（普通班）高三数学一轮复习 第九篇 平面解析几何 第6节 曲线与方程基础对点练 理-人教版高三全册数学试题

第6节曲线与方程【选题明细表】知识点、方法题号曲线与方程1,6直接法求轨迹(方程)2,7,10,14,15定义法求轨迹(方程)4,8,11相关点法求轨迹(方程)3,5,12,13参数法求轨迹(方程)9,16基础对点练(时间:30分钟)1.方程(x2+y2-4)x+解析:原方程可化为x2显然方程表示直线x+y+1=0和圆x2+y2-4=0在直线x+y+1=0的右上方部分,故选C.2.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹是(B)(A)直线 (B)圆(C)椭圆 (D)双曲线解析:设P(x,y),则(x+2)整理得x2+y2-4x=0,又D2+E2-4F=16>0,所以动点P的轨迹是圆.3.(2016银川模拟)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是(D)(A)2x+y+1=0 (B)2x-y-5=0(C)2x-y-1=0 (D)2x-y+5=0解析:设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得Q点的轨迹方程为2x-y+5=0.4.(2016长春模拟)设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为(D)(A)4x221-4y2(C)4x225-4y2解析:因为M为AQ垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆.所以a=QUOTE52,c=1,则b2=a2-c2=214,所以椭圆的方程为4x2255.已知F1,F2分别为椭圆C:QUOTEx24+QUOTEy23=1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(C)(A)x236+y227=1(y≠0) (B)4x(C)9x24+3y2=1(y≠0) (D)x2+4解析:依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,y),则由三角形重心坐标关系可得x=x代入QUOTEx024+QUOTEy023=1得重心G的轨迹方程为9x24+3y26.(2015山西联考)已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2-5x+2=0的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为(B)(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:因为e是方程2x2-5x+2=0的根,所以e=2或e=QUOTE12.mx2+4y2=4m可化为QUOTEx24+QUOTEy2m=1,当它表示焦点在x轴上的椭圆时,有4-m2=QUOTE12所以m=3;当它表示焦点在y轴上的椭圆时,有m-4m=QUOTE12所以m=163当它表示焦点在x轴上的双曲线时,可化为QUOTEx24-y2-m=1,有所以m=-12.所以满足条件的圆锥曲线有3个.7.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是.

解析:设P(x,y),因为△MPN为直角三角形,所以|MP|2+|NP|2=|MN|2,所以(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16,整理得,x2+y2=4.因为M,N,P不共线,所以x≠±2,所以轨迹方程为x2+y2=4(x≠±2).答案:x2+y2=4(x≠±2)8.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是.

解析:如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6,根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,故方程为QUOTEx29-y216答案:QUOTEx29-y2169.(2015聊城一模)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足OC→=OA→+t(OB→-OA→),其中t∈解析:设C(x,y),则OC→=(x,y),OA→+t(OB→所以x=答案:y=2x-210.(2015宜宾模拟)已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P使MP→·MNPM→·PN→,NM→解:设点P的坐标为(x,y),则MP→·MN→=(x+1,y)PM→·PN→=(-1-x,-y)·(1-x,-y)=x2+yNM→·NP→=(-2,0)根据已知得2PM→·PN→=MP→·MN→+即2(x2+y2-1)=2(1+x)+2(1-x),化简得x2+y2=3,又由公差小于0可知2(1-x)-2(1+x)<0,解得x>0,所以点P的轨迹方程为x2+y2=3(x>0).11.(2015唐山一模)已知圆O:x2+y2=4,点A(3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.解:(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN(图略),则|OM|+|MN|=|ON|=2,取A关于y轴的对称点A′,连接A′B,故|A′B|+|AB|=2(|OM|+|MN|)=4.所以点B的轨迹是以A′,A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=3,b=1,则曲线Γ的方程为QUOTEx24+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则OB→⊥AB→.设B(x0,y则x0(x0-3)+y0又QUOTEx024+y02=1,解得x0=23,y0=则kOB=±22,kAB=∓2则直线AB的方程为y=±2(x-3),即2x-y-6=0或2x+y-6=0.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016洛阳模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若BP→=2PA→,且OQ→(A)QUOTE32x2+3y2=1(x>0,y>0)(B)QUOTE32x2-3y2=1(x>0,y>0)(C)3x2-QUOTE32y2=1(x>0,y>0)(D)3x2+QUOTE32y2=1(x>0,y>0)解析:设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0,由BP→=2PA→,即a=QUOTE32x>0,b=3y>0.点Q(-x,y),故由OQ→·AB→=1,得(-x,y)即ax+by=1.将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为QUOTE32x2+3y2=1(x>0,y>0).13.(2015东营模拟)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1).映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P′的轨迹是(D)解析:当P沿AB运动时,x=1,设P′(x′,y′),则x'=2y,y所以y′=1-x'24(0≤x′≤2,0≤当P沿BC运动时,y=1,则x'=2x,y所以y′=x'24-1(0≤x′≤2,-1≤由此可知P′的轨迹如D所示,故选D.14.有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B,若△ABP为正三角形,则点P的轨迹方程为.

