分方程，得E线方程为

两细导线的场图•

若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。

•

若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？感应电荷是否均匀分布？(3)电轴法实施例试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。(以轴为电位为参考点)

用置于电轴上的等效线电荷,来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法,称为电轴法。解：

平行圆柱导体传输线电场的计算

例已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d

的带电长直圆柱导体。试决定电轴位置。注意：1）参考电位的位置；2）适用区域。例试确定图示偏心电缆的电轴位置。解：确定不同半径传输线的电轴位置偏心电缆电轴位置

例已知一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线之间电压为，试求圆柱导体间电位的分布。解得a)

确定电轴的位置c)

任一点电位b)

计算线电荷密度1.6电容和静电能量1.6.2带电体系统中的静电能量1.6.1电容(Capacitance)1.6.1单、双电极系统的电容计算方法：意义:(1)架起电路、电磁场两个学科的桥梁；

(2)电路可以用R、L、C网络来描述。与两导体的形状、尺寸、相互位置、导体间的介质有关，与带电情况无关。(1)(2)球形电容器(孤立导体球的电容)球形电容器的电容：孤立导体的电容：作业：如图所示，一无限长圆柱电缆，内外圆柱之间的电位差为U，内外半径分别为R1、R2，其间填充介电常数分别为ε1、ε2的电介质，所占圆心角分别为α、2π-α，求该同轴电缆单位长度内外圆柱之间的电容。课堂练习与课后作业R1R2α2π-α练习：求内外半径分别为a、b的无线长圆柱型电容器之间单位长度的电容。1.6.2

带电体系统中的静电能量静电能量是在电场的建立过程中，由外力克服静电力作功转化而来的。(1)

电荷系统中的介质是线性的；(2)建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。(3)电场的建立与充电过程无关,导体上电荷与电位的最终值为q和,充电过程中，q与的增长比例为m，。假设:(1)

体电荷:(2)

面电荷:(3)

线电荷:(4)

带电导体:电荷积分式静电能量的分布及能量密度静电能量推导能量密度用图能量密度结论：凡是E不为零的空间都储存着静电能量。电场积分式例试求平行板电容器中存储的能量。+U-dS1.7.1数值计算方法的引入例一无限长的铝电解槽，截面如图所示，槽侧壁与底面的电位均为0，顶盖与槽壁相互绝缘，顶盖的电位为100V，槽内无电荷分布，求槽内电场分布情况。绝缘绝缘100V000求解思路选择直角坐标系：φ＝φ(x,y)绝缘绝缘U1=100VU2=0U3=0U4=0xzy平行平面场：求解方法1.直接法2.高斯法3.Poison法4.镜像法U1=100VU2=0U4=0U3=0A直观近似解近似解的理论基础？唯一性定理：只要泛定方程和边界条件相同，解即相同，与所采用的方法无关。所采用的其它方法，就是

——计算机数值解法(NumericalMethod)数值计算方法——

结合计算机技术，近似求解场的一种方法。基于微分方程：

有限差分法

(FiniteDifferentialMethod,FDM);

有限元(FiniteElementMethod,FEM);

随着计算机技术的发展，已用于大量应用研究和工程分析；各种电磁场CAD商业化软件的研发，产生了重大效益；理论与方法的日益完善，成为一门新兴的应用学科。基于积分方程：模拟电荷法(ChargeSimulationMethod,CSM);

边界单元法(BoundaryElementMethod,BEM);

矩量法(MomentMethod,MM)。研究意义：1.7.2有限差分法（FDM法）有限差分法（FiniteDifferentialMethod）是基于差分原理的一种数值计算法。基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数的泊松方程问题转换为求解网格节点上的差分方程组的问题。差分运算二维泊松方程的差分格式二维平行平面静电场边值问题：思考讨论：

边值问题如何和“差分原理”结合在一起呢？

边值问题：

当场域中FDM迭代格式迭代求解方法

迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。

迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节点电位满足为止。迭代过程：超松弛迭代法

：加速收敛因子——Gauss-Seidel迭代——超松弛迭代法例应用有限差分法，计算下列静电场边值问题的近似解：例题分析0xy10200xyu11u12u13u14

u15u1u2u3u4

u5u6

u7u8u9

u10？

划分网格：节点编号、坐标的形成。例题分析(2)对电位未知点赋电位初值：随意，尽可能靠近真实解。比如本题u7=2.0，u8=7.5，u9=30。(3)

