家教二次函数

二次函数知识要点：1.二次函数的概念形如①〔a,b,c为常数，a≠0〕的函数，叫二次函数.【注意】结构特征：〔1〕等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.〔2〕二次项系数a≠02.二次函数的三种表达式〔1〕一般式：②〔a,b,c为常数，a≠0〕〔2〕顶点式：③〔a≠0，a、h、k为常数〕，它直接显示二次函数的顶点坐标是④.〔3〕两点式：⑤〔a≠0，a、、为常数〕，其中、是图象与x轴交点的横坐标.〔4〕三种表达式之间的关系：顶点式一般式两点式3.二次函数的图象及性质二次函数的图象是一条抛物线，对称轴是直线x=⑥，顶点坐标是⑦.〔1〕当a＞0时，抛物线开口向上，当时，函数的最小值为⑧；在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而⑨.〔2〕当a＜0时，抛物线开口向下，当时，函数的最⑩值为；在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小.重难点剖析１.二次函数的图象特征与a，b，c及判别式的符号之间的关系〔1〕字母a决定抛物线的形状.即开口方向和开口大小；决定二次函数有最大值或最小值.a＞0时开口向上，函数有最小值；a＜0时开口向下，函数有最大值；相同，抛物线形状相同，可通过平移、对称相互得到；越大，开口越小.〔2〕字母b、a的符号一起决定抛物线对称轴的位置.ab=0〔a≠0，b=0〕，对称轴为y轴；ab＞0〔a与b同号〕，对称轴在y轴左侧；ab＜0〔a与b异号〕，对称轴在y轴右侧.〔3〕字母c决定抛物线与y轴交点的位置.c=0，抛物线经过原点；c＞0，抛物线与y轴正半轴相交；c＜0，抛物线与y轴负半轴相交.〔4〕决定抛物线与x轴交点的个数.=0，抛物线与x轴有唯一交点〔顶点〕；＞0抛物线与x轴有两个不同的交点；＜0抛物线与x轴无交点.(5)a+b+c与a－b+c的符号：a+b+c是抛物线(a≠0〕上的点(1，a+b+c〕的纵坐标，a－b+c是抛物线(a≠0〕上的点〔－1，a－b＋c〕的纵坐标．根据点的位置，可确定它们的符号.２.任意抛物线都可以由抛物线经过平移得到，具体平移方法如下：【注意】二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数间的平移.二次函数图象间对称变换也是同样的道理.３.用待定系数法求二次函数的解析式确定二次函数的解析式一般需要三个独立条件，根据不同条件选不同的设法〔1〕设一般式：〔a，b，c为常数、a≠0〕假设条件是图象上的三点，将条件代入所设一般式，求出a,b,c的值〔2〕设顶点式：〔a,h,k为常数，a≠0〕假设二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值〔或最小值〕，将条件代入所设顶点式，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式.〔3〕设两点式：〔a≠0，a、、为常数〕假设二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为，将第三点〔m,n〕的坐标〔其中m，n为数〕或其他条件代入所设交点式，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式.４.二次函数〔a≠0〕与一元二次方程的关系〔1〕二次函数〔a≠0〕中，当y=0时，就变成了一元二次方程〔2〕一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.〔3〕二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数一致.〔4〕在它俩的关系中，判别式△=起着重要作用.二次函数的图象与x轴有两个交点对应方程的△＞0二次函数的图象与x轴有一个交点对应方程的△=0二次函数的图象与x轴无交点对应方程的△＜0５.二次函数应用包括两方面〔1〕用二次函数表示实际问题中变量之间的关系；〔2〕用二次函数解决最大化问题即最值问题.温馨提示：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨增大⑩大考点1：二次函数的图象和性质经典考题剖析：【考题１】〔2023、贵阳〕.抛物线y=4(x+2)2+5的对称轴是______【考题2】〔2023、宁安〕函数y=x2－4的图象与y轴的交点坐标是〔〕A.〔2，0〕B.〔－2，0〕C.〔0，4〕D.〔0，－4〕【考题３】在平面直角坐标系内，如果将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后二次函数的关系式是〔〕ＡＢＣＤ【考题４】〔2023、贵阳〕抛物线的局部图象〔如图1-2-1〕，图象再次与x轴相交时的坐标是〔〕A．〔5，0〕B.〔6，0〕C．〔7，0〕D.〔8，0〕ｘ＝－３yO【考题５】〔深圳〕二次函数图像如下图，假设点Ａ〔１，〕，Ｂ〔２，〕是它的图像上两点，那么与的大小关系是〔〕ｘ＝－３yOＡ．＜Ｂ．＝Ｃ．＞Ｄ．不能确定二、针对性训练：1．反比例函数y=EQ\F(k,x)的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么二次函数y=2kx2－x+k2的图象大致为图1－2－3中的〔D〕2．抛物线y=x2－４x＋5的顶点坐标是〔C〕A．〔－2，1〕B．〔－2，－1〕C．〔2，l〕D．〔2，－1〕3．二次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，那么此拋物线的对称轴是〔D〕A．B.C.D.4．在平面直角坐标系内，如果将抛物线向右平移3个单位，向下平移4个单位，平移后二次函数的关系式是〔D〕ＡＢＣＤ5.，点A〔－1，〕，B〔，〕，C〔－5，〕在函数的图像上，那么，，的大小关系是〔A〕A.＞＞B.＞＞C.＞＞D.＞＞3x=16．二次函数(a≠0〕与一次函数y=kx+m(k≠0〕的图象相交于点A〔－2，4〕,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是_____x<-2或x>83x=17.〔襄樊〕抛物线的图像如下图，那么抛物线的解析式为_______。8.假设二次函数的顶点坐标是〔2，－1〕，那么b=___2____，c=___3____。9.直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标为____．