专题14-比较法-教师版

专题14比较法指数、对数式混合比较大小的方法：1.若有同底的指数式或对数式，则先构造函数，由指数函数、对数函数的单调性进行比较.2.对于不同底的指数式、对数式①将指数式与“1”进行比较，1=a0，通过单调性比大小，同时指数式的值恒大于0；②将对数式与“0”，“1”进行比较，1=logaa,0=loga1，通过单调性比大小；③若与“0”，“1”比较后仍不能比大小时，将中间量的值重新设定，如“”，再运用同样的方法进行比较.例1.(2023·山东省·月考试卷)已知a=log23，b=log34，c=log45，则下列结论正确的是()a−b=log23−log34=−=(lglg4，b−c=log34−log45=−=(lglg5，∵lg3>0，lg5>0，∴lg3lg5<(lg3+lg5)2=(lg15)2<(lg16)2=(2lg4)2=(lg4)2，故选D.练1-1(2023·广西壮族自治区南宁市·期末考试)已知a，b∈(0,3)，且4lna=aln4，4lnb=bln2，c=log0.30.06，lnbln2ln164ln2ln2 b41616所以f(x)在0,e上单调增，在e,+∞上单调减，又因为c=log0.30.06=log0.3(0.2×0.3)=log0.30.2+1>log0.30.3+1=2，所以a<c综上所得b<a<c故选C.练1-2(2023·福建省·模拟题)已知f(x)是定义在(1,+∞)上的单调f(3y)=f(5z)，则()A.g(2x)<g(3y)<g(5z)B.g(5z)<g(2x)<g(3y)C.g(3y)<g(5z)<g(2x)D.g(3y)<g(2x)<g(5z)所以x=log2k，y=log3k，z=log5k，又因为g(x)是(0,+∞)上的单调减函数，所以g(3y)>g(2x)>g(5z)，故选B.练1-3(2023·浙江省丽水市·月考试卷)已知a=，b=log56+log65，c=，则33232解：a=3323224(lg6)224(lg6)2×9(lg5)212lg5·lg6b=log56+log65 8lg5·lg68lg5·lg68lg5·lg6cc 18lg5·lg624( 18lg5·lg624(lg6)2×9(lg5)2=18lg5·lg612lg5·lg618lg5·lg6练1-4(2021·安徽省·模拟题)已知55<84，134<85.设a=log53，b=log85，c=log138则()解：a=log53=，b=log85=，c=log138=l，=(ln24+ln25)(ln=4ln5ln8故选A.1.比较三角函数值的大小,既要用到三角函数的有关性质,又要用到不等式中比较大小的方法.2.非特殊角的三角函数和指对幂函数混合的比大小题型中，往往需要借助中间值“0”或“1”进行比较.×1∘=sin50°cos50°,故选：B.练2-1(2023·安徽省阜阳市·月考试卷)不求值，比较下列各组数的大小，其中正确的是()A.sin>sinB.cos>cosC.sin250∘<sin260∘D.cos<cos解：对于A，因为<<<0，正弦函数y=sinx在区间[,0]上单调递增，所以sin()>sin()，故A正确;对于B，cos()=cos=cos，cos()=cos=cos，因为0<<<π,余弦函数y=cosx在区间[0,π]上单调递减，所以cos>cos，即cos()>cos()，故B错误;对于C，sin250∘=sin(180∘+70∘)=−sin70∘,sin260∘=sin(180∘+80∘)=−sin80∘,因为y=sinx在[0,]上单调递增，所以sin70∘<sin80∘,对于D，cos()=cos，因为<，函数y=cosx在[0,π]上单调递减，所以cos>cos，即cos>cos()，故D错误.故选A.练2-2(2022·广东省·联考)设函数fx=tanx−x，x≠kπ+，k∈Z，则()A.f4<f1<fπB.f4<fπ<f1C.f1<fπ<f4D.f1<f4<fπ解：函数f(x)=tanx−x，x≠kπ+，f'(x)=()'−1=co2x−1≥0恒成立，所以f(x)在(0,)和(,)上分别单调递增，因为0<1<<，所以f(0)<f(1)<f()，而f(0)=0，所以0<f(1故f(4)<f(1)<f().故选A.练2-3(2022·山东省·模拟题)已知a=(tan)0.1，b=log2(sin)，c=log2(cos)，则a，b，c的大小关系是()解：因为tan>tan=1，所以a=(tan)0.1>1，又0<cos=sin<sin<1，y=log2x在(0,+∞)上单调递增，所以log2cos<log2sin<0，故本题选D.练2-4(2022·江苏省·月考试卷)设a=s