边界条件：对已知点赋电位值。u1,u2,u3,u4,u6,u11,u12,u13,u14=0；u5,u10,u15=100。u11u12u13u14

u15u1u2u3u4

u5u6

u7u8u9

u10？例题分析（4）迭代格式:u7=(u2+u6+u8+u12)/4u8=(u3+u7+u9+u13)/4u9=(u4+u8+u10+u14)/4(5)反复迭代，直至满足给定误差：u11u12u13u14

u15u1u2u3u4

u5u6

u7u8u9

u10例题分析K（迭代次数）u7u8u9027.53011.8757.96926.99221.9927.24626.81231.8127.15626.78941.7897.14526.78651.7867.14326.78661.7867.14326.786对应W=5×10-5的迭代结果u11u12u13u14

u15u1u2u3u4

u5u6

u7u8u9

u10对应程序介绍%Part1:Initializingdata;Nx=4;Ny=2;Lx=20;Ly=10;Hx=Lx/Nx;Hy=Ly/Ny;Nmax=160;u=zeros(Ny+1,Nx+1);划分网格；初始化电位矩阵%Part2:Calculatingcoordinatesforeachpointandapplyingloadsatboundary;fori=2:Nxu(1,i)=0;u(Ny+1,i)=0;end;fori=1:Ny+1u(i,1)=0;u(i,Nx+1)=100;end;u11u12u13u14

u15u1u2u3u4

u5u6

u7u8u9

u10根据各节点的坐标，赋边界点的电位值%Part3:Calculatingpotentialwithiteratingmethod;Error_max=0;Precision=1e-05;fork=1:NmaxError_max=0;fori=2:Nyforj=2:Nxu1=u(i,j);u(i,j)=u(i,j)+alpha*(u(i+1,j)+u(i,j+1)+u(i-1,j)+u(i,j-1)-4*u(i,j))/4;u2=u(i,j);ifabs(u2-u1)>Error_maxError_max=abs(u2-u1);endendendifError_max<Precisionbreakendendu11u12u13u14

u15u1u2u3u4

u5u6

u7u8u9

u10电位迭代计算（程序关键）寻找最大误差ifError_max<Precisiondisp('Iterationsuccessful,andthenumberofiterationis:');disp(k);disp('Maxerroris:');disp(Error_max);elsedisp('Iterationnotsuccessful');end;u11u12u13u14

u15u1u2u3u4

u5u6

u7u8u9

u10输出计算结果下一步？后处理(1)电场强度当待求点位于边界上时，如3、4无，有1、2时：%Part4:Calculatingelectricstrength;fori=2:Nyforj=2:NxEx(i,j)=(u(i,j-1)-u(i,j+1))/Hx;Ey(i,j)=(u(i-1,j)-u(i+1,j))/Hy;end;end;Ex(1,1)=-(u(1,2)-u(1,1))/Hx;Ey(1,1)=-(u(2,1)-u(1,1))/Hy;Ex(1,Nx+1)=-(u(1,Nx+1)-u(1,Nx))/Hx;Ey(1,Nx+1)=-(u(2,Nx+1)-u(1,Nx+1))/Hy;Ex(1+Ny,1)=-(u(1+Ny,2)-u(1+Ny,1))/Hx;Ey(1+Ny,1)=-(u(1+Ny,1)-u(Ny,1))/Hy;Ex(1+Ny,1+Nx)=-(u(1+Ny,1+Nx)-u(1+Ny,Nx))/Hx;Ey(1+Ny,1+Nx)=-(u(1+Ny,1+Nx)-u(Ny,1+Nx))/Hy;fori=1:(Ny+1)forj=1:(Nx+1)E(i,j)=sqrt(Ex(i,j)^2+Ey(i,j)^2);end;end;计算电场强度u11u12u13u14

u15u1u2u3u4

u5u6

u7u8u9

u10(2)等位线的绘制

当全部结点的电位计算后，绘制等位线。如最高电位为Umax，最低为Umin，欲绘制N条(不包括Umax和Umin)，则等位线间的电位差必须为：如何寻找给定电位的坐标？后处理求给定电位的坐标(1)判定给定电位是否位于与之间?(2)若在之间，求坐标：利用插值的方法：线性、样条、Lagrage法。线性插值法：(3)结合定性分析，连接等位点。%Part5:Plottingpotentialandstrengthfigure,includes2-Dand3-D;fori=1:(Nx+1)xu(i)=x0+(i-1)*Hx;end;fori=1:(Ny+1)yu(i)=y0+(i-1)*Hy;end;[X,Y]=meshgrid(xu,yu);%surf(X,Y,u);%surf(X,Y,abs(Ex));%surf(X,Y,abs(Ey));%surf(X,Y,E);%contour3(X,Y,u,10);%contour(X,Y,u,10);[Dx,Dy]=gradient(u,Hx,Hy);%holdon;quiver(X,Y,-Dx,-Dy);Mablab直接绘电位面

