山东省淄博市名校2024届数学高一第二学期期末经典试题含解析

山东省淄博市名校2024届数学高一第二学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A． B． C． D．2．已知函数，则不等式的解集为()A． B． C． D．3．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n的所有可能取值为()A．3,23,69 B．4,24,70 C．4,23,70 D．3,24,704．点关于直线对称的点的坐标是（）A． B． C． D．5．如果角的终边经过点，那么的值是（）A． B． C． D．6．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．如果全集，，则（）A． B． C． D．8．已知正三角形ABC边长为2，D是BC的中点，点E满足，则（）A． B． C． D．-19．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是（）A． B． C． D．10．若向量，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，为内一点，且，延长交于点，若，则实数的值为_______.12．函数的最小正周期是____.13．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，点M为△ABC内切圆的圆心，过点M作动直线l与线段AB，AC都相交，将△ABC沿动直线l翻折，使翻折后的点A在平面BCM上的射影P落在直线BC上，点A在直线l上的射影为Q，则的最小值为_____．14．函数f(x)＝coscos的最小正周期为________．15．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.16．已知直线过点，，则直线的倾斜角为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角对应的边分别是，且.（1）求角；（2）若，求的取值范围.18．已知点A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)(1)若向量∥，求实数m的值；(2)若m＝3，求向量与的夹角．19．已知关于的不等式．（1）若不等式的解集为，求；（2）当时，解此不等式．20．已知向量.（1）若，求的值；（2）记函数，求的最大值及单调递增区间.21．（1）证明：；（2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数，使得对所有实数x均成立，其中均为整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，；（3）利用（2）的结论判断是否为有理数？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

纵竖坐标不变，横坐标变为相反数．【题目详解】点关于平面对称的点的坐标为．故选C．【题目点拨】本题考查空间直角坐标系，属于基础题．2、B【解题分析】

先判断函数的单调性，把转化为自变量的不等式求解.【题目详解】可知函数为减函数，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集为．故选B.【题目点拨】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.3、B【解题分析】试题分析：由等差数列的通项公式得，公差，所以，可能为，的所有可能取值为选.考点：1.等差数列及其通项公式；2.数的整除性.4、A【解题分析】

设点关于直线对称的点为，根据斜率关系和中点坐标公式，列出方程组，即可求解.【题目详解】由题意，设点关于直线对称的点为，则，解得，即点关于直线对称的点为，故选A.【题目点拨】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解，其中解答中熟记点关于直线的对称点的解法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5、D【解题分析】

根据任意角的三角函数定义直接求解.【题目详解】因为角的终边经过点,所以,故选:D.【题目点拨】本题考查任意角的三角函数求值,属于基础题.6、A【解题分析】

由下确界定义，，的最小值是，由余弦函数性质可得．【题目详解】由题意，的最小值是，又，由，得，，，时，，所以．故选：A．【题目点拨】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围．7、C【解题分析】

首先确定集合U，然后求解补集即可.【题目详解】由题意可得：，结合补集的定义可知.本题选择C选项.【题目点拨】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、C【解题分析】

化简，分别计算，，代入得到答案.【题目详解】正三角形ABC边长为2，D是BC的中点，点E满足故答案选C【题目点拨】本题考查了向量的计算，将是解题的关键，也可以建立直角坐标系解得答案.9、D【解题分析】

由已知的所给的直线，可以判断出直线过定点（3，1），直线过定点（1，3），两直线互相垂直，从而可以得到的轨迹方程，设圆心为M，半径为，作直线,可以求出的值，设圆的半径为，求得的最小值，进而可求出的最小值.【题目详解】圆的半径为,直线与直线互相垂直，直线过定点（3，1），直线过定点（1，3），所以P点的轨迹为：设圆心为M，半径为作直线,根据垂径定理和勾股定理可得：，如下图所示：的最小值就是在同一条直线上时，即则的最小值为，故本题选D.【题目点拨】本题考查了直线与圆相交的性质，考查了圆与圆的位置关系，考查了平面向量模的最小值求法，运用平面向量的加法的几何意义是解题的关键.10、B【解题分析】

