河北省张家口市草庙子乡中学高二数学理联考试题含解析

河北省张家口市草庙子乡中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是（

）A．152

B.

126

C.

90

D.

54参考答案：B略2.5名学生A、B、C、D、E和2位老师甲、乙站成一排合影，其中A、B、C要站在一起，且甲、乙不相邻的排法种数为（

）A．432

B．216

C．144

D．72参考答案：A略3.已知直线l经过点M（2，3），当l截圆（x﹣2）2+（y+3）2=9所得弦长最长时，直线l的方程为(

)A．x﹣2y+4=0 B．3x+4y﹣18=0 C．y+3=0 D．x﹣2=0参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】当|AB|最长时为圆的直径，所以直线l的方程经过圆心，利用圆心坐标为（2，﹣3），直线l经过点M（2，3），确定出直线l的方程．【解答】解：当|AB|最长时为圆的直径，所以直线l的方程经过圆心，由圆的方程，得到圆心坐标为（2，﹣3），∵直线l经过点M（2，3），∴直线l的方程为：x﹣2=0．故选：D．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，根据|AB|最长得到线段AB为圆的直径，即直线l过圆心是本题的突破点．4.已知点与二个顶点和的距离的比为，则点M的轨迹方程为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B5.从6名身高不同的同学中选出5名从左至右排成一排照相，要求站在偶数位置的同学高于相邻奇数位置的同学，则可产生不同的照片数为（）A．96B．98C．108D．120参考答案：A考点：排列、组合的实际应用．

专题：计算题．分析：根据题意，首先计算从6个人中选取5人的情况数目，进而按照选出5人的身高与所站位置的不同分2种情况讨论：1、若从五人中的身高是前两名排在第二，四位，2、若第一高排在2号第二高排在1号，第三高排在4号，或第一高排在4号第二高在5号，第三高在2号，分别求出每一种情况的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，先从6个人中选取5人，有C65=6种取法，进而分2种情况讨论：1、若从五人中的身高是前两名排在第二，四位，则这5个人的排法有A22×A33=12种，则此时有6×12=72种方法；2、若第一高排在2号第二高排在1号，第三高排在4号，或第一高排在4号第二高在5号，第三高在2号，则此时有2×C65+2×C65=24种方法；则一共有72+24=96种排法；故选：A．点评：本题考查排列、组合的运用，注意要分情况讨论选出5个人所站位置与其身高的情况．6.在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线y'=sinx'的伸缩变换是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】O7：伸缩变换．【分析】先设出在伸缩变换前后的坐标，对比曲线变换前后的解析式就可以求出此伸缩变换．【解答】解：设曲线y=sinx上任意一点（x′，y′），变换前的坐标为（x，y）根据曲线y=2sin3x变为曲线y′=sinx′∴伸缩变换为，故选B．7.如图21－4所示的程序框图输出的结果是()图21－4A．6

B．－6

C．5

D．－5参考答案：C8.曲线在点处的切线的倾斜角为（

）A．30°

B．45°

C．60°

D．120°参考答案：B略9.已知直线2x+y+2+λ（2﹣y）=0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S（λ），当λ∈（1，+∞）时，S（λ）的最小值是（）A．12 B．10 C．8 D．6参考答案：C【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线2x+y+2+λ（2﹣y）=0，分别可得与坐标轴的交点（﹣1﹣λ，0），（0，），λ∈（1，+∞），S（λ）=×，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由直线2x+y+2+λ（2﹣y）=0，分别可得与坐标轴的交点（﹣1﹣λ，0），（0，），λ∈（1，+∞），S（λ）=×=λ﹣1++4≥2×2+4=8，当且仅当λ=3时取等号．故选：C．【点评】本题考查了直线的交点、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.己知双曲线E的中心在原点，F（5，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（9，），则E的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用点差法求出直线AB的斜率，再根据F（5，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为（9，），可建立方程组，从而可求双曲线的方程．【解答】解：由题意，不妨设双曲线的方程为E：﹣=1（a＞0，b＞0），∵F（5，0）是E的焦点，∴c=5，∴a2+b2=25．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有：x1+x2=18，y1+y2=9，A，B代入相减可得AB的斜率，∵AB的斜率是=∴=，即16b2=9a2将16b2=9a2代入a2+b2=25，可得a2=16，b2=9，∴双曲线标准方程是=1．故选D．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查点差法解决弦的中点问题，考查学生的计算能力，解题的关键是利用点差法求出直线AB的斜率．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的单调递减区间是________.参考答案：【分析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调减区间.【详解】依题意的定义域为，令，解得，所以的单调减区间是.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.12.如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是

．参考答案：90°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC﹣A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．【解答】解：设棱长为a，补正三棱柱ABC﹣A2B2C2（如图）．平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，在△A2BM中，A2B=a，BM==a，A2M==a，∴A2B2+BM2=A2M2，∴∠MBA2=90°．故答案为90°．【点评】此题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．13.已知五条线段的长度分别为2，3，4，5，6，若从中任选三条，则能构成三角形的概率为

．参考答案：14.