试用超松弛迭代法求铝电解槽内电位的分布。上机练习

计算电位分布；电场强度分布；绘制等位线；电力线；讨论加速因子的影响；＊如果100V为其它形式电位分布？推荐用Matlab；写报告。[1]盛剑霓.电磁场数值分析[M].北京：科学出版社，1984.[2]冯慈璋.电磁场[M].北京：高等教育出版社，1983.10.[3]解广润.高压静电场[M].上海：上海科学技术出版社，1987.5.[4]闫照文，李朗如，袁斌，盛剑霓.电磁场数值分析的新进展[J].微电机，2000,33(4）：33－35.参考文献：电位分布电场强度分布MATLAB计算结果等位线电力线1.7.3有限元法（FEM法）绝缘绝缘U1=100VU2=0U3=0U4=0xzy平行平面场：φ＝φ(x,y)猜测解答（近似解答）U1U2U3U4U1U2U3U4①②③④U1U2U3U4…⑩…

……

…①②③④全区域：精度很低精度较高精度最高每个小区域：更小的区域：网格形状的确定近似解的最简单形式(插值多项式)：每个小方格内的多项式有三个未知系数，确定该系数需要三个电位数值，具有三个顶点的网格只能是三角形每个小区域：有限元法该方法采用的是有限个网格(即单元，Element)的方法，称作有限元法(FiniteElementMethod)FEM是目前应用最为广泛的一种数值计算方法，在电磁场数值计算中占据着绝对的主导地位。FEM的基本思想在1940s初期有人提出，真正用于工程则是计算机出现后。“有限单元法”（FiniteElementMethod)，1960年美国Clough首先使用。40年来，FEM的应用已由弹性力学平面问题扩展至空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定性问题、动力学问题和波动问题，分析对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和塑性复合材料。从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学等领域。有限元法概述有限元法概述1965年，A.M.Winslow首先将FEM用于电气工程分析中；1970年，P.P.Silverster和M.V.K.Chari首次将FEM用于电磁场计算。FEM是以变分原理为基础，用剖分和插值的方法建立各自自由度(DOF)的相互关系，把二次泛函的极值转化为一组多元代数方程组来求解。但同时，也可以利用加权余数法推导得到。FEM能处理复杂结构、复杂边界和非线性介质情况的边值问题。由于数值处理技术的提高，如新的求解技术，采用自适应网格剖分技术，FEM更加占据主导地位。2D平行平面静电场FEM计算原理理论基础：电磁场的唯一性定理。理论推导：变分原理，加权余数方法。需要泛函、变分法、欧拉方程、泛函极值的数学知识，较繁。相对比较直观，应用范围更广，较简单。FEM计算过程：(1)FEM网格划分——剖分(Meshing)(2)单元函数插值(3)FEM方程组的形成(4)第一类边界条件的处理(5)方程组的求解(1)FEM网格划分——剖分(Meshing)剖分：将求解区域划分为有限个子区域的过程。划分的小网格称作单元(Element)，单元之间通过节点(Node)连接在一起。并且对单元、节点顺次编号。剖分节点(Node)编号单元（Element）编号编号的注意事项具有相同媒质或电流密度值的单元连续编号。每个单元的各个节点的编号要尽可能接近。单元越多，节点数越多，计算精度越高；但计算量就越大，需要的存储空间也越大。每个网格中节点的编号顺序为逆时针方向。任意一三角形顶点不能是相邻三角形边上的点。如果求解的场域内存在不同的介质，则三角形的顶点应该在不同媒质的分界线上。如果边界上有不同的边界条件，则三角形的顶点应该落在不同的交接点上。当边界或内部的媒质分界线为曲线时，用相近的直线段代替。三角形三边的长度不要相差太大，在场变化小的地方，单元边相对可以长一些。避免各顶点过小或过大的钝角。考虑计算精度和计算时间，场变化大的区域，剖分密一些；否则，疏一些。剖分的原则(注意事项)(2)单元函数插值ijk在单元上构造线性插值函数各节点满足：(3)FEM方程组的形成KФ=0刚度矩阵：与节点坐标、单元介质有关的矩阵。各节点的电位

