第三节 条件概率 事件的独立性

第一章随机事件与概率

§1.3条件概率事件的独立性本节要点：条件概率乘法公式事件的独立性

一、条件概率例1、掷一颗骰子，观察出现的点数，若已知出现的是奇数点，求点数大于1的概率。解：设A={出现奇数点}

B={出现的点数大于1}称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率。定义：设A、B是某随机试验中的两个事件，且则

P24

2)从加入条件后改变了的情况去算条件概率的计算1)用定义计算:P(A)>0

掷骰子例：B={掷出2点}，

A={掷出偶数点}P(B|A）=A发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B所含样本点个数例2设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}所求为P(B|A).

对于两个事件A、B，

概率的乘法公式可以推广到有限多事件的情形。二、乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)若P(B)>0,则有：P(AB)=P(A)P(B|A)若P(A)>0,则有：例3P26

某地区一银行的贷款范围内，有甲、乙两家同类企业。若其中任一家向该行申请贷款更新设备时，则该行一年内的计划贷款就会突破。设一年内甲申请贷款的概率为0.15，乙申请贷款的概率为0.2。当甲申请贷款后，乙也向该行申请贷款的概率为0.3，求（1）一年内该行计划贷款被突破的概率．（2）乙申请贷款后甲也向该行申请贷款的概率解：设A={一年内甲申请更新设备贷款}，

B={一年内乙申请更新设备贷款}

据题意有P(A)=0.15P(B)=0.2P(B/A)=0.3（1）若一年内该行计划贷款总额被突破，则事件中至少有一个发生，故所求概率为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B/A)=0.15+0.2–0.15×0.3=0.3051、从样本空间上看，P(AB)为SA∪B

P(B/A)为SA2、凡涉及A与B“同时”发生，用P(AB)

有“包含”关系或主从条件关系，用P(B/A)条件概率与概率的乘法公式的区别：三、事件的独立性

显然

P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，例、将一颗均匀骰子连掷两次，设1、两个事件的独立性事件独立性的定义

P28设A、B是两个随机事件，如果

则称A与B是相互独立的随机事件．

性质1:P28A与B是两个事件，而且证明：必要性由于事件A与B相互独立，故充分性若P(B/A)=P(B)则P(AB)=P(A)P(B/A)=P(A)P(B)

性质2：必然事件Ω与任意随机事件A相互独立；不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立．

可知不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立.可知必然事件Ω

与任意事件A相互独立；证明：由性质3：若随机事件A与B相互独立，则也相互独立.由于解：为方便起见，只证相互独立即可

三个事件的独立性P292、多个事件的独立性定义：对于三个事件A、B、C，若下列四个等式:P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)同时成立，则称事件A、B、C相互独立。

对于三个事件的独立性，要求其中任何一事件发生的概率不受其它事件发生与否的影响。

A、B、C两两独立

n个事件的相互独立性注：1、上式代表2、若，则它们中任意m个事件也一定相互独立，特别地两两独立。但反之不然。

3、若，则它们中任意m个事件换成各自事件的对立事件，则所得的n个事件也相互独立n个事件的相互独立，则有

例3

三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？

解：将三人编号为1，2，3，所求为P(A1+A2+A3)记Ai={第i个人破译出密码}

i=1,2,3P(A1+A2+A3)

已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4

=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]例4、由n个人组成的小组，在同一时间内分别破译某一密码，并假定每人能译出的概率都是0.7，若要以99.9999%的把握能够译出，问n至少为几人？解：Ai={第i个人破译出密码}

i=1,2,3

B={密码被破译出}P(B)=1-P()=1-P()=1-P(