参考答案：15.若圆的方程是，则该圆的半径是

参考答案：116.一组数据2，x，4，5，10的平均值是5，则此组数据的标准差是．参考答案：【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】由一组数据2，x，4，5，10的平均值是5，求出x=4，由此能求出此组数据的标准差．【解答】解：∵一组数据2，x，4，5，10的平均值是5，∴（2+x+4+5+10）=5，解得x=4，∴S2=[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（10﹣5）2]=，此组数据的标准差S==．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差的定义的合理运用．17.右图所示程序运行的结果为；

参考答案：21三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列，＝2，n∈N*.（Ⅰ）求并由此猜想出的一个通项公式；（Ⅱ）证明由（Ⅰ）猜想出的结论．参考答案：解：（Ⅰ）由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，…………3分由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.由此猜想an的一个通项公式为：an＝n＋1(n∈N*)．…6分（Ⅱ）证明：①当n＝1时，a1=2，猜想成立．…………7分②假设当n＝k（k∈N*且k≥1）时猜想成立，即ak=k＋1，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝ak(ak－k)＋1=(k＋1)(k＋1－k)＋1＝k＋2，………………11分也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1=(k＋1)＋1.猜想成立根据①和②，对于所有n∈N*，都有an=n＋1.…………………12分

略19.（I）求函数图象上的点处的切线方程；（Ⅱ）已知函数，其中是自然对数的底数，对于任意的，恒成立，求实数的取值范围。参考答案：解：（Ⅰ）；由题意可知切点的横坐标为1，所以切线的斜率是，

切点纵坐标为,故切点的坐标是，所以切线方程为，即.（II）问题即，

1）当

，所以无解。

2）当时，得若,则，

，所以无解。

若时，当时单调递减；当时单调递增。，综上可知

略20.已知圆和定点，其中点F1是该圆的圆心，P是圆F1上任意一点，线段PF2的垂直平分线交PF1于点E，设动点E的轨迹为C．（1）求动点E的轨迹方程C；（2）设曲线C与x轴交于A，B两点，点M是曲线C上异于A，B的任意一点，记直线MA，MB的斜率分别为，．证明：是定值；（3）设点N是曲线C上另一个异于M，A，B的点，且直线NB与MA的斜率满足，试探究：直线MN是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．参考答案：（1）依题意可知圆的标准方程为，因为线段的垂直平分线交于点，所以，动点始终满足，故动点满足椭圆的定义,因此，解得，∴椭圆的方程为，…（3分）（2）），设，则（6分）

（3），由（2）中的结论可知，所以

，即，当直线的斜率存在时，可设的方程为，，可得，则（*），…（7分），

…（8分）

将（*）式代入可得，即，亦即

…（10分）当时，，此时直线恒过定点（舍）；当时，，此时直线恒过定点；当直线的斜率不存在时，经检验，可知直线也恒过定点；综上所述，直线恒过定点.

…（12分）21.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，G为PD的中点，E是AB的中点. （I）求证：AG∥平面PEC；

（II）求点G到平面PEC的距离．参考答案：（I）证明：取PC的中点F,连接GF,则又,且

,四边形GAEF是平行四边形∴EF∥AG，又AG面PEC，EF面PEC，

∴AG∥平面PEC．

（II）由AG∥平面PEC知 A．G两点到平面PEC的距离相等由（1）知A．E、F、G四点共面，又AE∥CD

∴AE∥平面PCD∴AE∥GF，∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE＝GF，PA＝AB＝4，G为PD中点，FGCD，

∴FG＝2∴AE＝FG＝2∴

，又EF⊥PC，EF＝AG．∴

又，∴，即，∴，∴G点到平面PEC的距离为．略22.某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p、q（p>q）且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（1）

求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（2）

求p,q的值；（3）

求数学期望E(ξ)参考答案：（2）由题意知