解析:设P(x,y),动圆P的半径为R,由于△ABP为正三角形,所以P到y轴的距离d=32即|x|=32而R=|PF|=(x所以|x|=32·(整理得(x+3a)2-3y2=12a2,即(x+3a答案:(x+3a15.(2015长春高三调研)已知平面上的动点P(x,y)及两个定点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB的斜率分别为k1,k2且k1k2=-QUOTE14.(1)求动点P的轨迹C方程;(2)设直线l:y=kx+m与曲线C交于不同两点M,N,当OM⊥ON时,求O点到直线l的距离(O为坐标原点).解:(1)设P(x,y),由已知得yx+2·yx-2=-QUOTE1整理得x2+4y2=4,即QUOTEx24+y2=1(x≠±2).(2)设M(x1,y1),N(x2,y2)y消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2由Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2得4k2+1-m2>0.x1+x2=-8kmx1·x2=4m因为OM⊥ON,所以x1·x2+y1·y2=0,即x1·x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1·x2+km(x1+x2)+m2=0,所以(1+k2)·4m2-44k2+1+km所以m2=QUOTE45(k2+1)满足4k2+1-m2>0,所以O点到l的距离为d=|m即d2=m21+k2=QUOTE45所以d=2516.(2015湖州模拟)已知以C(2,0)为圆心的圆C和两条射线y=±x(x≥0)都相切,设动直线l与圆C相切,并交两条射线于A,B,求线段AB中点M的轨迹方程.解:设直线l的方程为y=kx+b.A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),由y=x,y=kx+b,得由y=-x,y=kx+所以x由①②得k=QUOTExy,b=y2-x2因为圆C与y=±x都相切,所以圆C的半径r=2.因为AB:kx-y+b=0与圆C相切,所以|2k+b|k2+1将③代入④得(y2-x2)2+4x(y2-x2)-2(y2-x2)=0,因为y2≠x2,所以y2-x2+4x-2=0,即(x-2)2-y2=2(y≠0),当l⊥x轴时,线段AB的中点M(2±2,0)也符合上面的方程,其轨迹在∠AOB内.精彩5分钟1.(2016泉州模拟)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,则称曲线C为“好曲线”,以下曲线不是“好曲线”的是(B)(A)x+y=5 (B)x2+y2=9(C)x225+QUOTEy29=1 (D)x2解题关键:先确定M的轨迹,再研究各选项与M的轨迹的交点情况,即可得结论.解析:因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支,方程为x216-QUOTEy29=1(x≥A.直线x+y=5过点(5,0),满足题意;B.x2+y2=9圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C.x225+QUOTEy29D.将方程x2=16y代入x216-QUOTEy29=1,可得y-QU