(1,3)(-2,0)10.M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=EQ\F(1,2x)上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为(a，b)，那么抛物线y=－abx2+(a＋b〕x的顶点坐标为___.(3,)11.当b＜0时，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是图1－2－9中的〔C〕考点2：二次函数的图象与系数的关系一、经典考题剖析：【考题1】〔2023、天津〕二次函数(a≠0〕且a＜0，a－b+c＞0，那么一定有〔〕A．b2－4ac＞0B．b2－4ac＝0C．b2－4ac＜0D．b2－【考题2】〔2023、重庆〕二次函数的图象如图1－2－10，那么点〔b，EQ\F(c,a)〕在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、针对性训练：1．函数的图象如图1－2－11所示，给出以下关于系数a、b、c的不等式：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④2a＋b＜0，⑤a＋b＋c＞0．其中正确的不等式的序号为___________①③⑤2．抛物线与x轴交点的横坐标为－1，那么a＋c=_________.b3．抛物线中，a：b：c=l：2：3，最小值为6，那么此抛物线的解析式为____________4．二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式：_______________.5．抛物线如图1－2－12所示，那么它关于y轴对称的抛物线的解析式是___________.6．二次函数的图象与x轴交于点〔－2，0〕，(x1，0)且1＜x1＜2，与y·轴正半轴的交点连点(0，2〕的下方，以下结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c<0，④2a－b+l＞0．其中的有正确的结论是〔填写序号〕__________．7．二次函数的图象如图1－2－14所示，那么以下关于a、b、c间的关系判断正确的选项是〔D〕A．ab＜0B、bc＜0C．a+b＋c＞0D．a－b十c＜08．抛物线〔a＞0〕的顶点在x轴上方的条件是〔A〕A．b2－4ac＜0B．b2－4ac＞0C．b2－49.二次函数⑴y=3x2；⑵y=EQ\F(2,3)x2；⑶y=EQ\F(4,3)x2的图象的开口大小顺序应为〔C〕A．〔1〕＞〔2〕＞〔3〕B．〔1〕＞〔3〕＞〔2〕C．〔2〕＞〔3〕＞〔1〕D．〔2〕＞〔1〕＞〔3〕考点3：二次函数解析式求法一、经典考题剖析：【考题1】如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点。点A,C的坐标分别是(－1，0)，(0，)。〔1〕求此抛物线对应的函数解析式；〔2〕假设点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP的面积的最大值。【考题2】目前，国内最大跨江的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一局部〔如图1－2－18〕，在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为350米，拱高为8．5米。⑴在所给的直角坐标系中〔如图1－2－19〕，假设抛物线的表达式为，请你根据上述数据求出、的值，并写出抛物线的表达式〔不要求写自变量的取值范围，、的值保存两个有效数字〕。⑵七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨4时，位于水面上的桥拱跨度有多大？〔结果保存整数〕【考题3】抛物线y=x2+(2n－1)x+n2－1(n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.【考题4】如图，二次函数图像的顶点坐标为C(1,0)，直线与二次函数的图像交于A、B两点，其中A点的坐标为〔3,4〕，B点在y轴上。〔1〕求m的值及二次函数的解析式；〔2〕P为线段AB上的一个动点〔点P与A,B不重合〕，过点P做x轴的垂线与二次函数图像交于点E，设线段PE的长度为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；〔3〕D为直线AB与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？假设存在，请说明理由。三、针对性训练：1．二次函数的图象经过点〔－3，2〕，〔2，7〕，〔0，－1〕，求其解析式．-3；-10；-12．抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点〔－l，－1〕，〔－4，0〕两点．求抛物线的解析式．3．抛物线与x轴交于点〔1，0〕和(2，0)且过点(3，4)，求抛物线的解析式．y=2(x-1)(x-2)4．二次函数的图象经过点A〔0，1〕B(2，－1〕两点．〔1〕求b和c的值；(2〕试判断点P〔－1，2〕是否在此抛物线上？(1)b=-3c=1(2)不在5．抛物线过三点〔－1，－1〕、〔0，－2〕、〔1，l〕．〔1〕求抛物线所对应的二次函数的表达式；〔2〕写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；〔3〕这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？〔1〕〔2〕6．当x=4时，函数的最小值为－8，抛物线过点〔6，0〕．求：〔1〕顶点坐标和对称轴；〔2〕函数的表达式；〔3〕x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．(2)(3)x>4;x<47．：如图1－2－27所示，直线y=－x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=－x2＋bx＋c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假设点P在直线BC上，且SΔPAC=EQ\F(1,2)SΔPAB，求点P的坐标．8．如图1－2－16所示，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M，此时eq\f(AM,AD)=\f(HG,BC)。