根据向量的坐标运算，先由，求得，再求的坐标．【题目详解】因为，所以，所以．故选：B【题目点拨】本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由，得，可得出，再利用、、三点共线的向量结论得出，可解出实数的值.【题目详解】由，得，可得出，由于、、三点共线，，解得，故答案为.【题目点拨】本题考查三点共线问题的处理，解题的关键就是利用三点共线的向量等价条件的应用，考查运算求解的能力，属于中等题.12、【解题分析】

将三角函数化简为标准形式，再利用周期公式得到答案.【题目详解】由于所以【题目点拨】本题考查了三角函数的化简，周期公式，属于简单题.13、825【解题分析】

以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设直线l的斜率为k，用k表示出|PQ|，|AQ|，利用基本不等式得出答案．【题目详解】过点M作△ABC的三边的垂线，设⊙M的半径为r，则r2，以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则M（2，2），A（0，8），因为A在平面BCM的射影在直线BC上，所以直线l必存在斜率，过A作AQ⊥l，垂足为Q，交直线BC于P，设直线l的方程为：y＝k（x﹣2）+2，则|AQ|，又直线AQ的方程为：yx+8，则P（8k，0），所以|AP|8，所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝8，所以，①当k＞﹣3时，4（k+3）25≥825，当且仅当4（k+3），即k3时取等号；②当k＜﹣3时，则4（k+3）23≥823，当且仅当﹣4（k+3），即k3时取等号.故答案为：825【题目点拨】本题考查了考查空间距离的计算，考查基本不等式的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14、2【解题分析】f(x)＝coscos＝cos·sin＝sinπx，最小正周期为T＝＝215、【解题分析】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），所以.【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.16、【解题分析】

根据两点求斜率的公式求得直线的斜率，然后求得直线的倾斜角.【题目详解】依题意，故直线的倾斜角为.【题目点拨】本小题主要考查两点求直线斜率的公式，考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）依照条件形式，使用正弦定理化角为边，再用余弦定理求出，从而得出角的值；（2）先利用余弦定理找出的关系，再利用基本不等式放缩，求出的取值范围．【题目详解】（1）由及正弦定理得，，由余弦定理得，又，所以（2）由及，得，即所以，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以.【题目点拨】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用基本不等式求等式条件下的取值范围问题，第二问也可以采用正弦定理化边为角，利用“同一法”求出的取值范围．18、(1)1；（2）.【解题分析】

(1)先求出，的坐标，再根据两向量平行坐标交叉相乘相减等于零求解；(2)先求出，的坐标和模，再求，的数量积，即可求向量与的夹角．【题目详解】(1)因为A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)，所以，，若向量∥，则，即，(2)若m＝3，则，，所以，，，所以，故向量与的夹角为.【题目点拨】本题考查向量平行与夹角的计算.向量平行根据向量共线定理，求向量的夹角要选择合适的公式.19、（1）2（2）时，，时，，时，不等式的解集为空集，时，，时，.【解题分析】

（1）根据不等式的解集和韦达定理，可列出关于a的方程组，解得a；（2）不等式化为，讨论a的取值，从而求得不等式的解集。【题目详解】（1）由题得，，解集为，则有，解得；（2）由题，：当时，不等式化为，解得；当时，不等式等价于，若，解得；若，解得，若，解得；当时，不等式等价于，解得或.综上，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为空集，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为.【题目点拨】本题考查一元二次不等式的解法与应用，以及通过讨论参数取值求不等式的解集，有一定的难度。20、（1）或，（2），增区间为：【解题分析】

（1）根据得到，再根据的范围解方程即可.（2）首先根据题意得到，再根据的范围即可得到函数的最大值和单调增区间.【题目详解】因为，所以，即.因为，.所以或，即或.（2）.因为，所以.所以，.因为，所以.令，得.因为，所以增区间为：.【题目点拨】本题第一问考查根据三角函数值求角，同时考查了平面向量平行的坐标运算，第二问考查了三角函数的最值和单调区间，属于中档题.21、（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解题分析】

（1），利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对分奇偶，即和两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.【题目详解】（1）所以原式得证.（2）为奇数时，时，，其中，成立时，，其中，成