第5讲 解三角形

专题二

三角函数、解三角形第5讲

解三角形考向分析备考建议回归教材高频考点突破高考回眸限时训练第5讲

解三角形考向分析

2023年新高考全国Ⅰ卷第17题考查三角函数两角和（差）的正弦公式、正（余）弦定理、三角形面积公式和等面积法，考查数学运算的核心素养.新高考全国Ⅱ卷第17题考查了利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形.全国甲卷（理）第16题考查了利用正弦定理、余弦定理边角互化，利用余弦定理解三角形.全国乙卷（理）第18题考查利用正弦定理、余弦定理、同角三角函数基本关系以及三角形面积公式．第5讲

解三角形备考建议

解三角形内容应用性较强，命题灵活，在解答题与选择填空题位置均有出现，常规命题是主流，也有与实际问题结合起来命题（如利用三角形求解与测量、航海有关的实际问题）的情况，特别是选择填空题位置需要注意.强化正弦、余弦定理与三角形面积公式的灵活应用，适当加强平面向量在解三角形中的应用，适当加强正弦、余弦定理在多边形或多个三角形中方法应用的技能，适当加强三角恒等变换、函数、不等式与解三角形的综合问题中方法应用的技能，适当加强应用正弦、余弦定理解决相关实际应用问题的方法应用的技能，培养数学运算、逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学建模素养.第5讲

解三角形回归教材

C

【点评】本题主要考查了余弦定理、三角形面积公式、平方差公式的应用，计算量较大，属于中档题．

【点评】本题考查平面向量基本定理以及向量的夹角公式，考查计算能力，是中档题．第5讲

解三角形高频考点突破考点一

三角形中的边角关系

【分析】直接利用正弦定理和大边对大角判断A的结论，利用正弦定理和三角函数的值判断B的结论，利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用判断C的结论，利用向量的数量积和余弦定理的应用判断D的结论．

【答案】ACD

【分析】对于A，根据线段成比例，设未知数建立方程，表示出各边长，结合正弦定理，可得答案；对于B，根据A得到的边长表示，明确三角形的最大和最小内角，利用余弦定理计算出内角的余弦值，结合二倍角公式，可得答案；对于C，根据B可知，三角形最大内角的余弦值，可得答案；对于D，根据A得到的边长之比，可求出边长，根据B得到的内角的正弦值，结合三角形的面积公式，可得答案．

【答案】B

【答案】A［小结］

运用正弦定理、余弦定理解三角形时，要讲究公式的准确恰当运用，同时由正弦定理求角时，一定要利用大边对大角确认是一解还是两解．1.解三角形常见类型及解法在三角形的六个元素中要知三个（除三角外）才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件应用定理一般解决正弦定理已知条件应用定理一般解决余弦定理余弦定理续表已知条件应用定理一般解决正弦定理续表2.确定三角形形状的主要途径及方法主要途径：（1）化边为角；（2）化角为边.主要方法：（1）通过正弦定理实现边角互化；（2）通过余弦定理实现边角互化；（3）通过三角变换找出角之间的关系；（4）通过三角函数值的符号以及正、余弦函数有界性判断三角形形状.考点二

三角形中的三角函数

A.直角三角形

B.钝角三角形C.直角或钝角三角形

D.锐角三角形

【答案】B

【分析】根据正弦定理，将题干条件消去边，转化为内角的等式，即可得到答案；

考点三

解三角形的综合问题

【分析】根据面积公式以及正弦定理的边角互化可判断A，根据两角和与差的余弦公式即可判断B，根据正弦定理可判断C，根据弦切互化可判断D.

【答案】AB

【分析】根据正弦定理，利用边角互换的做题思想，结合三角形的三边关系，可得答案．

考点四

解三角形的实际应用

（1）观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；

（1）观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；

第5讲

解三角形高考回眸

【分析】根据角的关系及两角和与差的正弦公式，化简即可得解.

【命题立意】本题考查三角函数两角和（差）正弦公式、正弦定理、三角形面积公式和等面积法，考查数学运算的核心素养．

【命题立意】本题考查解三角形中正弦定理和余弦定理以及面积公式的应用，考查数学运算核心素养.

【命题立意】本题在立体几何背景下，考查余弦定理及面积公式，考查数学运算核心素养.【答案】C

2

【命题立意】本题考查正弦定理、余弦定理及面积公式，考查数学运算核心素养.

【命题立意】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.第5讲

解三角形限时训练A组

基础演练

BA.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.无法确定

C

C

【分析】由两角和的正切公式结合诱导公式判断A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式判断B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式判断C，根据正弦定理判断D.

【答案】ACD

【答案】ACD

【答案】ABD