已知：第一类边界条件——电位；待求：其余点的电位。复杂运算(4)第一类边界条件的处理KФ=0待处理边界：φm=φ0已知移项Kim

φm=Kimφ0

保持φm=

φ0处理方法：第m号节点电位φ0

对角元素Kmm＝1，所在行对应的右端改为强加电位值φ0

；第m行、m列其它元素全部置零；右端系数分别减去未处理前的Kim和φ0的乘积Kimφ0。(4)第一类边界条件的处理(4)第一类边界条件的处理若有l个边界条件，则处理l次，形成新的方程：K’Φ=B求解该方程，即得到所有未知节点的电位值。(5)方程组的求解解线性方程组有三种方法：直接法、迭代法、优化法。直接法：经过有限次的运算，即可得到精确解。当计算阶数不高时，计算速度快，且精度高。如：高斯消去法，Cholesky分解法。迭代法：将方程组构造为一个无限序列，其极限便是方程组的解。在有限次迭代中，只能得到满足一定允许误差的近似解。高斯－赛德尔迭代，牛顿－拉夫逊法迭代。优化法：解法很多。有约束和无约束两类。有限元软件ANSYS求解静电场ANSYS是最为通用和有效的商用FEM软件之一，引领世界有限元的发展趋势，拥有全球最大的用户群。ANSYS融结构、热学、流体、电磁、声学、爆破分析于一体，具有强大的前后处理能力，能同时模拟结构、热、流体、电磁以及多种物理场间的耦合效应。独到之处：允许在同一模型上进行多物理场的耦合计算。

单元模块多，198个单元模块。既可以GUI操作，也可以指令(APDL)。自1996年落户中国以来，以其强大的功能、可靠的质量连续5年用户增长率超过30％，在我国的航空航天、铁路、石油、机械、能源、汽车、电子、电气土木工程、造船、生物、轻工、地矿、水力等领域得到广泛的应用。

有限元软件ANSYS求解静电场ANSYS软件介绍ANSYS软件主要包括三个部分：前处理模块，分析计算模块和后处理模块。前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元模型；分析计算模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力；后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示（可看到结构内部）等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。

ANSYS求解流程

ANSYS求解本章引导算例的电场计算绝缘绝缘U1=100VU2=0U3=0U4=0xzy目标ANSYS建立模型，采用GUI方式；丰富的后处理：等位线、电场强度、电位的显示，电容的计算，电荷；学生课后练习。[1]盛剑霓.电磁场数值分析[M].北京：科学出版社，1984.[2]冯慈璋.电磁场[M].北京：高等教育出版社，1983.10.[3]盛剑霓.工程电磁场数值分析[M].西安：西安交通大学出版社，1991.[4]倪光正.工程电磁场原理[M].北京：高等教育出版社，2002.参考文献：静电场小结三种场的特性(1)平行平面场：在直角坐标系中，当场量与某一坐标无关时，一般选择无关坐标为z坐标。(2)轴对称场：在圆柱坐标系中，当场量与某旋转角度无关时。(3)3维场(3D)：在任意坐标系中，场量与三个坐标均有关。2维(2D)工程电磁场南京航空航天大学联系：maudymao@.c8022恒定电场2.1导电媒质中的电流2.2电源电动势与局外场强2.3恒定电场基本方程,分界面上衔接条件2.4导电媒质中恒定电场与静电场的比拟2.5电导和与接地电阻I是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。

2.1.1电流密度和元电流段

电流

单位时间内通过某一横截面的电量，称为电流。分布的体电荷以速度v作匀速运动形成的电流。2.1

导电媒质中的电流(1)电流面密度电荷密度的定向移动形成电流密度。电流线密度及其通量(2)电流线密度

分布的线电荷沿着导线以速度

v运动形成的电流。(3)线电流电流分布的面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流。(4)元电流沿电流方向上，元电荷dq以v运动形成的电流，称为元电流，单位A.m。2.1.2欧姆定律的微分形式

积分形式微分形式意义：电场是维持恒定电流的必要条件。恒定电流场与恒定电场相互依存。一一对应2.1.3焦尔定律的微分形式导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗。？课堂练习、课后作业一平行板电容器，极间距离为d，介质的电导率为γ，接有电压为U0的恒压源。若把此时的介质换为2γ的材料，则此电容器的功率损耗为原来的

倍；若将电压源换为恒流源呢？