16　三角函数模型的简单应用

1.6

三角函数模型的简单应用1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.2.能根据实际问题的意义,利用三角函数模型解决有关问题,为决策提供依据.121212A.12π,7 B.12π,5C.12,7 D.12,5答案:C答案:B12122.三角函数模型的应用(1)三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化的规律、预测其未来等方面都发挥着重要作用.实际问题通常涉及复杂的数据,因此往往需要用到计算器或计算机.(2)实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多门学科的知识才能完成,因此在应用数学知识解决实际问题时,不仅要注意从复杂的实际背景中抽取基本的数学关系,而且还要调动相关学科知识来解决问题.12(3)建立三角函数模型的步骤如下:12答案:5

解三角函数型实际问题的步骤剖析:(1)审清题意,读懂题.三角函数型实际问题的语言形式多为文字语言和图形语言并用,阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景,领悟其中的数学本质,在此基础上分析出已知什么、求什么,从中提炼出相应的数学问题.(2)搜集整理数据,建立数学模型.根据搜集到的数据,找出变化规律,并运用已经掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,将实际问题转化为一个三角函数问题,实现问题的数学化,即建立三角函数模型.其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式.(3)讨论变量关系.根据上一步中建立起来的变量关系,结合题目的要求,与已知数学模型的性质对照,转化为讨论y=Asin(ωx+φ)+b的性质,从而得到所求问题的理论参考值.(4)作出结论.根据上一步得出的理论参考数值按题目要求作出相应的结论.题型一题型二题型三【例1】

如图,某动物种群数量(单位:只),去年12月1日低至700只,今年6月1日高至900只,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.(1)求出种群数量y关于月份t的函数表达式;(2)估计今年3月1日动物的种群数量.分析:(1)根据曲线求出函数表达式;(2)由表达式求出今年3月1日即t=3时对应的函数值.题型一题型二题型三解:(1)设种群数量y关于t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),题型一题型二题型三即今年3月1日动物的种群数量约是800只.反思在生活中,呈周期变化的现象,常用三角函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)来描述,通过讨论其图象和性质来解决实际问题.题型一题型二题型三【变式训练1】

已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近(1)求该地这一段时间内温度的最大温差;(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存,则在这段时间内,该细菌最多能生存多长时间?解:(1)当x=14时,函数取最大值,此时最高温度为30

℃;当x=6时,函数取最小值,此时最低温度为10

℃,所以最大温差为30-10=20(℃).题型一题型二题型三

【例2】

一个悬挂在弹簧上的小球,静止时如图.现从它的静止位置向下拉0.2m的距离,在t=0时小球被放开并开始振动,1s后又再次回到这一位置.(1)求出描述此小球运动的一个函数解析式;(2)求当t=6.5s时小球所在的位置.分析:(1)设函数解析式为y=Asin(ωx+φ),由题意可知最低点距离平衡位置0.2

m,在t=0和t=1时小球都在最低点的位置,由此可确定A,ω,φ.(2)代入计算即可.题型一题型二题型三解:(1)取向上的位移为正,设在t

s时小球相对于静止位置的位移为s,s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0).(2)令t=6.5,则s=-0.2cos

13π=0.2(m).故当t=6.5

s时,小球在静止位置的上方0.2

m处.反思由于物理学中的单摆、光波、机械波、电流等都具有周期性,且基本符合三角函数的相关知识,因此借助于三角函数模型来研究物理学中的相关现象是解答此类问题的关键.题型一题型二题型三求:(1)开始时的电压;(2)电压值重复出现一次的时间间隔;(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间.分析:(1)开始时的电压,即当t=0

时电压E的值;(2)电压值每周期重复出现一次;(3)电压的最大值可由关系式求出.题型一题型二题型三题型一题型二题型三【例3】

游乐场中的摩天轮匀速旋转,其中心O距地面是40.5m,半径是40m.若从最低点处登上摩天轮,则你与地面的距离将随时间变化,5min后到达最高点.在你登上摩天轮时开始计时,请解答下列问题.(1)能求出你与地面的距离y与时间t的函数解析式吗?(2)当你登上摩天轮8min后,你与地面的距离是多少?(3)当你第1次距地面30.5m时,用了多少时间?(4)当你第4次距地面30.5m时,用了多少时间?分析:因为从最低点到最高点的变换具有周期性,所以可以用y=Asin(ωt+φ)+b作为函数模型.题型一题型二题型三解:(1)如图,O是摩天轮轮心,作ON垂直地面于点N,交摩天轮于点P,ON=40.5

m,OP=40

m.由题意可知,当t=0时,你登上摩天轮,位于点P,经过t

min,旋转到P1处,P1到地面的距离为P1M=y.作P1Q⊥OP于点Q.因为人从最低点旋转到最高点需5

min,题型一题型二题型三即你第1次距地面30.5

m时,用了约2.1

min.(4)你第4次距地面30.5

m时,用了20-2.1=17.9(min).反思对于实际问题,只需把问题中提供的条件逐条地翻译成数学语言,就能建立数学模型.题型一题型二题型三【变式训练3】

如图所示,一个摩天轮的半径为10m,轮子的底部在距离地面2m处,如果此摩天轮按逆时针方向转动,每300s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面