(1)设矩形EFGH的长HG=y，宽HE=x，确定y与x的函数关系式；

(2)当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？考点4：根据二次函数图象解一元二次方程的近似解一、经典考题剖析：【考题1】〔2023、湖北模拟〕关于二次函数的图象有以下命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数的图象开口向下时，ax’＋bx＋c=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确的个数是〔〕A．1B．2C【考题2】〔2023、青岛模拟，8分〕二次函数y=x2－6x+8，求：〔1〕抛物线与x轴y轴相交的交点坐标；〔2〕抛物线的顶点坐标；〔3〕画出此抛物线图象，利用图象答复以下问题：①方程x2－6x＋8=0的解是什么？②x取什么值时，函数值大于0？③x取什么值时，函数值小于0？【考题3】〔2023、天津〕抛物线y＝x2－2x－8，〔1〕求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；〔2〕假设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．三、针对性训练：1．函数y=kx2－7x—7的图象和x轴有交点，那么k的取值范围是〔C〕2．直线y=3x－3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是〔B〕A．0B．13．函数的图象如图l－2－30，那么关于x的方程的根的情况是〔A〕A．有两个不等的实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等实数根D．无实数根4．二次函数的图象如图l－2－31所示，那么以下结论成立的是〔D〕A．a＞0，bc＞0，△＜0B.a＜0，bc＞0，△＞0C．a＞0，bc＜0，△＜0D.a＜0，bc＜0，△＞05．函数的图象如图l－2－32所示，那么以下结论错误的选项是〔D〕A．a＞0B．b2－4ac＞0C、的两根之和为负D、的两根之积为正6．不管m为何实数，抛物线y=x2－mx＋m－2〔C〕A．在x轴上方B．与x轴只有一个交点C．与x轴有两个交点D．在x轴下方7．画出函数y=x2－2x－3的图象，利用图象答复：〔1〕方程x2－2x－3=0的解是什么？-1;3〔2〕x取什么值时，函数值大于0？X<-1或x>3〔3〕x取什么值时，函数值小于0？-1<x<38．二次函数y=x2－x－6·〔1〕求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标；(-2,0)(3，0)(0，-6)〔2〕画出函数图象；〔3〕观察图象，指出方程x2－x—6=0的解；-2，3〔4〕求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积15考点5：用二次函数解决实际问题一、经典考题剖析：【考题1】〔2023、贵阳，12分〕某产品每件本钱10元，试销阶段每件产品的销售价x〔元〕与产品的日销售量y〔件〕之间的关系如下表：假设日销售量y是销售价x的一次函数；〔1〕求出日销售量y〔件〕与销售价x〔元〕的函数关系式；〔2〕要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【考题二】〔2023、青岛〕某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．〔1〕如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；。〔2〕增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？二、针对性训练：1．小王家在农村，他家想利用房屋侧面的一面墙，围成一个矩形猪圈〔以墙为长，现在已备足可以砌10米2．某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件．他想采用提高售价的方法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价l元，每天的销售量就会减少10件．⑴写出售价x〔元／件〕与每天所得的利润y〔元〕之间的函数关系式；⑵每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？3．图1－2－38所示是一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱局部BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离路面AA1的距离为6米，隧道的宽AA1为16米．⑴求隧道拱抛物线BCB1的函数解析式；⑵现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离为7米，它能否平安通过这个隧道？说明理由．〔〕能每天一练星期一1．二次函数的图象如图l－2－42所示，那么在“①a＜0，②b＞0，③c＜0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是〔D〕A、①②③④B、④C、①②③D、①④2．二次函数(a≠0〕的图象如图1－2－43所示，那么以下结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是〔B〕A．l个B．2个C．3个D．4个星期二1．〔2023菏泽〕二次函数的图像如下图，那么一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是〔D〕2．〔2023泰安〕二次函数的图象如图，那么一次函数的图象经过〔C〕A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限3.［2023甘肃兰州，9］如下图的二次函数的图像中，刘星同学观察得出了下面四条信息：〔1〕＞0；〔2〕c＞1；(3)2a〔B〕A.2个B.3个C.4个D.1个星期三1.二次函数y=1－6x－3x2的顶点坐标和对称轴分别是〔B〕A．顶点〔1，4〕，对称轴x=1B．顶点〔－1，4〕，对称轴x=－1C．顶点〔1，4〕，对称轴x=4D．顶点〔－1，4〕，对称轴x=42.通过配方把函数y=－EQ\F(1,2)x2－2x－1表示为y____________,它的图象的顶点坐标是__________.(-2,1)3.抛物线y=－EQ\F(3,4)x2的开口，在对称轴左边，y随x的____________而增大．向上；增大星期四1．〔2023泰安〕设A，B，C是抛物线上的三点，那么，，的大小关系为〔A〕A．B．C．D．2．〔2023•衢州〕二次函数y=﹣x2﹣7x+，假设自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，那么对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的选项是〔A〕A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y3．〔2023苏州〕点A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕在二次函数y=〔x﹣1〕2+1的图象上，假设x1＞x2＞1，那么y1y2〔填“＞〞、“＜〞或“=〞〕．>星期五1.假设二次函数y=2x2的图象向下平移3个单位，向右平移4个单位，得到的抛物线的关系式为_______________.2．〔2023泰安〕将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为〔A〕A．B．C．D．3．〔2023•德阳〕在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是〔B〕A．〔﹣1，1〕B．〔1，﹣2〕C．〔2，﹣2〕D．〔1，﹣1〕4．〔2023泰安〕二次函数的图象如图，假设一元二次方程有实数根，那么的最大值为〔B〕A．B．3C．D．．5．〔2023•杭州〕抛物线y=k〔x+1〕〔x﹣〕与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，那么能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是〔C〕A．2B．3C．4D．56．〔2023•资阳〕如图是二次函数y=ax2+bx+c的局部图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是〔C〕A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5D．x＜﹣1或x＞5星期一1.抛物线的对称轴为x=2，且经过点(0，4〕和点〔5，0〕，求该抛物线解析式2．一个二次函数的图象如图1－2－25所示，请你求出这个二次函数的表达式，并求出顶点坐标和对称轴方程．星期二1.在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.

(1)求二次函数解析式；

(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.

(1)由x1，x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的两根

又∵(x1+1)(x2+1)=-8

∴x1x2+(x1+x2)+9=0

∴-(k+4)-(k-5)+9=0

∴k=5

∴y=x2-9为所求(2)由平移后的函数解析式为：

y=(x-2)2-9

且x=0时y=-5

∴C(0，-5)，P(2，-9)

.

星期三2023、青岛〕某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．〔1〕如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；。〔2〕增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？〔1〕根据题意得：y=〔80+x〕〔384-4x〕=-4x2+64x+30720〔0＜x＜96〕；〔2〕∵y=-4x2+64x+30720=-4〔x2-16x+64〕+256+30720=-4〔x-8〕2+30976，∴当x=8时，y有最大值30976，那么增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大总量是30976件星期四1．如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为〔1，0〕．假设抛物线过A、B两点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在说明理由；〔3〕假设点M是抛物线〔在第一象限内的局部〕上一点，△MAB的面积为S，求S的最大〔小〕值．解：〔1〕如答图1，连接OB．

∵BC=2，OC=1，

∴OB==，

∴B〔0，〕，

将A〔3，0〕，B〔0，〕代入二次函数的表达式得，解得，

∴y=﹣x2+x+；

〔2〕存在．如答图2，

作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．

∵B〔0，〕，O〔0，0〕，

∴直线l的表达式为y=．代入抛物线的表达式，

得﹣x2+x+=；

解得x=1±，

∴P〔1±，〕；

〔3〕如答图3，作MH⊥x轴于点H．

设M〔xm，ym〕，

那么S△MAB=S梯形